专题01 7.1条件概率与相关概率公式（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题01 7.1条件概率与相关概率公式 目录 【题型一 计算条件概率】 2 【题型二 条件概率性质的应用】 4 【题型三 利用全概率公式求概率】 7 【题型四 贝叶斯公式】 11 【题型五 全概率公式与贝叶斯公式综合】 14 一、条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. 二、乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 三、全概率公式 （1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. （2）全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 . 四、贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 【题型一 计算条件概率】 1．（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 . 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示） 4．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 5．（25-26高三上·上海·单元测试）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度及质量都合格．现在任取一件产品，若已知它的质量合格，则它的长度合格的概率是多少？ 【题型二 条件概率性质的应用】 1．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知，，则事件与事件（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．以上均不正确 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知，，，则 . 5．（23-24高二下·江西）已知随机事件，，若，，，则 . 【题型三 利用全概率公式求概率】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 . 2．（25-26高三上·上海·单元测试）某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为 ．（精确到0.001） 3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为 . 4．（24-25高三上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）. 5．（23-24高二上·湖南长沙）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型四 贝叶斯公式】 1．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记“取了次球后停止取球”，则 ； ． 2．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知随机事件A，B，满足，则 ． 3．（24-25高三·上海·课堂例题）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 . 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ． 5．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为 （用分数表示或者保留三位小数）. 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型五 全概率公式与贝叶斯公式综合】 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 2．（23-24高二下·浙江台州·期中）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望； (2)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率. 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份. (1)求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率； (2)若已知抽到的是男生和女生的报名表各1份，用概率公式判断该报名表取自哪一袋的可能性更大. 4．（2024·全国·模拟预测）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． (1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． (2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 5．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 一、填空题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是 . 2．（24-25高三上·河北廊坊·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是 . 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示． 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 ． 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去甲餐厅的概率为 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 . 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是 ． 6．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为 ，第n次传球后球在乙手中的概率为 ． 7．（2024·湖南衡阳·二模）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 二、单选题 8．（2024·广东广州·模拟预测）有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 9．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 10．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 11．（24-25高三上·江西南昌·期末）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 12．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 7.1条件概率与相关概率公式 目录 【题型一 计算条件概率】 2 【题型二 条件概率性质的应用】 4 【题型三 利用全概率公式求概率】 7 【题型四 贝叶斯公式】 11 【题型五 全概率公式与贝叶斯公式综合】 14 一、条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. 二、乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 三、全概率公式 （1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. （2）全概率公式的理解 全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 . 四、贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 【题型一 计算条件概率】 1．（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 故选：B. 2．（2025·上海·模拟预测）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 . 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、计数原理与概率综合 【分析】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，根据条件，利用古典概率公式求得，，再由条件概率公式，即可求解. 【详解】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座， 因为，，所以， 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次.在第一次抽到的条件下，第二次也抽到的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算条件概率、排列数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】记事件第一次抽到，事件第二次抽到，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件第一次抽到，事件第二次抽到， 则，， 因此，. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 【答案】3 【知识点】计算条件概率、独立事件的判断 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 5．（25-26高三上·上海·单元测试）100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度及质量都合格．现在任取一件产品，若已知它的质量合格，则它的长度合格的概率是多少？ 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据条件，利用古典概率公式及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】设事件为“产品的长度合格”，事件为“产品的质量合格”，则事件为“产品的长度、质量都合格”， 又，，， 所以． 【题型二 条件概率性质的应用】 1．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用、事件的运算及其含义、计算条件概率 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知，，则事件与事件（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．以上均不正确 【答案】D 【知识点】独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】利用条件概率公式及对立事件概率得，结合互斥和独立对立事件的性质、概率的基本性质、独立事件判定判断. 【详解】由，又，则， 若与互斥或对立，则，即，而矛盾； 若与相互独立，则，故时两事件不独立； 故选：D 3．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件概率性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知，，，则 . 【答案】/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高二下·江西）已知随机事件，，若，，，则 . 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 【题型三 利用全概率公式求概率】 1．（24-25高三上·上海·开学考试）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是 . 【答案】/ 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】设“任取一件产品，结果是不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，，根据全概率公式可得求解即可. 【详解】由题意可知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05、0.04、0.03和0.02， 设“任取一件产品，结果是不合格品”， “任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，， 根据已知题意得，， ， ， ， ，，，， 根据全概率公式可得 . 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海·单元测试）某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为 ．（精确到0.001） 【答案】0.814/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用条件概率以及全概率计算公式即可求解. 【详解】以表示一批产品中有i件次品，，B表示通过检验， 则由题意得，，，， ，， ，， ，， ．由全概率公式， 得 ． 故答案为：． 3．（24-25高三上·浙江宁波·期末）某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为 . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、由递推关系证明等比数列、利用全概率公式求概率 【分析】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，由全概率公式可得，构造等比数列，求出通项公式即可得答案. 【详解】设表示经过第n次传球后球在甲手中， n次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，⋯， 则有，， 所以 ， 即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时 故答案为： 4．（24-25高三上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）. 【答案】 【知识点】递推法求概率、利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】列举出经2次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算即可求解第一空，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式，结合等比数列的性质可得第二空. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为： 甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9个结果，它们等可能， 2次传球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2个结果，所以概率是， 记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ， 则 ， 于是得，即， 而，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是， 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题第二个空的关键点在于设n次传球后球在甲手上的事件为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可. 5．（23-24高二上·湖南长沙）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可. 【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 而，，两两互斥，和为，，，， 记第二次抽到3号球的事件为B， ． 故选:C． 【题型四 贝叶斯公式】 1．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记“取了次球后停止取球”，则 ； ． 【答案】 【知识点】乘法公式 【分析】（1）根据第一次从两个口袋均取出红球，再根据概率的乘法公式求解即可； （2）依题意前三次取球均不为两个红球，再计算单次取球两个口袋不全为红球的概率，再根据概率的乘法公式求解即可. 【详解】（1）依题意第一次从两个口袋均取出红球，故； （2）依题意前三次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球. 故. 故答案为：； 2．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知随机事件A，B，满足，则 ． 【答案】0或 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】由利用条件概率公式可得，由，利用概率的乘法公式求得，借助于全概率公式求得. 【详解】因  即则或， 当时，由，所以， 满足，符合要求； 当时，∵，又 因,且与互斥， 故,则 ． 所以或. 故答案为：0或. 3．（24-25高三·上海·课堂例题）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 . 【答案】0.8/ 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解. 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分. ，，，， 根据全概率公式得 ，所以， 所以. 故答案为：0.8 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ． 【答案】 0.16 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式和全概率公式求解即可. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 则. 故答案为：；. 5．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为 （用分数表示或者保留三位小数）. 【答案】0.024/ 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故答案为：0.024或 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）把一副洗好的牌（共52张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张A．记事件A为“翻开第3张牌时出现了第一张A”，事件B为“翻开第4张牌时出现了第一张A”，事件C为“翻开的下一张牌是黑桃A”，事件D为“下一张翻开的牌是红桃3”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】A、C选项利用概率的乘法公式即可求解；B、D选项根据题意简化模型，结合全概率公式分析判断. 【详解】由题意得， 故AC均错误； 因为与其他牌无关，模型可以简化为4张A和一张红桃3， 可知翻出第一张A有如下4种可能：第一张为黑桃A、第一张为非黑桃A也非红桃3、 第一张为红桃3且第二张为黑桃A、第一张为红桃3且第二张为非黑桃A， 其相应的概率分别为， 则， 即，故B正确，D错误； 故选：B. 【题型五 全概率公式与贝叶斯公式综合】 1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得. 【详解】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 2．（23-24高二下·浙江台州·期中）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同. (1)如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望； (2)先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算条件概率 【分析】（1）由题设的可能值为，并计算出对应概率即得分布列，进而可求数学期望. （2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，的可能值为. ， ， 所以的分布列为 3 4 5 6 所以. （2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件， 则， ，， 由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：. 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份. (1)求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率； (2)若已知抽到的是男生和女生的报名表各1份，用概率公式判断该报名表取自哪一袋的可能性更大. 【答案】(1) (2)该报名表取自第一袋的可能性更大 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，根据题意求出，，，然后利用全概率公式可求出结果; （2）根据条件概率公式分别求出报名表取自第一袋的概率和报名表取自第二袋的概率，比较两个概率的大小可得答案. 【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份， 恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，则，，. 由全概率公式得 . （2）报名表取自第一袋的概率. 报名表取自第二袋的概率. 因为， 所以该报名表取自第一袋的可能性更大. 4．（2024·全国·模拟预测）设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为． (1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率． (2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与条件概率公式计算即可得. 【详解】（1）记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、， “取到的电子元件是次品”为事件， 由题意得， 又， 所以 ； （2）由题意，得， 又， 所以 ， 所以， 故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为． 5．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1) (2) (3)方案一 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、有放回与无放回问题的概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率 . （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 一、填空题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在次运动后这只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是 . 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项、利用全概率公式求概率 【分析】每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，可记事件“第次运动后停留在下底面”，则“第次运动后停留在上底面”，；同时每次运动不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件， 记事件“第次运动后停留在下底面”，则“第次运动后停留在上底面”，， 设，则，则， 所以，即，整理可得， 由，，即是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故时. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出相关事件，应用全概率公式、等比数列的定义得到概率公式为关键. 2．（24-25高三上·河北廊坊·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、构造法求数列通项、利用全概率公式求概率 【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，利用全概率公式求得，再构造等比数列即可得答案. 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，则， 则， 于是，， 由，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以第次投篮的人是甲的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：把投篮是甲的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用全概率公式列式是求解问题的关键. 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示． 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，求出，，利用全概率公式得到答案. 【详解】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”， 则，，， 事件包括的事件是：“3次投掷的点数之和为6"，“3次投掷的点数之和为12”，“3次投掷的点数之和为18”， ①若“3次投掷的点数之和为6”，则有“”、“”、“”三种情形，故共有种； ②若“3次投掷的点数之和为12”，则有“”、“”、“”、“”、“”、“”六种情形， 故共有种； ③若“3次投掷的点数之和为18”，则只有“”一种情形， 则， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键. 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、B存在如下关系，.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6，如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去甲餐厅的概率为 第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 . 【答案】 / 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】设为第一天去甲餐厅，为第二天去甲餐厅，为第一天去乙餐厅，为第二天去乙餐厅，则，然后根据所给公式结合全概率公式求解. 【详解】设为第一天去甲餐厅，为第二天去甲餐厅，为第一天去乙餐厅，为第二天去乙餐厅， 则， 所以，， 所以，， 所以，， 所以王同学第二天去甲餐厅的概率为，第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用和条件概率公式的应用，解题的关键是灵活应用所给公式结合题意求解即可，考查计算能力和分析问题的能力，属于较难题. 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项、利用全概率公式求概率 【分析】记事件表示从第个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式即得. 【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 6．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为 ，第n次传球后球在乙手中的概率为 ． 【答案】 / 【知识点】计算古典概型问题的概率、递推法求概率 【分析】利用样本空间法，通过列举的方法计算概率；首先设第次传球后在乙手中的概率为，以及第次传球道甲或丙手中的概率为，求解关于数列的递推关系式，通过构造法求数列的通项公式. 【详解】每次传球都有2种可能，传球3次有种传球过程， 其中第3次传给乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3种传球过程，所以第3次传球后球在乙手中的概率为； 设第次传球后在乙手中的概率为，则第次传球道甲或丙手中的概率为， 故， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，即. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分析传到乙之前是从甲或丙传过去，所以需分析传到甲和丙的概率，从而得到递推关系式. 7．（2024·湖南衡阳·二模）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果. 【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果. 二、单选题 8．（2024·广东广州·模拟预测）有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：C 【点睛】方法点睛：设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，，利用的值，判断和的大小关系. 9．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知： ，， 故. 故选：C. 10．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案. 【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果， 因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件. 其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为. 同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为. 所以每一轮甲得分低于3分的概率为． 设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分. 则，. 事件可分三类情形： ①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为； ②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为； ③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为. 所以， 所以. 故选：B． 三、解答题 11．（24-25高三上·江西南昌·期末）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】等比数列的定义、等比数列的单调性、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，根据条件求出，再利用全概率公式，即可求解； （2）①设为“第天选择米饭套餐”，根据条件得到，，利用全概率公式得到，即可证明结果；②由①得到，再对分类讨论，利用单调性，即可求解. 【详解】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，则为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意， 由全概率公式得：. （2）①设为“第天选择米饭套餐”，则， 根据题意， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列． ②由①可得， 当为大于的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的第①问，利用全概率公式得到，即可求解. 12．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$