2026年中考数学第二轮专题复习之选择题复习——20：《圆》讲义

2026 年中考第二轮复习 选择题专题 20.圆   本专题是中考数学选择填空模块的几何必考核心考点，是圆综合解答题的必备前置知识基础，也是二轮复习几何模块 “保基础、提中档、冲压轴” 的关键课时。 一、题型特点 梯度分层清晰，完全适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，贴合中考命题逻辑与二轮查漏补缺的复习目标：①基础保分层，聚焦圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形性质、切线基础性质等单一考点，逻辑简单、考点明确，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合勾股定理、全等 / 相似三角形、锐角三角函数、三角形内心外心等知识点，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定动点轨迹最值、圆与一次 / 反比例函数综合、新定义探究，是选择填空压轴的高频题型，区分度极强。 考点闭环覆盖，核心命题围绕四大核心定理本专题 100% 的题目围绕圆的四大核心定理命题：圆周角与圆心角的倍半关系定理、垂径定理、切线的性质与判定定理、圆内接四边形性质定理，所有题目均是四大定理的单一应用或跨模块融合，完全贴合 2022 版新课标 “重基础、重应用、重素养” 的中考命题导向。 模型化命题特征显著，可固化破题路径超 80% 的题目围绕中考圆专题 6 大必考模型命题，适配二轮复习 “模型化、高效率” 的复习需求，学生可通过模型识别实现 “见题识型、结论秒解”。核心高频模型包括：垂径定理勾股模型、圆周角倍半模型、切线长等腰模型、中点轨迹圆模型、将军饮马 / 点圆最值模型、圆内接四边形外角模型，比如资料中第 2、25、28 题均是中点轨迹圆 + 最值模型的集中考查。 素养导向明确，贴合中考创新命题趋势摒弃纯概念默写式考查，新增数学文化题（刘徽勾股容圆，第 13 题）、新定义探究题（准外心，第 16 题）、实际应用题（发动机曲柄连杆，第 20 题），侧重考查学生的几何直观、逻辑推理、数学运算核心素养，完全匹配近年中考命题的创新方向。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 固化辅助线口诀，打通破题核心路径辅助线是圆专题选择填空的破题关键，必须牢记通用口诀：遇弦作垂线连半径（垂径定理）、遇直径连直角（直径所对圆周角为 90°）、遇切线连圆心切点得垂直、遇内心连角平分线、遇外心连顶点得半径、遇动点中点锁定轨迹圆。90% 的题目可通过对应辅助线，快速构造直角三角形、全等 / 相似三角形，找到破题突破口。 核心定理优先，锁定底层解题逻辑审题第一时间匹配对应核心定理：求角度优先用圆周角定理、圆内接四边形性质；求弦长 / 半径优先用垂径定理；遇切线优先用切线垂直半径的性质；求内切圆相关优先用内心性质与面积公式，避免无方向的复杂推导。 方程思想为万能通法，通解所有计算题圆的计算题 90% 可通过 “设半径为 r”，结合垂径定理、勾股定理、相似三角形比例式、锐角三角函数列方程求解，无需复杂辅助线。比如资料中第 12 题求残缺圆形工件半径，就是通过设半径，在直角三角形中列勾股定理方程求解，是本专题最高效的通用解题方法。 模型识别优先，跳过复杂推导秒解审题时优先识别几何模型，直接套用固定结论：遇弦中点、动点中点，直接用中点轨迹圆模型，锁定动点轨迹后用垂线段最短求最值；遇圆内接四边形，直接用外角等于内对角，秒解角度题；遇双切线，直接用切线长相等得等腰三角形，大幅缩短解题时间。 （二）分题型精准答题要点 基础角度计算题：两步固定破题法，第一步找同弧对应的圆心角 / 圆周角，锁定倍半关系；第二步结合三角形内角和、外角性质、平行线性质，推导所求角度，全程紧扣 “同弧 / 等弧” 核心前提。 弦长 / 半径计算题：三步标准化解法，第一步过圆心作弦的垂线，用垂径定理得半弦长；第二步连半径构造直角三角形；第三步用勾股定理 / 锐角三角函数列方程求解。 切线相关题：核心抓 “垂直”，已知切线连半径得 90°，结合直角三角形性质求解；证切线分两类：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂线证距离等于半径。 内心 / 外心相关题：牢记核心定义，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，三角形面积 = × 周长 × 内切圆半径。 动点最值综合题：先定轨迹，再求最值。第一步锁定动点运动轨迹（中点轨迹圆、定角定弦轨迹圆）；第二步匹配最值模型（点圆最值、垂线段最短、将军饮马）；第三步结合勾股定理、相似三角形计算最值。 新定义探究题：先吃透定义，再迁移应用。把题干新定义转化为已学的圆的性质、垂直平分线性质，严格按定义分情况讨论，避免漏解。 （三）答题规范要点 选择填空优先用特殊值法、排除法、模型结论秒解，无需完整推导，节省答题时间； 计算题核心公式必须写清，最终结果化到最简，根式、分式必须化简到位； 分类讨论题必须逐一验证所有情况，避免多解漏解，按题干要求汇总最终答案。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防圆周角定理误用：高频坑①忽略 “同弧 / 等弧” 核心前提，误用不同弧的圆周角与圆心角的倍半关系；②混淆优弧、劣弧对应的圆周角，二者互补，极易搞反；③漏用 “直径所对圆周角为 90°” 的核心结论，错过破题关键。 严防垂径定理误用：高频坑①忽略 “过圆心” 的核心前提，误用 “垂直于弦的直线平分弦”；②忽略 “弦不是直径” 的限定，误用 “平分弦的直径垂直于弦”，这是选择题的高频陷阱。 严防切线相关定理误用：高频坑①已知切线不连半径，找不到垂直关系；②证切线时，有交点不连半径证垂直，无交点不作垂线证距离等于半径，逻辑完全错误。 严防内心与外心概念混淆：高频坑①记反内心、外心的定义与性质；②三角形面积公式漏乘 1/2，误用 “周长 × 内切圆半径” 计算面积；③记错不同三角形外心的位置，导致角度推导错误。 严防圆内接四边形性质误用：高频坑①误用 “圆内接四边形对角相等”，正确结论为对角互补；②外角与内对角的对应关系错乱，导致角度计算错误。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防无图题不分类讨论，漏写多解：本专题无图题高频设置多解陷阱，比如弦在圆心两侧、点在圆内 / 圆外、动点在直线 / 线段上，学生极易只画一种符合直觉的图形，漏写另一种解，填空题直接零分。 严防限定词漏看，答案超出范围：高频坑①漏看 “点不与端点重合”“锐角 / 钝角三角形”“整数解” 等核心限定词；②混淆直径与半径，题干给直径，解题时当成半径用，数值直接翻倍错误。 严防设问方向看错，答非所问：高频坑把 “求圆周角” 看成 “求圆心角”，把 “求弦长” 看成 “求半弦长”，把 “点在圆内 / 外” 看反，计算全对但答案错误，白白丢分。 （三）逻辑推理类避坑：杜绝中档题、压轴题失分 严防相似三角形对应关系错位：仅找到一组角相等就判定相似，或对应顶点顺序错乱，导致比例式列反，线段长计算完全错误。 严防动点轨迹模型识别错误：把中点轨迹圆当成直线轨迹，把定角定弦轨迹圆当成定点，最值模型识别错误，导致求解方向完全偏离，压轴题零得分。 严防新定义题理解偏差：未吃透题干新定义，直接套用已学知识，未按定义分情况讨论，导致漏解失分。 （四）计算与书写类避坑：杜绝会做做不对 严防勾股定理、根式化简失误：勾股定理公式用反，把斜边当成直角边计算；平方、开方计算错误，根式化简不彻底，是本专题最常见的计算失分点。 严防公式漏项、比例式颠倒：扇形面积、弧长、三角形面积公式漏乘 1/2；锐角三角函数对边、邻边搞反，相似比例式分子分母颠倒，导致结果完全相反。 严防特殊角三角函数值记混：30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值记混，导致整题计算全错。 四、真题练习 1.（24-25·四川中考）如图，是的直径，点、在上．若，，则（       ） A. B. C. D. 2.（25-26·全国模拟）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（       ） A. B. C. D. 3.（25-26·山东模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是（       ） A. B. C. D. 4.（25-26·黑龙江模拟）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（       ） A. B. C. D. 5.（25-26·全国模拟）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（       ） A. B. C. D.  6.（24-25·青海中考）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（       ） A. B. C. D. 7.（24-25·河南中考）如图，已知锐角，按如下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（        ） A. B.若，则 C. D. 8.（25-26·全国模拟）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A. B. C. D. 9.（24-25·云南中考）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 10.（24-25·四川中考）如图，在中，，，，则（       ） A. B. C. D. 11.（23-24·广东中考）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（       ） A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定 12.（23-24·四川中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（       ） A. B. C. D. 13.（24-25·山东中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（       ） A. B. C. D. 14.（25-26·贵州模拟）如图，点，分别是的外心和内心，连接，．若，则（       ） A. B. C. D. 15.（24-25·山东模拟）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，．若的半径为，，，，则的面积为（       ） A. B. C. D. 16.（24-25·山东中考）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（       ） A. B. C. D.或 17.（23-24·四川模拟）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（       ） A. B. C. D. 18.（23-24·河北中考）如图，不等边内接于，是其内心，，，，内切圆半径为（       ） A. B. C. D. 19.（25-26·全国模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（       ） A. B. C. D. 20.（24-25·山东中考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（       ） A. B. C.当与相切时， D.当时， 21.（22-23·吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（       ） A. B. C. D. 22.（23-24·四川中考）如图是的切线，切点为，点在上，若则（       ） A. B. C. D. 23.（25-26·浙江期中）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（       ） A. B. C. D. 24.（25-26·四川模拟）如图，矩形为的内接四边形，，，点为上一点，且，延长交于点，则线段的长为（       ） A. B. C. D. 25.（24-25·江苏中考）如图，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为（       ） A. B. C. D. 26.（24-25·安徽模拟）如图，将抛物线进行平移，使其经过点 和点，设平移后的顶点为，连接，以为圆心、的长为半径作圆，交抛物线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 27.（23-24·福建模拟）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于、、、四点，已知点的横坐标为，则点的横坐标（       ） A. B. C. D. 28.（23-24·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为的与轴的负半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（       ） A. B. C. D. 29.（23-24·福建模拟）如图，是的直径,弦于点,点是上一点,且满足，连接并延长交于点． 连接、，若，．给出下列结论：①；②；③；④其中正确的是（       ） A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 30.（23-24·黑龙江中考）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为，则该正方形的面积为， ⑤． 其中正确的结论有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 选择题专题 20.圆   本专题是中考数学选择填空模块的几何必考核心考点，是圆综合解答题的必备前置知识基础，也是二轮复习几何模块 “保基础、提中档、冲压轴” 的关键课时。 一、题型特点 梯度分层清晰，完全适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，贴合中考命题逻辑与二轮查漏补缺的复习目标：①基础保分层，聚焦圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形性质、切线基础性质等单一考点，逻辑简单、考点明确，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合勾股定理、全等 / 相似三角形、锐角三角函数、三角形内心外心等知识点，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定动点轨迹最值、圆与一次 / 反比例函数综合、新定义探究，是选择填空压轴的高频题型，区分度极强。 考点闭环覆盖，核心命题围绕四大核心定理本专题 100% 的题目围绕圆的四大核心定理命题：圆周角与圆心角的倍半关系定理、垂径定理、切线的性质与判定定理、圆内接四边形性质定理，所有题目均是四大定理的单一应用或跨模块融合，完全贴合 2022 版新课标 “重基础、重应用、重素养” 的中考命题导向。 模型化命题特征显著，可固化破题路径超 80% 的题目围绕中考圆专题 6 大必考模型命题，适配二轮复习 “模型化、高效率” 的复习需求，学生可通过模型识别实现 “见题识型、结论秒解”。核心高频模型包括：垂径定理勾股模型、圆周角倍半模型、切线长等腰模型、中点轨迹圆模型、将军饮马 / 点圆最值模型、圆内接四边形外角模型，比如资料中第 2、25、28 题均是中点轨迹圆 + 最值模型的集中考查。 素养导向明确，贴合中考创新命题趋势摒弃纯概念默写式考查，新增数学文化题（刘徽勾股容圆，第 13 题）、新定义探究题（准外心，第 16 题）、实际应用题（发动机曲柄连杆，第 20 题），侧重考查学生的几何直观、逻辑推理、数学运算核心素养，完全匹配近年中考命题的创新方向。 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 固化辅助线口诀，打通破题核心路径辅助线是圆专题选择填空的破题关键，必须牢记通用口诀：遇弦作垂线连半径（垂径定理）、遇直径连直角（直径所对圆周角为 90°）、遇切线连圆心切点得垂直、遇内心连角平分线、遇外心连顶点得半径、遇动点中点锁定轨迹圆。90% 的题目可通过对应辅助线，快速构造直角三角形、全等 / 相似三角形，找到破题突破口。 核心定理优先，锁定底层解题逻辑审题第一时间匹配对应核心定理：求角度优先用圆周角定理、圆内接四边形性质；求弦长 / 半径优先用垂径定理；遇切线优先用切线垂直半径的性质；求内切圆相关优先用内心性质与面积公式，避免无方向的复杂推导。 方程思想为万能通法，通解所有计算题圆的计算题 90% 可通过 “设半径为 r”，结合垂径定理、勾股定理、相似三角形比例式、锐角三角函数列方程求解，无需复杂辅助线。比如资料中第 12 题求残缺圆形工件半径，就是通过设半径，在直角三角形中列勾股定理方程求解，是本专题最高效的通用解题方法。 模型识别优先，跳过复杂推导秒解审题时优先识别几何模型，直接套用固定结论：遇弦中点、动点中点，直接用中点轨迹圆模型，锁定动点轨迹后用垂线段最短求最值；遇圆内接四边形，直接用外角等于内对角，秒解角度题；遇双切线，直接用切线长相等得等腰三角形，大幅缩短解题时间。 （二）分题型精准答题要点 基础角度计算题：两步固定破题法，第一步找同弧对应的圆心角 / 圆周角，锁定倍半关系；第二步结合三角形内角和、外角性质、平行线性质，推导所求角度，全程紧扣 “同弧 / 等弧” 核心前提。 弦长 / 半径计算题：三步标准化解法，第一步过圆心作弦的垂线，用垂径定理得半弦长；第二步连半径构造直角三角形；第三步用勾股定理 / 锐角三角函数列方程求解。 切线相关题：核心抓 “垂直”，已知切线连半径得 90°，结合直角三角形性质求解；证切线分两类：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂线证距离等于半径。 内心 / 外心相关题：牢记核心定义，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，三角形面积 = × 周长 × 内切圆半径。 动点最值综合题：先定轨迹，再求最值。第一步锁定动点运动轨迹（中点轨迹圆、定角定弦轨迹圆）；第二步匹配最值模型（点圆最值、垂线段最短、将军饮马）；第三步结合勾股定理、相似三角形计算最值。 新定义探究题：先吃透定义，再迁移应用。把题干新定义转化为已学的圆的性质、垂直平分线性质，严格按定义分情况讨论，避免漏解。 （三）答题规范要点 选择填空优先用特殊值法、排除法、模型结论秒解，无需完整推导，节省答题时间； 计算题核心公式必须写清，最终结果化到最简，根式、分式必须化简到位； 分类讨论题必须逐一验证所有情况，避免多解漏解，按题干要求汇总最终答案。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防圆周角定理误用：高频坑①忽略 “同弧 / 等弧” 核心前提，误用不同弧的圆周角与圆心角的倍半关系；②混淆优弧、劣弧对应的圆周角，二者互补，极易搞反；③漏用 “直径所对圆周角为 90°” 的核心结论，错过破题关键。 严防垂径定理误用：高频坑①忽略 “过圆心” 的核心前提，误用 “垂直于弦的直线平分弦”；②忽略 “弦不是直径” 的限定，误用 “平分弦的直径垂直于弦”，这是选择题的高频陷阱。 严防切线相关定理误用：高频坑①已知切线不连半径，找不到垂直关系；②证切线时，有交点不连半径证垂直，无交点不作垂线证距离等于半径，逻辑完全错误。 严防内心与外心概念混淆：高频坑①记反内心、外心的定义与性质；②三角形面积公式漏乘 1/2，误用 “周长 × 内切圆半径” 计算面积；③记错不同三角形外心的位置，导致角度推导错误。 严防圆内接四边形性质误用：高频坑①误用 “圆内接四边形对角相等”，正确结论为对角互补；②外角与内对角的对应关系错乱，导致角度计算错误。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防无图题不分类讨论，漏写多解：本专题无图题高频设置多解陷阱，比如弦在圆心两侧、点在圆内 / 圆外、动点在直线 / 线段上，学生极易只画一种符合直觉的图形，漏写另一种解，填空题直接零分。 严防限定词漏看，答案超出范围：高频坑①漏看 “点不与端点重合”“锐角 / 钝角三角形”“整数解” 等核心限定词；②混淆直径与半径，题干给直径，解题时当成半径用，数值直接翻倍错误。 严防设问方向看错，答非所问：高频坑把 “求圆周角” 看成 “求圆心角”，把 “求弦长” 看成 “求半弦长”，把 “点在圆内 / 外” 看反，计算全对但答案错误，白白丢分。 （三）逻辑推理类避坑：杜绝中档题、压轴题失分 严防相似三角形对应关系错位：仅找到一组角相等就判定相似，或对应顶点顺序错乱，导致比例式列反，线段长计算完全错误。 严防动点轨迹模型识别错误：把中点轨迹圆当成直线轨迹，把定角定弦轨迹圆当成定点，最值模型识别错误，导致求解方向完全偏离，压轴题零得分。 严防新定义题理解偏差：未吃透题干新定义，直接套用已学知识，未按定义分情况讨论，导致漏解失分。 （四）计算与书写类避坑：杜绝会做做不对 严防勾股定理、根式化简失误：勾股定理公式用反，把斜边当成直角边计算；平方、开方计算错误，根式化简不彻底，是本专题最常见的计算失分点。 严防公式漏项、比例式颠倒：扇形面积、弧长、三角形面积公式漏乘 1/2；锐角三角函数对边、邻边搞反，相似比例式分子分母颠倒，导致结果完全相反。 严防特殊角三角函数值记混：30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值记混，导致整题计算全错。 四、真题练习 1.（24-25·四川中考）如图，是的直径，点、在上．若，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【解答】 解：连接， ， ， ， 故选：． 2.（25-26·全国模拟）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【解答】 解：如图，延长交于点，连接，，， 于点，交于点，为弧的中点， ， ， ， ， 点关于的对称点为点， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ，， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， 的最小值． 故选：． 3.（25-26·山东模拟）如图，四边形内接于，若，则的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【解答】 解：， ， 四边形内接于， 且， ， 故选：． 4.（25-26·黑龙江模拟）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图所示，过点作于点，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【解答】 如图所示，过点作于点 是直径 是等腰直角三角形 ， ， 该粒米落在扇形内的概率为． 故选：． 5.（25-26·全国模拟）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【解答】 解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 故选：．   6.（24-25·青海中考）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接，由已知条件求得，由，得，继而求得，再根据三角形内角和性质，即可求得． 【解答】 如解图，连接，， ， ． ， ． ， ， ， ． 故选． 7.（24-25·河南中考）如图，已知锐角，按如下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（        ） A. B.若，则 C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 D 8.（25-26·全国模拟）如图，是的直径，是弦，，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【解答】 解：连接． 是的直径，是弦，， ， ， 故选：． 9.（24-25·云南中考）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】 解：半径， ， ，， ， ， ， 故选：． 10.（24-25·四川中考）如图，在中，，，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接，设交于，由，得，根据，，得，故，从而． 【解答】 解：连接，设交于，如图： ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：． 11.（23-24·广东中考）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（       ） A.点在上 B.点在内 C.点在外 D.无法确定 【答案】 C 【解析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【解答】 解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为， ， 点在外， 故选：． 12.（23-24·四川中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【解答】 解：是线段的垂直平分线， 直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：． 13.（24-25·山东中考）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【解答】 解：为直角三角形， 令． 选项，选项，选项，选项， 只有选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是选项， 故选：． 14.（25-26·贵州模拟）如图，点，分别是的外心和内心，连接，．若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点是的内心，得． 【解答】 解：连接，则， ， ， ， ， 点是的内心， 平分， ， 故选：． 15.（24-25·山东模拟）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，．若的半径为，，，，则的面积为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【解答】 是的内切圆且半径为，，， ， ， 则的面积为， 故选： 16.（24-25·山东中考）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（       ） A. B. C. D.或 【答案】 D 【解析】 运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【解答】 解：，，， 根据勾股定理，可得：， 准外心在上， 或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选： 17.（23-24·四川模拟）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据三角形的内心性质，证明，得到，则，进而得到，代入即可得到答案． 【解答】 解：连接，如图所示： 为的内心，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：．   18.（23-24·河北中考）如图，不等边内接于，是其内心，，，，内切圆半径为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 延长交于点，连接，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，证明，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出的高，进而求出的面积，再利用的面积等于的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可． 【解答】 解：延长交于点，连接，交于点， 则：， 是内心， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， 则：， 又，， ， ， ， 是内心， ， ， 如图：过点作，连接，设，则：， 则：， 即：， 解得：， ； 设的半径为 则： ， 即：， 解得：； 故选． 19.（25-26·全国模拟）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【解答】 连接，，则：， 与相切于点， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 故选． 20.（24-25·山东中考）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（       ） A. B. C.当与相切时， D.当时， 【答案】 C 【解析】 本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断、选项，如图：当与相切时，求解，可得，可判断；当时，如图，可得，，，可判断；从而可得答案．理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【解答】 解：如图，由题意可得： ，故不符合题意； ，故不符合题意； 如图，当与相切时， ， ， ，故符合题意； 如图：当时， ，， ，故不符合题意； 故选：． 21.（22-23·吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【解答】 解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 与轴相切，与轴相切，且与的半径为， 的横坐标为，的纵坐标为， 点、在函数的图象上， 设，， ， 则， 又，， 或， 解得， 故选． 22.（23-24·四川中考）如图是的切线，切点为，点在上，若则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据圆的内接四边形的性质得由得由切线长定理得即可求得结果． 【解答】 解：如图，连接 四边形是的内接四边形， 即 是的切线， 根据切线长定理得 ． 故此题答案为．   23.（25-26·浙江期中）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【解答】 解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：． 24.（25-26·四川模拟）如图，矩形为的内接四边形，，，点为上一点，且，延长交于点，则线段的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为矩形为的内接四边形，，，， 所以， 在中，； 由相交弦定理得：， 所以 所以， 所以， 故选． 考点：．矩形的性质；．勾股定理；．相交弦定理． 25.（24-25·江苏中考）如图，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 连接，取的中点，连接，过点作于，先证明点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的，设交于点，解得直线与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得的长，证明解得的长，最后当点与点重合时， 此时面积的最小值，即可求解． 【解答】 解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为的圆，设交于点， 直线的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时， 此时面积的最小值， 故选：． 26.（24-25·安徽模拟）如图，将抛物线进行平移，使其经过点 和点，设平移后的顶点为，连接，以为圆心、的长为半径作圆，交抛物线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 B 27.（23-24·福建模拟）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于、、、四点，已知点的横坐标为，则点的横坐标（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 把代入，得，故点坐标为； 、关于对称，则点坐标为； 又和关于原点对称， 点坐标为， 点的横坐标为． 故选．  28.（23-24·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为的与轴的负半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 连接，根据点为弦的中点，可得点在以为直径的圆上，以为直径作，过点作直线于，交于，则上到直线上最短的距离是，则可得即的面积最小，根据一次函数的性质，求得，根据勾股定理可得，再根据的半径为，可知，，，由等积法可求得，，根据可求得面积最小是． 【解答】 解：连接，如图， 点为弦的中点， ， ， 点在以为直径的圆上， 以为直径作，过点作直线于，交于， 则上到直线上最短的距离是， 此时，即的面积最小， 当时，，则， 当时，， 解得，则， ， ， 的半径为， ， ， 由等积法可知： ， ， 即的面积最小是， 故选：． 29.（23-24·福建模拟）如图，是的直径,弦于点,点是上一点,且满足，连接并延长交于点． 连接、，若，．给出下列结论：①；②；③；④其中正确的是（       ） A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 【答案】 A 【解析】 ①利用垂径定理可知，然后得到，结合公共角可证明；②结合，且，可求得，且，可求得；③在中可求得，在中可求得，由，可得；④可先求得与的相似比，再求，进而求出，然后由得出结果. 【解答】 解：①为直径，，， ，且， ，故①正确； ②为直径，， ， ，且， ， ， ， ，故②正确； ③在中，，， ， ， ， ，故③错误； ④在中，，， ， ， ， ， ， ，故④错误； 故选．  30.（23-24·黑龙江中考）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为，则该正方形的面积为， ⑤． 其中正确的结论有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 ①正确:证明，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明即可； ③正确：设，求出，即可解决问题； ④错误：通过计算正方形的面积为； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【解答】 ①正确：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，故①正确； ②正确：如图，连接， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，故②正确； ③正确：设，则，， ，即，故③正确； ④错误：根据对称性可知，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，故④错误； ⑤正确：，， ， ， ， ，故⑤正确； 综上所述一共有个正确，故选：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $