精品解析：安徽淮北市实验高级中学2025-2026学年高三下学期考前预测数学质检卷

2025-2026学年高三下学期第三次数学质检卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可． 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限． 故选D． 【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题． 2. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】， 对于，则，解得， 故，所以， 故选：D. 3. 在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D分别作的平行线交于，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比. 【详解】如图，因为，过D分别作的平行线交于， 则为的中点，为的靠近A的三等分点， 则，， 所以，∴. 故选：B. 4. 嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与 ，现测得 ，，，在 点测得塔顶 的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，在中，根据正切用表示，中，正弦定理建立与的等量关系，可求解，从而确定选项. 【详解】设，则， 在中， ， 在中由正弦定理＝，即， 解得. 故选：B. 5. 某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（ ） 件数 7 8 9 10 11 人数 3 6 5 4 2 A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，即可求解． 【详解】抽取的工人总数为20，，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序的第12项与第13项数据的平均数， 第12项与第13项数据分别为9，9，所以第60百分位数是9． 故选：B． 6. 关于对称，则其最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对进行因式分解，利用关于对称，得出的值，最后用换元法将转换为二次函数求最值即可. 【详解】，因关于对称， 故的根应为和，所以，得，，即. 令，则，代入得： ，令，，函数开口向上， 对称轴为，，因此，函数的最小值为. 故选：B 7. 已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线的顶点为， 依题意，椭圆的焦点为， 则椭圆的半焦距为，半短轴长为， 因，则椭圆的离心率为． 8. 在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（ ） A. 6种 B. 11种 C. 12种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类相加、分步相乘的计数原理进行讨论即可. 【详解】第一类：三门主科选语文、数学、日语时，此时不能选物理，只能选历史，且政治和地理至多选一门，即政治地理不能同时选，即种方式. 第二类：三门主科选择语文、数学、英语时，若选历史，则跟第一类同理种方式；若选物理，则化学、生物、政治、地理中任选两科无限制，即. 综上所述，所以选择方式为种方式. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 时，有两个零点 B. 时，在处取极小值 C. 时，恒成立 D. 若只有一个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导可得函数的单调性，结合极值定义、函数的单调性与零点的存在性定理逐项计算与判断即可得. 【详解】对于B，， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故在处取极小值，故B正确； 对A、C：当时，， 又，， 故有两个零点，故A正确，C错误； 对D：若只有一个零点，则， 即，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，,则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线垂直 C. 平面截三棱锥所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因，分别为棱，的中点，且， 则，且 又平面，则平面，又， 则， 所以三棱锥的体积为，故A正确； 对于B，因为平面，平面，则，又， 平面，故EF平面， 又平面，则， 假设直线，因平面，则平面， 因平面，则，即， 这与矛盾，故假设不成立，故B错误； 对于C，取的中点，连，，则， 即四边形为平行四边形，则平面截三棱锥所得的截面为四边形， 又平面，平面，则， 故为矩形，又，，所以截面面积为，故C正确； 对于D，因为，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． 所以点与点到平面的距离相等，故D正确. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数， 所以在内，，函数单调递减； 在上，，函数单调递增， 所以是的极小值点，故A错误； 对于选项B，由，得， 由于分子判别式小于零，所以恒成立， 所以函数在，上单调递减， 且， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对于选项C，若，可得， 令，则， 令，则， 所以在内，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 所以，所以， 所以函数在上单调递减． 又因为当时，， 所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确； 对于选项D，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得，所以，故单调递增， 可得，故成立，故D正确． 故选：BD. 【点睛】方法点睛： （1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析； （2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围； （3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得，，令，利用导数得到函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】由函数在区间上有两个零点，令， 即，得，. 记，，则. 当时，当时， 由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，，且当时，. 要使得在上有两个零点，则， 则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解． 【详解】因为，，所以， 所以，故答案为 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题 14. 已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可. 【详解】设为椭圆上任意一点, 则， 所以， 因为P在椭圆上，所以， 所以， 即的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共７７分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． （1）根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （3）若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 【答案】（1） （2）． （3）册 【解析】 【分析】（1）因为散点图呈现的是非线性趋势，所以选择更合适； （2）令，将转化为线性回归方程，利用最小二乘估计公式计算和，进而得到关于的回归方程； （3）根据利润公式，结合回归方程列出不等式，求解不等式得到印刷数的取值范围，确定至少印刷的册数. 【小问1详解】 由散点图的分布是非线性的，故适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程； 【小问2详解】 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 关于的线性回归方程为， 从而关于的回归方程为； 【小问3详解】 假设印刷册，依题意，， ， 至少印刷册． 16. 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角．   （1）证明：平面平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用平面几何知识证明，再利用面面垂直的性质定理证明平面，即可得证； （2）取的中点，连接，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用异面直线与所成角的余弦值，求出，进而通过向量法求出平面与平面夹角的余弦值； （3）根据点到平面的距离计算公式即可求得. 【小问1详解】 取中点，连接， ，， 且，四边形为平行四边形， ，， 所以，，而， ，即， 又直二面角，即平面平面，且交线为， 又平面，平面， 平面 平面平面； 【小问2详解】 取中点，连接，则，， 由（1）同理可得平面， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系： 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量， 在中，，， 可得出， 则在等腰直角中，， 又因为，所以， 得，，， 由得 取，得，故， 故， 由图可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为， 【小问3详解】 ，， 故点到平面的距离：． 17. 已知向量，函数. （1）若，求函数的减区间； （2）若，方程有唯一解，求的取值范围. 【答案】（1）和；（2），． 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标表示求出，并利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得减区间； （2）由（1）得出在上的单调性与最值，并计算端点处的函数值可得的范围． 【详解】解：因为 （1）令，，则，， ，， 或， 故函数的减区间为和． （2），，，，，， 方程有唯一解， ，， ∴或， 或． 故的取值范围为，． 18. 已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，且、分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的最小值； （3）若是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，则当直线的斜率都存在，并记为、时，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值 【解析】 【分析】（1）利用椭圆和双曲线的定义结合题目条件即可求出椭圆的方程； （2）通过设出坐标后，结合直线的方程，利用二次函数的性质即可求出的最小值； （3）设出点，点，点后结合题目条件利用直线斜率的公式计算即可判断出为定值. 【小问1详解】 抛物线的焦点，双曲线的焦点， 设椭圆的标准方程为，则，所以 ， 则椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，由题意知，直线的方程为， 即线段CD：，则，， 所以， 所以当时，取得最小值为； 【小问3详解】 是定值，且定值为， 设点的坐标为，则点的坐标为，且， 设点的坐标为，则， 由得：  ， 化简得： ． 19. 已知数列中，，，且． （1）设，试用表示，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据提示将条件进行转化即可； （2）根据两角差的正弦公式可将化为裂项式求和. 【小问1详解】 ，， 所以，所以， 所以，. 【小问2详解】 ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次数学质检卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与 ，现测得 ，，，在 点测得塔顶 的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是（ ） 件数 7 8 9 10 11 人数 3 6 5 4 2 A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 6. 关于对称，则其最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（ ） A. 6种 B. 11种 C. 12种 D. 16种 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数，下列结论正确的是（ ） A. 时，有两个零点 B. 时，在处取极小值 C. 时，恒成立 D. 若只有一个零点，则 10. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，,则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线垂直 C. 平面截三棱锥所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是________． 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________. 14. 已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共７７分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为研究某种图书每册的成本费元与印刷数册的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值． 表中，． （1）根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费元与印刷数册的回归方程类型？只要求给出判断，不必说明理由 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （3）若每册书定价为元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于元？假设能够全部售出 （附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，） 16. 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角．   （1）证明：平面平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 17. 已知向量，函数. （1）若，求函数的减区间； （2）若，方程有唯一解，求的取值范围. 18. 已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，且、分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的最小值； （3）若是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，则当直线的斜率都存在，并记为、时，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 19. 已知数列中，，，且． （1）设，试用表示，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $