第15讲 三角形的基本性质及全等三角形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

-0.05×1+0.6=0.55(元/千克)， 5月份一千克此种蔬菜的利润可表示为W2=之一n =(-0-子+31)-(-吉x+2), 即w,=动-品+1.1 1 由函数解析式可知，5月份一千克此种蔬菜的利润随周数 支化特合二次函数且对称轴为直线=一会=一之 即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，.在第1周 的利润最大，最大为W=一20一20十1.1=1（元/千克）， 2.解：(1)由题意，二次函数y1=ax2十bx十1.8经过点(2， 3.2)和(4,4.2)， /4a+26+1.8=3.2,」 a=-0.05, 16a+4b+1.8=4.2,b=0.8, .二次函数为y1=-0.05x2十0.8x十1.8. (2)由(1)知二次函数为y1=-0.05x2十0.8x十1.8， 0.8 其对称轴为直线x=一2a2X005=8, .此时最大高度为ymx=-0.05×82+0.8×8十1.8=5. 又根据信息二，x与t是一次函数关系， .可设x=kt十c. 又结合表格数据可得，图象过(0,0)和(0.4,4)， .c=0,且0.4k十c=4.∴.k=10,c=0. .一次函数为x=10t. '.当x=8m时，t=0.8s. .经过0.8s达到最大高度，最大高度是5m. (3)p≤0.36[解析]由题意，当t=1.6s时，x=10X 1.6=16, .代入原抛物线得y1=一0.05×162十0.816十1.8= 1.8,即此时球的坐标为(16,1.8). 又，新抛物线y2=-0.02x2十pz十m过点(16,1.8)，得 m=1.8+0.02×162-16p=6.92-16p, .抛物线为y2=一0.02x2+px十6.92一16p. 又当x=2时，y2≥1.8， ∴.-0.02×22+2p+6.92-16≥1.8. .p≤0.36. 第四模块 图形的认识与三角形 第14讲几何初步及平行线、相交线 【河北中考·考点梳理】 ①只有一条②线段③MB④平角⑤直角⑥60 ⑦60⑧相等⑨相等⑩一①内错角@同旁内角 ⑧一④相等⑤互补G题设⑦结论⑧一定成立 ©不能保证①假①结论②题设⑧反例四相等 ⑤角的平分线上⑥相等⑦垂直平分线 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)①8[解析]D,E分别是AC,BC的中点， ∴DC=2AC,CE=号BC, ∴DE=DC+CE=合AC+合BC=合(AC+BC)= 合AB 又AB=16cm, .'DE=8 cm. .DE=CD+CE=3+5=8(cm). ②8[解析]由①可知DE=8cm. (2).·由射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC, ∠M0C=合∠A0c,∠coN=合∠cOB, :∴∠MON=∠M0C+∠CON=号（∠A0C+∠C0B)= 2∠AOB, 1 ∠MON=60°，∴∠A0B=120° (3):∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON, ∠MOD=号∠AOD,∠CON=号∠BOC .∠COD=30°， ∴.∠MON=∠MOD+∠CON+∠COD =号∠A0D+号∠B0C+号∠COD+号∠C0D =号(LA0D+∠B0C+∠C0D)+3∠COD -号∠A0B+号∠COD =号∠A0B+1c 2.解：(1)直线AB与CD形成的对顶角有∠AOC与∠BOD, ∠BOC与∠AOD. (2)∠BON的内错角为∠N,∠BON与∠N是直线MN 与AB被直线ON所裁而形成的. (3)∠AON的同旁内角是∠N. (4).'ON⊥OM,.∠MON=90° ,∠B0N=55°，∠A0M=180°-90°-55°=35°. :射线OM平分∠AOC,∠AOC=2∠AOM=70°， ∴.∠BOD=∠AOC=70. (5)CD⊥MN 变式：A 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【河北中考·考点梳理】 ①首尾顺次②等边③直角三角形④大于⑤小于 ⑥180°⑦360°⑧不相邻⑨大于⑩内心①三边 ②内部③直角边④外部⑤一半⑥相等⑦相等 ⑧相等©相等①夹角①夹边 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)3<x<7[解析]根据三角形两边的和大于第三 边，则x<5十2， 即x<7. 根据三角形两边的差小于第三边，则5一2<x,即3<x. 综上所述，3<x<7. (2)第三边长为奇数， ∴.第三边长为5cm. .三角形的周长=5+5+2=12(cm) ,'三角形两边长为5cm,另外一边长为2cm, '这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形， (3),第三边长为偶数，设第三边的长为xcm,则根据题 意可得5一2<x<5十2，即3<x<7,.x的值为4或6，当 x=4时，这个三角形的周长为5十4+2=11(cm),当x=6 时，这个三角形的周长为5十6十2=13(cm),即当这个三角形 第三边的长是偶数时，这个三角形的周长为11cm或13cm (4)若AB=2cm,BC=5cm,已知BD是△ABC的中线， △ABD的周长为9cm,则BD十AD=BD+DC=9-2=7(cm), ∴.△BCD的周长为BC+BD+DC=5+7=12(cm). (5)由(1)可知3<x<7,于是x+1一x一8一2x-2|=x十 1-(8-x）-2(x-2)=x+1-8+x-2x+4=-3. 2.(1)54(2)40°20°(3)13(4)①126②1 变式：A 3.(1)解：∠BOD=∠COE (2)证明：由(1)知△OBD≌△OCE, ..OD=OE. 又.∠ODB=∠OEC=90°， ∴∠ODA=∠OEA=90°. 在Rt△AOD和Rt△AOE中， (OA=OA, OD-OE, .Rt△AOD≌Rt△AOE(HL). (3)证明：由(2)知Rt△AOD≌Rt△AOE, ∴.AD=AE. 在△ABE和△ACD中， I∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∠BEA=∠CDA, ∴.△ABE≌△ACD(ASA) (4)证明：由(2)知△AOE≌△AOD, .∠EAO=∠DAO 由(3)知△ABE≌△ACD,∴.AB=AC. 在△ABO和△ACO中， (AB=AC, ∠BAO=∠CAO, AO=AO, .△ABO≌△ACO(SAS). (5)证明：由(3)知△ABE≌△ACD,.BE=CD. 在Rt△BCD和Rt△CBE中， (CD=BE, BC=CB, ,.Rt△BCD≌Rt△CBE(HL). 变式：D 第16讲相似三角形 【河北中考·考点梳理】 ①k②法③分@成比例⑤成比例⑥相等 d ⑦成比例⑧相等⑨成比例⑩相似①成比例@夹角 ⑧角@成比例⑤相似比⑥相似比⑦相似比的平方 ⑧相似©位似中心四同一点（位似中心）@同一条直 线上②(kx,ky)图（一kx,一ky) 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)AD∥BE∥CF, .AB_DE 2 AC-DF-7 DE 2 六DE年10-7’ ∴.DE=4, .DF=DE+EF=4+10=14. (2),G是DE的中点，AD∥BE,QG=3, 器-器 ∴.QH=6. ,AD∥BE∥CF, 器器 “品清 4 .PH=15 变式：解：(1)，DE∥BC, 瓷品 EC=是cm (2):DE∥BC, 铝怎中号架 4, AB=号cm第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【2022课标要求】 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等， 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 10.探索并证明三角形的中位线定理. 11.了解三角形重心的概念. 河北中考 考点梳理 考点一、三角形的概念和分类 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段① 相接所组成的图形叫做三角形 2.三角形的分类 三边都不相等的三角形 温馨提示：等边三角形 (1)按边分类：三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 属于等腰三角形，具有 ② 三角形 等腰三角形的一切 锐角三角形 性质。 (2)按角分类：三角形③ 钝角三角形 考点二、三角形的边和角的关系☆重点 1.三边关系：三角形的两边的和④ 第三边，三角形两边的差⑤ 第三边， 2.角的性质 (1)内角和定理：三角形三个内角的和等于⑥ 温馨提示：三角形的外角大 (2)外角和定理：三角形的外角和等于⑦ 于与它“不相邻”的内角，与 (3)三角形的外角等于与它⑧ 的两个内角的和. 其“相邻”的内角是互补的， (4)三角形的外角⑨ 与它不相邻的任何一个内角. 53 3.三角形具有稳定性， 考点三、与三角形有关的重要线段 名称 性质 三条角平分线的交点叫做三角形的⑩ 它到三角形① 的距离 角平分线 相等 中线 三角形的一条中线平分三角形的面积 锐角三角形的三条高都在三角形② ;直角三角形有两条高和 高线 ③ 重合；钝角三角形有两条高在三角形④ 中位线 中位线平行于第三边，且等于第三边的⑤ 温馨提示：)三角形的角平分线是线段不是射线；(2)三角形的一条中线可以把三角形分成 两个等底同高的三角形 考点四、全等三角形☆重点 1.全等形的定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形 2.全等三角形的定义 温馨提示：利用全等三 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 角形证明线段或角相等 3.全等三角形的性质 时，一定要找准对应边、 (1)全等三角形的对应边⑥ ,对应角⑦ 对应角 (2)全等三角形的对应边的中线相等，对应角的角平分线相等，对应边的高线相等. (3)全等三角形的周长⑧ ,面积⑨ 4.全等三角形的判定 (1)三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS” (2)两边和它们的四 分别相等的两个三角形全等，可以简失分警宗：两边和其 写成“边角边”或“SAS”. 中一条边的对角分别 (3)两角和它们的① 分别相等的两个三角形全等，可以简相等的两个三角形不 写成“角边角”或“ASA”. 一定全等 (4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”, (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”. 自主复习，方法提炼 1.如果一个三角形的一边长为5cm,另一边 的周长，并指出它是什么三角形（按边 长为2cm,若第三边长为xcm. 分类)； (1)第三边x的范围为 (3)当第三边长为偶数时，求出这个三角形 (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形 的周长； 54 (4)若AB=2cm,BC=5cm,已知BD是 ,∠DCE= △ABC的中线，△ABD的周长为9cm,求 (3)若AC=9,△BCF的周长比△ACF的 △BCD的周长； 周长多4，则BC的长为 (5)化简：|x+1|-x-8-2|x-2. (4)若AB=6,CD=4, ①SAABC= ,S△BCF= ②BF=6EF,则SACEF= 变式：（变换设问）(2025河北邢台任泽区一 模)在综合实践课上，同学们进行折纸活 动，根据下列折纸的示意图（其中C是点C 的对应点)，其中线段AD一定是△ABC 的中线的是 …………………( B(C' 通用通法 (1)判断三条线段能否组成三角形，关 3.如图，在△ABC中，CD⊥ 键看这三条线段长度是否满足较小的 AB于点D,BE⊥AC于 两条线段长度之和大于最长的线段 点E,CD与BE交于点 长度； O,且OB=OC,连接AO. B (2)已知三角形两边长度求第三边长度 (1)下面是黑板上给出的问题及不完整的 范围的方法：根据三角形三边关系列出 证明过程，请填写横线上的内容， 不等式组，然后解不等式组，确定取值 求证：△OBD≌△OCE, 范围。 证明：.CD⊥AB,BE⊥AC, 2.如图，在△ABC中，CD,CF分别是AB边 ∴.∠ODB=∠OEC=90°. 上的高线、中线，CE是∠ACB的平分线. 在△OBD和△OCE中， ∠ODB=∠OEC, D B OB=OC, (1)若∠B=36°，则∠BCD的度数为 .△OBD≌△OCE(AAS) (2)若∠A=70°，∠B=30°，则∠BCE (2)求证：△AOD≌△AOE: 55 (3)求证：△ABE≌△ACD; A.方案一：√、方案二：√ (4)求证：△ABO≌△ACO; B.方案一：X、方案二：× (5)求证：△BCD≌△CBE. C.方案一：X、方案二 D.方案一：√、方案二：X 通用通法 三角形全等的证明思路 找夹角→SAS 已知两 找直角→HL或SAS 边相等 找第三边→SSS 变式：（变换设问）(2025河北邯郸一模)有一 边为角的对边→找另 -角→AAS 张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=a,按 如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开， 找夹角的另一边 已知一 路 →SAS 若方案中两个阴影部分的三角形一定全等 边和一 打“√”，若不一定全等打“X”.则下列关于 边为角找夹边的另一邻角 角相等 的邻边 两种方案中两个阴影部分三角形全等情况 →ASA 找边的对角→ 的判断正确的是 AAS 已知两找夹边ASA 角相等（找其中一角的对边→AAS 方案 方案二 第16讲 相似三角形 【2022课标要求】 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比， 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平 方.（不要求证明) 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 8.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大 或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 56