专题10 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式（六大压轴题专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题10 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 目录 典例讲解 类型一、条件概率 类型二、乘法公式 类型三、条件概率性质的应用 类型四、全概率公式及其应用 类型五、贝叶斯公式及其应用 类型六、全概率公式与递推数列 压轴专练 类型一、条件概率 处理方式： 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 【例1】某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 【例2】一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 【变式1-1】已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件. 则， ， 所以. 故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为. 【变式1-2】已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以. 【变式1-3】某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. (1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率； (2)求比赛结束后乙获胜的概率； (3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率. 【答案】(1); ; ; (2) (3) 【分析】 【详解】（1）记回答1道题时，乙的得分为， 则， ， ， 即乙得 10 分、0 分、分的概率分别为，， . （2）根据条件，比赛结束后乙获胜时，乙的总得分可能为30分，20分，10分，对应的事件分别记为，，，乙获胜记为事件，则 因此. 由条件得： 类型二、乘法公式 处理方式：乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 【例3】已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为_____． 【答案】 【详解】设患该种疾病为事件，血检呈阳性为事件，依据题意得，，根据条件概率， 得. 故答案为： 【例4】某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【答案】A 【详解】设第一关通过为A，第二次通过为B， 则，， 所以. 故选：. 【变式2-1】质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【答案】0.68 【详解】设事件表示对此建筑构件第一次打击后没有受损，事件表示对此建筑构件第二次打击后没有受损， 则表示对此建筑构件实施两次打击且没有受损， 由题可知：，，故. 故答案为：. 【变式2-2】设随机试验每次成功的概率为p，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为，则____________． 【答案】 【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为， 则，解得或（舍去）. 故答案为： 【变式2-3】袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为__________. 【答案】 【详解】设事件为第一次摸到白球，事件为第二次摸到黑球， 则， 故. 故答案为： 类型三、条件概率性质的应用 处理方式：条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 【例5】已知，，，则______. 【答案】/ 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 【例6】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 【变式3-1】已知随机事件，，若，，，则_________. 【答案】 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 【变式3-2】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，，所以，. 因为与为互斥事件，所以， 所以 ， 所以， 故，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，， 所以，故D错误. 故选:AB. 【变式3-3】已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 类型四、全概率公式及其应用 处理方式：某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 【例7】已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记“恰好命中1次”为事件，记“抽取的球员为主力球员”为事件. 由题意得，. ，， 则. 【例8】采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则， 则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 【变式4-1】若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最小值为. 【变式4-2】某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 【变式4-3】现有个箱子，每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球，其余为黑球，在这个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则_____． 【答案】9 【详解】记“选到第个箱子”为事件， “从箱子中依次选出3个小球且第3个小球是黑球”为事件，则， 每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球和个黑球， 又因为从箱子中依次选出3个小球，每次选到黑球的概率相等， 所以第3次选出的小球恰为黑球和第1次选出的小球为黑球的概率都是， 由全概率公式， , 解得． 故答案为：9. 类型五、贝叶斯公式及其应用 处理方式：若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 【例9】（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 【例10】学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 【变式5-1】学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 【变式5-2】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . 【变式5-3】某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 【答案】， 【详解】设第条流水线生产的产品，；抽到不合格品， 则， ． ①． ②． 所以恰好抽到不合格品的概率为，该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为. 类型六、全概率公式与递推数列 处理方式：通过全概率公式建立状态转移递推关系，将概率问题转化为数列模型，通常涉及马尔科夫链或一维随机游走模型，通过设定状态变量（如第n次处于某状态的概率），利用全概率公式推导相邻项的递推式，再通过构造等比数列或其他数列通项公式方法求解，核心是将概率的动态转移过程转化为数列的递推关系并解通项 【例11】每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）设“第天选择游泳”，则“第天选择跑步”， 依题意，，，， 由全概率公式，得； . （2）由（1）得，，，， 由全概率公式，得， 则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以的表达式为. 【例12】某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，． 【分析】 【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 【变式6-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 【答案】 【详解】甲乙口袋均取到黑球，或均取到白球，所以， 当（）时， ， 整理得，其中， 故是公比为的等比数列，所以， 故； 【变式6-2】已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）由题意，质点的初始位置为A，A不在底面上． 移动1次后，质点的位置． 从顶点A出发，有3条棱，分别通向， 这三个顶点都在底面上．故． 移动2次后，质点的位置． 第1次移动后，质点必在三点之一，且等可能性，概率均为； 若第1次到了B（概率）：从B出发，有3条棱，分别通向． 其中在底面，A不在．所以从B出发，下一步仍在底面的概率为； 若第1次到了C或情况与B完全对称，下一步仍在底面的概率也为； 由全概率公式得． （2）由题意知移动n次后，质点在底面上的概率为．则质点在顶点A的概率为． 若第n次后在底面（概率），且第次移动后仍留在底面． 从底面任意一点出发，有2条棱连向底面另两点，1条棱连向A，故留在底面的概率为； 若第n次后在顶点A（概率），且第次移动后到达底面． 从A出发，3条棱都连向底面，故到达底面的概率为1． 由全概率公式得， 令，即， 得．则， 所以数列是以为公比的等比数列，又． 所以，得. 【变式6-3】某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得 ； 同理. （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第1轮答对，且第2轮到轮结束时挑战未终止； ②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 所以时，， 设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时，， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列. 1．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】D 【详解】对选项A，因为四个箱子中奖品是等可能放置的，因此每个箱子有奖品的概率都相等，即，A错； 对选项B，表示2号箱子中有奖品，因此主持人不能打开2号箱，所以主持人只能从3号和4号箱子中选择一个打开，所以，B错； 对选项C，D，，说明主持人打开了3号箱， 奖品在1号箱子里，主持人可打开2，3，4号箱子，故， 奖品在2号箱子里，主持人只能打开3，4号箱子，故， 奖品在3号箱子里，主持人不可打开3号箱子，故， 奖品在4号箱子里，主持人可打开2，3号箱子，故， 由全概率公式得， ， ， ， 因此C错D正确. 2．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为第天选套餐，为第天选套餐， 则， ； 从而， . 3．（多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 4．（多选）某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：表示第一个数的最大值，即该数本身；表示第一个数的最小值，也即该数本身； 所以，，A正确； 选项B：表示输出的前3个数的最大值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：；所有数均的概率：. 所以，B正确； 选项C：表示输出的前3个数的最小值为3，即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：；所有数均的概率：. 所以，C错误； 选项D：记为事件，即前4个数最大值为6，为事件，前4个数最小值为3. 则. 表示前4个数最大值为6且最小值为3，即所有数均在3到6之间（含3和6）， 所以. 故，D正确. 故选：ABD. 5．（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 6．一个正十二面体，十二个面分别标以数字1到12，任意抛掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 【答案】108 【详解】由事件，事件，从而， 所以，即， 从而有， 又由，即， 从而有， 又由，即， 从而有，故 其中，，故，或. 当时，，，； 故中有且只有一个元素在中，中有且只有一个元素在中， 中另外两个元素为中两奇数或两偶数，满足条件的事件共有. 当时，，，； 故中有且只有两个元素在中，中有且只有两个元素在中， 中另外四个元素为中一个奇数三个偶数或三个奇数一个偶数， 满足条件的事件共有. 当时，，，；此时不满足，不合题意. 综上满足条件的事件的个数为个. 7．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况， 所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 8．某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________． 【答案】/0.375 【详解】已知甲班科技小组：4男2女，共6人；乙班科技小组：3男3女，共6人， 则总人数为，其中男生7人，女生5人； 设事件为“选出的2个学生都是男生”，事件为“选出的2个学生中至少1个是男生”， 已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率为： 事件发生的情况下事件发生的概率，即为， 是的子集， ， ， ． 故答案为：． 9．某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 【答案】/0.375 【详解】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为. 10．已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 【答案】 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 11．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为.规定时，比赛结束且总积分多者获胜.若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以获胜的概率为__________. 【答案】 【详解】若，，且在不超过5局比赛结束的条件下，有两种情况， 第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以4:1获胜，. 其中小明以4:1获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 . 故答案为：. 12．镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设第1天选择羽毛球，乒乓球和篮球的事件分别为， 第二天选择羽毛球的事件为， 由题意，， ， 根据全概率公式得 ； （2）根据贝叶斯公式，所求概率为：； （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由题意无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为， 故对所有均成立，从而选择篮球的概率为， 根据全概率公式，的递推关系为， 代入，，化简得，， 所以， 所以是以为首项，公比的等比数列， 所以，所以. 所以甲第天选择羽毛球的概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 目录 典例讲解 类型一、条件概率 类型二、乘法公式 类型三、条件概率性质的应用 类型四、全概率公式及其应用 类型五、贝叶斯公式及其应用 类型六、全概率公式与递推数列 压轴专练 类型一、条件概率 处理方式： 方法一：利用定义计算条件概率的步骤：(1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 方法二：利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 【例1】某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2】一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【变式1-1】已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. (1)甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率； (2)求比赛结束后乙获胜的概率； (3)求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率. 类型二、乘法公式 处理方式：乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 【例3】已知某种疾病的患病率为，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为_____． 【例4】某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【变式2-1】质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【变式2-2】设随机试验每次成功的概率为p，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为，则____________． 【变式2-3】袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为__________. 类型三、条件概率性质的应用 处理方式：条件概率的性质：设，则（1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 【例5】已知，，，则______. 【例6】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知随机事件，，若，，，则_________. 【变式3-2】（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 类型四、全概率公式及其应用 处理方式：某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 【例7】已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 【例8】采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【变式4-1】若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【变式4-3】现有个箱子，每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球，其余为黑球，在这个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则_____． 类型五、贝叶斯公式及其应用 处理方式：若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 【例9】（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【例10】学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【变式5-1】学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【变式5-2】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【变式5-3】某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 类型六、全概率公式与递推数列 处理方式：通过全概率公式建立状态转移递推关系，将概率问题转化为数列模型，通常涉及马尔科夫链或一维随机游走模型，通过设定状态变量（如第n次处于某状态的概率），利用全概率公式推导相邻项的递推式，再通过构造等比数列或其他数列通项公式方法求解，核心是将概率的动态转移过程转化为数列的递推关系并解通项 【例11】每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 【例12】某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【变式6-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 【变式6-2】已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 【变式6-3】某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 1．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 2．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 3．（多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 4．（多选）某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 6．一个正十二面体，十二个面分别标以数字1到12，任意抛掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________． 7．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 8．某中学有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____________． 9．某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 10．已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 11．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为.规定时，比赛结束且总积分多者获胜.若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以获胜的概率为__________. 12．镇海中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼．请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)已知甲第2天选择羽毛球的条件下甲第1天选择篮球的概率； (3)求甲第天选择羽毛球的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $