第11讲 向量的数量积（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第11讲 向量的数量积（练习） 夯实基础 1．（2021·福州第十五中学高一月考）已知菱形中，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理，由题中条件，用和表示出与，再由向量数量积的运算法则，根据题中数据，可直接得出结果. 【详解】由题，， 所以，， 所以， 在菱形中，，， 则，，， 所以. 故选：B. 【点睛】思路点睛： 求解平面图形中的向量数量积问题时，一般需要利用已知模与夹角的向量表示出所求向量，再由向量数量积的运算法则，即可求解. 2．（2021·天津静海区·静海一中高一月考）在中，，，则为（ ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 【答案】D 【分析】根据向量数量积的代数表示和运算，判断的形状. 【详解】， ，（点是的中点）， 是等腰三角形， 又 ，即， ，， 是等腰非等边三角形. 故选：D 3．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影的定义求解． 【详解】由题意所求投影的模为． 故选：B． 二、填空题 4．（2015·湖北武汉市·）在△中，三边长分别为AB=7，BC=5，AC=6，则______． 【答案】－19 试题分析：由余弦定理可知 考点：1．三角形余弦定理；2．数量积运算 5．（2017·瓦房店市高级中学（文））与向量垂直的单位向量为______________________． 【答案】或 【详解】设这个向量为 ， 根据题意,有 ， 解得： ， 故 . 6．（2019·全国福州三中高一期末）已知向量，，则向量在方向上的投影为___________. 【答案】 【分析】直接利用投影的定义求在方向上的投影. 【详解】因为，，设与夹角为，， 则向量在方向上的投影为： . 所以在方向上的投影为 故答案为：. 7．（2021·福州第十五中学高一月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________． 【答案】 【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可. 【详解】∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵, ,， 故答案为：. 三、解答题 8．（2019·福建省福州第八中学高一期末）在直角坐标系中，已知点和点，其中，若与垂直，求的值. 【答案】或 【分析】由向量垂直的条件，可得，代入坐标，求解的值，检验向量是否为零向量. 【详解】解：，， ，， 即， ， ，或， ，所以的值为或， 当时，，，满足 当时，，，满足 所以的值为或. 9．（2019·福建省福州格致中学高一期末）请回答下列问题． （1）已知平面向量，，若，求实数的值． （2）已知平面向量，，若，，且，求与的夹角． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先利用平面坐标运算写，再根据共线设，结合坐标运算解出参数即得结果； （2）根据模长化简计算，解得，再结合角的范围求得夹角即可. 【详解】解：（1）∵，， ． 由，则， ∴，则， 解得，， 所以； （2）∵平面向量，，，，，∴， 故 ，解得， 而，故为． 10．（2020·南昌县莲塘第三中学高一期末）已知，. （1）若，求； （2）若，的夹角为，求. 【答案】（1）详见解析；（2）1. 【分析】（1）根据向量平行可知两向量的夹角为或，再根据向量数量积的定义求解；（2）根据模的公式可知，代入数量积的公式求解. 【详解】（1），与的夹角是或， 当夹角为时，， 当夹角为时，； （2） . 能力提升 1．（2020年全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【警示】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【解析】，，，. ， 因此，.故选：D. 【叮嘱】 (1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 2.已知向量 , 则ABC=____. 【解析】由题意 3.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为__. 【解析】 4.已知与平行，则值的个数是________． 【错解】由得，即，解之得（舍），∴的值只有一个． 【错因】零向量与任一向量平行，当时，为零向量，也与平行． 【正解】由得，解得，∴的值应有两个． 5.在中,,则的值为 ( ) A 20 B