6.2.4 向量的数量积 第1课时 （题型专练）数学人教A版必修第二册

6.2.4 向量的数量积 第1课时 （答案版） 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 1.BCD 2．ACD 3．BD 4.CD 题型二：投影向量 1.AB 2．BC 3.BCD 4.ACD 题型三：用定义求向量的数量积 1.ABD 2．ACD 3.BD 4.AB 题型一：平面向量数量积的几何意义 1.CD 2．AB 3．BC 4.AB 题型二：求投影向量 1.BC 2．ABD 3．ABD 4.ABD 1.BD 2．ACD 3．ABD 4.AD 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.2.4向量的数量积第1课时 题型一：平面向量数量积的 定义及辨析 基础达标题 题型二：投影向量 题型三：用定义求向量的数 6.2.4向量 量积 的数量积第1 题型一：平面向量数量积的 几何意义 课时 能力提升题 题型二：求投影向量 拓展培优题 基础达标题 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 1.（多选题)(24-25高一下·河北月考)在下列各组向量中，e,e,不能作为基底 的是() A.e=(-1,0),e=(0,-1 B.=l,e2=-2g C.g=(2,-1),6=(-6,3) D.ge≠0，ge=同e 2.(多选题)(24-25高一下·安徽·月考)设ā，6都是非零向量，则下列命题中正 确的是() A.若a,b的夹角为锐角，则a.b>0B.若a.b<0,则a,b的夹角为钝角 C.若a=2b,则a+6与a-5同向D.若a+ia-i1,则a16 3.(多选题)(25-26高三上·甘肃武威·月考)己知平面向量a,满足 a=b=a+,则下列各组向量的夹角为60°的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a, B.a,a+b C.a,a-b D.Z,a+b 4.(多选题)（25-26高二上·云南昆明·月考)已知平面向量a,五，c,下列说法 正确的有() A.若a1b,b11c,则a/c B.a.b c=a(B.c C.a+als a+B+B-c D.若a+=a-且a≠0，i≠0，则a与b垂直 题型二：投影向量 1.(多选题)(2024浙江模拟预测)已知向量a,的夹角为5，且=1，=2 ,则() A.a-B)La B.a+=万 c.2a+6=25 D.a在的方向上的投影向量为5方 2.(多选题)(25-26高三上黑龙江佳木斯：期中)已知向量云，的夹角为号 且a=1,=2,则() A.2ā+6=26 B.la+=万 C.a-B La D.向量ā在向量上的投影向量为5方 3.(多选题)(25-26高三上四川巴中·月考)《易经》是中华智慧的源头活水，从 太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四 象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方.一画开天，万象生辉一这不仅是符 号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码.如图是根据八卦模型抽象得到的正八 边形ABCDEFGH,其中AB=1,O是该正八边形的中心，则下列结论正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.AB与0F的夹角为45 B.OC+OF=BC C.AE在AB方向上的投影向量为AB D.HD=√2AC 4.(多选题)(25-26高三上·河北邢台·期中)已知ABC的外接圆圆心为0，且 2AO=AB+AC,0A=AB=2,则下列说法正确的有() A.BA.BC=4 B.(CA,CO=π C.O1在aM上的投影向量为)A D.CO.CA=6 题型三：用定义求向量的数量积 1.(多选题)(25-26高三上·江苏盐城·期中)若a、五、c是非零向量，则下列说 法正确的是() A.(a+B)-c=a.c+B.c B.d"-a C.若ab=ac,则b=c D.a-s+ 2.(多选题)(25-26高三上·江苏扬州·期中)在正ABC中，边长为3，D为边BC 的中点，则下列结论正确的有() A.AB+BC+CA=0 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.AB在BC上的投影向量为BD C.4B+AC).BC=0 D.AB.AD=27 3.(多选题)(2025高三·全国专题练习)已知ā，五，c是任意的非零向量，则 () A.若>且a与同向，则a>6B.a.i≤5 C.若ac=i.c,则a-b不与c垂直D.a+≤+ 4.(多选题(2425高一下福建福州，期末)已知G,G是夹角为的单位向量， 且ā=e+2e,,b=e-e,则下列说法正确的是(). A.a=5 B.G在6方向上的投影向量为马 ca=月 D.当k<1时，e+ke,与的夹角为锐角 B 能力提升题 题型一：平面向量数量积的几何意义 1.(多选题)(24-25高一下·辽宁沈阳·期中)已知平面向量a、五、c满足 a==a-=a+6-d=2,则下列结论正确的是（) A.a-b=-2 B.a在石让的投影为石 C.a-2=25 D.(ā-c)6-)的最大值为6+4V3 2.(多选题)（24-25高一下·四川遂宁.期中)已知a、6、是三个向量，则下列结 论中正确的是() A.a.b=b.a B.a.(b+c)=a.b+a.c C.(a.B).c=a.(B.c) D.若ab=ac,则b=c 3.(多选题)（24-25高一下·四川成都·月考)对于非零向量a,b,下面给出的关系 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 式或说法中，错误的是() A.al/b=a与五方向相同或相反 B.a,b=ac→b=c C.a.B).c=a(B.a D.ab=0→a16 4.(多选题)(24-25高一下·安徽马鞍山期中)已知圆0半径为2，弦AB=2,点 C为圆0上任意一点，则下列说法正确的是() ○ B A.BA.BO=2 B.AB.AC的最大值为6 C.oc-AB-Ao∈[0,4 D.满足AB.AC=0的点C只有一个 题型二：求投影狗量 1.(多选题)（25-26高三上·福建莆田·期中)已知向量0A=a,0B=b,OA与OB不 共线，向量OC=a+b,OC平分∠A0B,则下列结论一定正确的是() A.a-b=0 B.(a+b)1(a- C.向量a,b在a+b上的投影向量相等 D.a+b a-6 2.(多选题)(24-25高一下·贵州贵阳·月考)设a,五是两个非零向量，是单位 向量，则下列说法正确的是() A.若a⊥b,则ab=0 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.若a+=a-列，则a16 C.若ac=bc,则a=b D.a在c方向上的投影向量为(acd 3.(多选题)(24-25高二上·云南·月考)已知向量ā，6满足=3，=2，则下列结 论正确的有() A.(2a+36)1(2a-36） B.若ab=6,则a∥五 C.a在方向上的投影向量为，a-6)5 D.若a+2-店，则a与的夹角为 4.(多选题)(24-25高一下·云南保山期末)图形之间没有空隙，也不重复，这 种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°， 正三角形，正方形，正六边形都可以密铺如图所示，是一个可密铺的正六边形 ABCDEF,下列说法正确的是() D A.AD.AB=AB B.C+证-而 C.AC-AE=BF D.AD在AB上的投影向量为AB 拓展培优题 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(多选题)(24-25高一下·四川资阳·期末)若向量a,五满足园==1， a+=5,则() A.a与的夹角为君 B.a5月 C.a⊥(a-b) D.a-6在石上的投影向量为五 2.(多选题)(25-26高三上江苏苏州·期中)《易经》是中华民族智慧的结晶，易 有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根 据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的中心，则 () B A.∠AOB=45 B.OB+OE=√2AB C.HD=2AC D.AB.AE=1 3.(多选题)（24-25高三上·河南开封月考)己知非零向量ā，6，c,则下列结论正 确的是() A.若ā(6c)=0,则bLc B.若(a+b)上(a-b),则1a曰b1 C.若ac=bc,则a=b D.向量(a-b)c-(a·c)b与向量a垂直 4.(多选题)(24-25高一下·四川雅安·期末)若平面向量a,五满足 d==a+=2,则() A.a.b=-2 B.向量a与a-6的夹角为写 C.a-b=3 D.日-方在a让的投影向量为0 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.2.4 向量的数量积 第1课时 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 1.（多选题）（24-25高一下·河北·月考）在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、基底的概念及辨析 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，不共线，可以作为基底； 对于B，方向相反，共线，不能作为基底； 对于C，，共线，不能作为基底； 对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底. 故选：BCD 2.（多选题）（24-25高一下·安徽·月考）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若的夹角为锐角，则 B．若，则的夹角为钝角 C．若，则与同向 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】平行向量（共线向量）、向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量夹角可分析数量积正负判断A；由数量积正负分析夹角注意特殊情况判断B；由向量线性运算化简后判断C；根据向量加法、减法的几何意义判断D. 【详解】对A，的夹角为锐角，则大于零，所以大于零，A对． 对B，当共线且方向相反时，有，所以B错． 对C，，所以与同向，C对． 对D，当时，以为邻边的平行四边形是矩形，所以，D对． 故选：ACD． 3.（多选题）（25-26高三上·甘肃武威·月考）已知平面向量，满足，则下列各组向量的夹角为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】作出示意图，可得四边形ABCD是菱形，且，进而逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】如图，设，.因为， 所以四边形ABCD是菱形，且. 由平面向量的线性运算性质可知，， 则向量，的夹角为120°，向量，的夹角为30°， 向量，的夹角为60°，向量，的夹角为. 故选：BD. 4.（多选题）（25-26高二上·云南昆明·月考）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且，，则与垂直 【答案】CD 【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、向量加法的法则、平行向量（共线向量） 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 题型二：投影向量 1.（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】AB 【知识点】求投影向量、已知数量积求模、数量积的运算律、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可． 【详解】，，故A正确； ，所以，故B正确； ，所以， 又因为，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误； 故选：AB． 2.（多选题）（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量的模的计算公式分析判断选项A、B，利用向量垂直时数量积为0判断选项C，利用投影向量公式分析判断选项D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ， 选项A：，， ，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， ，故C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 3.（多选题）（25-26高三上·四川巴中·月考）《易经》是中华智慧的源头活水，从太极混沌中孕育阴阳两仪，如天地初开；两仪互动，化出四象，似四季轮转；四象再演，生成八卦，如雷风山水布列八方．一画开天，万象生辉——这不仅是符号的演化，更是古人读懂宇宙的诗意密码．如图是根据八卦模型抽象得到的正八边形，其中是该正八边形的中心，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】BCD 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据正八边形的性质和平面向量的共线、数量积、投影向量等知识逐项判断计算即可. 【详解】对于A： 与的夹角为与的夹角，即，A错误； 对于B： ，B正确； 对于C： 在方向上的投影向量为，C正确； 对于D： 因为正八边形的中心角为，所以，所以， 因为，所以，又， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 4.（多选题）（25-26高三上·河北邢台·期中）已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积 【分析】由条件得到是等边三角形，进而得到 ，，，．再结合数量积的运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，． 因为， 所以是等边三角形， 所以，，，． ，故A正确． ，故B错误． 设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确． 因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 题型三：用定义求向量的数量积 1.（多选题）（25-26高三上·江苏盐城·期中）若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【知识点】向量减法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用垂直的向量关系可判断C选项；利用向量模的三角不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则， 所以或当时，，C错； 对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对. 故选：ABD. 2.（多选题）（25-26高三上·江苏扬州·期中）在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求投影向量、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量加法的法则 【分析】利用向量的运算法则计算各个选项可判断. 【详解】， 故选项A正确； 在上的投影向量为： ， ， 故选项B错误； 因为为边的中点， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故选项C正确； 因为为等边三角形，且为边的中点， 所以，，，， 所以：. 故选项D正确. 故选：ACD    3.（多选题）（2025高三·全国·专题练习） 已知，，是任意的非零向量，则（    ） A．若且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 【答案】BD 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，由向量的数量积的定义，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以或，所以C错误； 对于D中，由， 又， 因为，所以，所以D正确. 故选：BD. 4.（多选题）（24-25高一下·福建福州·期末）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 题型一：平面向量数量积的几何意义 1.（多选题）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影为 C． D．的最大值为 【答案】CD 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据数量积的性质，根据已知模长可求解，在上的投影，从而判断A，B，C；设，则，根据数量积的运算法则将转化为根据数量积的定义可得，从而可得的最小值即的最大值，可判断D. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 又在上的投影为，故B不正确； 则，故C正确； 由可设，则， 所以， 又因为， 所以，所以， 当且仅当与反向时，取到最小值，即取得最大值，且最大值为，故D正确. 故选：CD. 2.（多选题）（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确； 对于C中，，， 所以与不一定相等，所以C错误； 对于D中，由，若向量，此时，而与不一定相等，所以D错误. 故选：AB. 3.（多选题）（24-25高一下·四川成都·月考）对于非零向量，下面给出的关系式或说法中，错误的是（    ） A．与方向相同或相反 B． C． D． 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量数量积的几何意义、平行向量（共线向量） 【分析】由向量的平行、垂直、数量积的概念、性质及运算律即可得出答案. 【详解】两个非零向量平行则两个向量的方向相同或相反，故A是正确； 如果，则成立，故B选项不正确； 向量的数量积运算不满足结合律，故原式不一定成立，C选项错误； 非零向量数量积为零，两个向量一定垂直，故D正确， 故选：BC. 4.（多选题）（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 【答案】AB 【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义、向量加法法则的几何应用 【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断. 【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 故选：AB 题型二：求投影向量 1.（多选题）（25-26高三上·福建莆田·期中）已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC平分，得到四边形为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】对于A，因为平分，所以四边形为菱形， 不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为平分，所以四边形为菱形，所以， 又因为，，所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图， 向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 2.（多选题）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设，是两个非零向量，是单位向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】求投影向量、已知模求数量积、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量垂直可夹角，从而可判断A的正误，对于B的等式，两边平方后可判断其正误，对于C，根据数量积的运算律可得，故可判断其正误，对于D，根据投影向量公式计算后可判断其正误. 【详解】对于A，因为且，是两个非零向量，故，的夹角为直角，故它们垂直， 故A正确； 对于B，因为 ，故， 故，故，故B正确； 对于C，若，则，即，此时不一定成立， 如下图： 对于D，在方向上的投影向量为，但是单位向量， 故投影向量为，故D正确； 故选：ABD. 3.（多选题）（24-25高二上·云南·月考）已知向量满足，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 【答案】ABD 【知识点】求投影向量、已知模求数量积、垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 4.（多选题）（24-25高一下·云南保山·期末）图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量数量积的定义及辨析、求投影向量 【分析】对A，利用平面向量的数量积定义计算即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用向量的减法和相反向量即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断． 【详解】连接，与交于点，如图所示， 对于A：设正六边形的边长为，由正六边形性质可知，， 所以，A正确； 对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向， 易知，均为含角的直角三角形， 故，，即， 所以， 又因为，故， 故，故B正确； 对于C：，显然由图可得与为相反向量，故C错误； 对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD．    1.（多选题）（24-25高一下·四川资阳·期末）若向量，满足，，则（   ） A．与的夹角为 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 2.（多选题）（25-26高三上·江苏苏州·期中）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用 【分析】先由八个内角相等和为，得到，以为基底分别表示可计算出的结果，正八边形判断共线，再找到它们的模长关系，利用向量共线定理得到它们的倍数关系；将，则利用向量数量积运算得到. 【详解】由题可知，选项A正确； 在正八边形中，，； 所以，所以选项B错误； 由题可知在正八边形中有，且，，所以，所以，选项C正确； 连接，则 ，,选项D正确. 故选：ACD 3.（多选题）（24-25高三上·河南开封·月考）已知非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．向量与向量垂直 【答案】ABD 【知识点】向量数乘的有关计算、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】对A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断；对B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断；对C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可判断；对D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，若， 则，故，故В正确； 对于C，若，则， 得到，不能确定，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 4.（多选题）（24-25高一下·四川雅安·期末）若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【知识点】求投影向量、已知模求数量积、向量夹角的计算 【分析】由向量的模长运算判断AC；由夹角公式判断B；由数量积公式判断D. 【详解】对于A： ，则，故A正确； 对于C：，故C错误； 对于B：，则向量与的夹角为，故B错误； 对于D：在上的投影向量为，故D正确； 故选：AD 学科网（北京）股份有限公司 $