第12讲 离散型随机变量的数字特征（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦高中数学离散型随机变量的数字特征，系统梳理均值（定义、性质、求法）与方差（定义、标准差、性质、两点分布）核心知识点，构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接分布列知识，形成完整知识脉络。 资料通过9类题型（含例题与变式）覆盖均值、方差的计算与性质应用，结合取球、投篮等实际情境，以定义理解培养数学眼光，步骤化解题发展数学思维，数据表格应用提升数学语言表达，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第12讲 离散型随机变量的数字特征 【人教A版】 模块一 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【变式1.1】（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【变式1.2】（24-25高二下·内蒙古·期末）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【变式1.3】（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【题型2 均值的性质】 【例2】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二下·天津·期中）设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·山东烟台·期中）若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 模块二 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【题型4 求离散型随机变量的方差】 【例4】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 【变式4.3】（24-25高二下·甘肃定西·月考）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【题型5 求离散型随机变量的标准差】 【例5】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【变式5.3】（24-25高二下·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列； (3)求的期望及标准差. 【题型6 方差的性质】 【例6】（24-25高二下·广东中山·月考）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【变式6.2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【变式6.2】（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【题型7 求两点分布的均值与方差】 【例7】（24-25高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【变式7.2】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 【例8】（24-25高二下·浙江宁波·期中）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高三上·山东济南·开学考试）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2025·北京·三模）2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 【变式8.3】（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【题型9 离散型随机变量与其他知识交汇】 【例9】（24-25高二下·河南·期中）某次物理考试后，学校随机抽取了100名参加本次考试的学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)为进一步调查学生每天学习物理的时间，从样本采用比例分层抽样从成绩在，内的学生中抽取13人，再从中任选3人进行调查，求抽到成绩在内的人数X的分布列和数学期望． 【变式9.1】（24-25高二下·湖北·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【变式9.2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学，很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新，某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)估计该50份高考模拟卷的平均准确率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)为进一步调查，采用分层抽样从准确率在，，内的试卷中抽取9份，再从中任选3份进行调查，求抽到准确率在内的试卷份数X的分布列和数学期望． 【变式9.3】（24-25高三下·湖南长沙·月考）雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分. (1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； (2)已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若. ①求和； ②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小. 一、单选题 1．（25-26高二·全国·假期作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 2．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 3．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 4．（24-25高二下·天津滨海新区·月考）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二下·全国·专题练习）一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁·模拟预测）2025年春节假期期间，某超市举办了购物抽奖活动，设置有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有9张奖券，其中6张写着“谢谢惠顾”，3张写着“金额50元”；乙箱中有8张奖券，6张写着“谢谢惠顾”，2张写着“金额100元”（设两箱内的奖券大小一样，无区分）．现有三种抽奖方案供选择：方案—：从甲箱中随机抽取一张奖券，若抽到“金额50元”奖券，则停止抽奖，若抽到“谢谢惠顾“奖券，再从乙箱内随机抽取一张奖券，无论抽奖结果如何，都停止抽奖，按抽到的奖券金额领奖；方案二：从乙箱中随机抽取一张奖券，若抽到“金额100元”奖券，则停止抽奖，若抽到“谢谢惠顾”奖券，再从甲箱内随机抽取一张奖券，无论抽奖结果如何，都停止抽奖，按抽到的奖券金额领奖；方案三：从甲、乙箱内各随机抽取一张奖券，按单张奖券上最高金额领奖．某顾客有一次抽奖机会，他等可能地选择三种抽奖方案中的一种，则下列说法正确的是（    ） A．若该顾客选择方案三，则他抽到有奖奖券的概率为 B．该顾客抽到“金额100元”奖券的概率，只有方案三最大 C．该顾客领取的奖券金额为50元的概率小于 D．根据领取的奖券金额的期望值越大越有利，该顾客应选择方案二或方案三 三、填空题 12．（24-25高二下·广东珠海·月考）已知随机变量的分布列如下：若，则__________. 1 2 3 0.3 0.3 13．（24-25高二下·湖南常德·期中）一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则___________． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 16．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 17．（24-25高二下·广东中山·期中）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 18．（24-25高二下·福建莆田·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19．（24-25高二下·福建福州·期末）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明： 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 离散型随机变量的数字特征 【人教A版】 模块一 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】先根据分布列的性质求得，然后根据期望公式求解即可. 【解答过程】由，得， 所以． 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【解答过程】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高二下·内蒙古·期末）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【解答过程】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 【变式1.3】（24-25高二下·天津·期末）已知甲盒中有2个红球，3个蓝球，乙盒中有4个红球，1个蓝球，这些球除了颜色外完全相同．现从甲、乙两盒中各任取2个球. (1)求取出的4个球颜色相同的概率； (2)求取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率； (3)记取出的4个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）先结合组合数的计算，根据题意得出从甲、乙两盒中各任取2个球及事件A各包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （2）先根据题意分析所求事件包含的可能情况，并求出其包含的不同取法；再根据古典概型的概率公式可求解. （3）先根据题意得出根据题意可得：X的可能取值及相应的概率，从而可得出X的分布列；再根据数学期望公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件A表示“取出的4个球颜色相同”. 因为从甲、乙两盒中各任取2个球，不同的取法有种， 取出的4个球颜色相同指的是从甲、乙两盒中各任取2个红球，不同的取法有种 则， 所以取出的4个球颜色相同的概率为． （2）记事件B表示“取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球”， 则事件B包含两种情况：从甲盒中取出2个红球，从乙盒中取出1个红球和1个蓝球；从甲盒中取出1个红球和1个蓝球，从乙盒中取出2个红球，不同的取法有种， 所以， 所以取出的4个球中共有3个红球和1个蓝球的概率为． （3）根据题意可得：X的可能取值为1，2，3，4， ， ， ， . 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 P ∴. 【题型2 均值的性质】 【例2】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【解答过程】由题意可得，， 则. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用概率之和等于1求出的值，再由数学期望公式求出，最后根据数学期望的性质求得即可. 【解答过程】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【解答过程】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二下·天津·期中）设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分布列性质以及期望值性质计算可得结果. 【解答过程】易知，解得； 因此. 故选：D. 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【解答过程】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 【变式3.1】（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【解答过程】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据离散型随机变量分布列的性质及期望公式即可求解. 【解答过程】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：， 解得. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二下·山东烟台·期中）若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【解题思路】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【解答过程】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 模块二 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【题型4 求离散型随机变量的方差】 【例4】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二下·河南漯河·期末）随机变量的分布列如下表，若，则（   ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【解答过程】由，得． 所以． 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 【答案】甲、乙技术水平相当，乙更稳定 【解题思路】计算平均数与方差，即可得出结论． 【解答过程】，， ，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当， 又， ， ，所以工人乙的技术比较稳定. 所以甲、乙技术水平相当，乙更稳定. 【变式4.3】（24-25高二下·甘肃定西·月考）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【解题思路】（1）根据题设分析，对应事件为从3黑2红中取出2个球，应用古典概型的概率求法求概率； （2）由题意的可能值为，并求出对应概率值，写出分布列，依次求出期望和方差，即可得. 【解答过程】（1）由题意，取球放球结束后袋子里白球的个数为2，即从3黑2红中取出2个球， 所以所求概率为； （2）由题设，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 1 2 3 则，故. 【题型5 求离散型随机变量的标准差】 【例5】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分布列求期望与方差即可得解. 【解答过程】设，则可得分布列如下表; 0 1 2 根据期望公式得：， 解得， 所以根据方差公式得：， 即标准差为， 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二下·广东佛山·期中）已知随机变量的分布列如表，则的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求得，利用方差的计算公式可求得，进而得到标准差. 【解答过程】由分布列的性质得：，解得：， ， ， 的标准差为. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 【变式5.3】（24-25高二下·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列； (3)求的期望及标准差. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【解题思路】（1）第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，进而结合概率的乘法公式即可求出结果； （2）求出ξ的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果； （3）由期望公式、标准差公式可求解. 【解答过程】（1）因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中， 所以; （2）由题意，可取0，1，2. P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝. 故ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P （3）由（2）有E(ξ)＝， D(ξ)＝，所以. 【题型6 方差的性质】 【例6】（24-25高二下·广东中山·月考）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【解题思路】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【解答过程】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【解答过程】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 【变式6.3】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解. 【解答过程】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以. 故选：D. 【题型7 求两点分布的均值与方差】 【例7】（24-25高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【解答过程】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二下·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【答案】C 【解题思路】利用两点分布性质可得，再由方差计算公式可得结果. 【解答过程】由两点分布可得， 解得； 因此期望值为， 所以. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解答过程】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D. 【变式7.3】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 【题型8 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 【例8】（24-25高二下·浙江宁波·期中）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知列举出所有的可能值并得到，，进而求出它们的期望和方差，即可得. 【解答过程】由题设，（无序）可能情况有、、、、、， 分别依次对应（无序）有、、、、、， 所以，上述情况对应依次为、、、、、， 所以，， 故，， ，， 所以. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高三上·山东济南·开学考试）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由期望与方程的公式计算即可表示出两随机变量的期望与方差，再比较两者大小即可得. 【解答过程】， ， 故，故A、B错误； 设， 则 ， 同理： ， 由，，故， 同理，则有 ， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【变式8.2】（2025·北京·三模）2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）． A 32   68   86 57   70   78   91 66   77   79   80   80   81   83   94 假设所有游客消费金额相互独立. (1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数； (2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望； (3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)32000 (2) (3) 【解题思路】（1）根据A地区的游客人数所占比例计算即可； （2）写出的所有可能并求得所对应的概率得到分布列然后按照期望公式计算即可； （3）分别得到分布列，然后计算方差，根据数据比较即可. 【解答过程】（1）由题意，随机采访的15位游客中有3人来自A地区， 估计16万游客中来自A地区的游客人数为． （2）从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，其一顿烧烤的人均消费金额大于70元的概率分别约为和． 的可能取值为0，1，2，， ，， 所以，的分布列为： 0 1 2 数学期望． （3）由题可知：的所有可能结果为：32，68，86，选到的概率均为， 所以的分布列为： 32 68 86 P 所以，； 的所有可能结果为：57，70，78，91，选到的概率均为， 所以的分布列为： 57 70 78 91 P ，； 的所有可能结果为：66，77，79，80， 81，83，94， 所以的分布列为： 66 77 79 80 81 83 94 P ，， 所以． 【变式8.3】（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)，理由见解析 【解题思路】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. （3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【解答过程】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 【题型9 离散型随机变量与其他知识交汇】 【例9】（24-25高二下·河南·期中）某次物理考试后，学校随机抽取了100名参加本次考试的学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)为进一步调查学生每天学习物理的时间，从样本采用比例分层抽样从成绩在，内的学生中抽取13人，再从中任选3人进行调查，求抽到成绩在内的人数X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用小长方形面积和为建立方程，求解即可. （2）由题意得X可取值，再求得相应的概率，列出分布列，然后求解期望即可. 【解答过程】（1）由题意，得，解得． （2）由题意，抽取的13人，成绩在，的学生人数分别为，， 则X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望. 【变式9.1】（24-25高二下·湖北·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解题思路】（1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解； （2）的可能取值为2，4，6，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解. 【解答过程】（1）由得：或， ∵，∴； （2）的可能取值为2，4，6， 由（1）知，当时 ，， ， ， 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为； （3）由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 当为奇数时，为偶数， ∴，当时，也满足. 所以通项公式. 【变式9.2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学，很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新，某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中a的值； (2)估计该50份高考模拟卷的平均准确率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)为进一步调查，采用分层抽样从准确率在，，内的试卷中抽取9份，再从中任选3份进行调查，求抽到准确率在内的试卷份数X的分布列和数学期望． 【答案】(1)． (2)92% (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为1计算； （2）利用平均数公式计算； （3）先算出各层数量，确定X可取0，1，2，3．求出对应概率，得到分布列，求出期望即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， 解得． （2）由已知可得估计准确率的平均数为 ． （3）由题意，准确率在，，内的试卷分别有2份，4份，3份， 则X可取0，1，2，3． ， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 【变式9.3】（24-25高三下·湖南长沙·月考）雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分. (1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望； (2)已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若. ①求和； ②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小. 【答案】(1)12 (2)①； ②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大 【解题思路】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，根据题意得出的所有可能取值，然后求出每一个变量对应的概率，列出分布列，进而求解； （2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，进而求解； ②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，得到，利用递推公式得到是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出则，进而计算即可求解. 【解答过程】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为， 则， ， ， 故的分布列为 0 1 2 ，则. （2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答， ，则. ②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为， 则，即，又， 是以为首项，为公比的等比数列，则 ， 第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大. 一、单选题 1．（25-26高二·全国·假期作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【解题思路】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【解答过程】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 2．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【解题思路】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【解答过程】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 3．（24-25高二下·北京房山·期末）随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（   ） 0 1 2 A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【解答过程】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 4．（24-25高二下·天津滨海新区·月考）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又， ， 所以选项B正确，选项C错误， 对于选项D，因为，所以， ，所以选项D正确， 故选：C. 5．（24-25高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用方差的期望表示可得出，设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有，利用基本不等式可求得的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【解答过程】由题意可得、的分布列如下表所示： 由分布列的性质可得，所以，， 所以，，， 所以，， 设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有， 则， 当且仅当时取等号，所以，， 因为函数在上单调递减， 所以，． 故选：B. 6．（2026高二下·全国·专题练习）一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】由题意得，函数为偶函数，为奇函数， 所以随机变量可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以期望为． 故选：A. 7．（25-26高二下·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【解答过程】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【解答过程】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由分布列概率和为1求得，再根据分布列求得期望与方差，然后由期望与方差的性质求得的期望与方差. 【解答过程】由得， 所以，， 所以，， 故选：AC. 10．（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）高考数学试题第二题为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】对于AB，由题分别计算，可判断选项正误；对于C，由题可得X或Y的可能取值和对应的概率，据此可判断选项正误；对于D，由C选项及方差计算公式可判断选项正误. 【解答过程】A选项，若，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故； 若，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故， 故，故A正确； B选项，当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项， 故； 当，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个， 故. 因，则，故B错误； C选项，X的可能取值为0，2，3，其中，表示该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故， 故； Y的可能取值为0，4，6，其中，表示该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，故， 故. 则，故C正确； D选项，， . 则，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·辽宁·模拟预测）2025年春节假期期间，某超市举办了购物抽奖活动，设置有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有9张奖券，其中6张写着“谢谢惠顾”，3张写着“金额50元”；乙箱中有8张奖券，6张写着“谢谢惠顾”，2张写着“金额100元”（设两箱内的奖券大小一样，无区分）．现有三种抽奖方案供选择：方案—：从甲箱中随机抽取一张奖券，若抽到“金额50元”奖券，则停止抽奖，若抽到“谢谢惠顾“奖券，再从乙箱内随机抽取一张奖券，无论抽奖结果如何，都停止抽奖，按抽到的奖券金额领奖；方案二：从乙箱中随机抽取一张奖券，若抽到“金额100元”奖券，则停止抽奖，若抽到“谢谢惠顾”奖券，再从甲箱内随机抽取一张奖券，无论抽奖结果如何，都停止抽奖，按抽到的奖券金额领奖；方案三：从甲、乙箱内各随机抽取一张奖券，按单张奖券上最高金额领奖．某顾客有一次抽奖机会，他等可能地选择三种抽奖方案中的一种，则下列说法正确的是（    ） A．若该顾客选择方案三，则他抽到有奖奖券的概率为 B．该顾客抽到“金额100元”奖券的概率，只有方案三最大 C．该顾客领取的奖券金额为50元的概率小于 D．根据领取的奖券金额的期望值越大越有利，该顾客应选择方案二或方案三 【答案】ACD 【解题思路】A选项，利用计算出抽到有奖奖券的概率；B选项，分别计算出三种方案的概率，比较后得到结论；C选项，分别计算出三种方案的概率，相加得到概率为；D选项，分别计算出三种方案的期望值，得到，故D正确. 【解答过程】A选项，从甲箱中随机抽取一张奖券，是“谢谢惠顾”奖券的概率为， 是“金额50元”奖券的概率为； 从乙箱中随机抽取一张奖券，是“谢谢惠顾”奖券的概率为”， 是“金额100元”奖券的概率为， 已知该顾客选择方案三，则他抽到有奖奖券的概率，A项正确； B选项，当该顾客选择方案三时，抽到“金额100元”奖券的概率， 当该顾客选择方案一时，抽到“金额100元”奖券的概率； 当该顾客选择方案二时，抽到“金额100元”奖券的概率 ． ，B项错误． C选项，当该顾客选择方案一时，领取的奖券金额为50元的概率； 当该顾客选择方案二时，领取的奖券金额为50元的概率； 当该顾客选择方案三，领取的奖券金额为50元的概率 ， 所以该顾客领取的奖券金额为50元的概率为，C项正确． D选项，对于方案一，设该顾客领取的奖券金额为，则的可能取值为0，50，100， 则，，， 所以 ； 对于方案二，设该顾客领取的奖券金额为，则的可能取值为0，50，100， 则，，， 所以； 对于方案三，设该顾客领取的奖券金额为，则的可能取值为，，， 则 ，， ， 所以 ．因为， 所以根据领取的奖券金额的期望值越大越有利，该顾客应选择方案二或方案三，D项正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（24-25高二下·广东珠海·月考）已知随机变量的分布列如下：若，则__________. 1 2 3 0.3 0.3 【答案】 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望的公式和性质进行求解即可. 【解答过程】根据分布列的性质可知， 于是有， 又因为， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高二下·湖南常德·期中）一个不透明的袋子中装有3个黑球，个白球（），这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设为取出白球的个数，则___________. 【答案】 【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算. 【解答过程】由题可知，，即，解得， 则X的可能取值为， ，， ，， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则___________． 【答案】 【解题思路】根据条件，可知的可能取值为，进而求出相应的概率，从而得到，，即可求出结果. 【解答过程】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用方差和期望的公式可求得结果. （2）利用均值和方差的性质求解. 【解答过程】（1）， . （2）因为， 所以， . 16．（24-25高二下·新疆·期末）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公式求解即可. 【解答过程】（1）记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． （2）X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 17．（24-25高二下·广东中山·期中）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 18．（24-25高二下·福建莆田·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【解题思路】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列； （2）由（1）中随机变量的分布列，求得，，设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【解答过程】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： （2）由（1）中随机变量的分布列，可得， . 设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 19．（24-25高二下·福建福州·期末）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明： 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【解题思路】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可； （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，再根据和数学期望计算化简即可. 【解答过程】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，； ， ， ， ，    ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 . （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ，                        ， ， . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $