19.1《二次根式及其性质 》课件 -2025-2026学年人教版八年级数学下册

二次根式及其性质 问题： 　　（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______． 　　（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什 么不同？ 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h＝5t2．如果用含有h的式子表示t，则t为＝_____． 师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示相关数量，教师进行适当引导和评价． 设计意图：让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性． 2026/4/15 2 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题： 　　（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130 m2，则它的宽为______m． 　　（2）中得到的式子有什么意义？ 教师提出问题，学生思考，解决问题 2026/4/15 3 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题： 　　（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 _____． 　　（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？ 表示的数怎样变化？　 　　　　　 　　t = 教师提出问题，学生思考，解决问题 2026/4/15 4 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 　　这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负 数）的算术平方根． 分别表示3，S，65， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生说出各式的意义． 概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． 2026/4/15 5 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 把形如 ， ， ， 这样用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式． 　（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．　 （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 2026/4/15 6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　二次根式： 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做 　　二次根式，“ ”称为二次根号． 　　　　　　　　　　 ②被开方数a≥0． ③a可以是数，也可以是含有字母的式子． 定义包含三个内容: ①必需含有二次根号“ ”． （4）提醒学生注意二次根式定义包含的内容． （5）在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≥0”？ 教师引导学生回想4、0的算术平方根分别是什么？－4有没有算术平方根？最后总结只有非负数才有算术平方根． 设计意图：采用具体到抽象的方式，通过归纳，得出二次根式的概念． 2026/4/15 7 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　例1　当x 是怎样的实数时， 　 　在实数范围内有意义？ 当x≥2时， 　在实数范围内有意义． 　　解：由x－2≥0，得 　　　　x≥2． 2026/4/15 8 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　例2　当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意 义？ 　 呢？ 所以，当x为任意实数时， 在实数范围 内有意义． 　　解：因为　 ≥0， 当x≥ 0时， 在实数范围内有意义． 　　　　由　 ≥0，得 　　　　x≥ 0 ． 2026/4/15 9 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 当a＞0 时， 表示a 的算术平方根，因此 ＞0； 这就是说， （a≥0）是一个非负数． 当a＝0 时， 表示0 的算术平方根，因此 ＝0； 　　问题　请比较 和0 的大小． 　分类讨论思想　 　双重非负性　 2026/4/15 10 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二次根式根号内字母的取值范围必须满足： 被开方数大于或等于零. 　　练习1　判断下列各式哪些是二次根式： 　 （1）　 ； （2）　　　　 ； （3）　 ； （4） ． ＞ ≤ × √ √ √ 练习1判断下列各式哪些是二次根式： 学生先独立完成，后小组展示确定二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于零），所以（2）、（3）、（4）均为二次根式． 2026/4/15 11 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　练习2　当x 是什么实数时，下列各式有意义． （1） 　 ；（2）　　； （3）　 ； （4） ． 解:（1）由 　　 ，得 ； （2）由 得 且 ； （3）由 ，得x为任意实数， 都无意义； （4）由 ，且 ，得x＝2． 练习2当x是什么实数时，下列各式有意义． …… 设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件． 2026/4/15 12 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （1）本节课你学到了哪一类新的式子？ （2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的 范围是什么？ （3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号． 双重非负性 ≥ ． 中的a≥0； 　　二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算 术平方根是二次根式． （1）本节课你学到了哪一类新的式子？ （2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ （3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式． 设计意图：回顾本节课所学的二次根式的概念，再次确定二次根式有意义的条件；理解二次根式的双重非负性以及二次根式与算术平方根的关系． 2026/4/15 13 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 布置作业 布置作业 2026/4/15 14 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2026/4/15 15 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方． 问题1　你能解释下列式子的含义吗？ ， ， ， ． 让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方． 2026/4/15 16 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题2　根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 0 4 2 把上述计算结论推广到一般，并用字母表示： （a≥0）． 你能说说依据吗？ 师生活动：学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论的．学生理解起来有一定困难，需要教师的引导 2026/4/15 17 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　例1　计算下列各式： （1） ；（2） ．　　　 　　解： （1） 　　 ； 　（2） 　　　　　　　　　　 ．　　　 　　问题1　填空，你能说说这样做的依据吗？ _____； _____； _____； _____． 你能说说依据吗？ 　把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示： （a≥0）． 0 2 0.1 -a 由算术平方根的定义，可得 （1） ；（2） ．　　　 问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ 引导学生归纳得出二次根式的性质…… 设计意图：引导学生由具体到抽象，得出一般性的结论，并发现开平方运算和平方运算的关系和内在联系． 2026/4/15 21 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 师生活动：引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别． 2026/4/15 22 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 设计意图：训练和培养学生由特殊到一般的认识过程，观察对比的能力，提高归纳总结的能力．明确性质的区别和联系． 2026/4/15 24 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解：（1） ； 　　例2 化简： （1） ；（2） ．　　　 （2） 　　　　　　． （1）你知道了二次根式的哪些性质？ （2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？ （3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程． （4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表 示数得到的式子？说说你对代数式的认识． （1）你知道了二次根式的哪些性质？ （2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？ （3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？ （4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识． 2026/4/15 27 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．计算： （1）　　　（2）　　　　（3）　　　（4） （5）　　　（6）　　　　（7）　　　（8） ； ； ； ； ； ； ； ． 布置作业 布置作业 2026/4/15 28 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 谢谢观看 1．要使式子 有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知y＝ ＋ ＋3，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．求使下列各式有意义的x的取值范围？ （1） －（2） － （3） （4） 4．已知 ＋ ＋ ＝0． 求a，b，c的值． 问题2　根据二次根式的性质 ， 可得 ．当a＜0时， ____． 问题3对于性质 （a≥0）， 逆向思考可得： （a≥0）， 请根据这一结论完成填空： 问题4　谈一谈你对 与的认识． 区别：①表示的意义不同． 表示非负实数a的算术平方根的平方； 表示实数a的平方的算术平方根． ②运算的顺序不同． 是先求非负实数a的算术平方根，然后再进行平方运算； 而 则是先求实数a的平方，再求 的算术平方根． 问题4　谈一谈你对 与的认识． ③取值范围不同． 在 中，a只能取非负实数，即a≥0； 而在 中，a可以取一切实数． 问题4　谈一谈你对 与的认识． ④写法不同．在 中，幂指数2在根号的外面； 而在 中，幂指数2在根号的里面． 问题4　谈一谈你对 与的认识． ⑤结果不同． ， 而 2．利用（a≥0），把下列非负数分别 写成一个非负数的平方的形式． （1）9（2）5（3）2.5（4）0.25（5） （6）0． 3．把多项式 在实数范围内分解因式． $