第24讲 圆的有关计算-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精讲册（河北专用）

自主复习·方法提炼 1.如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径 (2)若BC=√3，AB=5,求DE; BA的延长线上，BE与⊙O相切，射线CD (3)在(2)的条件下求圆的直径AD. 与⊙O相切于点D,与BE交于点E,连接 B OE,BD交于点F,连接AD,若∠EBD= 60°，BE=3. (1)DE= (2)∠BEO= (3)OB= ,OF= (4)∠BDC= (5)AC的长为 (6)点D到线段AB的距离为 2.(2025河北沧州盐山县摸拟)如图，已知 ⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直 径，且C是BD的中点，延长AD到点E,且 有∠ECD=∠CAB. (1)求证：CE是⊙O的切线； 第24讲 圆的有关计算 【2022课标要求】 1.会计算圆的弧长、扇形的面积. 2.理解圆锥的相关概念和计算， 河北中考，考点梳理 考点一、弧长与扇形面积 如图，扇形OAB的半径为R,所对应的圆心角为n°，l为扇形的弧长，则有下列 计算公式： 2 (1)扇形的弧长1=① 81 (2)扇形的周长C=② (3)扇形的面积S=③ 2R(第2个等式可结合三角形的面积公式，1相当于三角形 的底，R看作是高). 考点二、圆柱、圆锥的相关计算 图形 n 2π/ f 2πd 圆柱的侧面展开图是一个矩形，这个 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的 侧面展开图 矩形的长是圆柱底面圆的周长，宽是 弧长等于圆锥底面圆的④】 ,扇 圆柱的母线长 形的半径就是圆锥的⑤ 侧面积 S圆柱侧=⑥】 S圆锥侧=⑦ 全面积 S圆柱全=⑧ S圆锥全=⑨ 温馨提示：圆锥满足r2十h2=2;n= ·360. 考点三、阴影部分面积的计算 图形 面积公式 D 直接公式法 S阴影=S扇形EN= nnr2 360 直接和差法 S阴影=S△ABC一S扇形CAD 构造和差法 D/ S阴影=S△OBD十S扇形coD B O 等积转化法 S阴影=S扇形cOD 82 自主复习·方法提炼 1.(2025河北摸拟)如图1，在扇形AOB中， ∠AOB=90°，OA=17,点P在半径OB 上，连接AP.把△AOP沿AP翻折，点O 的对称点为点Q, 图1 图2 (1)当点Q刚好落在AB上，求AQ的长； (2)如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与 AB交于点C,过点Q作QH⊥OA,垂足为 H,AH=6,求AC的长，猜想并直接写出 图3 图4 OH,AH,QC三者之间的数量关系 【实践探究】 (1)计算AB的长和扇形OAB的面积（π 取3)； (2)求圆锥的高； 图2 (3)制作20个图4这样的立体图形，最少 需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？ 2.(2025河北石家庄二模)【主题】利用圆形 纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片 (⊙O)若干、剪刀、胶水. 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿 直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点 O,连接OA,OB,剪下扇形OAB(圆心角 小于180). 活动二：将剪下的扇形OAB,粘贴成如图3 所示的圆锥（接缝处忽略不计）： 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4 所示的立体图形 83'.△ACF≌△GDF(ASA), ..AF=FG. (2)解：，CF=DF,AF=FG, .四边形ACGD是平行四边形. 又CD⊥AB, .□ACGD是菱形 连接OC,如图， 由条件可知AG=AB-BG=5-3=2,0A=0C=7AB=号， ∴0F=0A-AF=0A-7AG=号-2×2=， ∴cF=v0c-oF-√()-()=2， .CD=2CF=2×2=4, St形ACcn=2 XAGXCD= 2X2X4=4. 第23讲与圆有关的位置关系 【河北中考·考点梳理】 ①>②=③<④1⑤d>r⑥d=r⑦d<r ⑧垂直⑨垂直于⑩切点①两②相等 ③垂直平分线④角平分线⑤相等⑥相等 【自主复习·方法提炼】 1.13(230(3M5号（④1205W5(0号 2.(1)证明：如图，连接OC,则OC=OA, .∠OCA=∠CAD. :AD是⊙O的直径，且C是BD的中点，∠ECD=∠CAB, .∠ACD=90°，CD=BC, ∴.∠CAD=∠CAB,∴.∠OCA=∠CAB, '.∠ECD=∠OCA, '.∠OCE=∠OCD+∠ECD=∠OCD+∠OCA=∠ACD=90°， .'.OC CE. ,OC是⊙O的半径，CE是⊙O的切线 (2)解：：∠CDE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC= 180°，∴.∠CDE=∠ABC. 又由(1)可知∠ECD=∠CAB,'.△ECDp△CAB, -器 :AB=5,BC=CD=√3， .DE-BCXCD_3X/3_3 AB 5 -5 (3)解：连接BD交OC于，点F,则OC垂直平分BD, .BD⊥OC,FD=FB. .CE⊥OC,OD=OA, FD/CE.0F=2AB=2×5=号， 咒-8架 0C=0D=含AD, 2 合AD 之AD3,解得AD一6或AD三一1《不符合 题意，舍去)，.⊙O的直径AD的长为6. 第24讲圆的有关计算 【河北中考·考点梳理】 o ②2R+l③xR 360 ④周长⑤母线长⑥2πrl ⑦πrl⑧2πrl+2πr2⑨πrl+π2 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)连接OQ,如图1， 把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为 点Q, ..OA=QA. 又OQ=OA, ..OA=QA=0Q, 图1 .△OQA是等边三角形， ∴.∠Q0A=60°， AQ的长=60πX17=17x 1803 (2)AC=12,OH=QC+AH.理由如下： 如图2，过点O作OG⊥AQ,垂足为G, B 0 则GA=CG, ,QH⊥OA, ∴.∠QHA=∠OGA=90°. 由翻折可知AO=AQ, H ∴.△AQH≌△AOG(AAS), 图2 ∴.AH=AG=6,即AC=2AG=12. 又AG=CG, ..AH=CG,OA-AH=AQ-AG,E OH=QG, ..QG=QC+CG=QC+AH, ..OH=QC+AH. 2.解：(1)如图1，OO和AB交于点D, 由折叠可知：AB垂直平分OO',OB= O'B, .∠ODB=90°. .0B=00, ∴.OB=OO=OB, 图1 .△OBO为等边三角形， .∠BO0=60°， .∠ABO=30°， 0D=0B=3cm,BD=V6-3=35(cm, .'.AB=2BD=63 cm. .OA=OB,∠ODA=90°， .∠AOB=2∠BO0=120°， ·扇形0AB的面积为120xX6 360 =12π≈36(cm2). 答：AB的长为6√3cm,扇形OAB的面积为36cm2 (2)如图2，作圆锥的高OH,连接OH, 0 设圆锥底面圆的半径为r,R=OA= 6 cm, :2xr=120xX6 180 图2 .'r=2 cm. 在Rt△OHO中， OH=√O2-OH=√/62-2=4√2(cm), .圆锥的高为4√2cm. (3)每个圆形纸片可制作120°的扇形纸片360°÷120°= 3(个)， 20个这样的立体图形需要120°的扇形：20×2=40（个）， 40÷3=13号（个）， ∴.最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片. 第七模块 图形的变化 第25讲轴对称与中心对称 【河北中考·考点梳理】 ①重合②轴对称图形③对称轴④成轴对称⑤对称 轴⑥AC⑦CD⑧A'B'⑨A'C'⑩B'C'①△ACD ②△A'B'C⑧180°④对称中心⑤轴对称G折痕 ⑦全等⑧垂直平分 【自主复习·方法提炼】 1.(1)ABCDE ACE(2)偶数奇数 (3)①轴对称图形②轴对称图形和中心对称图形 2.解：(1)①BG=DG②A'G=CG③2√34 ④△BA'G≌△DCG (2)①EF⊥AA′②6108 ③△A'EB∽△FA'C, 理由略（提示：证明∠B=∠C,∠BEA'=∠CA'F) ④an∠AEB=是 ⑤EF=10V10 3 (3)①全等. ②如图1，当点F与点D重合时，A'B的值最小； B A B(E 图1 根据折叠的性质知：AF=A'F=10; 在Rt△A'FC中，A'F=10,FC=6, 则A'C=8,此时A'B=10-8=2; 如图2，当点E与点B重合时，A'B的值最大； 此时A'B=AB=6. .A'B的长的范围是2≤A'B≤6. (4)①△A'DF∽△GCA'∽△GB'E. ,EF=626 ②DF=24 5 第26讲平移与旋转 【河北中考·考点梳理】 ①旋转②距离③旋转角④全等⑤平行⑥同一条 直线上⑦相等⑧平行⑨同一条直线上①相等 ①全等②旋转角⑧相等④y士m⑤x士n⑥一y ⑦-x®-x9-y四2a-x①2b-y 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求 (2)如图，△A2B2C2即为所求. (3)如图，△AB3C3即为所求. 由图可得，点C3的坐标为（一2,2） 2.解：(1)30°4√5[解析]四边形ABCD为矩形， .AD∥BC. :∠CAD=30, .∠ACB=∠CAD=30. 在矩形ABCD中，AB=4, ∠D=90°，CD=AB=4, .AC=2CD=8, ∴.AD=√AC-CD=4√3. (2)矩形[解析]由平移的性质得AB′∥AB, :四边形ABCD为矩形， .AB∥CD, .A'B'∥CD. .AD∥BC, ∴四边形A'B'CD是平行四边形. ∠D=90, ∴.四边形A'B'CD是矩形