第4章 06-第23节 全等三角形-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

第23节全等三角形 考点全等三角形的性质与判定及常见模型（必考） 1.性质与判定 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 (1)全等三角形的对应边① ,对应角② 性质 (2)全等三角形的周长③ ,面积④ (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都⑤ 方法 图示 几何表述 (AB=DE, 边边边 ⑥ 分别相等的两个三角 BC=EF, (SSS) 形全等 B AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF (AB=DE, 边角边 两边和它们的⑦ 分别相 ∠B=∠E, (SAS) 等的两个三角形全等 BC=EF. :.△ABC≌△DEF ∠A=∠D, 判定 角边角 两角和它们的⑧ 分别相 AB=DE, (ASA) 等的两个三角形全等 ∠B=∠E, .△ABC≌△DEF 「∠A=∠D, 两角分别相等且其中一组等角的 角角边 ⑨ A ∠C=∠F, 相等的两个三角形 (AAS) AB=DE, 全等 .△ABC≌△DEF 在Rt△ABC和Rt△DEF中， 斜边、 斜边和一条直角边分别相等的两 (AB=DE. 直角边 个直角三角形全等 AC=DF. (HL) ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF 【特别提醒】(1)“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等；(2)“HL”只适用于直角三角形；(3)证明三角形全 等时，对应顶，点的字母必须写在对应的位置上 【技巧点拨】全等三角形的判定思路 已知两 (1)找夹角→SAS:(2)找第三边SSS:(3)找直角→HL或SAS 边相等 边为角的对边：找任意一角→AAS. 已知一边和 边为角的邻边： 一角相等 (1)找角的另一边SAS;(2)找任意一角→ASA或AAS 已知两 找任意一边→ASA或AAS 角相等 65 2.全等三角形的常见模型 类型 图形及方法 平移型 (1)有公共边（线段）》 (2)有公共角或对顶角 轴对 称型 【技巧点拨】注意隐含条件：由公共边得等边，由公共角（或对顶角）得等角 (1)共顶点 (2)不共顶点 中心 对称型 手拉手 (旋转) 型 (1)角在同侧 (2)角在异侧 一线三 等角型 直角 锐角 钝角 直角 锐角 钝角 【技巧点拨】通过“三角形的内角和等于180°”和“同角（等角）的余角（补角）相等”证明角相 等.结论：△APC≌△BDP (1)正方形含半角（∠EAF=45) (2)等腰直角三角形含半角（∠DAE=45) 半角型 E G' B E B D E B D 辅助线作法：①旋转；②截长补短. 辅助线作法：旋转 结论：△AFE≌△AGE 结论：△DAE≌△DAF,BD+CE=DE ↓考点即时练 1(人教八上P44T11改编)如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=CE,∠B=∠E.请你添加符合 下列要求的条件，使得△ABC≌△DEF (1)若要以“SAS”为依据，需添加条件 (2)若要以“ASA”为依据，需添加条件 (3)若要以“AAS”为依据，需添加条件 (4)当∠B=∠E=90时，若要以“HL”为依据，需添加条件 66 (5)若AC∥DF,求证：AC=DF. 2[手拉手（旋转）型]如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，连接CD,BE交于点M. 求证：CD=BE. 3[一线三等角型]如图，点P在AB上，CA⊥AB,DB⊥AB,CP⊥DP,AP=BD. 求证：△APC≌△BDP. 4[半角型]如图，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD上的点，连接AE,AF,EF,∠EAF= 45°.求证：EF=BE+DF 嘉淇的作法如下：延长CD到，点G,使得DG=BE,连接AG… 请你按照嘉淇的思路继续证明， D 67④⑦一8∥④9相等⑤0∠2①相等2∠33互补 厨180°质∠1+∠2⑤6360°-∠1-∠2⑤⑦L2-∠1 考点即时练 1.(1)两点确定一条直线：(2)两点之间，线段最短 2（12或4：(2)21或2，(31或2 3.(1)85.46;锐角；(2)4.54：94.54：(3)42.73； (4)2:(5)①②3④ 4.(1)25°；155°：(2)同旁内角：同位角：内错角 5.16.②④⑤7.40：208.A 9.a=b:=:矛盾：a≠b 第19节三角形的分类及其基本性质 ①90°②>③<④大于⑤小于⑥180⑦180 ⑧B⑨不相邻0和①>②>B大于 考点即时练 1.C2.D3.A 4.(1)1<AC<5:(2)120:钝角：(3)85：锐角 5.76.120° 第20节三角形中的重要线段 ⑦相等 1 ⑧中点⑨BC0 ①ah2=3=④mn 6号 考点即时练 1.(1)高：6：(2)角平分线；①65°：②15： ③解：AD,CF分别是∠BAC和∠ACB的平分线， LOAC=2LBAC,LOCA=2LBCA, ÷∠C0A=180°-∠01C-∠0CA=180°-2 ∠BAC- 1 1 ∠BCM=180°-2（∠B1C+∠BCA)=180°-7(180°- ∠B)=904分∠R=10 （3)中线；①12；②22 2.1 第21节等腰三角形 ①相等②相等③重合④C⑤相等⑥相等⑦60° 860⑨3 4 1060° 考点即时练 1(1)65;25;(2)①34：224： 边子 2.解：.BO平分∠ABC,∴.∠MB0=∠CBO. .MN∥BC,∴.∠MOB=∠CBO, ∴.∠MB0=∠MOB,.MB=MO 同理，WC=NO. ∴.△AMN的周长为AM+AN+MW=AM+AN+MO+NO=AM+ AN+MB+NC=AB+AC=22. 【变式】18 3.5-1 4.55°或70°【变式1】30°或100°【变式2】35° 5.16cm或14cm【变式】15cm 第22节直角三角形 ①90°②90° ④-半⑤4B⑥15：2 ⑦-半⑧BC⑨AB02h①45°②450 考点即时练 1.D 20305292293)36 3.27或104.2或85.10 6.解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D. B A D ·AB=42,∠A=45°，..AD=BD=4 .·BC=5,.CD=√BC2-BD3=3, .AC=AD+CD=7. 1 六Sac=2BD·AC=14 第23节 全等三角形 ①相等②相等③相等④相等⑤相等⑥三边 ⑦夹角⑧夹边⑨对边 考点即时练 1.(1)AB=DE:(2)∠ACB=∠DFE(或AC∥DF); (3)∠A=∠D:(4)AC=DF; (5)证明略 2.证明略。3.证明略.4.证明略。 专项1常见的构造全等三角形的方法 方法1△EDB:△BDE:△CND:△CFD 例1（1)证明：如解图1，延长AD到点G,使得DG=AD,连 接BG. ·D是BC的中点，.BD=CD. 又.∠1=∠2，.△BDG≌△CDA(SAS), ∴.BG=CA,∠G=∠A 又.·∠BED=∠CAD,.∠G=∠BED .∴.BE=BG,∴.BE=AC. 4 B B 0 B D G 解图1 解图2 5