专题11 二项分布、超几何分布、正态分布（八大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题11 二项分布、超几何分布、正态分布 目录 典例讲解 类型一、二项分布求概率 类型二、二项分布的期望与方差 类型三、超几何分布求概率 类型四、超几何分布的期望与方差 类型五、正态分布概率的计算与对称性 类型六、正态分布与函数的结合 类型七、二项分布的最大概率问题 类型八、决策问题 压轴专练 类型一、二项分布求概率 处理方式：当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 【例1】投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________． 【例2】某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次．甲每次生成成功的概率为，失败概率为；乙每次生成成功的概率为，失败概率为．记甲成功生成密钥的次数为，乙成功生成密钥的次数为，则的值为______． 【变式1-1】某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响． (1)求该运动员试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求该运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率． 【变式1-2】袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【变式1-3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语. 已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； (2)若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值. 类型二、二项分布的期望与方差 处理方式：若服从二项分布，则 【例3】某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【例4】某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 【变式2-1】甲、乙两人独立地解题，甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为．若两人一起合计解题10道，且甲、乙两人解题的数量之比为，则两人解题正确的期望之和为______；若甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，则他们的解题正确的方差之比为______． 【变式2-2】某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． (1)求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； (2)若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 【变式2-3】某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛. (1)初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率； (2)复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差. 类型三、超几何分布求概率 处理方式：求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 【例5】在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 【例6】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）分成五段：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的分位数； (3)现从该样本中成绩低于70分的市民中按分层抽样的方法选取6人，再从这6人中随机选取2人，求这2人的成绩都在内的概率． 【变式3-1】一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 【变式3-2】一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【变式3-3】我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. (1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； (2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 类型四、超几何分布的期望与方差 【例7】某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取户，分别记为组和组，这户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图，假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从组和组中分别随机抽取户家庭，记为组中抽取的户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于的户数，为组抽取的户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于的户数，比较方差与的大小.（    ） A． B． C． D．不能确定 【例8】已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合． (1)若，求集合中恰有三个元素的概率； (2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望． 【变式4-1】设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【变式4-2】一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【变式4-3】当AIGC（生成式人工智能）领域的一系列创新性技术有了革命性突破，全球各大科技企业积极拥抱AIGC，我国有包括A在内的5家企业加码布局AIGC生成算法赛道，有包括B、C在内的5家企业加码布局AIGC的自然语言处理赛道，某传媒公司准备发布（2023年中国AIGC发展研究报告），先期准备从上面的10家企业中随机选取4家进行采访. (1)若在布局不同的赛道中各选取2家企业，求选取的4家企业中，企业A，B，C至少有2家的概率. (2)记选取的4家科技企业中布局AIGC的是生成算法赛道的企业个数为X，求X的分布列与期望. 类型五、正态分布概率的计算与对称性 处理方式：1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 【例9】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【例10】（多选）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【变式5-2】（多选）赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（    ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为10%，则 C．越大，的值越大 D．越小，评分在的概率越大 【变式5-3】已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 类型六、正态分布与函数的结合 【例11】（多选）已知随机变量X服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（    ）． A． B．是偶函数 C． D．是增函数 【例12】已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【变式6-2】随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则_______________. 【变式6-3】设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 类型七、二项分布的最大概率问题 处理方式：二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 【例13】某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【例14】甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【变式7-1】某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【变式7-2】聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【变式7-3】某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张． (1)求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列； (2)若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数． 类型八、决策问题 【例15】2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【例16】某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． (1)求顾客获得的购物金X的数学期望． (2)若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 【变式8-1】在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启用的设备），已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这3台设备中，只要有1台能正常工作，计算机网络就不会断掉，设3台设备的可靠度均为0.7，它们之间互不影响. (1)记能正常工作的设备台数为X，求X的分布列与数学期望； (2)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉会给该产业园带来约500万元的经济损失.为减少给该产业园带来的经济损失，可以升级设备，每台设备的升级费用为2.5万元，升级后可以使设备的可靠性提升到0.8，从总损失期望最小的角度，应该升级几台设备？ 【变式8-2】第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． (1)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率． (2)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案： 方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元： 方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元（包含参加初赛的100元），若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好． 【变式8-3】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率； (2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 一、单选题 1．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 2．在次伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以、为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．则（    ）． A．甲地降雨的概率为 B．乙地降雨的概率为 C．在甲、乙两地3天假期中，任意一天仅有一地降雨的概率为 D．设在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，则X的方差为 5．（多选）已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应），则（   ） A．的所有取值分别为 B．服从两点分布 C． D． 三、填空题 6．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 7．一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中3个红球，6个白球，从袋中有放回地取球，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止.记为5次之内（含5次）取到红球的个数，则的数学期望______________. 8．某超市拟定于周年庆当天举办一次有奖促销活动，顾客一次消费满500元可参加一次抽奖活动，规则如下：有甲、乙两个不透明的箱子，甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），获得抽奖机会的顾客先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，规定从乙箱中取出的球是红球的顾客中奖，可获得100元返金券，则抽奖顾客中奖的概率为________；据以往消费记录估计当天约有800位顾客抽奖，记中奖人数为，则________. 四、解答题 9．盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 10．某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 11．某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； (3)现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 12．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二项分布、超几何分布、正态分布 目录 典例讲解 类型一、二项分布求概率 类型二、二项分布的期望与方差 类型三、超几何分布求概率 类型四、超几何分布的期望与方差 类型五、正态分布概率的计算与对称性 类型六、正态分布与函数的结合 类型七、二项分布的最大概率问题 类型八、决策问题 压轴专练 类型一、二项分布求概率 处理方式：当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 【例1】投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________． 【答案】 【详解】设事件为“仅有一次掷得偶数”，事件为“第三次掷得奇数”， 则，， 所以． 【例2】（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次．甲每次生成成功的概率为，失败概率为；乙每次生成成功的概率为，失败概率为．记甲成功生成密钥的次数为，乙成功生成密钥的次数为，则的值为______． 【答案】 【详解】由题意，，且甲成功生成密钥与乙成功生成密钥为独立事件， 情况1： ， ，， 该项概率：， 情况2： ， ， ， 该项概率：， 情况3： ， ， ， 该项概率： 故 【变式1-1】某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响． (1)求该运动员试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求该运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为，则失败概率为．依题意有，解得． 由于每次试跳成功与否相互之间没有影响， 所以试跳三次中第三次才成功的概率为． （2）设该跳高运动员单次试跳成功的概率为， 则该跳高运动员的三次试跳可看成三次独立重复试验， 则该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率． 【变式1-2】袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 【变式1-3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语. 已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率； (2)若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：若“星队”在两轮活动中猜对3个成语，且， 可分为两类：甲猜对2个乙猜对1个或甲猜对1个乙猜对2个， 其概率为， 所以“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为. （2）解：由题意得，若“星队”在两轮活动中猜对2个成语，且概率为， 可分为甲猜对0个乙猜对2个或甲猜对1个乙猜对1个或甲猜对2个乙猜对0个， 则， 即，可得，解得， 所以甲每轮猜对的概率为. 类型二、二项分布的期望与方差 处理方式：若服从二项分布，则 【例3】某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【答案】 0.6/ 1.6/ 【分析】 【详解】设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”. 由题意，. 根据全概率公式可得. 每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为. 又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以. 【例4】某校在一次数学活动期间为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有1000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)活动期间学校开放号门、号门和号门供学生出入，学生从号门、号门和号门进入学校的概率分别为，，，若学生从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为．假设学生从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁名学生参加活动，设X为人中从号门出学校的人数，求X的期望及方差． 【答案】(1)； (2)； 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得. 成绩在的频率为； 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 规定成绩较高的前的学生获奖,因为，， 所以分数线在内. 设最低分数线为，则，解得， 因此获奖学生的最低分数线为. （2）设事件表示从号门进入学校（），事件表示从号门出学校， 由全概率公式可得， 又已知，，，，，， 所以. 因为为名学生中从号门出学校的人数，每名学生相互独立， 所以服从二项分布，即， 由二项分布的期望和方差可得，，因此X的期望为，方差为. 【变式2-1】甲、乙两人独立地解题，甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为．若两人一起合计解题10道，且甲、乙两人解题的数量之比为，则两人解题正确的期望之和为______；若甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，则他们的解题正确的方差之比为______． 【答案】 / 【详解】根据题意，可得甲解了6题，乙解了4题， 设甲解题正确的题量为，乙解题正确的题量为， 因为甲解题正确的概率为，乙解题正确的概率为，所以， 可得期望之和为； 设甲解道题，乙解道题，根据题意，可得，， 因为甲解题正确的期望与乙解题正确的期望之比为，可得 解得，所以． 故答案为：；. 【变式2-2】某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． (1)求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； (2)若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）设事件 A为 “零件是次品”，事件 B 为 “零件被判断为次品”， 由题意：，，； 根据全概率公式； 所以某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率为. （2）由题意，检测 10 个零件，每次判断相互独立，且每次被判断为次品的概率为 ， 因此X服从二项分布. 所以均值，方差. 【变式2-3】某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛. (1)初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率； (2)复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）甲进入复赛的概率为. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， ，    分布列如下： X 0 1 2 P 解法一：，     解法二：因为，所以. 类型三、超几何分布求概率 处理方式：求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 【例5】在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 【答案】 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 【例6】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于50分的整数）分成五段：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的分位数； (3)现从该样本中成绩低于70分的市民中按分层抽样的方法选取6人，再从这6人中随机选取2人，求这2人的成绩都在内的概率． 【答案】(1)0.010 (2)88分 (3). 【分析】 【详解】（1）因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1， 所以， 解得. （2）成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故第百分位数在内， 设第百分位数为，由， 解得. 故第百分位数为分. （3）成绩落在内的样本人数为人， 成绩落在内的样本人数为人， 故采用分层抽样成绩落在内抽取人数为人， 成绩落在内抽取人数为人， 设从这6人中随机选取2人，这2人的成绩都在内为事件， 所以. 故这2人的成绩都在内的概率为. 【变式3-1】一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 【答案】4 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故答案为：4. 【变式3-2】一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）的可能取值为， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”， ， 故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为. 【变式3-3】我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. (1)经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； (2)经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 【答案】(1)44.5 (2) 【分析】 【详解】（1）由条件得，指数， 则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值， 由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45， 则所求的第60百分位数是44.5. （2）由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性， 令为至少有三人投赞成票，依题意得， 被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是 被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是， 被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是， 则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为. 类型四、超几何分布的期望与方差 【例7】某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取户，分别记为组和组，这户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图，假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.从组和组中分别随机抽取户家庭，记为组中抽取的户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于的户数，为组抽取的户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于的户数，比较方差与的大小.（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】由茎叶图知：A组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有3户， 所以的可能值为0，1，2，且服从超几何分布， 则有：， 可得，； 由茎叶图知：B组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有7户， 所以的可能值0，1，2，且服从超几何分布， 则有：， 可得，； 所以. 【例8】已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合． (1)若，求集合中恰有三个元素的概率； (2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】 【详解】（1）集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两个元素， 恰有一个是相同的，另一个是不同的，所以其概率为：． （2）X可取值为2，3，4．，，． 所以X的概率分布列为： X 2 3 4 P X的期望为． 【变式4-1】设随机变量服从超几何分布，从含有5个红球､3个白球的总体中不放回抽取4个球，记为抽取的红球个数，则的方差__________（结果用分数表示）. 【答案】 【详解】超几何分布（总体数），（红球数），（抽取数），期望，方差公式，代入得， 故答案为： 【变式4-2】一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】/ 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 【变式4-3】当AIGC（生成式人工智能）领域的一系列创新性技术有了革命性突破，全球各大科技企业积极拥抱AIGC，我国有包括A在内的5家企业加码布局AIGC生成算法赛道，有包括B、C在内的5家企业加码布局AIGC的自然语言处理赛道，某传媒公司准备发布（2023年中国AIGC发展研究报告），先期准备从上面的10家企业中随机选取4家进行采访. (1)若在布局不同的赛道中各选取2家企业，求选取的4家企业中，企业A，B，C至少有2家的概率. (2)记选取的4家科技企业中布局AIGC的是生成算法赛道的企业个数为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，2. 【分析】 【详解】（1）因为从上面的10家科技企业布局的两条赛道中各随机选取2家共有种不同的选法， 选取的4家科技企业中，企业至少有2家共有种不同的选法， 所以选取的4家科技企业中，企业至少有2家的概率为． （2）可以取， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以. 类型五、正态分布概率的计算与对称性 处理方式：1.会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 【例9】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以对任意正数，. 【例10】（多选）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 【变式5-1】十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【答案】D 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 【变式5-2】（多选）赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（    ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为10%，则 C．越大，的值越大 D．越小，评分在的概率越大 【答案】AD 【详解】由题意知，，则， 故A正确； 因为，且优秀率为10%， 故，故B错误； 因为是正态分布图象的对称轴，所以，故C错误； 越小，正态分布图象越瘦高，因此在区间对应图象的面积变大， 则评分在的概率越大，故D正确. 【变式5-3】已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 类型六、正态分布与函数的结合 【例11】（多选）已知随机变量X服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（    ）． A． B．是偶函数 C． D．是增函数 【答案】CD 【详解】由随机变量服从正态分布，所以函数，即A错误； 利用正态分布对称性可得，, 因此可得，可知B错误，C正确； 由函数，所以是单调递增函数，即D正确. 【例12】已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为，所以， 即， ＝， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 【变式6-1】已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【详解】由正态分布的性质可知，单调递增，所以没有对称轴， 因为正态分布密度曲线的对称轴是，所以， 即，所以函数的图象关于点对称. 故选：C 【变式6-2】随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则_______________. 【答案】 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 即 所以， 故答案为：. 【变式6-3】设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 类型七、二项分布的最大概率问题 处理方式：二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 【例13】某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 【例14】甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 【变式7-1】某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】 【详解】由题意可得，则，即， ，则， 则可得服从二项分布，则 ， 令， 即有，解得， 令 即有，解得， 即，由，则当取得最大值时，. 【变式7-2】聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 【变式7-3】某景区为回馈游客设计了一项抽奖活动，每轮抽奖规则是：从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中一次抽取3个球，每一个红球积1分，每一个黑球积0分；每位游客只能参加一轮抽奖活动，若所得积分大于或等于2，即可获得景区门票一张． (1)求游客甲在一轮抽奖中所得积分的分布列； (2)若某旅行团共5位游客，每位游客获奖的概率稳定且相互独立，求该旅行团获得景区门票人数的众数． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)3人或4人 【分析】 【详解】（1）由题知的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， 故的分布列为 0 1 2 3 （2）在一轮抽奖中所得积分大于或等于2的概率为， 5位游客在5轮抽奖中，记成功的人数为，则， 故， 法一： . 且，故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人． 法二：假设当时，对应概率取值最大， 则且， 解得， 且， 故5位游客在5轮抽奖中，该旅行团获得景区门票人数的众数是3人或4人． 类型八、决策问题 【例15】2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【分析】 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 【例16】某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． (1)求顾客获得的购物金X的数学期望． (2)若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 【答案】(1)110元； (2)（i）选择方案；（ii）500. 【分析】 【详解】（1）购物金X的可能值为， ， 所以顾客获得的购物金X的数学期望（元）. （2）（i）由对称性不妨令，， 购物金的可能值为， ， 则（元），而， 所以顾客应选择方案. （ii）顾客选择方案B，购物金超过50元的概率， 设获得购物金超过50元的人数为，则， 所以这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差. 【变式8-1】在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启用的设备），已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这3台设备中，只要有1台能正常工作，计算机网络就不会断掉，设3台设备的可靠度均为0.7，它们之间互不影响. (1)记能正常工作的设备台数为X，求X的分布列与数学期望； (2)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉会给该产业园带来约500万元的经济损失.为减少给该产业园带来的经济损失，可以升级设备，每台设备的升级费用为2.5万元，升级后可以使设备的可靠性提升到0.8，从总损失期望最小的角度，应该升级几台设备？ 【答案】(1)见解析 (2)升级2台设备，损失最小 . 【分析】 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3， 依题意可知：，所以， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （2）记计算机网络断掉为事件，损失及升级费用为， 若不升级设备，则则万元， 若升级1台设备，则， 万元， 若升级2台设备，则， 万元， 若升级3台设备，则， 万元， 综上可知：升级2台设备，损失最小 . 【变式8-2】第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． (1)求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率． (2)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案： 方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元： 方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元（包含参加初赛的100元），若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好． 【答案】(1) (2)从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好 【分析】 【详解】（1）甲参加市赛的概率为， 乙参加市赛的概率为， 丙参加市赛的概率为， 至少1人参加市赛的概率为：． （2）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且． 所以元， 方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为300、600、900、1200， 则， ， ， ， 所以，． 所以，， 所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好． 【变式8-3】“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率； (2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 【答案】(1) (2)60套 【分析】 【详解】（1）设事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡， （j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖， 则，， 所以. （2）设事件D表示获奖，则， 且，为互斥事件， ， 由（1），， ， ， 又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数， 若促销的30天中预计有360人参加活动，则， 所以，即估计获奖人数的平均值为30， 又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，， 所以商家准备60套书签作为奖品较为合理． 一、单选题 1．已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 2．在次伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以、为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，根据题意得， ， 因为，所以， 因为，化简可得，解得，故， 所以的最大值为. 3．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 二、多选题 4．天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．则（    ）． A．甲地降雨的概率为 B．乙地降雨的概率为 C．在甲、乙两地3天假期中，任意一天仅有一地降雨的概率为 D．设在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，则X的方差为 【答案】BD 【详解】设这段时间内甲乙两地下雨的概率分别为， 由题意得，解得，故A错误，B正确； 在甲、乙两地3天假期中，任意一天仅有一地降雨的概率为：，故C错误； 仅有一地降雨的天数为，则的可能取值为：， 依题意，，故X的方差为，故D正确. 5．（多选）已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应），则（   ） A．的所有取值分别为 B．服从两点分布 C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，的所有取值为， 其中，， 则随机变量的分布列为： 0 1 而服从两点分布，可得； 同理，的所有取值为．， ， 所以随机变量的分布列为， 0 1 而服从两点分布，可得； 而的所有取值为，故A正确， 则， 得到， 可得随机变量的分布列为： 0 1 则服从两点分布，得到，故B正确. 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题 6．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 7．一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中3个红球，6个白球，从袋中有放回地取球，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止.记为5次之内（含5次）取到红球的个数，则的数学期望______________. 【答案】/ 【详解】由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 由n次独立重复试验的概率公式，， 得，， ，， 所以的数学期望. 8．某超市拟定于周年庆当天举办一次有奖促销活动，顾客一次消费满500元可参加一次抽奖活动，规则如下：有甲、乙两个不透明的箱子，甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），获得抽奖机会的顾客先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，规定从乙箱中取出的球是红球的顾客中奖，可获得100元返金券，则抽奖顾客中奖的概率为________；据以往消费记录估计当天约有800位顾客抽奖，记中奖人数为，则________. 【答案】 / 240 【详解】顾客从甲箱中随机取出2个球，可能情况分别为2个红球，1个红球和1个黑球，2个黑球， 若从甲箱中取出2个红球放入乙箱，则乙箱中有3个红球和3个黑球， 则从乙箱中随机取出1个球，取出的是红球的概率为， 若从甲箱中取出1个红球和1个黑球放入乙箱，则乙箱中有2个红球和4个黑球， 则从乙箱中随机取出1个球，取出的是红球的概率为， 若从甲箱中取出2个黑球，放入乙箱，则乙箱中有1个红球和5个黑球， 则从乙箱中随机取出1个球，取出的是红球的概率为， 所以中奖的概率为； 每位顾客是否中奖相互独立，且中奖概率为，所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 9．盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)； (3) Y 2 3 4 5 P ； 【分析】 【详解】（1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； （2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 10．某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】(1)6.7 (2) 1 2 3 ， (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 11．某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； (3)现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 【答案】(1) (2) 1 2 3 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 ； （3）记第次检测到的零件质量指标大于为事件（），则. 要使，需满足下面三个条件： ①第6，7，8个零件的质量指标均大于50； ②第5个零件的质量指标不大于50； ③前4个零件不出现连续3个零件的质量指标大于50. 所以 . 12．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【分析】 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $