专题03 7.3常用分布（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题03 7.3常用分布 目录 【题型一 利用二项分布求分布列】 2 【题型二 二项分布中的最值问题】 4 【题型三 超几何分布的分布列与概率】 7 【题型四 正态分布中指定区间的概率】 9 【题型五 正态分布的实际应用】 10 【题型六 根据正态曲线对称性求参数】 12 【题型七 原则】 12 一、二项分布 （1）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． （2）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 二、超几何分布 （1）超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． （2）超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 三、正态分布 （1）正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 四、正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【题型一 利用二项分布求分布列】 1．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 卡拉旺站 帕达拉朗站 德卡鲁尔站 总计 哈利姆站 5 20 15 40 卡拉旺站 10 20 30 帕达拉朗站 30 30 总计 5 30 65 100 用频率代替概率，根据上表解决下列问题： (1)在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量，求的分布列及其数学期望； (2)已知地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，地居民到哈利姆站乘车的概率为，到卡拉旺站乘车的概率为（地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自地的概率的比值. 2．（24-25高三·上海·随堂练习）小王积极响应国家鼓励青年创业的号召，和朋友合伙开了一家小型工厂，该工厂有4台大型机器，在一年中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相对独立的，出现故障时需要1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为． (1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布； (2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时，能及时维修的概率不小于90％？ 3．（24-25高三·上海·随堂练习）一个学生每天上学途中有6个路口，假设他在各个路口遇到红灯事件是相对独立的，并且概率均为，设X为他在途中遇到红灯的次数，求X的分布、期望与方差． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 5．（22-23高三上·河北唐山·期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响. (1)求顾客获得两个奖品的概率； (2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望. 【题型二 二项分布中的最值问题】 1．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西·期中）已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 4．（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【题型三 超几何分布的分布列与概率】 1．（25-26高三上·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这40名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望（结果用最简分数表示）． 2．（24-25高三·上海·课堂例题）端午节吃粽子是我国的传统习俗之一．设一个盘子中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设表示取到的豆沙粽个数，求的期望． 3．（24-25高三·上海·课堂例题）在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任取2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值（单位：元）的期望． 4．（2024·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 5．（2023·陕西铜川·一模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组，3份；第二组，8份；第三组；第四组；第五组，4份；已知其中得分高于60分的问卷份数为20． (1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率； (2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望． 【题型四 正态分布中指定区间的概率】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 2．（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 3．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 4．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·上海·课后作业）设为任取的某袋有包装误差的产品的质量，分别求，及的概率.（结果精确到，，，）. 【题型五 正态分布的实际应用】 1．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 2．（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差. ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数） ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001） 附：①；②若，则③ 5．（23-24高二下·广东惠州·期末）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 【题型六 根据正态曲线对称性求参数】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）设，已知随机变量，随机变量.若，则 . 2．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，则 （用表示）. 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 4．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【题型七 原则】 1．（23-24高三上·全国·阶段练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ． 参考数据：若，则，，． 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为 . （附：若，则，，） 3．（2024高三·全国·专题练习）某高校为了了解A省录取到该校的2020届新生中数学成绩的分布情况（总分150分），从新生中随机抽取30名同学的数学成绩，统计如下：，5人；，4人；，10人；，5人；，6人． (1)求这30名同学中数学成绩的样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若这30名同学的数学成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数． （ⅰ）求； （ⅱ）某专业共录取该省20名同学，即表示这20名同学中数学成绩超过128分的人数，利用（ⅰ）的结果，求的数学期望（精确到个位）． 附：若随机变量服从正态分布，则， 4．（23-24高二下·山东泰安）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表. 分组 频数 3 15 42 42 15 3 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率. (1)若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望； (2)若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 5．（24-25高二·全国·课后作业）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87  87  88  92  95  97  98  99  103  104 设这10个数据的平均值为，标准差为． (1)求与． (2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布． ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字） ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由． 参考数据：若，则，，取． 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 2．（24-25高三·上海·随堂练习）设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 . ①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 ②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 ④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X的概率是 4．（24-25高三上·云南昆明·期末）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？之后帕斯卡邀请费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，当时这三位全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答：若出现无人先赢局，赌博就意外终止的情况，则甲，乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.当时，若，则赌徒乙最多可获得 元. 5．（24-25高二上·四川成都·期中）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 . 6．（24-25高二下·全国·课后作业）某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 . 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 9．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 10．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 二、单选题 11．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（    ） A． B． C． D．单调递减 13．（23-24高二下·山东青岛·期中）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 14．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 三、解答题 15．（24-25高三上·河南许昌·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 16．（24-25高二上·辽宁·期末）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 17．（24-25高三下·湖南·开学考试）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有，且，有成立，则称为在下的一个极大似然估计． (1)（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计； （ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计． (2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成立的条件． 18．（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． (1)求； (2)求； (3)已知，证明：随着n的增大而增大． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 7.3常用分布 目录 【题型一 利用二项分布求分布列】 2 【题型二 二项分布中的最值问题】 8 【题型三 超几何分布的分布列与概率】 14 【题型四 正态分布中指定区间的概率】 18 【题型五 正态分布的实际应用】 22 【题型六 根据正态曲线对称性求参数】 26 【题型七 原则】 28 一、二项分布 （1）二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，. 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作． （2）二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 二、超几何分布 （1）超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，. 其中，，，，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布． （2）超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率). 三、正态分布 （1）正态分布 若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为. 四、正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值. 特别地，， ， . 上述结果可用右图表示. 此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 【题型一 利用二项分布求分布列】 1．（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 卡拉旺站 帕达拉朗站 德卡鲁尔站 总计 哈利姆站 5 20 15 40 卡拉旺站 10 20 30 帕达拉朗站 30 30 总计 5 30 65 100 用频率代替概率，根据上表解决下列问题： (1)在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量，求的分布列及其数学期望； (2)已知地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，地居民到哈利姆站乘车的概率为，到卡拉旺站乘车的概率为（地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自地的概率的比值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、乘法公式 【分析】（1）首先求出样本中从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率，即可得到，根据二项分布的概率公式求出分布列，再计算其期望即可； （2）记事件：该乘客来自地；记事件：该乘客在哈利姆站上车；记事件：该乘客在卡拉旺站上车，依题意得到，，，，再由概率乘法公式得到，从而得到. 【详解】（1）从卡拉旺站上车的乘客到德卡鲁尔站下车的概率， 根据频率估计概率，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人， 则这3人到德卡鲁尔站下车的人数，即的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 则； （2）由表中数据可知，在高铁离开卡拉旺站时，在哈利姆站上车的有35人，在卡拉旺站上车的有30人. 记事件：该乘客来自地；记事件：该乘客在哈利姆站上车；记事件：该乘客在卡拉旺站上车； ，，，， 从哈利姆站上车的乘客中是来自地的概率为，从卡拉旺站上车的乘客中是来自地的概率为， ，， ， ， ， 在高铁离开卡拉旺站时，所求概率的比值为. 2．（24-25高三·上海·随堂练习）小王积极响应国家鼓励青年创业的号召，和朋友合伙开了一家小型工厂，该工厂有4台大型机器，在一年中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相对独立的，出现故障时需要1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为． (1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布； (2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时，能及时维修的概率不小于90％？ 【答案】(1)答案见解析. (2)至少有3名工人． 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用二项分布求分布列 【分析】（1）分析得出X服从二项分布，然后用二项分布的概率公式求解概率，进而得到分布列即可. （2）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件，对于分情况讨论，求出概率判断即可. 【详解】（1）一台机器是否出现故障可看作一次试验，在一次试验中，设机器出现故障为事件A，则事件A的概率为， 该厂有4台机器，即进行4次独立重复试验， 用X表示出现故障的机器台数，故X服从二项分布，那么 ， ， ， ， ， 所以X的分布为 X P （2）设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为事件，则， ，， ， ， 因为，所以至少有3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修的概率不小于90％． 3．（24-25高三·上海·随堂练习）一个学生每天上学途中有6个路口，假设他在各个路口遇到红灯事件是相对独立的，并且概率均为，设X为他在途中遇到红灯的次数，求X的分布、期望与方差． 【答案】分布列见解析，， 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据题意可知X服从二项分布，则，即可求出相应概率从而求得分布列，相应数据代入公式及求出期望与方差. 【详解】根据题意可知，X服从二项分布， 则，， ，， ，， ， 所以X的分布为， 0 1 2 3 4 5 6 ，． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用二项分布求分布列、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】 （1）写出随机变量X的所有可能取值，利用二项分布求出对应的概率即可列出对应的分布列； （2）利用对立事件求出学生在途中没有遇到一次红灯的概率为，即可求得结果. 【详解】（1）根据题意可知，途中遇到红灯的次数服从二项分布， 易知X的所有可能取值为， 可知， , , , , , ； 所以X的分布为 0 1 2 3 4 5 6 （2）由（1）可知，这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为， 所以途中至少遇到一次红灯的概率为. 5．（22-23高三上·河北唐山·期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响. (1)求顾客获得两个奖品的概率； (2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列详见解析，数学期望为 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. （2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）顾客获得两个奖品的概率为： . （2）个顾客没有获奖的概率为， 所以，则的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 【题型二 二项分布中的最值问题】 1．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立重复试验的概率问题 【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 2．（23-24高二下·广西·期中）已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据二项分布的概率公式得到，即可求出取最大值时的值即，再计算排列数即可. 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、频率分布直方图的实际应用、求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 4．（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 【答案】(1)分布列见解析，5 (2) (3)25个 【知识点】错位相减法求和、利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可； （2）由题意可得这人中只有1人得到2个书签，所以，利用错位相减法求和即可； （3）设得到1个书签的人数为，则得到书签的总个数，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得书签的总数的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 . （2）因为这人得到书签的总数为个（）， 所以其中只有1人得到2个书签， 所以， 则 所以 两式相减得 ， 所以． （3）在这20名学生中，设得到1个书签的人数为，则得到2个书签的人数为， 所以得到书签的总个数， 此时得到书签的总个数为的概率为， 所以，整理得，解得， 而，，所以，所以， 所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理． 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、服从二项分布的随机变量概率最大问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用分层抽样得到抽取的12名学生中位于和的人数，得到可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望； （2）由频率分布直方图求解出每天的运动时间不低于40分钟的频率，得到，故，令，得到不等式组，计算出答案. 【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有， 即， 化简得，解得， 因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【题型三 超几何分布的分布列与概率】 1．（25-26高三上·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这40名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）使用间接法，计算这3名学生中没有学生参加培训次数相等的概率后用1减去即可得； （2）求出可能取值及其对应概率即可得其分布列，由分布列即可得其期望. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， ， ， 则随机变量的分布为， 所以的期望． 2．（24-25高三·上海·课堂例题）端午节吃粽子是我国的传统习俗之一．设一个盘子中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设表示取到的豆沙粽个数，求的期望． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据排列组合求解个数，即可由古典概型的概率公式即可求解， （2）根据超几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】（1）令事件表示“三种粽子各取到1个”，则有； （2）的所有可能值为0、1、2，且，，． 综上知，的分布为，故． 3．（24-25高三·上海·课堂例题）在一次购物活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张中任取2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值（单位：元）的期望． 【答案】(1) (2)（元） 【知识点】超几何分布的均值、利用对立事件的概率公式求概率、求超几何分布的概率、超几何分布的分布列 【分析】（1）借助间接法，先计算顾客未中奖的概率后用1减去即可得； （2）得出的可能取值并计算相应概率即可得其分布列，即可得其期望. 【详解】（1），即顾客中奖的概率为； （2）的可能取值为0、10、20、50、60， ，，， ，， 故的分布为， 则（元）． 4．（2024·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 【答案】(1)68 (2)①分布列见详解，；②选择方案二更划算. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、超几何分布的均值、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可； （2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断. 【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为： . （2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为； 摸到个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为， 因为， 所以， 的分布列为： X 800 900 1000 P 所以（元）. ②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为， 因为， 所以，Y的分布列为： Y 800 900 950 P 所以，（元） 因为，所以选择方案二付款更划算. 5．（2023·陕西铜川·一模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组，3份；第二组，8份；第三组；第四组；第五组，4份；已知其中得分高于60分的问卷份数为20． (1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率； (2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意可得第四组有16份问卷，所取两份问卷分差不低于20分，故在第二组与第四组中各取一人，由古典概型的计算公式即可求解； （2）随机变量X取值为0，1，2，3，4，求出各变量对应的概率，即可得到分布列与期望. 【详解】（1）由于成绩在的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20， 故第四组有16份问卷. 由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人， 故所求概率为． （2）由题意知随机变量X取值为0，1，2，3，4． ， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 所以期望． 【题型四 正态分布中指定区间的概率】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】/ 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 【答案】10 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 3．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 4．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）设为任取的某袋有包装误差的产品的质量，分别求，及的概率.（结果精确到，，，）. 【答案】答案见解析 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】令，那么，根据标准正态分布的密度函数的性质计算可得，即可求出，其余同理可得. 【详解】令，那么， 而是标准正态分布的密度函数在区间上的面积，它等于函数在区间上的面积减去在区间上的面积. 这样，就有 ， 即. 同样，， 即； ， 即. 【题型五 正态分布的实际应用】 1．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果. 【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为， 又，所以数学分数属于闭区间的概率为， 所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人. 故答案为： 2．（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的定义及性质判断A，B，结合正态分布的对称性及概率计算判断C，D. 【详解】由题意可设，， 由题意可得，，，，所以A，B错误； 因为 ， ， 所以，故C错误； 因为， ，所以，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)6 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、二项分布的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）求出分布列，然后根据定义计算期望值； （3）先利用正态分布的性质计算的概率，然后利用二项分布计算概率. 【详解】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值代表）； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数近似为样本方差. ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数） ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求.（结果精确到0.001） 附：①；②若，则③ 【答案】(1)，； (2)①317户；②0.499. 【知识点】正态分布的实际应用、计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用频率分布直方图求平均数和方差的计算公式求解即可. （2）①根据正态分布的对称性得出，进而得出所求户数；②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数 ； 这2000户农户家庭年收入的样本方差 . （2）①由（1）知，，，农户家庭年收入近似服从正态分布， 所以， 而， 所以这2000户农户家庭年收入超过万元的户数约为317. ②年收入不超过万元的农户家庭数服从二项分布， 所以. 5．（23-24高二下·广东惠州·期末）某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 【答案】(1)159； (2)分布列见解析，期望为19.5. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、正态分布的实际应用、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率 【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得， 因此， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. （2）的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为. 【题型六 根据正态曲线对称性求参数】 1．（23-24高二下·上海·阶段练习）设，已知随机变量，随机变量.若，则 . 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】由，得， 由，且设， 故有，解得，则. 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）设，，若，则 （用表示）. 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的性质，结合条件来找出与的关系. 【详解】已知，其概率密度函数图像关于对称；，其概率密度函数图像关于对称. 对于任意随机变量和，有，已知，所以可得. 设，. 则，. 因为，所以，即. 由于标准正态分布的概率密度函数图像关于对称，所以. 对进行化简求解： . 故答案为：. 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布对称性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【详解】因为随机变量，正数满足， 有对称性可知，即， 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9 4．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由随机变量，且，得，解得， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故答案为： 5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知，若，则实数 . 【答案】4 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据对称性可得：，所以， 故答案为：4 【题型七 原则】 1．（23-24高三上·全国·阶段练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 ． 参考数据：若，则，，． 【答案】0.84/ 【知识点】指定区间的概率、3δ原则、正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】由正态分布的性质可知，有，结合原则即可求解. 【详解】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 又， ， 所以， 所以， 即. 所以抽到“可用产品”的概率为. 故答案为：0.84. 2．（23-24高二下·山东·阶段练习）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为 . （附：若，则，，） 【答案】0.977 【知识点】二项分布的均值、3δ原则、二项分布的方差 【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的原则求解即可. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为,则, 故， ， 由已知得，且,, 因为， 所以,解得， 所以, 故答案为：0.977. 3．（2024高三·全国·专题练习）某高校为了了解A省录取到该校的2020届新生中数学成绩的分布情况（总分150分），从新生中随机抽取30名同学的数学成绩，统计如下：，5人；，4人；，10人；，5人；，6人． (1)求这30名同学中数学成绩的样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若这30名同学的数学成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数． （ⅰ）求； （ⅱ）某专业共录取该省20名同学，即表示这20名同学中数学成绩超过128分的人数，利用（ⅰ）的结果，求的数学期望（精确到个位）． 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】(1)102 (2)（i）；（ii）3. 【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、计算几个数的平均数、3δ原则 【分析】（1）根据题意可求出平均数. （2）（ⅰ）由（1）得，再由正态分布性质可求得，（ⅱ）由题知超过128分的人数符合二项分布，再利用二项分布期望公式从而可求解. 【详解】（1）样本平均数． （2）（ⅰ）由（1）知， ． （ⅱ）由（ⅰ）知，某位同学的数学成绩超过128分的概率为0.15865，则， ． 4．（23-24高二下·山东泰安）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表. 分组 频数 3 15 42 42 15 3 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率. (1)若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望； (2)若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望： (2)这批零件是合格的，将顺利被该公司签收 【知识点】求离散型随机变量的均值、3δ原则 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解； （2）求出与的概率即可求解 【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率， 随机变量的可能取值为，则 ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以 （2）由题意知， ， ， 因为， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布. 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 5．（24-25高二·全国·课后作业）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87  87  88  92  95  97  98  99  103  104 设这10个数据的平均值为，标准差为． (1)求与． (2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布． ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字） ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由． 参考数据：若，则，，取． 【答案】(1)， (2)①0.89121；②需要进一步调试，理由见解析 【知识点】正态曲线的性质、3δ原则、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）结合已知数据，利用平均数公式和标准差公式求解即可， （2）①由Z服从正态分布，可得，然后利用二项分布的性质可求得的值，②由Z服从正态分布，可求出5个零件的内径中恰有一个不在内的概率，然后比较判断即可 【详解】（1）， ， 则． （2）①∵Z服从正态分布， ∴，则， ∴， ∴． ②∵Z服从正态分布， ∴， ∴5个零件的内径中恰有一个不在内的概率为． ∵， ∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在内，出现的频率是0.01287的15倍多， ∴根据原则，需要进一步调试． 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 【答案】/0.6 【知识点】超几何分布的均值 【分析】由题意得的取值为，根据超几何分布计算概率，得到期望值. 【详解】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 2．（24-25高三·上海·随堂练习）设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】由随机变量X服从二项分布，及，求出，再由随机变量Y服从二项分布，则，计算可得. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以， 解得或（舍去）， 又因为随机变量Y服从二项分布， 所以 ． 故答案为: . 3．（23-24高二下·上海·期中）已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 . ①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 ②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 ④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X的概率是 【答案】①④ 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】利用全概率公式可判断①；利用条件概率公式可判断②；利用二项分布的方差可判断③；利用超几何分布的概率公式计算判断④. 【详解】对于①，记事件：第一次摸红球，事件：第一次摸蓝球，事件：第二次摸红球， 则，①对； 对于②，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回， 则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，②错； 对于③，由题意可知，则，③错； 对于④，从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是，④对. 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握全概率公式、条件概率公式与二项分布、超几何分布等相关知识. 4．（24-25高三上·云南昆明·期末）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？之后帕斯卡邀请费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，当时这三位全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答：若出现无人先赢局，赌博就意外终止的情况，则甲，乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.当时，若，则赌徒乙最多可获得 元. 【答案】16 【知识点】独立重复试验的概率问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据题意先得，利用导函数求最值即可. 【详解】由题意知甲先赢了2局，乙赢了1局， 设再进行局乙赢得全部赌注，则可能的取值为或， 当时，甲赢2局，乙赢4局，概率为， 当时，甲赢3局，乙赢4局，概率为 记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”， 则， 令，则， 因为，所以在上单调递减， 所以， 又，故赌徒乙最多可获得16元. 故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题关键是结合题意，求得在甲赢2局乙赢1局的基础上，乙获得全部赌注的概率，即在甲未赢4局的前提下，乙赢得4场的概率.分析可知，需要再进行3局或4局，分别得到对应概率即可得到乙获得全部赌注的概率，进而利用导数求最值. 5．（24-25高二上·四川成都·期中）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】分（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁，（2）甲胜乙丁，平或负丙，（3）甲胜丙丁，三种情况分别分析，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 【详解】（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁： ① 乙胜丙，且乙平或负丁，概率为； ② 乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为． 因此，（1）概率为． （2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为． （3）甲胜丙丁： ① 甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为； ② 甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为； ③ 甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为， 因此，（3）概率为． 综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意，甲队胜两场且乙队胜一场，可分为甲胜乙丙，且甲平或负丁；甲胜乙丁，平或负丙；甲胜丙丁三种情况分析，分别由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【答案】42 【知识点】求超几何分布的概率、计数原理与概率综合 【分析】求使得最大时的，记，以判断 的单调性及最大值得解. 【详解】设班级学生的总人数为，且，则， 记，则， 易得， 由可得， 所以当时，，当时，， 所以的最大值在时取到， 所以估计班级学生的总人数为42人． 故答案为：42. 7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 . 【答案】1250 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】由题意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】由题意知，所以，， 若，则， 即，即， 由切比雪夫不等式知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内， 则，解， 所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 故答案为：1250 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的应用，解题的关键是将变形为，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 【答案】400 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据二项分布计算数学期望及方差，最后结合已知新定义计算求解. 【详解】由题意知：成功次数，所以，， 要使，则，即：， 由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内， 则，所以抛掷的次数的最小值为400. 故答案为：400. 9．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（若随机变量服从正态分布，则），则下列结论正确的序号是 ． ①；②；③；④ 【答案】②③ 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案. 【详解】由题意可知，， 所以， 所以， 所以①错误，②正确． 因为，所以， 所以 ，所以，所以③正确，④错误． 综上，答案为②③． 故答案为：②③． 10．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 【答案】 【知识点】指定区间的概率、二项分布的均值 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可；利用公式把二项分布转化为标准的正态分布，然后利用正态分布的概率公式求解即可. 【详解】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布， 所以（次）， 故该同学投中次数的期望为20次； ②由该同学n次投篮总得分在区间， 则该同学n次投篮命中次数在区间， ， 又因为，所以， 根据服从标准正态分布，可知，所以， 则n需满足， 故n的最小值为， 故答案为：；. 二、单选题 11．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 12．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（    ） A． B． C． D．单调递减 【答案】C 【知识点】二项式的系数和、独立重复试验的概率问题 【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，由此可判断ABC，判断和的大小即可判断的单调性，从而判断D. 【详解】由题意，设甲获胜的局数为，则，， 故甲赢得比赛的概率为： ， 又因，， 所以， 故，故C正确； ，故A错误；，故B错误； 因为，所以， 又因为， 所以，所以，即单调递增，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用二项式定理的性质以及独立事件的乘法公式得出. 13．（23-24高二下·山东青岛·期中）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 【答案】D 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项式定理与数列求和、奇次项与偶次项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系. 14．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、离散型随机变量的方差与标准差、二项分布的方差 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 三、解答题 15．（24-25高三上·河南许昌·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）；（ii） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案； （2）（i）由利用导数求出最大值可得答案；（ii）分析每名学生获得的奖金的期望，求和解不等式即可. 【详解】（1）由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为； （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得. 【点睛】关键点睛：第二问解题关键点是利用导数研究单调性，可得极大值. 16．（24-25高二上·辽宁·期末）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)答案见解析，2， (2)（i）；（ii）答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分第原系统中至少有4个元件正常工作；原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，求得，通过作差判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以， 则， 所以当时，， 即增加2个元件设备正常工作的概率变大， 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大， 又因为，所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，，是解题的难点与关键. 17．（24-25高三下·湖南·开学考试）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有，且，有成立，则称为在下的一个极大似然估计． (1)（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计； （ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计． (2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)（i）；（ii）5或6 (2)证明见解析，等号能成立的条件为． 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）（i）根据二项分布的定义写出的表达式，再求其最值即得； （ii）根据二项分布的定义求得，利用数列的单调性，即得在或时取得最大值，即得； (2)先判断服从二项分布，求得，求出，判断的单调性，按照是否为整数分情况讨论推理得到即可. 【详解】（1）（i）由题意可得， 故当时取最大值，其极大似然估计为． （ii）由题得，且， ， 令，则， 其中．当时，，则； 当时，有；当时，，故在或时取得最大值， 则在下的极大似然估计为5或6． （2）显然有，设次点击后获得的积分为随机变量，由题可知服从二项分布， 则， 设， 则． 当，即时，， 当时，，当时，． ① 若为整数，则对的极大似然估计为和，满足，当时等号成立， ② 若不为整数，记为小于的最大整数，则， 当时，；当时，， 则的极大似然估计为，故. 综上可得：，等号能成立的条件为． 18．（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． (1)求； (2)求； (3)已知，证明：随着n的增大而增大． 【答案】(1)6 (2) (3)证明见解析 【知识点】二项分布的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的期望表示 【分析】（1）如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求； （2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论； （3）由（2）可知，可求得，进而可得. 【详解】（1）在事件发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂， 则，， 所以，． （2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后， 有个个体分裂，则的取值为． 在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目， 则且． 因此． 设的取值集合为，则由全期望公式可知 ． 这表明是常数列，所以． （3）由（2）可知 ， 这表明是公差为10的等差数列． 又因为，所以， 从而． 可以看出，随着n的增大而增大． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是理解期望与方差的计算公式以及题意，尤其是二项分布的期望公式. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$