精品解析：2025年辽宁省鞍山市海城市第四中学八年级下学期第一次质量调查数学试卷

海城四中2024-2025学年度下学期八年级数学4月限时作业 （时间90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，不能判断它是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（ ） A. 只有③ B. 只有② C. ①② D. ①②③ 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直且相等 D. 平行四边形的对角线相等 6. 如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 东偏北 D. 东偏北 7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙均正确 8. 如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 9. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 16米 D. 20米 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知，求的算术平方根______． 12. 如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为________． 13. 菱形中，，对角线、相交于点，，为对角线上一点，连接，，则线段的长度为______． 14. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 15. 在矩形中，点在直线上，，若，，则点到直线的距离为______． 三．解答题（共7小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点E，点F分别在边与边上，连接，与对角线交于点O．当时，求证：O为的中点． 18. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知，求的值．他们是这样解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） ． （2）化简． （3）若，求的值． 19. 为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据； （2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 20. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 21. 如图1，点，分别是正方形的边的中点，连接． （1）求证： ①； ②； （2）将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图，求证：是等腰三角形； 22. 阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： （1）平面直角坐标系中有两点，，则线段长为_______ （2）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； （3）若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有_______，即_______ 若，则有_______，即_______ （4）在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城四中2024-2025学年度下学期八年级数学4月限时作业 （时间90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件判断即可得到答案． 【详解】A、，∴不是最简根式，不符合题意，故选项错误； B、，∴不是最简根式，不符合题意，故选项错误； C、，∴是最简根式，符合题意，故选项正确； D、，∴不是最简根式，不符合题意，故选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数（式）不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质判断A，C，D，再根据二次根式的加减判断B即可． 【详解】因为，所以A不正确； 因为和不是同类二次根式，不能运算，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：C． 3. 在中，不能判断它是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 根据直角三角形的定义，即可判断A、B，根据勾股定理逆定理，即可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、设， ∵， ∴不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（ ） A. 只有③ B. 只有② C. ①② D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边的判定，熟知判定平行四边形的条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定条件逐一判定即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形； ③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形； 根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③， 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直且相等 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质进行判断． 【详解】A选项：矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意； B选项：菱形的对角线垂直不一定相等，故不符合题意； C选项：正方形的对角线互相垂直且相等，故符合题意； D选项：平行四边形的对角线相等不一定相等，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的性质．解题关键是熟记平行四边形及特殊的平行四边形的性质． 6. 如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 东偏北 D. 东偏北 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形， ， 由题意得：， 点在点的北偏东方向， 故选：B． 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙均正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据甲的作法作出图形，首先证明，可得，其次根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，可判断四边形是菱形；根据乙的作法作出图形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质可得，可判断四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故甲的作法正确； 根据乙的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故乙的作法正确； 综上所述，甲、乙均正确， 故选：D． 8. 如图，矩形的对角线相交于点，，若，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形CODE的周长， 故选：B． 9. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键； 先根据数轴推出，，，据此计算算术平方根、乘方和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：有数轴得，， ∴，， ∴， ． 故选∶B． 10. 如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 16米 D. 20米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米），\ ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）， 故选：D． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知，求的算术平方根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式中的被开方数是非负数列出算式，求出x的值，代入原式求出y的值，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 的算术平方根是， 故答案为：． 12. 如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．设左下角的字母为，在中，利用勾股定理，即可求出的长，进而可得出正方形的边长． 【详解】解：设左下角的字母为，如图所示． 在中，，，， ， 正方形的边长为． 故答案为：． 13. 菱形中，，对角线、相交于点，，为对角线上一点，连接，，则线段的长度为______． 【答案】4或6 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出，再分点在和上两种情况求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，，， ∴, ①当点在上时，如图1， 在中， ∴ ∴； ②当点在上时，如图2， 同理可求：， ∴， 综上，的长为4或6， 故答案为：4或6． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质得出是解决问题的关键． 14. 如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点H，则线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过H作于Q，根据勾股定理求出设，列方程,求出的值即可求出解． 【详解】解：过H作于Q，如图， 在矩形中，，，, ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，有， 即：， 解得：， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，矩形的性质，角平分线性质，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 15. 在矩形中，点在直线上，，若，，则点到直线的距离为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①点在边上时，连接，作于，由矩形的性质得出，，，求出，，在中，由勾股定理得出，再由的面积的面积的面积矩形的面积，即可得出结果；②点在边的延长线时，作于，延长线与延长线交于点，由矩形的性质得出，得出，根据相似三角形的性质求得，，在中，由勾股定理得出，再由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①点在边上时， 如图1所示：连接，作于， 四边形是矩形， ，，， ， ，， 在中，， 的面积的面积的面积矩形的面积， ， 解得：； ②点在边的延长线时， 如图2所示：作于，延长线与延长线交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ，在中，， 的面积， ； 综上所述，点到直线的距离为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的性质与判定；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是关键． 三．解答题（共7小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在中，点E，点F分别在边与边上，连接，与对角线交于点O．当时，求证：O为的中点． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ． ∴， ∴． ∴O为的中点． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质和线段的和差得到条件，证明，即可证明结论． 【详解】略 18. 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知，求的值．他们是这样解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） ． （2）化简． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）1 （3）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用类比的方法解答． （1）仿照例题，可以求得所起式子的值； （2）仿照例题，可以求得所起式子的值； （3）仿照例题，将a的值分母有理化，然后变形，即可求得所求式子的值． 【小问1详解】 解：， 故答案为：2； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即的值为4． 19. 为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据； （2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】（1）施工人员测量的是AC的距离，见解析 （2）12540元 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案． 【小问1详解】 施工人员测量的是AC的距离．依据：若，则． 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，且． 【小问2详解】 在中，，， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 21. 如图1，点，分别是正方形的边的中点，连接． （1）求证： ①； ②； （2）将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图，求证：是等腰三角形； 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①利用证明（）即可．②根据（）性质，结合互余的性质证明即可． （）根据折叠的性质，得到；根据正方形性质，， 继而得到，根据等角对等边证明即可． （）设，则，设，则，继而得到，运用勾股定理，正切定义计算即可． 【小问1详解】 证明：①∵正方形，点，分别是正方形的边、的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵沿翻折得到，延长交的延长线于点， ∴； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，正切函数，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，勾股定理和正切函数是解题的关键． 22. 阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： （1）平面直角坐标系中有两点，，则线段长为_______ （2）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； （3）若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有_______，即_______ 若，则有_______，即_______ （4）在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】（1）5 （2）为等腰三角形 （3），，， （4）点的坐标有 【解析】 【分析】（1）根据题中所给出的两点的直线距离公式进行计算即可得出结论； （2）根据两点间的距离公式分别求得三边的长度；最后根据三角形的三条边长关系来判断该三角形的形状； （3）由题意利用两点间距离公式结合勾股定理进行分析即可； （4）由题意设点坐标结合为等腰三角形并利用两点间距离公式进行计算即可，注意对腰长进行分类讨论. 【小问1详解】 解：，， 故答案为：5 【小问2详解】 解：，，， 为等腰三角形 【小问3详解】 解：设，两点，，为直角三角形， ，， 若，则有，即 若，则有，即 故答案为：，，， 【小问4详解】 解: 在轴上存在一点， 设点 ，，， 且为等腰三角形 ①当时，则 即，解得 此时； ②当时，则 即，解得或 此时与点N重合，舍去，或； ③当时，则 即，解得或 此时或； 综上点的坐标有. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式和等腰三角形性质与直角三角形结合勾股定理，要注意分类讨论思想的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $