精品解析：四川省广元外国语学校2025-2026学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题

四川省广元外国语学校2025-2026学年高一下学期第一次阶段性检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 6. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 7 B. 4 C. 9 D. 11 7. 已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为4 D. 若，则的最大值为 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足与的夹角为，则_____． 13. 若，则的最大值为_______________． 14. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 平面内给定两个向量. （1）求与夹角的余弦值； （2）若和垂直，求的值. 16. 如图，在中，，，，，. （1）试用和表示； （2）求的值. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，且，求的周长． 19. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． （1）当时，求四边形的周长； （2）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． （3）当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广元外国语学校2025-2026学年高一下学期第一次阶段性检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 2. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 3. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，. 所以. 因为，所以. 由投影向量公式可得在上的投影向量 所以在上的投影向量为. 4. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 5. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为，可得 在中，因为，可得 在中，因为 由余弦定理得 即，可得 解得或（舍去），即塔的高度为30米. 故选：C. 6. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 7 B. 4 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据三点共线的充要条件得，然后运用均值定理求最值. 【详解】因为三点共线， 不共线且在线段上， 由可得且, 则， 当且仅当且，解得时，等号成立. 7. 已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解. 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可. 【详解】∵， 由余弦定理有：， ∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，， ∴. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为，故A正确； 对于B：因为，所以的虚部为，故B错误； 对于C：由题意知：对应的复数为，对应的复数为， 则向量，对应的复数为，故C正确； 对于D：因为实系数一元二次方程的复数根是共轭复数，所以另一个根为， 根据韦达定理：， 即，所以； ； 所以，故D正确. 10. 如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为4 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对A：因为为的中点，所以，故A正确； 对B：因为是边长为2的等边三角形，所以，，， 所以，故B错误； 对C：因为，所以的最大值为2，故C错误； 对D：因为，， 由， 所以. 又， 由，故D正确. 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足与的夹角为，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为  所以. 13. 若，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由可得，设 ，然后由三角函数知识可得答案. 【详解】设， ，设， 则， 从而 ，即所求最大值为. 此时 14. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，利用两角和与差的三角函数求得角A，再利用，求得，再利用求解. 【详解】 由，则， 因为，故， 则，即， 即，， 则，故，故的三内角都小于， 则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为； 又，则， 则，解得，故， 因为， 即， 所以， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 平面内给定两个向量. （1）求与夹角的余弦值； （2）若和垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解； （2）利用向量垂直的坐标公式计算即可求解. 【小问1详解】 由向量，则， 又由，所以， 所以与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为和垂直，所以, 即，化简得，解得：. 所以若和垂直，的值为. 16. 如图，在中，，，，，. （1）试用和表示； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先用、表示，然后由可将用和表示； （2）利用平面向量数量积的定义和运算律可计算出的值. 【详解】（1），，，，， 因此，； （2），，，， . 【点睛】本题考查平面向量的基底表示，同时也考查了平面向量数量积的计算，要充分利用平面向量加法和减法的三角形法则，考查计算能力，属于中等题. 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，再根据三角恒等变形化简求解即可； （2）利用的和角公式，结合及，可得，利用正弦定理得，再根据余弦定理求出即可． 【小问1详解】 解：由正弦定理得， ， ， ， 因为，所以，解得： 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，则， ， ，， 解得：， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，解得：， 故的周长． 19. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设． （1）当时，求四边形的周长； （2）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求． （3）当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3），最大值为． 【解析】 【分析】（1）用余弦定理计算边长，再算周长； （2）运用，且为等边三角形，，，所以，所以，则最大时，，则，两次运用余弦定理即可求解； （3）通过三角形边角互化知识，将四边形的面积转化为的三角函数，用三角函数最值来解即可. 【小问1详解】 中，，，， 由余弦定理得， 即，于是四边形OACB的周长为． 【小问2详解】 因为，且为等边三角形，，， 所以，所以， 即OC的最大值为6，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以． 【小问3详解】 在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形OACB的面积为 ， 当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为， 所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $