专题05 图形的平移与旋转（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期新教材北师大版

专题05 图形的平移与旋转 4大高频考点概览 考点01图形变换的认识 考点02根据旋转的性质求角度 考点03根据平移性质求坐标 考点04由中心对称及旋转性质求坐标 考点05根据图形的变换性质作图 考点06平移与旋转的证明 一、单选题地 城 考点01 图形变换的认识 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）（哪吒2）动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）下列现象中属于平移的是（   ） A．火箭从点火开始垂直上升 B．小朋友荡秋千 C．看到平面镜中自己的像 D．汽车刮雨器的运动 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 根据旋转的性质求角度 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，当与在一条直线上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠C=50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数为______． 7．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为________． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 地 城 考点03 根据平移性质求坐标 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）点A的坐标为，点B的坐标为，若将线段平移至的位置，其中点A，B的对应点分别是点．若点的坐标为，点B'的坐标为，则的值为（   ） A．1 B．0 C．2 D．-1 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 二、填空题 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得点，则点的坐标是_______． 10．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在轴上，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为________． 12．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是_____． 地 城 考点04 由中心对称及旋转性质求坐标 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D．7 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（    ） A． B．4 C．12 D． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________． 7．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图；长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点为中心，翻转后点的坐标为．则翻转2025次后点的坐标应为______． 8．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转得，则点的对应点的坐标为______． 9．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 10．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为___________． 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 地 城 考点05 根据图形的变换性质作图 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出点的坐标______； （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标____； （3）作出点关于轴的对称点，若点向右平移个单位长度后落在的内部，请直接写出的整数值． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_______________； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出． (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____________ 4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)画出绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形，直接写出的坐标 ． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标 ； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标 ； (3)点P为x轴上一点，当最小时，则点P的坐标为 ． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； (3)在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出，并直接写出的坐标； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为_______． 8．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个小正方形的边长均为1个单位长度） (1)若和关于原点成中心对称，则点的坐标为______________； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的； (3)已知点，在轴上找一点，使点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____________ 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 地 城 考点06 平移与旋转的证明 一、解答题 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB、DC交于点G． （1）求证：AB⊥DE； （2）求证：FB+BG＝BC． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转90°至，连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）、、三边满足什么数量关系？并证明． （3）如图2，将沿折叠至．射线、射线交于点，若时，求的长度． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在中，，，，将绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，． (1)如图2，当恰好经过点C时，求线段的长； (2)如图3，当恰好经过点C时，求线段的长； (3)在图3的基础上，将沿直线平移，点A，B，C的对应点分别为，，，连接，，若是以为底的等腰三角形，请直接写出线段的长． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： （1）如图2，当旋转到时，求旋转角α的度数为 ； 探究规律： （2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线交于点P，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 9．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的平移与旋转 4大高频考点概览 考点01图形变换的认识 考点02根据旋转的性质求角度 考点03根据平移性质求坐标 考点04由中心对称及旋转性质求坐标 考点05根据图形的变换性质作图 考点06平移与旋转的证明 1.9一、单选题地 城 考点01 图形变换的认识 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）（哪吒2）动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A．左边图案仅通过平移变换无法得到，故此选项不符合题意； B．左边图案属于旋转所得到，不符合平移性质，故此选项不符合题意； C．左边图案形状、方向与大小没有改变，符合平移性质，故此选项不合题意； D．左边图案属于旋转所得到，不符合平移性质，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）下列现象中属于平移的是（   ） A．火箭从点火开始垂直上升 B．小朋友荡秋千 C．看到平面镜中自己的像 D．汽车刮雨器的运动 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移是指物体在平面内沿某一方向移动相同的距离，不改变物体的形状、大小和方向，根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】A. 火箭垂直上升时，沿直线方向移动，形状和大小不变，符合平移的定义，故符合题意； B. 荡秋千是绕固定点做圆弧运动，属于旋转而非平移，故不符合题意； C. 平面镜成像属于镜面对称（反射），像与物体关于镜面对称，并非平移，故不符合题意； D. 刮雨器绕固定轴摆动，属于旋转运动，故不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意； B、该图标不是中心对称图形，本选项符合题意；； C、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；； D、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；． 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一进行判断即可，轴对称图形的关键是找到对称轴，中心对称图形的关键是找到对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，数形结合分析是解题的关键． 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形就称为关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）下列图案是历届冬奥会会徽，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：A． 一、单选题地 城 考点02 根据旋转的性质求角度 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质求得∠ABC=∠C=70°，继而根据旋转的性质即可求得答案. 【详解】∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×140°=70°， ∵△EBD是由△ABC旋转得到， ∴旋转角为∠ABC=70°， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，当与在一条直线上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的性质、三角形内角和定理等知识，根据题意求得是解题的关键．由旋转得，而，则，因为，则，进而即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，， ∴， ∴， ∵与在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质和三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查旋转的性质、等边对等角以及三角形外角的性质，关键是根据旋转的性质和三角形外角的性质解答． 4．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）2020-2021学年九年级下学期期中考试数学试题）如图，将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转角，求得∠DA′C的度数，然后在等腰△ACA′中利用等边对等角求得∠AA′C的度数，即可求解． 【详解】解：若AC⊥A′B′，垂足为D，由旋转可知，∠DCA′=40°，CA＝CA′， ∵AC⊥A′B′， ∴∠DA′C＝90°﹣∠DCA′＝90°﹣40°＝50°． ∵CA＝CA′， ∴∠CAA′＝∠CA′A＝（180°﹣∠DCA′）＝×（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AA′B′＝70°﹣50°＝20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠C=50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数为______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质结合旋转的性质得出,进而利用三角形的外角得出答案． 【详解】， ， 旋转， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，三角形的外角性质，正确得出旋转角和旋转边是解题的关键． 7．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】根据旋转得到：，，进而推出，利用三角形的内角和，求出，利用，得到，再利用，即可得解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握对应点与旋转中心组成的夹角等于旋转角，以及旋转后两图形的对应边相等，是解题的关键．本题同时考查了平行线的性质和三角形的内角和定理． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解． 【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时，最小，的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 一、单选题地 城 考点03 根据平移性质求坐标 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，熟练掌握“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据“左减右加，上加下减”进行解题即可． 【详解】解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新点的横坐标：，纵坐标为：，即． 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为， ∴得到的点关于轴的对称点坐标是． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解． 【详解】解：根据平移法则可知，得到的点的坐标是，即． 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）点A的坐标为，点B的坐标为，若将线段平移至的位置，其中点A，B的对应点分别是点．若点的坐标为，点B'的坐标为，则的值为（   ） A．1 B．0 C．2 D．-1 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握知识的应用是解题的关键． 由点的平移性质可得，求解即可． 【详解】解：由点的平移性质可得： ， 解得：， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质， 根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度，根据平移特征得出答案． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移，代数式求值．由平移前后对应点的坐标，可确定平移方式，从而可得和即可得的值． 【详解】解：∵点平移后的对应点为，，点平移后的对应点为，， ∴线段向右平移个单位，向上平移个单位， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A ． 8．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，利用平移变换的规律解决问题即可．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点向左平移个单位，向上平移5个单位得到点的坐标为， 线段平移的方式是：向左平移个单位，向上平移5个单位． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查坐标的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位，再向上平移5个单位得点， ∴， 故答案为． 10．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点， ∴向上平移2个单位后得到点， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在轴上，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．先根据题求得的值，然后根据点平移的规律解答即可． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ∴ 解得： ∴ ∴将点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点，则点的坐标为 故答案为：． 12．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点为 ∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点C的坐标为． 故答案为：． 一、单选题地 城 考点04 由中心对称及旋转性质求坐标 1．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的两个点横、纵坐标互为相反数求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（    ） A． B．4 C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键；关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，根据此性质列出方程求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且对称点为， ∴，且， 解得，， ∴； 故选D． 4．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了求绕原点旋转90度的点的坐标，分点A绕原点O顺时针和逆时针旋转 两种情况讨论，然后画出图形，数形结合求解即可． 【详解】解：点A绕原点O顺时针旋转，如图， ∴； 点A绕原点O逆时针旋转，如图， ∴ ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 7．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图；长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点为中心，翻转后点的坐标为．则翻转2025次后点的坐标应为______． 【答案】 【分析】先分别求解第2次翻转后、第3次翻转后、第4次翻转后点A的坐标，再探究总结规律，利用规律解决问题即可．本题考查坐标规律的探究，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：∵第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为． ∴第2次翻转后点A的坐标为， ∴第3次翻转后点A的坐标为， ∴第4次翻转后点A的坐标为， ∴第5次翻转后点A的坐标为， 依次类推：发现点A的纵坐标4次翻转为一个循环，长方形旋转一周，横坐标增加6， ∵， ∴则翻转次后点A的纵坐标与第1次翻转后点A的纵坐标相等，即为2， 则横坐标， ∴则翻转次后点A的坐标应为． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转得，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转．根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴对应点的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，若将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，写出点的坐标，根据题意画出，结合坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点，顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查对坐标与图形变换-旋转，全等三角形的性质和判定，过A作轴于C，过作轴于D，根据旋转求出，证，推出，即可． 【详解】解：过A作轴于C，过作轴于D， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴的坐标是， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用旋转的性质可得出，的长，再结合图中点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． 由旋转可知：，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 一、解答题地 城 考点05 根据图形的变换性质作图 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出点的坐标______； （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标____； （3）作出点关于轴的对称点，若点向右平移个单位长度后落在的内部，请直接写出的整数值． 【答案】（1）图见解析，；（2） ；（3）或． 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据旋转的性质作图，再结合平移的性质可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：，． （2）如上图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：，． （3）如上图，点即为所求． 由图可知，点向右平移或个单位长度后落在的内部， 的整数值为或． 【点睛】本题考查作图旋转变换、轴对称变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称、平移和中心对称的性质是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据“关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_______________； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出． (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____________ 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，画旋转图形，找旋转中心，勾股定理，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键； （1）由点B平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为：先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，即可得出答案； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可； （3）画出的垂直平分线，其交点即为所求，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． （3）如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)画出绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形，直接写出的坐标 ． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解， 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质是解题的关键； （1）分别得出点A、B、C关于y轴对称的对应点，然后问题可求解； （2）分别得出点A、B、C关于原点对称的对应点，然后问题可求解； （3）根据旋转的性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作如图所示； （2）解：所作如图所示； （3）解：所作如图所示；由图可知的坐标为； 故答案为． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标 ； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标 ； (3)点P为x轴上一点，当最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转以及最短路径问题，涉及平移规律（右加左减、上加下减）、旋转坐标变换规则和轴对称，最短路径思想．解题关键是熟练掌握平移、旋转对坐标的影响，以及利用轴对称转化最短路径问题；易错点是平移或旋转时坐标计算错误，以及最短路径问题中对称点的选取失误． （1）根据“右加左减、上加下减”的平移规律，对的三个顶点分别进行横坐标加1、纵坐标加5的操作，得到的顶点坐标，进而确定的坐标并画图． （2）依据点绕原点逆时针旋转后变为的规则，对的顶点进行旋转操作，得到的顶点坐标，从而确定的坐标并画图． （3）利用轴对称的性质，作点A关于x轴的对称点，连接，其与x轴的交点即为P．通过待定系数法求出直线的解析式，再令求出P的坐标． 【详解】（1）如图所示，即为所求： 由题意得，点的横坐标变为，纵坐标变为，所以的坐标为． 故答案为：． （2）如图所示，即为所求： 点旋转后，横坐标为，纵坐标为4，所以的坐标为． 故答案为：． （3）作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P（两点之间线段最短）． 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得，，即直线的解析式为． 令，则，解得，所以点P的坐标为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的； (2)画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； (3)在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查作图-旋转变换，关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点． （1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可得； （2）分别作出点，，，绕点O逆时针旋转后所得对应点，，再顺次连接可得； （3）根据平行线间距离处处相等即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）如图所示：即为所求， （3）如图，点，即为所求． 7．