专题07 三角形（期中真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期新教材北师大版

专题07 三角形 6大高频考点概览 考点01三角形的三边关系 考点02三角形的中线与三角形面积 考点03与三角形有关的计算 考点04三角形的综合运用 考点05三角形的动点问题 考点06三角形的综合证明 一、单选题地 城 考点01 三角形的三边关系 1．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．4，4，5 B．1，3，4 C．5，6，12 D．1，6，8 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（  ） A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）已知，，是三角形的三条边，化简__________． 地 城 考点02 三角形的中线与三角形面积 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，的面积为3，点分别为的中点，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，已知，，分别为，，的中点，若的面积为24，则阴影部分的面积为________． 地 城 考点03 与三角形有关的计算 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，平分交于点，，，则的度数是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，，点E，F分别是边上的点，沿着直线将折叠得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）将一副三角板按如图方式放置，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则______． 7．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为__________． 9．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为_________． 10．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点，于点，，，则_________． 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）一副三角板如图叠放，，，，若，则的度数为_____． 12．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度． 13．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，，，则______． 地 城 考点04 三角形的综合运用 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（    ） ①的面积的面积； ②的面积的面积； ③； ④； ⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．②③④ 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）． 地 城 考点05 三角形的动点问题 一、填空题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）若三角形满足一个角是另一个角的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是______度． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）一副直角三角板如图放置，其中，将三角板绕点转动．当时，的度数为___________． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，的度数为______°． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，．    5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图， 在长方形中， ，延长 到点 ， 使， 连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点 的运动时间为秒， 当的值为______秒时， 和全等． 6．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为_____． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 地 城 考点06 三角形的综合证明 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．） (2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则 ①与的位置关系是 ． ②与的关系是____________． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是设计了如下测量方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 （不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 (1)请你根据测量方案将示意图补充完整； (2)求凉亭A与游艇B之间的距离，并说明理由． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），项目活动报告如下: 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得的长为． 任务1: 河流的宽度为_____________m； 任务2: 请你说明他们做法的正确性． 6．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在中，是高，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，相交于点F．试说明：． 8．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【概念认识】 如图①，射线BP在的内部，若，则射线叫做的邻“分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点，若，则___________； (2)如图③，在中，点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点，且，求的度数； (3)如图④，在中，点在边的延长线上，连接，且，的邻“3分线”与交于点，若，直接写出的大小（用含的式子表示）． 9．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 11．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：. 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点在同一条直线上，与相交于点，，，． (1)若， ，求的长； (2)若，，求的度数． 14．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接BE． (1)若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______； (2)若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由； (3)当时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）． 19．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 22．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)若，求证：； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 25．（24-25七年级下·辽宁大连·期中） 阅读材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题背景 如图，在四边形中，分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系． 特殊情形 任务1：如图1，当时，其他条件不变，请探究线段之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长到点G，使得，连接． 在和中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． …… 一般性问题 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形中，若分别是边上的点，，则任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 26．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 27．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形 6大高频考点概览 考点01三角形的三边关系 考点02三角形的中线与三角形面积 考点03与三角形有关的计算 考点04三角形的综合运用 考点05三角形的动点问题 考点06三角形的综合证明 一、单选题地 城 考点01 三角形的三边关系 1．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．4，4，5 B．1，3，4 C．5，6，12 D．1，6，8 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、，能组成三角形，故此选项符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不合题意； C、，不能组成三角形，故此选项不合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）李老师布置了一道作图作业：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这一条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小张：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（  ） A．小李 B．小王 C．小赵 D．小张 【答案】C 【分析】据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，即可进行正确选择． 【详解】解：选项A，因为5＋2＞5，所以能围成三角形； 选项B，因为3＋4＞5，所以能围成三角形； 选项C，因为3＋3＝6，所以不能围成三角形； 选项D，因为4＋4＞4，所以能围成三角形； 故选：C． 【点睛】验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）已知，，是三角形的三条边，化简__________． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系可得 ， ，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，是三角形的三条边， ∴ ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系，绝对值的性质是解题的关键． 一、单选题地 城 考点02 三角形的中线与三角形面积 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质．利用中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”即可求解． 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12， ∴， 又∵是的的中线， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据题意可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【详解】解：，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：C． 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，的面积为3，点分别为的中点，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查中点定义、与中线有关的三角形面积问题，点分别为的中点，在不同三角形中由等底同高找准相关三角形面积的关系，数形结合即可得到答案．数形结合，由在不同三角形中由等底同高找准相关三角形面积的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， ， 是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， 是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， ， 是边中点， 以上的边为底，和等底同高，即， ， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，已知，，分别为，，的中点，若的面积为24，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点E为的中点，的面积为24， ， 点D为的中点， ， 点F为的中点， ， 阴影部分面积为：， 故答案为：． 一、单选题地 城 考点03 与三角形有关的计算 1．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，在中，平分交于点，，，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，利用外角的性质求出，再利用平分，求出，再利用三角形的内角和，即可求出的度数． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题关键． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，点E，F分别是边上的点，沿着直线将折叠得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据可得，由翻折可得，由三角形的内角和可求得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由翻折可得：， ，， ， ， 由翻折可得：． 故选：A． 5．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）将一副三角板按如图方式放置，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质.利用平行线的性质即可得到，再利用角的和差得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的高，解决问题的关键是进行分类讨论． 根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【详解】解：①如图，在的内部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，在的外部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为或． 7．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 【答案】或 【分析】根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角，解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理． 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算：由全等得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 9．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点，于点，，，则_________． 【答案】/9度 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． 根据角平分线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）一副三角板如图叠放，，，，若，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据角得和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度． 【答案】120 【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案. 【详解】∵， ∴∠C=∠C′=24°， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°， ∴∠B=120°， 故答案为：120. 【点睛】此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理. 13．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，计算即可得到答案 【详解】解：， ， 故答案为： ． 一、单选题地 城 考点04 三角形的综合运用 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的几种判定方法是解题的关键；易证，则有，，从而可判断①③正确；由即可证明，从而可判断④正确；条件不足，无法判断②正确，最后即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故①③正确． 又∵，，， ∴； 故④正确； 由于条件不足，无法证得，故②错误； 故正确的结论有：①③④； 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（    ） ①的面积的面积； ②的面积的面积； ③； ④； ⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；由可判断②；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出③；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断④；根据三角形的面积公式即可得到判断⑤． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF是角平分线，， ∴， ∴的面积的面积；故②错误； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； 同理可证， ∵是平分线， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵，是高， ∴， ∵，，， ∴，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，得到，结合分别是的角平分线，平分，得到，从而确定，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明，得出，判断④错误，即可得出结论． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵分别是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的高，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴综上所述，正确的结论是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线、中线和高、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的性质逐项分析即可得出答案． 【详解】根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确； 设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确， 全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选A． 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键． 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）． 【答案】①②③ 【分析】①利用三角形的中线，可知△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，即可判断； ②根据等角的补角相等先证明∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等即可判断； ③根据同角的余角相等证明∠FAG =∠ACD即可判断； ④根据已知条件不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可判断． 【详解】解：∵BE是AC边的中线， ∴AE= EC， ∴， 故①正确； ∵ CF平分∠ACB， ∴， ∵∠BAC= 90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵∠BAC = 90° ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF， ∴， 故④错误； ∴上面说法中正确的有3个， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形中线、高和角平分线的性质，熟练三角形的内角和定理、外角性质是解题的关键． 一、填空题地 城 考点05 三角形的动点问题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）若三角形满足一个角是另一个角的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是______度． 【答案】60或90/90或60 【分析】根据“智慧三角形”及“智慧角”的定义，列方程求解即可． 【详解】解：在有一个角为60°的三角形中， ①当“智慧角”α=60°时，β=20°，另一个角为100°； ②当α+β=180°-60°=120°且α=3β时， 则3β+β=120°， 解得β=30°， ∴α=90°， 即“智慧角”是90°， 故答案为：60或90 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”和“智慧三角形”、“智慧角”的定义是解决本题的关键． 2．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）一副直角三角板如图放置，其中，将三角板绕点转动．当时，的度数为___________． 【答案】或 【分析】此题考查了平行线的性质，三角板中的角度问题，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，分别根据平行线的性质求出，然后根据角的和差求解即可． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，的度数为______°． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑，逐个情况作图，运用数形结合思想，且利用对称的性质及三角形内角和等知识进行列式计算，即可作答．本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 【详解】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ②当在上方时，如图， ∵ ∴， ∵折叠 ∴ ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，．    【答案】2或5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，，    ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图， 在长方形中， ，延长 到点 ， 使， 连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点 的运动时间为秒， 当的值为______秒时， 和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 若，则当时，根据可得， 即此时， 解得； 若，则当时，根据可得， 即此时， 解得； 综上，当的值为或时，和全等， 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为_____． 【答案】1或3 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键； 分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图3，当时，； 如图4，当（或）时，， ∴， ∴； 如图5，当时，， ∴． 综上所述，其他可能符合条件的度数为或或． 故答案为：或或． 地 城 考点06 三角形的综合证明 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图． （4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：过点B作的平行线，如图所示： （4）解：依题意，， ∵线段， ∴点C到直线的距离． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．） (2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则 ①与的位置关系是 ． ②与的关系是____________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握尺规作角等于已知角的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行推出，再利用平行线的性质得出，根据同角的补角相等得到，再利用平行线的判定即可得出结论；②根据角平分线的定义得到，再结合①中的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②的角平分线为， ， 由①得，，， ， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是设计了如下测量方案． 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图 （不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达D点； ③他到达D点后向左转直行，当自己、电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处． 测量数据 (1)请你根据测量方案将示意图补充完整； (2)求凉亭A与游艇B之间的距离，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)距离为，理由见解析． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． （1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即，将图形补充完整即可； （2）任务二：由补充完整的图形可知，，且与是对应边，可知米，得出答案为8； 【详解】（1）解：如图所示． （2）距离为．理由如下： 垂直于岸，平行于岸， ， ， 根据题意，， 在和中， ， ， ． 答：凉亭A与游艇B之间的距离． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2)垂线段最短 (3)合适，见解析 【分析】本题考查三角形的稳定性，垂线段最短，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的稳定性进行作答即可； （2）根据垂线段最短，作答即可； （3）根据全等三角形的判定和性质，进行说明即可． 【详解】（1）解：这种设计应用的几何原理是三角形具有稳定性； （2）这里所运用的几何知识是：垂线段最短； （3）合理，理由如下： 因为， 所以． 在与中， 所以， 所以． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），项目活动报告如下: 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得的长为． 任务1: 河流的宽度为_____________m； 任务2: 请你说明他们做法的正确性． 【答案】任务1：5；任务2：见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明即可得出结论． 【详解】解：任务1：5 任务2：依题意得：点A，C，E在同一条直线上，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 所以他们的做法是正确的． 6．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键． 【详解】解：， 设， ，， ， 解得：， ， ，， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ， 故的度数为． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在中，是高，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，相交于点F．试说明：． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据在中，是高得到，再利用等角的余角相等得到即可解答； （2）根据角平分线的定义得到，再利用等角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等角的余角相等，角平分线的定义，对顶角相等，直角三角形的判定，掌握等角的余角相等是解题的关键． 8．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【概念认识】 如图①，射线BP在的内部，若，则射线叫做的邻“分线”． 【问题解决】 (1)如图②，在中，点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点，若，则___________； (2)如图③，在中，点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点，且，求的度数； (3)如图④，在中，点在边的延长线上，连接，且，的邻“3分线”与交于点，若，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）设，，根据邻“2分线”和邻“2分线”的定义和三角形内角和定理进行计算即可； （2）设，，根据邻“4分线”与邻“4分线”的定义和三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵点是的邻“2分线”与的邻“2分线”的交点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：设，， ∵点是的邻“4分线”与的邻“4分线”的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴设，， ∵的邻“3分线”与交于点， ∴设，则， 在中，由三角形内角和定理得， ∴， 在中，由三角形内角和定理得． 9．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可． （2）证明，，再利用线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 10．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 11．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定与性质，关键是证明． 【详解】证明：， ， 即， ∵， ∴ 在与中， ， ∴ ∴． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：. 【答案】见详解 【分析】由得到，利用SSS证明△ABC≌△DEF，得到∠B=∠E，即可得到. 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠E， ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点在同一条直线上，与相交于点，，，． (1)若， ，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得出，，，证明，根据全等三角形的性质即可得解； （）根据平行线的性质及三角形外角的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 【答案】详见解析. 【详解】试题分析：（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC； （2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论． 试题解析：证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO． 在△AOD和△BOC中，∵AO=BO，∠AOD=∠BOC，CO=DO ，∴△AOD≌△BOC（SAS）． （2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得，再结合，，即可证明； （2）由全等三角形的对应角相等得，再根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ． 17．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、垂直的判定与性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到，等量代换得到，进而由两个三角形全等的判定与性质得到，最后由直角三角形两锐角互余、等量代换确定即可得到答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、垂直的判定与性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）等腰△ABC，CA＝CB，D为直线AB上一动点，以CD为腰作等腰三角形△CDE，顶点C、D、E按逆时针方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接BE． (1)若∠ACB＝60°，当点D在线段AB上时，如图（1）所示，此时AD与BE的数量关系为______； (2)若∠ACB＝90°，当点D在线段BA延长线上时，如图（2）所示，AD与BE有什么关系，说明理由； (3)当时，若△CAD中最小角为15°，试探究∠CDA的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)；AD=BE； (2)；AD=BE，理由见解析； (3)105°或45°或15°． 【分析】（1）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论； （2）根据全等三角形的判定可以得出△ACD≌△BCE，从而得出结论； （3）分D在线段AB上、当点D在BA的延长线上、点D在AB的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）∵∠ACB＝60°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ ACB=∠DCE=60°． ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， 即∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． 故答案为：AD=BE； （2）AD=BE，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE， 即∠DCA=∠ECB． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． （3）解：当D在线段AB上时， ∵BECA， ∴∠CBE=∠ACB， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∴∠CAD=∠ACB，又∠CAB=∠CBA， ∴△CAB为等边三角形， ∴∠CAB=60°， 当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时， ∴∠CDA=180°-60°-15°=105°， 当点D在BA的延长线上时， ∵BECA， ∴∠ACE=∠CEB，∠ABE=∠CAB， ∵△DCA≌△ECB， ∴∠CDA=∠CEB，∠CAD=∠CBE， ∴∠ACB=∠ACE+ECB=∠CEB+∠ECB=180°-∠CBE=180°-∠CAD=∠CAB=∠CBA， ∴△CAB是等边三角形， 当△CAD中的最小角是∠ACD=15°时，∠CDA=∠CAB-∠ACD=45°， 当△CAD中的最小角是∠CDA时，∠CDA=15°； 当点D在AB的延长线上时，只能∠CDA=15°， 综上所述，∠CDA的度数为105°或45°或15°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题． 19．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【答案】；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，找条件证明是解题的关键．证明。得到，即可得到结论． 【详解】解：， ， （直角三角形两锐角互余）， ， ， （同角的余角相等）， 在和中， ， ， ， （全等三角形对应边相等） ． 故答案为：；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过C作的垂线，垂足为F，过B作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． （1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵是边上的中线， ， ， ． 22．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且， ， ， ， ，， 的面积． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)若，求证：； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25；115，小 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）对于图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；对于图3：在上截取，使，连接，同图2法进行求解即可； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 25．（24-25七年级下·辽宁大连·期中） 阅读材料 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 活动主题 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 问题背景 如图，在四边形中，分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系． 特殊情形 任务1：如图1，当时，其他条件不变，请探究线段之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：延长到点G，使得，连接． 在和中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． …… 一般性问题 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形中，若分别是边上的点，，则任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程． 【答案】任务1：见解析；任务2：成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）证明得，进而可证； （2）先证明得，再证明得，进而可得． 【详解】解：任务1：在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以； 任务2：．延长至M，使，连接， 因为， 所以， 在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以， 所以， 因为， 所以． 26．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 27．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． 【答案】（1）①；②（2）见解析（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵， 由外角定理得：， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $