8.2向量的数量积（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

8.2 向量的数量积 题型1 用定义求向量的数量积 1．（25-26高一下·北京平谷·月考）已知向量，满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】，，， 所以. 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知是边长为2的等边三角形，则___________． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质，可得向量的模长以及夹角，根据数量积的定义式，可得答案. 【详解】依题意可知和的夹角为， 所以. 3．（25-26高一下·青海海南·月考）已知，均为单位向量，若，的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，均为单位向量，，的夹角为， 所以. 4．（25-26高一下·广东佛山·月考）已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（    ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【详解】. 5．（25-26高一下·广东深圳·月考）已知是的中线（为的中点），且，则__________． 【答案】 【详解】由题意，， 所以， 所以. 题型2 求投影向量 1．（25-26高一下·陕西延安·月考）在中，，，向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，，所以，. 因为，所以向量在向量上的投影向量为. 2．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知平面向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的夹角为，且， 所以在上的投影向量为． 3．（25-26高一下·内蒙古乌海·月考）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为_____． 【答案】 【详解】. 4．（25-26高一下·上海·月考）已知中，，，，则在方向上的数量投影为________． 【答案】 【详解】在方向上的数量投影为. 5．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的投影向量是______． 【答案】 【分析】结合投影向量的定义求解即可. 【详解】已知，，两向量夹角为， 则 所以在上的投影向量是： 题型3 求向量的模 1．（25-26高一下·黑龙江绥化·月考）已知平面向量，满足，，，则=______ 【答案】12 【详解】因为，，， 所以. 2．（25-26高一下·四川资阳·月考）若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，，，再利用向量的模的公式求解即可 . 【详解】由得，， 由得，，即，所以. 又，所以，即，所以. 所以. 3．（25-26高一下·山东济南·月考）已知向量满足与的夹角为，则_____． 【答案】 【详解】因为 所以. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知向量，满足，，则______. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，再由，进而求得的值. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 又因为，所以，则， 将代入，可得，所以. 题型4 求向量的夹角 1．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知向量，，满足，且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，. 因为，故即，故， 从而，同理， 而， 故. 2．（25-26高一下·上海·月考）已知，，且，则与的夹角为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得. 【详解】， 则，则，故. 3．（25-26高一下·江苏苏州·月考）设非零向量和的夹角为，则“”是“为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，整理得，即， 所以， 又，所以，不一定是锐角，充分性不成立； 和为非零向量，若为锐角，则，则， 即，即，必要性成立. 所以，对非零向量和，则“”是“为锐角”的必要不充分条件. 4．（25-26高一下·天津津南·月考）设，，为平面向量，若，，，且，则与的夹角为______． 【答案】(或) 【详解】因为，即，所以， 所以，又， 所以. 5．（25-26高一下·上海·月考）已知不共线的向量，，其中，，若，则与的夹角为______. 【答案】/ 【详解】因为，则，又，所以， 又，则，又，所以. 题型1 投影法与基底转换求向量的数量积 1．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知为的外心，，，则 __________． 【答案】-10 【分析】首先利用以及向量数量积的运算律把问题转化为，然后利用外心的性质即可求解. 【详解】 ， 取中点，则，在方向上的投影为， 因此， 同理可得：， 所以 . 2．（25-26高一下·河南·月考）在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 【答案】/ 【分析】设，分别为的中点，连接，，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案. 【详解】由题意知的外接圆圆心为，为的中点，则； 设，分别为，的中点，连接，则，， ， 结合，，可知，, 故，即. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）的重心为，外心为，且，则___________． 【答案】 【详解】因为为外心，所以，， 所以， 因为为重心，所以， 则， 所以. 4．（25-26高一下·江苏淮安·月考）已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（    ） A．2 B． C．4 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据向量数量积的几何意义，求出在上投影向量的长，再求出的值即可. 【详解】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 5．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可. 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 题型2 求模长的范围 1．（25-26高一下·河南平顶山·月考）已知非零向量，满足，且，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先通过向量线性变换将，用、表示，再结合数量积运算和夹角公式得到关于的不等式，最后求解不等式得出的取值范围. 【详解】记，， 则，， 因为， 所以， 所以， 设向量，的夹角为， 因为， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 2．（25-26高一下·湖南长沙·月考）已知平面向量满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】解法一：根据向量模公式得，再结合，解对应不等式即可得答案； 解法二：作，，，进而得在以点为圆心，5为半径的圆上，再结合矩形的性质得点D在以点C为圆心，7为半径的圆上，最后根据即可得答案. 【详解】解法一： ，其中为与的夹角． 因为,所以， 所以． 又因为， 所以，解得． 所以的取值范围为 解法二：如图，作，，， 因为，所以在以点为圆心，5为半径的圆上， 以为邻边作矩形． 由矩形的性质可知，，又， 所以，即点D在以点C为圆心，7为半径的圆上， 因此， 所以的取值范围为. 3．（25-26高一下·贵州遵义·月考）已知平面向量，，其中，，，，若为任意实数，则的最小值为________． 【答案】/1.5 【详解】对于任意实数，有， 由于， 代入，得， 故当时，， 因此，的最小值为. 4．（25-26高一下·天津·月考）梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质即可. 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设，由， ， 则， ， 令，则， ， 当时，有. 5．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知点A，B，C，P在同一个平面内，满足：，且，则（1）______；（2）的最小值为______. 【答案】 【分析】（1）由得，即可得解； （2）取中点，进而，再结合即可转化为求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，所以； （2）因为，所以，如图，取中点， ， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以， 当且仅当点与点重合时等号成立， 所以的最小值为. 题型3 求向量夹角的范围 1．（2025高一·全国·专题练习）已知为不共线的单位向量，平面向量满足：，且恒成立，其中为任意实数，则与夹角的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律等价变形给定不等式，可得恒成立，进而利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】由，得 ， 依题意，对为任意实数恒成立， 则对为任意实数恒成立， 因此，解得， 而，则， 所以与夹角的最小值为. 故选：B 2．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律有对任意实数恒成立，再由判别式符号及数量积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围. 【详解】由是单位向量，恒成立得， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则，又， 函数在上单调递减，因此， 所以向量的夹角的取值范围为. 3．（25-26高一下·福建·月考）已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______. 【答案】 【详解】设、的夹角为，由，为单位向量且满足， 可得，解得； 又，，所以， ，， ，的夹角为，则， 所以时，取得最小值为 4．（25-26高三上·河南·月考）两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为________． 【答案】/ 【分析】将两边同时平方得到，再利用向量夹角的余弦值公式，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，两边平方得：， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为． 故答案为：. 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 【答案】 1 【分析】①先根据已知条件求出，然后化简，然后根据数量积的定义确定其最值.②先利用向量夹角的余弦公式求出，然后利用同角的三角函数关系式求出，进而列出的表达式，然后进行化简、换元，根据基本不等式的性质确定最大值. 【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得. 因为，所以. 所以， 设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值， 所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 题型4 根据向量夹角求参 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面内两个不共线的向量和，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 向量与夹角为钝角，则数量积小于0且两向量不反向，即， 展开：  代入：， 再排除共线或反向的情况：若两向量共线反向，则，整理得，， 由于不共线，则系数必为，即，代入，故时需排除， 综上所述，解得的范围为. 2．（25-26高一下·重庆·月考）设向量、满足，，且、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________． 【答案】 【详解】向量、满足，，且、的夹角为60°， 故. 因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线（反向）， 所以且， 解之得：且， 故实数t的取值范围为. 3．（2026·北京东城·一模）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________． 【答案】 【详解】， 因为，所以， 所以； 由于单位向量，满足，即， 因为与的夹角为，所以， 整理可得， 因为，所以. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，与的夹角为，求使与的夹角为锐角的实数的取值范围． 【答案】 【分析】计算出的值，由题意可知，可求出的范围；再考虑与同向时，结合平面向量共线的充要条件以及平面向量的基本定理求出的值.综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，与的夹角为，则， 所以， 令可得，解得． 当与同向时，设． 由已知、不共线，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 5．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知向量，，满足，且，，. (1)求向量与的夹角. (2)是否存在实数，使与垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）因为，所以可变形得到，两边同时取平方，可求出即可由数量积定义公式求解； （2）先列出，再结合向量数量积的运算律展开，代入已知模长和（1）中求得的数量积，即可求解 【详解】（1）∵，∴，∴， ∴，即， ∴. 又∵，所以，即. 又，所以. （2）若，则，即. ∴，∴， ∴存在使得与垂直. 题型1 投影法求数量积的最值 1．（2026高一下·全国·专题练习）已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________． 【答案】/ 【分析】采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案. 【详解】因为 ， 所以 ，则， 固定， 又因为，依次类推画出图象，如图所示： ,,,,. 则，或1，，或2，. 的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值， . 故答案为：. 2．（25-26高一下·陕西延安·月考）如图，圆的半径为，点，在圆的圆周上，则的最大值为________. 【答案】 【分析】取的中点为，根据极化恒等式，数形结合即可求得数量积的最大值. 【详解】连接，取的中点，连接. 则，，当且仅当为圆的直径时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 3．（25-26高一下·安徽滁州·月考）已知正八边形的边长为2，点为正八边形的中心，点是正八边形内一动点（含边界），则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】先通过向量的分配律将表达式合并为，再结合正八边形的性质与向量数量积的几何意义，将最大值问题转化为求投影长度的最大值即可. 【详解】如图，取边的中点，连接和，设与交于点， 则由正八边形的性质易得为的中点， 则， 当点在边上时，在上的投影向量为，此时取得最大值， 因为正八边形的边长为2，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 又， 所以， 所以的最大值为. 【点睛】利用正八边形的对称性，将转化为共线的，把数量积的最大值问题转化为在上的投影最大值，是解决本题的关键. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】取等边的中心为，利用向量的线性运算化简可得，然后结合数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取等边的中心为，的中点为， 则， 因为， 所以，则， 故点在以为圆心，1为半径的圆上． 过作交圆于点，且与方向相同， 由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值， 此时，过点作的垂线，垂足为，易知， 所以． 故选：D． 题型2 基底法求数量积的最值 1．（25-26高一下·四川资阳·月考）在边长为4的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设为未知数，并表达出其他各边，结合平面向量基本定理和数量积运算法则得到最值. 【详解】设，，为边长为4的等边三角形， 且交AB于点，则，，， 因为，，所以， 又，为等边三角形，故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 2．（25-26高一下·山东青岛·月考）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 由圆的性质得， ， 所以当，即，即时， 取得最大值，最大值为. 3．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，，在线段上，满足，在线段上，满足，为线段的中点，则的最大值为____________________． 【答案】/0.375 【分析】建立向量基底并用基底表示目标向量，计算并化简，再利用基本不等式求最大值． 【详解】设， ，， ， ， 即，故， ， ， 由基本不等式得， ，故，当且仅当时取等号， ，故的最大值为． 4．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 题型3 极化恒等式求数量积的最值 1．（25-26高一下·湖南·月考）在中，已知，，，设为线段上一动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据向量的几何关系得到为等腰三角形，，，结合向量数量积的运算律及三角形面积公式求解即可. 【详解】由知，， 故，则为等腰三角形. 设的中点为，则，所以. 又，即，所以， ， 当时，. 故. 2．（25-26高二上·云南曲靖·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】由条件式，利用正弦定理结合三角恒等变换求得，进而得到，，，取的中点，结合极化恒等式来处理. 【详解】由和正弦定理，得， 因为，所以，可得， 则，即， 又，则，故，即， 又，则，，所以， 取的中点，则， 由图知，当时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．（25-26高一下·陕西西安·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 4．（25-26高一下�安徽六安�月考）已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 5．（2026高一�全国�专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】因为，由向量的线性运算可得，又因为整理可得，由此得到的最小值为. 【详解】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.2向量的数量积 题型一用定义求向量的数量积 题型二求投影向量 基础达标题 题型三求向量的模 题型四求向量的夹角 题型一投影法与基底转换求向量的数量积 向量的数量积 题型二求模长的范围 能力提升题 题型三求向量夹角的范围 题型四根据向量夹角求参 题型一 投影法求数量积的最值 拓展培优题 题型二基底法求数量积的最值 题型三极化恒等式求数量积的最值 基础达标题 题型一 用定义求向量的数量积 1.(25-26高一下北京平谷月考)已知向量a,飞满足日=1=2，a与的夹角为5，则(a-列(2a+列等 于() A.-5 B.-3 C.1 D.3 2.(25-26高一下·吉林长春月考)已知ABC是边长为2的等边三角形，则BA.AC= 3.(2526高一下青海将南月名)已知a均为单位向量，若。：Z的夹角为，则66=《) A月 B. C.6 D.万 4.(25-26高一下广东佛山月考)已知平面向量ā，无满足回=6，同=5，a5Z的夹角为石，则 a2b-a=() A.18 B.125 C.-18 D.36-65 1/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6,25.26高下广东深圳月考)已知CD是MABC的中线(D为B的中点》，且CD4B,则 CA.CB= 题型二 求投影向量 1.(2525高-下陕西延安月考)在48C中，A=骨∠B=名，向量C在向量上的投影向量为() 6 C. D.5 2 4 225-26高一下江苏南京月考)己知平面同量a.6的夹角为，ā卡2V56,则á在万上的投影面 为() A.-√36 B.√36 C.-36 D.36 3.(25-26高一下·内蒙古乌海·月考)若非零向量，6满足2b2=ā.6，则ā在6方向上的投影向量为 4.（25:26商一下：上海月考)已知A8C中，4B=10,4C=4,4=牙，则4C在丽方向上的数量投影 为 5.(25-26高一下辽宁沈阳月考)已知=4，C为单位向量，它们的夹角为，则e在a上的投影向量 是 题型三 求向量的模 1.(25-26高-下黑龙江绥化月考)已知平面向量a,无满足日=4，=3，a6=6,则3a-46= 2.(25-26高-下-四川资阳月考)若向量a,无满足a+-日-=2问=4，则宝+2=（） A.√3 B.2√13 C.43 D.813 3.(25-26高一下山东济南月考)已知向量ā，6满足=3，=l,ā与5的夹角为5，则a+=一· 4.(25-26高一下黑龙江哈尔滨月考)已知向量a,E满足a-=5,日+=2a-,则- 题型四 求向量的夹角 1.(25-26高一下江苏南京月考)已知向量a,五，c满足a==1,=V2且a+方+c=0,则向量a-c 和向量)-c的夹角的余弦值为() 4 A5 3 B. 2 D.- 5 C.-4 5 5 2/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高一下.上海月考)已知d=2W5,=5,且2a+)1(a-36),则ā与6的夹角为 3.(25-26高一下江苏苏州月考)设非零向量a和的夹角为0，则a+>a-”是“0为锐角的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高一下·天津津南月考)设ā，6，c为平面向量，若a=1,1b=2,c=a-b,且a1c,则a与 6的夹角为 5.(25-26高一下上海月考)已知不共线的向量ā，6，其中a=2,=3,若(3ā-)16，则a与6的 夹角0为 B 能力提升题 题型一 投影法与基底转换求向量的数量积 1.(25-26高一下·江苏苏州·月考)己知0为△ABC的外心，AB=6,AC=4,则AOBC= 2.(25-26高一下河南月考)在ABC中，AB=3√2，AC=6,D是边BC的中点，O是ABC的外接圆圆 心，则AD.AO= 3.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨月考)ABC的重心为G,外心为0，且AB=3,AC=2,则G0.BC= 4.(25-26高一下·江苏淮安·月考)已知线段AB是⊙0的一条直径，⊙0的半径为R(R>1),点P是00上 的一点且PA=2,则AP.AB=() A.2 B.R2 C.4 D.无法确定 5.(25-26高一上·河北石家庄期末)已知在矩形ABCD中，AB=2√2，点E是边BC的中点，则 AE+ACAB= 题型二 求模长的范围 1.(25-26高一下河南平顶山月考)已知非零向量ā，6满足4(a+26(a-26)=-21,且a+=3,则 a-的取值范围为 2.(25-26高一下湖南长沙月考)已知平面向量a,6,c满足a.万=0，=1，a-=5-c=5,则ā-的 取值范围为 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高一下贵州遵义月考)已知平面向量ā，万，其中a=3,a=0A,6=0B,∠40B=元，若t为 任意实数，则a+b的最小值为。 4.(25-25商-下天津月考)梯形48CD中B平行于CD,B=2,CD=,∠D1B=年，P为腰4D所 在直线上任意一点，则3PB+2PC|的最小值是 5.(25-26高一下江苏苏州月考)己知点A,B,C,P在同一个平面内，满足：AB.AC=AB=9,且 AP=1,则(1)LABC=;(2)2BP+CB的最小值为 题型三 求向量夹角的范围 1.(2025高一全国专题练习)已知G,g为不共线的单位向量，平面向量a满足：1a},且 1ā-5e+ke,上3恒成立，其中k为任意实数，则E与巴夹角的最小值为(). A B 3 D.Sx 6 2.(2526高一下满北成宁期中)已知G,6为单位向量，若对任意实数x小日-恒成立，则向量日 的夹角的取值范围为 3.(25-26高一下·福建月考)已知平面单位向量e,e满足2g-esV2,设d=+e,b=3+e2,向量 a,b的夹角为O,则cos0的最小值是 4.(25-26高三上河南月考)两个非零向量a,五，满足a+=2a-,则向量a与向量6夹角的余弦值 的最小值为 5.(25-26高一上广东深圳期末)若平面向量a,E满足a-=a,同=2，则当(3a+列(a+2)最小时， 园-；记30+万与a+25的夹角为6，则tan0的最大值为 题型四 根据向量夹角求参 1.(25-26高一下黑龙江哈尔滨月考)已知平面内两个不共线的向量a和万，=25=2，且ā和万的夹角 为写，若石+6与2场-后的夹角为钝角，则实数k的取值范甜为(） c(得+j 。〔，（到 2.(25-26高一下重庆月考)设向量ā、6满足|d=1,=2,且ā、6的夹角为60°，若向量a-26与向 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 量石+b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 3.（2026北京东城一模)设单位向量ā，6满足aLb.若=a+2b,则=；若a+b与a+b的 夹角为行且>1，则实数！ 4.(25-26高一下全国课后作业)已知d=1,同=2，a与6的夹角为120°，求使a+kb与ka+b的夹角为 锐角的实数k的取值范围， 5.(25-26高-下-河南新乡月考)已知向量a,石，c满足a+b+c=0,且日=3，同=5，日=7 (1)求向量a与的夹角Θ (2)是否存在实数u,使μa+b与ā-2b垂直？若存在，求出u的值；若不存在，请说明理由 拓展培优题 题型一 投影法求数量积的最值 1.(2026高一下全国专题练习)已知平面向量a,a,a,a,a,a6两两都不共线.若a=口-a=1, = 可mie2345,4回++++a的最大能是 2.(25-26高一下.陕西延安·月考)如图，圆C的半径为2，点A,B在圆C的圆周上，则AB.AC的最大值 为 B 3.(25-26高一下·安微滁州·月考)己知正八边形ABCDEFGH的边长为2，点O为正八边形的中心，点P是 正八边形内一动点（含边界），则OA.PA+OF.PA的最大值是 4.(25-26高三上湖南长沙月考)已知ABC是边长为4的等边三角形，点P是ABC所在平面内的一点， 且满足AP+BP+CP=3,则4亚.AB的最大值是() A.8+2√5 B.8 C.l63 D.12 3 5/7 函学科风网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二 基底法求数量积的最值 1.(25-26高一下·四川资阳·月考)在边长为4的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、DE⊥AB且 交AB于点E.DFIIAB且交AC于点E,则(DE+DFDA的最小值为· 2.(25-26高一下山东青岛月考)ABC中，AB=2,∠4CB=,0是ABC外接圆圆心，则 OC.AB+CA.CB的最大值为() A.3 B. C.4 D.3 3 3.(25-26商一下浙江宁波开学考试)在ABC中，∠48C-号AC=1,D在线段AB上，满足 D-号B丽，E在线段CD上，满足D死-号D元，F为线段4C的中点，则正酽的最大值为 4.(25-26高一下·全国单元测试)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE ,BE=1BA+μBC,则2+4= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF.DG的最小值 为 题型三 极化恒等式求数量积的最值 1.(25-26高-下南月考)在ABC中，已知(AB+ACBC=0,AB-AC=2万，AB+AC=62, 设D为线段AC上一动点，则DB.DC的最小值为 2.(25-26高二上云南曲靖月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 √2c=asin C+ccosA,a=b=√2，E为边BC上的动点，则EA.EB的最小值为· 3.(25-26高一下陕西西安月考)在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC=,点E是AB的中点，点F在线段 3 BD上（包含端点），则FCFE的取值范围为() B.[1,9 99 c.[0,9] D. 9 641 因为0≤1≤1，所以FC.FE的取值范围是 4.(25-26高一下？安徽六安？月考)己知ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 PA:PB+PC)的最小值是 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2026高一？全国？专题练习)设P是ABC所在平面内的一点，若2AP-BP-CP=2,则 PAPB+PA,PC的最小值为 717