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出，并直接写出的坐标； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为_______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，，，； (3)． 【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． （）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到的坐标，然后顺次连接即可； （）根据关于原点对称点的性质分别得到的坐标，然后顺次连接即可； （）连接，则都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ∴，，； （3）解：连接，如图， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个小正方形的边长均为1个单位长度） (1)若和关于原点成中心对称，则点的坐标为______________； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的； (3)已知点，在轴上找一点，使点到点与点的距离相等，则点的坐标为_____________ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，三角形的面积及勾股定理等知识， （1）利用关于原点成中心对称的性质求出的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）因为和关于原点成中心对称，， 所以， 故答案为：； （2）如图，即为所求； （3）设， ， ∵点到点与点的距离相等， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出向右平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析， 【分析】本题考查了作图——旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据平移的性质即可向右平移个单位，作出平移后的，即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后得到的，进而写出点的坐标． 【详解】（1）解：∵．将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的， ∴， 如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 一、解答题地 城 考点06 平移与旋转的证明 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB、DC交于点G． （1）求证：AB⊥DE； （2）求证：FB+BG＝BC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出,,则根据三角形内角和定理可得出结论； （2）根据旋转的性质可得为等腰直角三角形，然后根据题意证明,即可得出结论． 【详解】解：（1）∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC， ∴，， ∵, ∴, ∴AB⊥DE； （2）∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即FB+BG＝BC． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由此即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，根据角度间的关系求出结果即可； （3）先根据周角的定义和等边三角形的性质求出，，再分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用等边对等角和三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由等边知，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． （2）由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 5．（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中，，，，为线段上一点． 【初步感知】 （1）如图1，连接，将绕点逆时针旋转90°至，连接，，求的度数； 【深入探究】 （2）、、三边满足什么数量关系？并证明． （3）如图2，将沿折叠至．射线、射线交于点，若时，求的长度． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）先证明，由旋转的性质得，证明得，进而可求出的度数； （2）由全等三角形的性质得，在中，求出，在中，求出，进而可得； （3）证明得，求出，可证，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可 【详解】（1）解：，， 由旋转的性质得 即 （2）证明： 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， （3）过点作 折叠 ∴ ∴ ，， 折叠 设 则 在中， 由勾股定理得， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 6．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）由，可得，，，即可求解． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ， ，， 为直角三角形， ， ，，， ， 如图③，延长至，使，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，在中，，，，将绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，． (1)如图2，当恰好经过点C时，求线段的长； (2)如图3，当恰好经过点C时，求线段的长； (3)在图3的基础上，将沿直线平移，点A，B，C的对应点分别为，，，连接，，若是以为底的等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由已知得，，由旋转的性质证明是等边三角形，，再证是等边三角形即可得出答案； （2）根据旋转的性质，三角形内角和定理及勾股定理，即可解答； （3）过作，在上取点、使，过作于，由（2）可得，，，，即可求出，，在利用勾股定理求出，得到，，最后根据平移得到，点在上移动，由是以为底的等腰三角形，，则与或重合时，即可得到线段的长为或． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由旋转的性质可知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴在中，； （3）解：如图，过作，在上取点、使，过作于， 由（2）可得，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵将沿直线平移，点A，B，C的对应点分别为，，， ∴，点在上移动， ∵是以为底的等腰三角形，， ∴与或重合时，符合题意， ∴或， 即线段的长为或． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平移的性质等知识，熟练利用直角三角形的特征进行计算是解题的关键． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： （1）如图2，当旋转到时，求旋转角α的度数为 ； 探究规律： （2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线交于点P，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；② 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 9．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．    【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）；（2）；理由见解析（3）12.5 【分析】（1）延长到点G，使，连接，先根据证明得，再证明可得，即可得出结论； （2）将绕点C逆时针旋转得，连接，可证，得，可证是直角三角形，即可得出结论； （3）过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，先证，可得，再证，可得,由勾股定理可得长，再求四边形面积，即可求得结论． 【详解】（1）解：结论是：，理由如下： 延长到点G，使，连接， ， ， 在和中 ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 将绕点C逆时针旋转得，连接，   ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在中，， ， ． （3）解：过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，   ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 四边形面积=四边形面积=． 【点睛】本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $