第08讲 组合与组合数（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦组合与组合数核心知识点，系统梳理组合的定义及与排列的区别，详解组合数公式、性质及应用，构建从概念理解到公式计算再到实际问题解决的学习支架。 资料通过9大题型及变式题，以实例引导学生用数学眼光抽象组合本质，通过公式推导与性质应用培养数学思维，多领域问题提升数学语言表达能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

第08讲 组合与组合数 【人教A版】 模块一 组合 1．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2．组合概念的理解 (1)组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. (2)两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 3．排列与组合的联系与区别 (1)联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. (2)区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 【题型1 组合的概念与判断】 【例1】（24-25高二·全国·课后作业）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【解题思路】根据排列和组合的概念可确定选项. 【解答过程】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解题思路】根据排列、组合的定义判断即可. 【解答过程】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数； ②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数； ③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法； ④5个人规定相互通话一次，通电话的次数； ⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的定义即可判断. 【解答过程】①当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题； ②取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题； ③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题； ④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题； ⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题， 综上，属于组合问题的有3个. 故选：B． 【变式1.3】（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【解题思路】根据组合的定义分别判断即可. 【解答过程】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 模块二 组合数 1．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 2．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 【题型2 组合数的计算与证明】 【例2】（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解答过程】， ，, 因此. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二下·山东东营·期末）（   ） A．25 B．35 C．70 D．1050 【答案】C 【解题思路】运用组合公式进行计算 【解答过程】，故C正确. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. 【解答过程】（1）原式. （2）法一（直接计算）：原式； 法二（组合数的性质）：原式 . 【变式2.3】（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 【题型3 组合数方程和不等式】 【例3】（24-25高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解. 【解答过程】因为，则或，解得或， 若，可得，符合题意； 若，可得，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 【变式3.1】（2025高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【解答过程】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可； （2）根据组合数的性质与排列数公式解方程. 【解答过程】（1）由，即或，解得或； （2）由，即，即， 所以，化简可得，解得， 又，即，所以. 【变式3.3】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 【题型4 组合数的性质及应用】 【例4】（24-25高二下·浙江·期中）（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【答案】B 【解题思路】根据组合数的性质公式，可得答案. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【解答过程】由，得，解得， 所以 . 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二下·河北邯郸·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用代换和组合数的性质计算即可 【解答过程】因为，， ， 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二上·吉林长春·期末）下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用组合数的性质可判断AB，利用组合数的计算公式可判断 【解答过程】解：对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 模块三 组合的应用问题 1．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 2．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 【例5】（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【答案】B 【解题思路】应用间接法求2人至少有一人是女性的不同选法数，再将2人全排列，并应用分步乘法求结果. 【解答过程】从9人任选2人有种，若所选2人都是男性有种，故2人至少有一人是女性有种， 所以不同的安排方法种数为. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【答案】B 【解题思路】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【解答过程】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·海南海口·期末）某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩5个景点中选出3个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 【答案】C 【解题思路】对两种特殊得地方进行讨论计算即可. 【解答过程】由题可知：选中骑楼老街、荣山寮其中1个景点：； 骑楼老街、荣山寮都没选：； 骑楼老街、荣山寮都选：； 所以骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高二下·贵州黔南·期末）贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面6个景点中选择3个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有（   ） A．20种 B．18种 C．16种 D．14种 【答案】C 【解题思路】分情况讨论，利用组合数计算. 【解答过程】因为镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，故可分为两种情况讨论； 当镇远古镇和西江千户苗寨只去一处时，则不同的选择方案为； 当镇远古镇和西江千户苗寨一处也不去时，则不同的选择方案为； 综上：满足题意的不同选择方案有（种）. 故选：C. 【题型6 代数中的组合计数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏徐州·月考）用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A 【解题思路】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【解答过程】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【答案】A 【解题思路】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【解答过程】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 【变式6.2】（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【答案】(1)144 (2)162 【解题思路】（1）结合排列数和组合数的应用，利用分步乘法原理求解即可； （2）结合排列数和组合数的应用，利用分类加法原理求解即可. 【解答过程】（1）第一步，从1．3．5这3个奇数中选择1个放在个位，有种； 第二步，从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上，有种； 第三步，从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位，有种． 由分步乘法计数原理可得，共有个满足条件的四位数． （2）第一类，在千位和百位不变的情况下，十位可以是4或者5，共有6个； 第二类，在千位不变的情况下，需要百位大于1，则从2，4，5这3个数中任选1个，有种， 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位，有种，故共有个； 第三类，千位是4或5，有种，再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上，有种，则共有个． 由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有个． 【变式6.3】（24-25高二下·北京大兴·月考）（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ (3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解； （2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解； （3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解. 【解答过程】（1）若选到0，则0不能排在首位，有种方法， 若没有选到0，则有种方法， 综上可知，共有种方法； （2）个位是偶数的数是偶数， 若个位是0，则有种方法， 若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法， 综上可知，共有种方法； （3）中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数， 则个四位数， 综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数. 【题型7 几何组合计数问题】 【例7】（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【解答过程】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 【变式7.1】（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 【变式7.2】（25-26高三上·上海·单元测试）平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行.求： (1)这些直线所交成的点的个数（除原10点外）； (2)这些直线交成多少个三角形. 【答案】(1)630 (2) 【解题思路】（1）先由题意结合任意两点确定一条直线原理求出10点所确定的直线数，再由任意两条直线交一个点求出交点总数和重复计算的交点总数即可求解. （2）由（1）确定点的总数，再由不共线的三点确定一个三角形原理得到任取三点的组合数再减去三点共线的组合数即可求得构成的三角形数. 【解答过程】（1）由题设这10点所确定的直线是条， 这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，无两条直线互相平行， 则任意两条直线交一个点，共有个交点， 而在原来10点上每一个点都有9条直线共点于此， 所以在原来的10点上共有点被重复计数， 所以这些直线交成新的点的个数是：. （2）由（1）可知共有这些直线所交成的点的个数共有个 因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述个点， 且上述除原10点外的630个交点中的每一个点均与相交于该点的两条直线中的两点在一条直线上， 所以这些直线三角形的个数有（个）. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏淮安·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)这9个点，可确定多少条不同的直线？ (2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【解题思路】（1）方法一：采用直接法，分三类讨论；方法二：采用间接法，算出所有取点情况，再排除不符合题意的情况； （2）方法一：采用直接法，分三类讨论；方法二：采用间接法，算出所有取点情况，再排除不符合题意的情况； （3）方法一：采用直接法，分三类讨论；方法二：采用间接法，算出所有取点情况，再排除不符合题意的情况； 【解答过程】（1）方法一（直接法）共线的4点记为A，B，C，D. 第一类：A，B，C，D确定1条直线 第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类计数原理，共有不同直线（条）． 方法二（间接法）9个点取2个点共有种， 4个共线点取2个共有种，以上均表示同一条直线， 则可确定多少条不同的直线为（条）． （2）方法一（直接法）第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形． 共有（个）三角形 方法二（间接法）9个点取3个点共有种， 其中不能构成三角形的则是在4个共线点取3个共有种， 可确定三角形（个）． （3）方法一（直接法）分三类：从其余不共线的5个点中任取4个，3个，2个点共得（个）四边形． 方法二（间接法）9个点取4个点共有种， 其中不构成四边形的分为两类：第一类：4个点共线则有种， 第二类其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则共有种， 可确定四边形（个）． 【题型8 分组分配问题】 【例8】（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【解题思路】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【解答过程】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D. 【变式8.1】（2025高三上·河南南阳·专题练习）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（ ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 【答案】B 【解题思路】利用分组分配法可求解. 【解答过程】将甲、乙、丙等六名教师按1，2，3分为三个组共有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校共有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按2，2，2分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按1，1，4分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 故共有种不同的分法. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高二下·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【答案】（1）15； （2）90； （3）1560 【解题思路】（1）根据给定条件，利用部分平均分组列式计算. （2）利用分步乘法计数原理及组合计数问题列式计算. （3）按分组，再分配给4个人即可. 【解答过程】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法； （2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法. 【变式8.3】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【解题思路】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果； （2）按照分组分配的方式计算可得结果； （3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【解答过程】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法， 从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法， 剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法， 则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法； （2）6名教师按，，分为三个组，有种方法， 则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法. （3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2， ①6名教师按，，分为三个组有种方法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ②6名教师按，，分为三个组有种分法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ③6名教师平均分配到3所学校有种方法； 则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 【题型9 排列组合综合】 【例9】（24-25高二上·辽宁·月考）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【答案】A 【解题思路】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案. 【解答过程】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 【变式9.1】（24-25高二下·福建福州·期中）春晚机器人秧歌表演动作流畅自然，惊艳了世界，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的指令共有（    ） A．216种 B．108种 C．90种 D．72种 【答案】C 【解题思路】分相反方向各移动两次和两组不同的相反方向各移动一次，利用排列组合的相关知识计算即可. 【解答过程】要使手臂回到原来位置，可分以下两种情况： 情况一：相反方向各移动两次（例如，向前移动两次，向后移动两次） 从组相反方向（前与后、左与右、上与下）中选组，有种选法， 然后在次移动中安排这两次相同方向的移动，有种方法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种. 情况二：两组不同的相反方向各移动一次 从组相反方向中选组，有种选法， 然后对这次不同方向的移动进行全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种. 所以手臂回到原来位置的情况共有种. 故选：C. 【变式9.2】（24-25高二下·吉林长春·期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） (1)有女生但人数必须少于男生； (2)女生甲一定担任语文科代表； (3)男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案； （2）从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； （3）先考虑选出男生乙的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，然后全排即可得出答案； 【解答过程】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）． （2）先在剩余的7人中选出4人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法（种）． （3）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）． 【变式9.3】（24-25高二下·山东临沂·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (2)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)360 (2)1140 【解题思路】（1）首先确定甲和乙的相同课程、不同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）分A只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）第一步，将甲和乙的相同课程选好，有种情况；                 第二步，再将甲和乙的不同课程选好，有种情况；                 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选法种情况；                 因此，所有选课种数为种． （2）①当只任教1科时：先排任教科目，有种，                 再从剩下5科中排的任教科目，有种，                 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种，         所以当只任教1科时，共有种．       ②当任教2科时：先选任教的2科，有种，                 这样6科分为4组共有种，                 综上，所有课程安排方案有种． 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知，则（   ） A．2 B．5 C．2或5 D．2或6 【答案】C 【解题思路】根据组合数的性质可得或，解方程即可. 【解答过程】由， 可得或， 解得或5. 故选：C. 2．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 【答案】C 【解题思路】本题考查分步计数原理，利用特殊元素优先安排法和分组分配问题原理进行求解即可. 【解答过程】先安排小文选择一家企业，有种选择方式. 然后将剩余人安排到两家企业，每家企业至少安排1人，所以将人分为组，再安排企业，有两种分组方式： 第一种：人去一家企业，其余人去一家企业，有种方式； 第二种：每家企业各人，有种方式. 所以不同的安排种数为. 故选：C. 3．（24-25高二下·上海·期中）根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由,利用组合数性质计算即可. 【解答过程】， 故选:C. 4．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解答过程】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 5．（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 【答案】C 【解题思路】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数. 【解答过程】由题意， 甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有， ∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）. 故选：C. 6．（24-25高二下·江苏南通·月考）甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“你和乙都不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你的名次比甲差点.”从这两个回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ） A．54种 B．60种 C．36种 D．120种 【答案】C 【解题思路】根据排列组合，结合分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由于甲乙都不是最差的，且乙的名次比甲差，所以甲乙均在前4名中，且甲在乙的前面， 故从前4名中选择两个名次安排甲乙的名次，共有种方法，接下来将剩下3个人全排列得种方法， 故总的安排方法有. 故选：C. 7．（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 【答案】D 【解题思路】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案. 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为1、1、3的三组，有种分组方法， 若分为1，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式. 故选：D. 8．（24-25高二下·广东深圳·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是（   ） A．恰有一个空盒，有324种放法 B．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 C．有256种放法 D．每盒至多两球，有204种放法 【答案】A 【解题思路】对选项进行逐一分析，选项A先从4个盒子中选出一个空盒，再从4个球中选2个放入剩下3个盒子中的1个，再将剩余2球各1个放入剩余2盒中，据此得出放法总数；选项B先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题；选项C根据分步乘法原理分析求解；选项D在选项C的基础上减去每盒至少3个球的情况可得. 【解答过程】选项A：先从4个盒子中选出一个空盒，再从4个球中选2个放入剩下3个盒子中的1个，再将剩余2球各1个放入剩余2盒中，故有种放法，故A错误； 选项B：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题，故共有种放法，故B正确； 选项C：每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法，故C正确； 对于D：由C分析，不考虑盒中球个数，共有256种放法， 若一个盒中放3个球，另外1盒放1球，则有种放法， 若1个盒中放4球，有4种放法，故每盒至少3个球的情况有种， 所以每盒至多两球，有种放法，故D正确. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AB 【解题思路】根据排列数性质变形化简右侧等式后可判断A的正误，将组合数利用阶乘展开计算后可判断B的正误，根据组合数的性质可判断C的正误，根据上下标的关系可求或，计算后可判断D的正误. 【解答过程】对于，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于，解得，又，所以或， 当时，； 当时，，故D错误． 故选：AB． 10．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【解题思路】利用分步乘法计数原理判断A；利用分组分配列式计算判断B；求出概率判断C；视为一个整体，列式计算判断D. 【解答过程】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC. 11．（24-25高二下·广东广州·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】AC 【解题思路】利用分步乘法计数原理求解可判断A；先把5人分为4个组再安排到4项工作求解可判断B；利用分类加法计数原理求解可判断C；利用分类加法计数原理求解可判断D. 【解答过程】对于A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工件有4种选法， 所以不同的方法数为种，故A正确； 对于B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人， 先将5人分成4个组种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有种， 由分步计数原理有，故B错误； 对于C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作， 故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作， 若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有， 故不同安排方案的种数是，故C正确； 对于D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人， 把5名同学分按3，1，1分组安排有种安排方法， 把5名同学分按2，2，1分组安排有种安排方法， 故这5名同学全部被安排的不同方法数为种，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则__________． 【答案】2或7 【解题思路】根据组合数的性质来求解的值. 【解答过程】由组合数的性质， 则有或， 解得或. 故答案为：2或7. 13．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有__________种（用数字作答）． 【答案】62 【解题思路】根据化学竞赛报名人数1人，2人，3人分情况讨论，结合排列数、组合数计算. 【解答过程】这5名学生中，若化学竞赛只有1人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有2人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故答案为：62. 14．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有__________种. 【答案】114 【解题思路】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【解答过程】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 四、解答题 15．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【解题思路】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【解答过程】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 16．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 【答案】(1)30 (2)90 (3)90 (4)360 【解题思路】（1）根据排列组合的分组和分配进行求解即可. （2）在（1）的基础上根据排列组合的分组和分配对甲､乙､丙三人进行分类求解即可. （3）根据排列组合的分组和分配进行求解即可. （4）根据排列组合的分组和分配先把书分三堆，再分给三个人进行求解即可. 【解答过程】（1）（1）甲､乙､丙依次选书，得； （2）在（1）的基础上，得4本书的可以是甲､乙､丙三人的任何一个，共； （3）甲､乙､丙依次选书，得； （4）先把书分三堆，再分给三个人：. 17．（24-25高二下·陕西西安·月考）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 【答案】(1)20； (2)360； (3)216. 【解题思路】（1）根据题意利用组合数计算即可； （2）根据题意利用排列数计算即可； （3）先利用组合数求出从6个学生中选2名男生和2名女生的选法，再利用排列数计算出将4人安排到四个不同活动的方法数，再由分步乘法计数原理求解. 【解答过程】（1）由题意，从6人中选出3人参加一项活动，共有种选法. （2）从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有种选法. （3）由题意，先从中3名男生和3名女生中选出男生2人，女生2人，有种选法； 再将4人安排参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有种方法， 所以，总共有种选法. 18．（24-25高二下·湖北武汉·期中）有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)含有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 【答案】(1)5400 (2)3360 (3)360 【解题思路】（1）由题意可得男女的人数，根据分组分配，可得答案； （2）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案； （3）按照分步乘法原理，根据限制条件，可得答案. 【解答过程】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男， 所以先选有种方法，后排有种方法， 所以共有不同选法（种）. （2）分步： 第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有种方法； 第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有种选法； 第三步，选出的4人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. （3）第一步，安排某男生，有种方法； 第二步，从剩余的6人中选出3人，有种选法； 第三步，选出的3人排列，有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法（种）. 19．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【解答过程】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 组合与组合数 【人教A版】 模块一 组合 1．组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2．组合概念的理解 (1)组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. (2)两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 3．排列与组合的联系与区别 (1)联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. (2)区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 【题型1 组合的概念与判断】 【例1】（24-25高二·全国·课后作业）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【变式1.1】（24-25高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1.2】（24-25高二·全国·课后作业）以下5个命题，属于组合问题的有（    ） ①从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数； ②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字相加得到一个和，这样的和的个数； ③从，，，四名学生中选两名去完成同一份工作的选法； ④5个人规定相互通话一次，通电话的次数； ⑤5个人相互写一封信，所有信的数量． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1.3】（2025高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 模块二 组合数 1．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 2．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 【题型2 组合数的计算与证明】 【例2】（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【变式2.1】（24-25高二下·山东东营·期末）（   ） A．25 B．35 C．70 D．1050 【变式2.2】（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【变式2.3】（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【题型3 组合数方程和不等式】 【例3】（24-25高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【变式3.1】（2025高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)解方程：. 【变式3.3】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【题型4 组合数的性质及应用】 【例4】（24-25高二下·浙江·期中）（   ） A．100 B．110 C．120 D．130 【变式4.1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【变式4.2】（24-25高二下·河北邯郸·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·吉林长春·期末）下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 模块三 组合的应用问题 1．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 2．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型5 实际问题中的组合计数问题】 【例5】（24-25高二下·新疆·期末）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 【变式5.1】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【变式5.2】（24-25高二下·海南海口·期末）某旅游公司规划一日游路线，从骑楼老街、荣山寮、万绿园、电影公社、假日海滩5个景点中选出3个依次游览，其中骑楼老街、荣山寮这2个景点不能连续游览，则不同的游览路线的种数为（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 【变式5.3】（24-25高二下·贵州黔南·期末）贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面6个景点中选择3个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有（   ） A．20种 B．18种 C．16种 D．14种 【题型6 代数中的组合计数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏徐州·月考）用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【变式6.1】（24-25高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【变式6.2】（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【变式6.3】（24-25高二下·北京大兴·月考）（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ (3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【题型7 几何组合计数问题】 【例7】（24-25高二下·广西河池·月考）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式7.2】（25-26高三上·上海·单元测试）平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行.求： (1)这些直线所交成的点的个数（除原10点外）； (2)这些直线交成多少个三角形. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏淮安·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)这9个点，可确定多少条不同的直线？ (2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【题型8 分组分配问题】 【例8】（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【变式8.1】（2025高三上·河南南阳·专题练习）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（ ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 【变式8.2】（24-25高二下·新疆喀什·期中）（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答） （2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答） （3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答） 【变式8.3】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 【题型9 排列组合综合】 【例9】（24-25高二上·辽宁·月考）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【变式9.1】（24-25高二下·福建福州·期中）春晚机器人秧歌表演动作流畅自然，惊艳了世界，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的指令共有（    ） A．216种 B．108种 C．90种 D．72种 【变式9.2】（24-25高二下·吉林长春·期中）有5个男生和3个女生，从中选出5人分别担任5门不同学科的科代表(要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表)，求分别符合下列条件的安排方法数．（写出必要的数学式，结果用数字作答） (1)有女生但人数必须少于男生； (2)女生甲一定担任语文科代表； (3)男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表． 【变式9.3】（24-25高二下·山东临沂·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (2)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知，则（   ） A．2 B．5 C．2或5 D．2或6 2．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 3．（24-25高二下·上海·期中）根据组合数的性质可知，（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 5．（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 6．（24-25高二下·江苏南通·月考）甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“你和乙都不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你的名次比甲差点.”从这两个回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ） A．54种 B．60种 C．36种 D．120种 7．（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 8．（24-25高二下·广东深圳·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是（   ） A．恰有一个空盒，有324种放法 B．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法 C．有256种放法 D．每盒至多两球，有204种放法 二、多选题 9．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则下列命题正确的有（   ） A． B． C．若，则 D． 10．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 11．（24-25高二下·广东广州·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 三、填空题 12．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知，则__________． 13．（24-25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有__________种（用数字作答）． 14．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有__________种. 四、解答题 15．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 16．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 17．（24-25高二下·陕西西安·月考）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 18．（24-25高二下·湖北武汉·期中）有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数. (1)含有女生但人数必须少于男生； (2)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表； (3)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 19．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $