【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-16）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-16） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•邯山区校级一模）在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点A（﹣8，6），B（6，﹣1）均位于直线上．声波从发射源点M（﹣3，0）处发出，传播轨迹为y＝kx+3k，该轨迹与线段AB相交，将AB段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（　　） A．1＜k＜2 B． C． D．1＜k＜3 2．（2018•舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 3．（2026•沂水县校级模拟）关于x的方程（k2﹣1）x2﹣2（k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠1 4．（2026•卢氏县模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，E是BC边的中点，动点P从点A出发，沿A→B→E的路径匀速运动，当点P运动到点E时停止．过点P作PF⊥AC于点F，设点P的运动路程为x，线段PF的长为y，y随x变化的函数图象如图2所示，其中M，N是函数图象上两点，且MN∥x轴，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2026•雁塔区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣3，0），（1，0），图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜﹣3＜x2＜1＜x3．当x＞0时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．2a+b＝0 C．c﹣a＞0 6．（2026•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a＞0），且x1＜x2．若点A（m，n）在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2 7．（2026•岚县一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝acx﹣b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2026•长兴县校级模拟）如图：已知AB＝8，AC＝BD＝1，点P是线段CD上一动点，分别以AP、BP为边向上作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1，O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2的中点G的运动路径长是（　　） A．3 B．6 C． D． 9．（2026•武威一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝﹣2，且OA＝OC，则下列结论： ①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③c＞1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为；其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2026•榆林模拟）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a为常数，a≠0）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”（x0，﹣x0），则a的值为（　　） A． B．3 C．﹣4 D． 11．（2024秋•宣城期末）如图，直线交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE，则图中阴影部分面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 12．（2026•南通校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（　　） A．14 B．7 C．9 D．6 13．（2025•海门区一模）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．点P从点A出发沿折线A﹣D﹣C运动到点C停止，过P作PF⊥BD于点F，连接BP．设点P运动路径长为x，△BPF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 14．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 15．（2026•鼓楼区校级模拟）如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（　　） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当﹣2＜x＜﹣1时，﹣a＜y＜﹣b 二．填空题（共15小题） 16．（2025•光泽县模拟）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为　 　 ． 17．（2026•榆社县校级一模）在△ABC中，BC＝4，CA＝5，AB＝6，BD平分∠ABC，过点C作AC的垂线，交DB的延长线于点E，则线段CE的长为　 　 ． 18．（2026•沂水县校级模拟）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，…第n个单项式是　 　 ． 19．（2026•卢氏县模拟）如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　 　 ． 20．（2026•雁塔区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为 　 ． 21．（2026•雁塔区校级模拟）如图，点O是边长为4的正方形ABCD的对称中心，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且BE＝AF，连接OE、OF、EF，点G是EF的中点，连接CG、DG，当CG最大时，△CDG的面积为　 　 ． 22．（2026•岚县一模）如图，△ABC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠ADE＝∠ABC，连接BD，CE，若BC＝10，AB＝BD＝6，AD＝3，过点E作EF⊥AC于点F，则EF的长为　 　 ． 23．（2026•长兴县校级模拟）在平面直角坐标系中，将函数y＝x2图象进行平移得到函数y＝（x+m）2+n（﹣2＜m＜﹣1）．当x＝1时图象上对应点记为P，当x＝2时图象上对应点记为Q，在函数图象移动的过程中PQ的取值范围是　 　 ． 24．（2026•武威一模）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为　 　 ． 25．（2026•榆林模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠D＝120°，AD＞AB，点M在AB上，AM＝BM，点N是AD上的动点，连接MN，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得到线段MP，连接BP，则BP的最小长度为　 　 ． 26．（2023秋•晋安区期中）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　 　 ． 27．（2011•包头）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），则点D的横坐标是　 　 ． 28．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE，则的最小值是 　 　 ． 29．（2026•海门区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝2，，以BC为直径作圆，圆心为O，过圆上一点D作直线AB的垂线，垂足为E，则AE+DE的最大值是 　 　 ． 30．（2025•龙马潭区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•邯山区校级一模）如图，抛物线L：y＝﹣x2+mx+n（m，n为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，8），已知点M（2，2），N（4，2），线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． （1）求抛物线L的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． （2）判断抛物线L是否经过点M，并说明理由． （3）若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线L的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线L的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线L有公共点时，直接写出t的取值范围． 32．（2026•榆社县校级一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形ABCD中，AB≤BC，E，F分别是AB，BC的中点，点G在BC边的延长线上，且，连接DE，DF，DG． （1）特例分析：如图1，小睿同学画出了AB＝BC时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段FG与EF的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，她提出如下问题，请你解答： （2）①求此时的值； ②将图2中的△DEF从当前位置开始，沿射线BC的方向平移得到△D′E′F′（其中点D′，E′，F′分别是点D，E，F的对应点），点P是平面内的一点，请直接写出以点D′，E′，G，P为顶点的四边形是菱形时，△DEF平移的距离． 33．（2025•淮安）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　 　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 34．（2026•卢氏县模拟）李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，点B的对应点为点D． （1）如图1，若AD∥BC，则四边形ABCD的形状为　 　 ． （2）当AD与BC不平行时，过点A作BC的平行线，交射线CD于点E，过点E作AB的平行线，交射线BC于点F． ①猜想线段DE与CF的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若AB＝3，CF＝1，请直接写出线段CE的长． 35．（2026•雁塔区校级二模）【问题探究】 （1）如图1，已知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．AM＝4，BN＝6，MN＝20，则AC+BC＝　 　 ． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC、EF的中点．探究BE与MN的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形ABCD是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线BD为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路BD上确定一点E（不与点B、D重合）．连接AE，以线段AE为斜边，在AE右侧建等腰直角△AEF区域（∠AFE＝90°），用来种植新品花卉，并在F处设立观赏台．G点和D点为基地的两个景观点，G在BD上且BG＝3GD．现要沿FD、FG修建观赏步道，请确定步道FG+FD的最小值．并求出当FG+FD最小时，花卉种植区域的面积（即△AEF的面积）． 36．（2026•雁塔区校级模拟）问题探究 （1）如图①，AD∥BC，△ABC面积为6，则△DBC的面积为　 　 ； （2）如图②，BC＝4，点A为平面内一点，且满足△ABC面积为6，求△ABC周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园ABCD，如图③所示，按规划要求BC＝8千米，CD＝4千米，∠A＝∠C＝90°且四边形ABCD面积最大．在规划的面积最大的公园ABCD内修建一个凉亭Q，沿着AQ、CQ修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形ABCD的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 37．（2026•岚县一模）综合与探究 【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE，现将△CDE绕着点C顺时针旋转． （1）【猜想验证】如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F，连接BF，FD，试判断四边形BCDF的形状，并说明理由； （2）【拓展延伸】如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M，试判断线段DM与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8，BC＝6，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当CE⊥BC时，连接BD，过点A作AH⊥BD交直线BD于点H，请直接写出AH的长． 38．（2026•长兴县校级模拟）如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4． （1）求证：AF＝AG． （2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形． （3）在（2）的基础上，若，求． 39．（2026•武威一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点（0，﹣4），其对称轴是直线x＝1．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为（m，2﹣m），（1﹣m，2﹣m），点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点构造矩形ABCD． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当点A，B重合时，求m的值； （3）当抛物线的最低点在矩形ABCD的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标和抛物线最低点的纵坐标之差为h（h＞0），求h的值． 40．（2026•榆林模拟）问题探究 （1）如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长，请在射线AD上画出一点P，连接CP，使得△DCP≌△DBA； （2）如图②，在▱ABCD中，∠B＝60°，连接AC，AC＝6，点O1、O2分别是△ADC、△ABC的外心，求点O1、O2之间的距离； 问题解决 （3）为便于市民休闲，现计划在河边修建一座大型综合性的三角形公园AMN（点M、N是动点），如图③，△ABC是一片荒地，∠ABC＝90°，AB＝2km，BC＝1km，AB是一条梧桐树步道，AC是一条沿河跑道．根据规划要求，三角形公园AMN的边MN经过点B，且MB：BN＝2：1，∠MAN＝45°，点N位于AB的右侧．为方便沿河跑道上运动的市民能快速进入公园，要把点N设置在AC上．请问点N能否在AC上，如果能，请求出点N到A的距离AN；如果不能，请说明理由． 41．（2024•广平县一模）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝10． （1）求点D到直线AB的距离． （2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N． ①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 　 　 ． ②当t＝2时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为 　 　 ． 42．（2011•泉州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（b，t）在直线x＝b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中b是大于零的常数． （1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式； （3）设直线x＝b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由． 43．（2026•鼓楼区校级模拟）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是　 　 米； ②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），求小丽身体被雨水淋湿的部分PK的长度．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出EG的最小值为　 　 ． 44．（2026•海门区校级模拟）问题提出 （1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD　 　 S△BCD（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 45．（2024•扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD． 【特殊化感知】 （1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 　 　 ； 【一般化探究】 （2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-16） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 B B C B C D A A C A C B A B D 一．选择题（共15小题） 1．（2026•邯山区校级一模）在声学探测实验中，横、纵坐标都为整数的点称为声波探测整点．如图，在平面直角坐标系的声学探测区域中，点A（﹣8，6），B（6，﹣1）均位于直线上．声波从发射源点M（﹣3，0）处发出，传播轨迹为y＝kx+3k，该轨迹与线段AB相交，将AB段分成了两部分．若这两部分上的声波探测整点个数相同，则k的取值范围是（　　） A．1＜k＜2 B． C． D．1＜k＜3 【解答】解：根据题意得，的范围为﹣8≤x≤6， ∴整点有（﹣8，6），（﹣6，5），（﹣4，4），（﹣2，3），（0，2），（2，1），（4，0），（6，﹣1），共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点（﹣2，3），（0，2）是临界点， 当直线y＝kx+3k经过点（﹣2，3）时，得﹣2k+3k＝3， 解得k＝3， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故k＜3； 当直线y＝kx+3k经过点（0，2）时，得3k＝2， 解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 故选：B． 2．（2018•舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD， 设AD＝x，根据勾股定理得：（x）2＝b2+（）2， 整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0）， ∵Δ＝a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 3．（2026•沂水县校级模拟）关于x的方程（k2﹣1）x2﹣2（k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠1 【解答】解：分两种情况： ①k2﹣1＝0，﹣2（k+1）≠0即k＝1时，为一元一次方程，一定有实数根； ②k2﹣1≠0，即k≠±1时，为一元二次方程，则根的判别式Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2﹣1）≥0， 解得k≥﹣1． 综上可得k＞﹣1． 故选：C． 4．（2026•卢氏县模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，E是BC边的中点，动点P从点A出发，沿A→B→E的路径匀速运动，当点P运动到点E时停止．过点P作PF⊥AC于点F，设点P的运动路程为x，线段PF的长为y，y随x变化的函数图象如图2所示，其中M，N是函数图象上两点，且MN∥x轴，则BC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：由题意，可知题图2中点N对应的是题图1中点P与点E重合，过点E作EF′⊥AC于点F′、连接PE， 如解图1． 由题意，得点M，N的纵坐标相同， ∴当x＝a和x＝a+7时，PF长度相同，此时PB+BE＝7， ∵因为四边形PFE′E为矩形， ∴PE∥AC， ∵E是BC边的中点， ∴P是AB边的中点， ∴， ∴BE＝7﹣3＝4； ∴M，N是函数图象上两点，且MN∥x轴，则BC＝2BE＝8． 故选：B． 5．（2026•雁塔区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣3，0），（1，0），图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜﹣3＜x2＜1＜x3．当x＞0时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．2a+b＝0 C．c﹣a＞0 【解答】解：由题意可得：二次函数的对称轴为 ， 由对称轴公式， 可得b＝2a，即2a﹣b＝0，故B错误． ∵当x＞0时y随x的增大而增大，对称轴为x＝﹣1， ∴抛物线开口向上，即a＞0，故A错误． 当x＝1时，a+b+c＝0，把b＝2a代入a+b+c＝0得3a+c＝0， 即c＝﹣3a， ∴c﹣a＝﹣3a﹣a＝﹣4a， ∵a＞0， ∴﹣4a＜0，即c﹣a＜0，故C错误． 故选：C． 6．（2026•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a＞0），且x1＜x2．若点A（m，n）在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2 【解答】解：由题意可得：抛物线开口向上，与x轴交点坐标是（x1，0）和（x2，0）， ∴当 x＜x1 或 x＞x2 时，y＞0， 当 x1＜x＜x2 时，y＜0， ∵点 P（m，n） 在图象上， ∴若n＞0，则 m＜x1 或 m＞x2，故选项A和B不符合题意； 若n＜0，x1＜m＜x2，m可能大于0，也可能小于0，故选项C不符合题意； 若n＜0，则 x1＜m＜x2，故选项D符合题意． 故选：D． 7．（2026•岚县一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝acx﹣b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：根据图象，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，c＞0；， ∴b＞0． 对于一次函数y＝acx﹣b，ac＜0，﹣b＜0， ∴一次函数y＝acx﹣b的图象经过第二、三、四象限，一定不经过第一象限． 故选：A． 8．（2026•长兴县校级模拟）如图：已知AB＝8，AC＝BD＝1，点P是线段CD上一动点，分别以AP、BP为边向上作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1，O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2的中点G的运动路径长是（　　） A．3 B．6 C． D． 【解答】解：如图，分别延长AO1、BO2交于点T， ∵∠TAP＝∠O2PB＝45°， ∴AT∥PO2， ∵∠TBA＝∠O1PA＝45°， ∴BT∥PO1， ∴四边形O1PO2T为平行四边形， ∴O1O2与TP互相平分． ∵Q为O1O2的中点， ∴G正好为PT中点，即在P的运动过程中，G始终为PT的中点，所以Q的运行轨迹为三角形CDT的中位线MN， ∵AB＝8，AC＝BD＝1， ∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣1﹣1＝6， ∴MNCD＝3， ∴Q的移动路径长为3． 故选：A． 9．（2026•武威一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝﹣2，且OA＝OC，则下列结论： ①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③c＞1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为；其中正确的结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0， 与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0， 又对称轴为直线x＝﹣2， ∴0， ∴b＞0， ∴abc＞0，故①正确； 由图象可知当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0，故②正确； 由图象可知OA＜1， ∵OA＝OC， ∴OC＜1，即c＜1，故③错误； ∵OA＝OC＝c， ∴A（﹣c，0），代入y＝ax2+bx+c得： 0＝ac2﹣bc+c， 两边同除以ac得：c0，即c＝0， ∴a•（）2+b•（）+c＝0， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为，故④正确； 综上可知正确的结论有①②④3个， 故选：C． 10．（2026•榆林模拟）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a为常数，a≠0）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”（x0，﹣x0），则a的值为（　　） A． B．3 C．﹣4 D． 【解答】解：∵y＝﹣x，且“反点”在二次函数图象上， ∴将y＝﹣x代入y＝ax2﹣4x+3得：﹣x＝ax2﹣4x+3， 整理得ax2﹣3x+3＝0， ∵该二次函数有唯一的“反点”， ∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式Δ＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4•a•3＝9﹣12a， ∴令9﹣12a＝0， 解得． 故选：A． 11．（2024秋•宣城期末）如图，直线交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE，则图中阴影部分面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【解答】解：直线交坐标轴于点A，B， ∴令x＝0，y＝6；令y＝0，x＝﹣8； ∴A（﹣8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6， ∵△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE， ∴OD＝4，AD＝4，D（﹣4，0）， ∴点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， ∴当x＝﹣4时，y＝3， ∴F（﹣4，3），即DF＝3， ∵S四边形ACEF＝S梯形DFBO， ∴18． 即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 12．（2026•南通校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（　　） A．14 B．7 C．9 D．6 【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE． 在直角△ABC中，AB10， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CEAB＝5． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴MEAD＝2． ∵5﹣2≤CM≤5+2， 即3≤CM≤7． ∴最大值为7， 故选：B． 13．（2025•海门区一模）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．点P从点A出发沿折线A﹣D﹣C运动到点C停止，过P作PF⊥BD于点F，连接BP．设点P运动路径长为x，△BPF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设AB＝a，AD＝b，∠ADB＝α， 当点P在AD上运动时（0≤x≤AD）， 则PD＝b﹣x，PF＝（b﹣x）sinα， ， ∵， 且， 这是关于x的二次函数，二次项系数小于0，图象开口向下； 当x＝AD时，y＝0， 当点P在DC上运动时（AD＜x≤AD+DC），如图， ∴PD＝x﹣b，∠DPE＝90°﹣∠PDF＝∠ADB＝α， 则PF＝cosa（x﹣b），DF＝sinα（x﹣b）， ， ， 即， 这是关于x的二次函数，二次项系数小于0，图象开口向下， 综上，y关于x的函数图象先下降到0（开口向下的抛物线部分），再上升（开口向下的抛物线部分），符合选项的只有A； 故选：A． 14．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A．（4，） B．（，3） C．（5，） D．（，） 【解答】解：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， ∵OB经过原点O， ∴设OB的解析式为y＝mx， ∵OB经过点D（3，2）， 则2＝3m， ∴m， ∴OB的解析式为yx， ∵反比例函数y经过点C， ∴设C（a，），且a＞0， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC， ∴点B的纵坐标为， ∵OB的解析式为yx， ∴B（，）， ∴BCa， ∴S△OBC（a）， ∴2（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 解法2：∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2）， ∴2， ∴k＝6， ∴反比例函数y， 同上得：B（，）， ∴BCa， ∵平行四边形OABC的面积是， ∴（a）， 解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴B（，3）， 故选：B． 15．（2026•鼓楼区校级模拟）如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（　　） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当﹣2＜x＜﹣1时，﹣a＜y＜﹣b 【解答】解：选项A假如点（m，n）在函数的图象上，则， 当x＝﹣m时，，说明函数是奇函数，图象关于原点对称，不是关于y轴对称， 故此选项错误，不符合题意； 选项B中观察x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减少，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； 选项C，x＞0时，y＞1；x＜0时，y＜﹣1，所以y永远不会等于0．函数值y没有最小值为0的，故此选项错误，不符合题意； 选项D，当1＜x＜2时，b＜y＜a， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当﹣2＜x＜﹣1时，﹣a＜y＜﹣b， 故此选项正确， 故选：D． 二．填空题（共15小题） 16．（2025•光泽县模拟）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2，则该置物架所占用墙面的长度d的值为　19　 ． 【解答】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接AB并延长到点H，则AH⊥HM， 由题意得：AB＝CD＝EF＝4，BC＝DE＝FG＝GM＝2， 在Rt△GHM中，∠MGH＝60°， ∴GH＝GM•cos60°＝21， ∴AH＝AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH＝4+2+4+2+4+2+1＝19， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为19， 故答案为：19． 17．（2026•榆社县校级一模）在△ABC中，BC＝4，CA＝5，AB＝6，BD平分∠ABC，过点C作AC的垂线，交DB的延长线于点E，则线段CE的长为　　 ． 【解答】解：如图所示，过点B作BG⊥AC于点G，过点D分别作DF⊥AB，DH⊥BC，垂足分别是点F，H， 设CG＝x，则AG＝AC﹣CG＝5﹣x， 在Rt△ABG中，由勾股定理得BG2＝AB2﹣AG2， 在Rt△BCG中，由勾股定理得BG2＝BC2﹣CG2， ∴BG2＝BC2﹣CG2＝AB2﹣AG2， ∴42﹣x2＝62﹣（5﹣x）2， 解得， ∴， ∴； ∵DF⊥AB，BD平分∠ABC，DH⊥BC， ∴DH＝DF， ∵S△ABC＝S△BCD+S△BAD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴CD＝2， ∴； ∵CE⊥AC，BG⊥AC， ∴∠ECD＝∠BGD＝90°， 又∵∠EDC＝∠BDG， ∴△DGB∽△DCE， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 18．（2026•沂水县校级模拟）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，…第n个单项式是　（﹣1）n﹣1x2n+1 ． 【解答】解：∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1， ﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1， x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1， ﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1， x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1， …… 由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1． 故答案为：（﹣1）n﹣1x2n+1． 19．（2026•卢氏县模拟）如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　　 ． 【解答】解：连接BD，记BD的中点为O． 由题意，可知直线l过点O． ∵BH⊥l， ∴∠BHO＝90°． 点H在以OB为直径的圆上运动．设圆心为点E，当CH与⊙E相切，且在BC上方时，∠BCH最大． 连接EH，此时EH⊥CH．过点E作EF⊥BC于点F， 由勾股定理，得BD＝8， ∴BO＝4， ∴BE＝OE＝EH＝2． ∵， ∴∠CBD＝30°， ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：2． 20．（2026•雁塔区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝60°，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为　4　 ． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥CD于H， ∵平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠ABC＝60°， ∴CD＝AB＝4，∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠DAH＝30°， ∴DHAD2，AHDH＝6， ∵将△ABE沿着AE翻折，得△AFE， ∴AF＝AB＝4， ∴点F在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， ∴当点F在AH上时，FH有最小值＝AH﹣AF＝2， ∴△CDF面积的最小值4×2＝4， 故答案为：4． 21．（2026•雁塔区校级模拟）如图，点O是边长为4的正方形ABCD的对称中心，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且BE＝AF，连接OE、OF、EF，点G是EF的中点，连接CG、DG，当CG最大时，△CDG的面积为　4或8　 ． 【解答】解：如图1所示，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥AD于点N，连接AC，BD，OG，MG，NG， ∵点O是边长为4的正方形ABCD的对称中心， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAD＝45°，AC＝BD，OA＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴； 又∵BE＝AF， ∴△OBE≌△OAF（SAS）， ∴OE＝OF，∠BOE＝∠AOF， ∴∠EOF＝∠AOE+∠AOF＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90°， ∴∠OEF＝∠OFE＝45°； ∵点G是EF的中点， ∴∠OGF＝90°，， ∵∠OAM＝∠OAN＝45°，OM⊥AB，ON⊥AD， ∴OM＝ON，∠AMO＝∠ANO＝90°＝∠MAN， ∴四边形OMAN是矩形， ∴矩形OMAN是正方形， ∴∠ANM＝45°； ∵∠OGF+∠ONF＝180°， ∴O、G、F、N四点共圆， ∴∠GNF＝∠GOF＝45°＝∠ANM， ∴N、G、M三点共线， ∴点G在线段MN上运动； 如图1所示，设OA，MN交于点T，则CT⊥MN，TM＝TN，， ∴， ∵（点G不与点T重合时）， ∴TG越大，CG越大， ∴当点G与点M重合或点G与点N重合时，CG有最大值； 如图2所示，当点G与点M重合时，； 如图3所示，当点G与点N重合时， ∵OA＝OD，ON⊥AD， ∴， ∴， 综上所述，当CG最大时，△CDG的面积为4或8． 故答案为：4或8． 22．（2026•岚县一模）如图，△ABC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠ADE＝∠ABC，连接BD，CE，若BC＝10，AB＝BD＝6，AD＝3，过点E作EF⊥AC于点F，则EF的长为　　 ． 【解答】解：△ABC，△ADE是直角三角形， ∵∠BAC＝90°，BC＝10，AB＝6， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴． ∵AB＝BD＝6，AC＝8，AD＝3， ∴， 解得AE＝4，CE＝8． 设AF＝x，则CF＝AC﹣AF＝8﹣x． ∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝∠CFE＝90°， ∵EF2＝AE2﹣AF2＝42﹣x2，EF2＝CE2﹣CF2＝82﹣（8﹣x）2． ∴42﹣x2＝82﹣（8﹣x）2， ∴16﹣x2＝16x﹣x2， 解得x＝1． ∴． 23．（2026•长兴县校级模拟）在平面直角坐标系中，将函数y＝x2图象进行平移得到函数y＝（x+m）2+n（﹣2＜m＜﹣1）．当x＝1时图象上对应点记为P，当x＝2时图象上对应点记为Q，在函数图象移动的过程中PQ的取值范围是　1≤PQ　 ． 【解答】解：由题意可知P（1，（1+m）2+n），Q（2，（2﹣1（2+m）2+n）， ∴yP＝（1+m）2+n，yQ＝（2+m）2+n， ∴yQ﹣yP＝（2+m）2+n﹣（1+m）2﹣n＝3+2m，xQ﹣xP＝2﹣1＝1， ∴PQ， ∵﹣2＜m＜﹣1， ∴﹣1＜3+2m＜1， ∴0≤（3+2m）2＜1， ∴1≤1+（3+2m）2＜2， ∴1≤PQ． 故答案为：1≤PQ． 24．（2026•武威一模）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为　5πcm2 ． 【解答】解：底面直径为2cm，母线长为4cm， 其侧面积为：，底面积为：， 全面积为：4π+π＝5π（cm2）． 故答案为：5πcm2． 25．（2026•榆林模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠D＝120°，AD＞AB，点M在AB上，AM＝BM，点N是AD上的动点，连接MN，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得到线段MP，连接BP，则BP的最小长度为　　 ． 【解答】解：在AD上截取AE＝AM，连接EM、EP，过点B作BH⊥EP于点H，过点E作EF⊥AB于点F． 在▱ABCD中，由CD∥AB可得∠A＝180°﹣∠D＝60°， ∴△AEM是等边三角形， ∴∠AME＝60°，， 由旋转可知NM＝PM，∠NMP＝60°， ∴∠AMN＝60°+∠EMN＝∠EMP， ∴△ANM≌△EPM（SAS）， ∴∠MEP＝∠A＝∠AME＝60°， ∴EP∥AB， ∴点P与点H重合时BP的长度最小， ∴EF＝BH＝BP， 在Rt△AEF中，AE＝4，∠A＝60°， ∴， ∴BP的最小长度为， 故答案为：． 26．（2023秋•晋安区期中）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　1　 ． 【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示： ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OB＝4， ∵点D为CD的中点，点E为OA的中点， ∴DE为△AOB的中位线， ∴DEOB＝2， ∴随着点B在⊙O上运动， 点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动， ∵点M为CD的中点，点G为CE的中点， ∴GM为△CED的中位线， ∴GMED＝1， ∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径 的圆上运动， 根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM， ∴当AM＝AG+GM时，AM为最大， 即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大， 最大值为AG+GM， 如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC， ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OC＝4， ∴OA2+OC2＝42+42＝32， 又∵AC， ∴AC232， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°， ∵点F是OE的中点，点G是CE的中点， ∴GF为△EOC的中位线， ∴GFOC＝2，OFOE＝1，GF∥OC， ∴∠AFG＝∠AOC＝90°， ∴AF＝OA﹣OF＝3， 在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2， 由勾股定理得：AG， ∴AG+GM1． ∴AM的最大值为1． 故答案为：1． 27．（2011•包头）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B（1，2），则点D的横坐标是　　 ． 【解答】解：过点D作DF⊥OA于F， ∵四边形OABC是矩形， ∴OC∥AB， ∴∠ECA＝∠CAB， 根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴EC＝EA， ∵B（1，2）， ∴AD＝AB＝2， 设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝2﹣x， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2， 即（2﹣x）2＝x2+1， 解得：x， ∴OE，AE， ∵DF⊥OA，OE⊥OA， ∴OE∥DF， ∴， ∴AF，DF， ∴OF＝AF﹣OA， ∴点D的横坐标为：． 故答案为：． 28．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE，则的最小值是 　　 ． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3， ∴DA＝BC＝3，CD＝AB＝6，∠D＝90°， 如图，延长DA到G，使AG＝DA＝3，连接GE、GC， 则； ∵BF＝2AE， ∴， ∴； ∵∠GAE＝∠B＝90°， ∴△GAE∽△ABF， ∴， 即； ∴， 当点E在线段GC上时，GE+GC取得最小值，从而取得最小值； ∵DC＝DG＝6，∠D＝90°， ∴在Rt△DGC中，由勾股定理得， ∴取得最小值为； 故答案为：． 29．（2026•海门区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝2，，以BC为直径作圆，圆心为O，过圆上一点D作直线AB的垂线，垂足为E，则AE+DE的最大值是 　　 ． 【解答】解：如图，作∠BAM＝45°，过点O作ON⊥AN于点N，延长NO交⊙O于点G，过点G作HK⊥GN垂足为点G，过点G作GQ⊥AB于点Q，延长GQ交AM于点F， 当点D与点G重合，点E在点Q处时，AE+DE取得最大值， 理由：连接OA， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴OC＝AC， ∴， ∴∠OAC＝45°， ∴∠OAC+∠OAB＝45°+∠OAB， ∵∠OAN＝∠BAN+∠OAB＝45°+∠OAB， ∴∠OAN＝∠CAB， ∴， ∴ON＝2AN， ∵，AN2+ON2＝OA2， ∴， ∴或 （舍去）， ∴， ∵， ∴， 在⊙O上取不同于点G的一点P，过点P作PY⊥AM于点Y，过点P作 PJ⊥AB所在的直线于点J，并延长PJ交AM于点R， ∵，， ∴QF＝AQ，JR＝AJ 则AE+DE＝AQ+GQ＝FQ+GQ＝GF或AE+DE＝AJ+PJ＝JR+PJ＝PR， ∵∠QFA＝90°﹣∠EAF＝45°，∠JRA＝90°﹣∠EAF＝45°， ∴，， ∴，， 由图可知：PY＜GN， ∴PR＜CF， ∴当点D在点G处时，AE⊥DE取得最大值，最大值为GF的长， ∵， ∴AE+DE取得最大值， 故答案为：． 30．（2025•龙马潭区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　22　 ． 【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°， ∴∠BQC＝90°， ∴点Q在以BC为直径的圆上运动， ∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴AP＝EP， ∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON22， ∴AP+PQ的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•邯山区校级一模）如图，抛物线L：y＝﹣x2+mx+n（m，n为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，8），已知点M（2，2），N（4，2），线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． （1）求抛物线L的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． （2）判断抛物线L是否经过点M，并说明理由． （3）若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线L的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线L的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线L有公共点时，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+8；对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，9）； y＝﹣x抛物线L：y＝﹣x2+mx+n（m，n为常数）经过点A（﹣4，0）和点B（0，8），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9， ∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，9）； （2）抛物线不过点M；理由如下： 当x＝2时，y＝﹣22﹣2×2+8＝0≠2， ∴抛物线不过点M； （3）①当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小；t的最小值为； 如图，当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小； 设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为（﹣1，9），连接PE； ∵E（3，4）， ∴， ∴t的最小值为． ②t的取值范围为1≤t≤10； 由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）， ∵M（2，2）， ∴台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线L有公共点时，抛物线最先经过点M，即M点与（2，0）重合，此时运动时间最短；抛物线最后经过点F，此时运动时间最长； 由题意知，点F的坐标为（4，4）； ∴当台阶竖直向下平移t秒时，点F的坐标为（4，4﹣2t）； 抛物线经过点M时，此时台阶向下平移了2个单位长度，即2t＝2， 解得：t＝1； 把点F的坐标代入y＝﹣x2﹣2x+8中，得： ﹣16﹣8+8＝4﹣2t， 解得：t＝10； ∴台阶从初始位置竖直向下平移过程中，当台阶与抛物线L有公共点时，t的取值范围为1≤t≤10． 32．（2026•榆社县校级一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形ABCD中，AB≤BC，E，F分别是AB，BC的中点，点G在BC边的延长线上，且，连接DE，DF，DG． （1）特例分析：如图1，小睿同学画出了AB＝BC时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段FG与EF的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，她提出如下问题，请你解答： （2）①求此时的值； ②将图2中的△DEF从当前位置开始，沿射线BC的方向平移得到△D′E′F′（其中点D′，E′，F′分别是点D，E，F的对应点），点P是平面内的一点，请直接写出以点D′，E′，G，P为顶点的四边形是菱形时，△DEF平移的距离． 【解答】解：（1）； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵AB＝BC，E，F分别是AB，BC的中点， ∴BE＝BF＝AE＝FC， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：， ∵， ∴CG＝AE＝FC， ∵点G在BC边的延长线上， ∴FG＝2BF， ∴， ∴； （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵AB＝6，BC＝8，E，F分别是AB，BC的中点， ∴AE＝BE＝3，BF＝FC＝4， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∵FC＝4，点G在BC边的延长线上， ∴， ∴； ②以点D′，E′，G，P为顶点的四边形是菱形时，△DEF平移的距离是或．理由如下： 如图2，若E′G＝E′D′， ∴点E′在线段GD′的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若GE′＝GD′，连接EE′，DD′，过点E′作E′M⊥BC于点M，过点D′作D′N⊥BC的延长线于点N，如图3， ∴DD′＝EE′，EB＝E′M＝3，D′N＝AB＝6， 设DD′＝EE′＝x， ∴DD′＝EE′＝CN＝x， ∴CM＝8﹣x， ∵， ∴， 在直角三角形GE′M中，由勾股定理得：E′M2+MG2＝GE′2， 在直角三角形D′NG中，由勾股定理得：D′N2+GN2＝GD′2， ∵GE′＝GD′， ∴E′M2+MG2＝D′N2+GN2， ∴， 解得：， 此时； 如图4，若D′E′＝D′G，过点G作GH⊥DD′，过点D′作D′M⊥BC的延长线于点M， 根据题意得：， 设D′H＝x， 由勾股定理得：D′G2＝x2+62， ∵D′E′2＝DE2＝32+82， ∴x2+62＝32+82， 解得：（负值舍去）， ∴． 33．（2025•淮安）已知二次函数ymx+m﹣1（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，则m＝　2　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点A（m+1，y1）、B（m+p，y2），当y1＜y2时，直接写出p的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入， 得：， 解得m＝2， 故答案为：2； （2）由题可知， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+1＞0， ∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵y1＜y2， ∴点A（m+1，y1）到对称轴的距离小于点B（m+p，y2）到对称轴的距离， ∴|m+1﹣m|＜|m+p﹣m|， 即|p|＞1， ∴p＞1或p＜﹣1． 34．（2026•卢氏县模拟）李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，点B的对应点为点D． （1）如图1，若AD∥BC，则四边形ABCD的形状为　菱形　 ． （2）当AD与BC不平行时，过点A作BC的平行线，交射线CD于点E，过点E作AB的平行线，交射线BC于点F． ①猜想线段DE与CF的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若AB＝3，CF＝1，请直接写出线段CE的长． 【解答】解：（1）由题意知，AB＝AD，BC＝DC，∠BAC＝∠DAC， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠B＝∠ACB， 即△BAC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AD＝CD， ∴四边形ABCD为菱形， 故答案为：菱形； （2）①DE＝CF；理由如下： ∵AE∥BF，AB∥EF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AB＝EF，AE＝BF， 由折叠，可知BC＝CD，∠ACB＝∠ACD， ∵AE∥BF， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACD， ∴AE＝EC＝BF， ∴EC﹣CD＝BF﹣BC， ∴DE＝CF； ②如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G， ∵AE∥BC， ∴∠EAH＝180°﹣∠AHG＝90°， 同理∠AEG＝90°， ∴∠EAH＝∠AHG＝∠EGC＝∠AEG＝90°， 则四边形AHGE为矩形， ∴AH＝EG； 当点F在线段BC的延长线上时，如图3， 由①知DE＝CF＝1，EF＝AB＝3， 在Rt△ABH和Rt△EFG中， ， ∴Rt△ABH≌Rt△EFG（HL）， ∴BH＝FG， 设BC＝2x，则， ∴CG＝x+1． 由折叠，得CD＝BC＝2x， ∴CE＝2x+1， 由勾股定理，EF2﹣FG2＝CE2﹣CG2＝EG2， ∴32﹣x2＝（2x+1）2﹣（x+1）2， 解得（负值舍去）， ∴； 当点F在线段BC上时，如图， 同理可证，Rt△ABH≌Rt△EFG（HL）， ∴BH＝FG， 设BC＝2x，则，CD＝BC＝2x，CE＝2x﹣1，CG＝x﹣1， 同理有EF2﹣FG2＝CE2﹣CG2＝EG2， ∴32﹣x2＝（2x﹣1）2﹣（x﹣1）2， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，CE的长为或． 35．（2026•雁塔区校级二模）【问题探究】 （1）如图1，已知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．AM＝4，BN＝6，MN＝20，则AC+BC＝　10　 ． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC、EF的中点．探究BE与MN的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形ABCD是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线BD为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路BD上确定一点E（不与点B、D重合）．连接AE，以线段AE为斜边，在AE右侧建等腰直角△AEF区域（∠AFE＝90°），用来种植新品花卉，并在F处设立观赏台．G点和D点为基地的两个景观点，G在BD上且BG＝3GD．现要沿FD、FG修建观赏步道，请确定步道FG+FD的最小值．并求出当FG+FD最小时，花卉种植区域的面积（即△AEF的面积）． 【解答】解：（1）如图1，作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C， 则AC+BC＝A′C+BC＝A′B，A′B就是AC+BC的最小值； 延长BN使 ND＝A′M，连接A′D， ∵BN⊥MN，AM⊥MN， ∴BD∥AA′． ∵ND＝A′M， ∴四边形A′DNM是平行四边形， ∵AM⊥MN， ∴∠AMC＝90°， ∴∠A'MC＝90°， ∴四边形A′DWM是矩形， ∴AD＝MN＝20，ND＝AM＝4， ∴BD＝BN+ND＝6+4＝10， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，理由如下：连接AM，AN， ∵AB＝AC，点M是BC的中点， ∴，AM⊥BC， ∴， ∵线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF， ∴AE＝AF，∠EAF＝40°， 同理可得，∠EAN＝45°，， ∴∠BAM＝∠EAN，， ∴∠BAM﹣∠EAM＝∠EAN﹣∠EAM， ∴∠BAE＝∠MAN， ∴△BAE∽△MAN， ∴， ∴； （3）如图，作AH⊥BD于H，作射线HF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，， ∴， ∴， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴∠BAE＝∠FAH， ∴△BAE∽△HAF， ∴∠AHF＝∠ABD＝45°， ∴点F在过H点且与BD成45°的直线L上运动，直线l交AD于V， ， ∴HF⊥AD， 连接AG，交FH交于F′， 当点F在F′处时，GF+DF最小， ∵（千米），BG＝3DG， ∴千米），（千米），千米）， ∴千米）， ∴千米）， ∴千米）， 作GW⊥AD于W， ∴DW＝GW＝52DG＝1（千米）， ∴AW＝AD﹣DW＝3（千米）， ∵FV∥GW， ∴△AF′V∽△AGW， ∴， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴（平方千米）． 36．（2026•雁塔区校级模拟）问题探究 （1）如图①，AD∥BC，△ABC面积为6，则△DBC的面积为　6　 ； （2）如图②，BC＝4，点A为平面内一点，且满足△ABC面积为6，求△ABC周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园ABCD，如图③所示，按规划要求BC＝8千米，CD＝4千米，∠A＝∠C＝90°且四边形ABCD面积最大．在规划的面积最大的公园ABCD内修建一个凉亭Q，沿着AQ、CQ修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形ABCD的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，△ABC面积为6， ∴A、D到BC的距离相等， ∴S△ABC＝S△DBC＝6， 故答案为：6； （2）如图2，过A作AD⊥BC于D，作a∥BC，作C关于a的对称点C′，连接AC′，CC′，BC′， 则AC＝AC′， ∴AB+AC＝AB+AC′≥BC′， ∴当B、A、C′三点共线时，AB+AC最小，最小值为BC′， 又∵BC＝4， ∴△ABC周长的最小值为BC′+BC， ∵△ABC面积为6，BC＝4， ∴， 解得：AD＝3， 由对称的性质得：CC′＝2AD＝6， 在直角三角形BCC′中，由勾股定理得：， ∴△ABC周长的最小值为； （3）观光路线修建费用存在最小值；理由如下： 如图3，连接BC，作△BCD的外接圆O，连接OA， 在直角三角形BCD中，BC＝8，CD＝4， ∴， 由勾股定理得：， ∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， ∴当S△ABD最大时，S四边形ABCD最大， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴当AO⊥BD时，S△ABD最大， 如图4，连接CO，AC，过O作MN∥AC，在MN上任取一点Q（不含端点），连接AQ，CQ， 由（1）知：S△AQC＝S△AOC， ∵BO＝DO， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q在MN上（不含端点）时，AQ、CQ平分四边形ABCD的面积， 如图5，延长AO交⊙O于C′，连接CC′，QC′， ∵AC′是直径， ∴∠ACC′＝90°，即AC⊥CC′， ∵MN∥AC， ∴MN⊥CC′， ∴MN平分CC′，即MN是CC′的垂直平分线， ∴QC′＝QC， ∴AQ+CQ＝AQ+C′Q≥AC， 当A、Q、C′三点共线，即Q和O重合时，AQ+CQ最小，最小值为AC′， ∴AQ+CQ的最小值为， ∴观光路线修建费用的最小值为（万元）． 37．（2026•岚县一模）综合与探究 【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＞BC，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE，现将△CDE绕着点C顺时针旋转． （1）【猜想验证】如图2，当旋转角为2∠BAC时，设点D的初始位置为点F，连接BF，FD，试判断四边形BCDF的形状，并说明理由； （2）【拓展延伸】如图3，当线段BE经过CD的中点时，连接BE和AD并交于点M，试判断线段DM与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8，BC＝6，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当CE⊥BC时，连接BD，过点A作AH⊥BD交直线BD于点H，请直接写出AH的长． 【解答】解：（1）四边形BCDF是平行四边形，理由如下： ∵F是AC的中点，∠ABC＝90°， ∴， ∴∠BAF＝∠ABF， ∴∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝2∠BAC． 由旋转的性质得CD＝CF，∠DCF＝2∠BAC， ∴BF＝CD，∠BFC＝∠DCF， ∴BF∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形． （2）BC＝2DM，理由如下： ∵在图1中，D、E分别是AC，BC的中点， ∴△CDE是△ABC的中位线，AC＝2CD，BC＝2EC， ∴DE∥AB， ∴∠CED＝∠ABC＝90°； 如图3所示，设BE与CD的交点为N（此后过程都基于图3）， ∵∠CDE＝90°，线段BE经过CD的中点， ∴， ∵AC＝2CD，BC＝2EC， ∴． 由旋转的性质可得∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC． 在△DNM和△ENC中， ， ∴△DNM≌△ENC（ASA）， ∴DM＝CE． ∵BC＝2CE， ∴BC＝2DM； （3）如图4所示，当点E在BC上方时，延长DE交AB于点G． ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， 由（3）可知，∠CED＝90°， ∴∠CEG＝180°﹣∠CED＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形BCEG是矩形， ∴GE＝BC，CE＝BG，∠BGD＝90°， ∵AB＝8，BC＝6， ∴， ∴GD＝GE+ED＝6+4＝10， ∴， ∵AH⊥BD， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点E在BC的下方时，过点B作BP⊥ED交ED的延长线于点P， ∴∠BPE＝90°， ∵∠PBC＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠CED， ∴四边形BCEP是矩形， ∴PE＝BC＝6，BP＝CE＝3， ∴PD＝PE﹣DE＝6﹣4＝2， ∴； ∵AH⊥BD， ∵， ∴AH•BD＝AB•PD， ∴， ∴． 综上所述，AH的长为或． 38．（2026•长兴县校级模拟）如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4． （1）求证：AF＝AG． （2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形． （3）在（2）的基础上，若，求． 【解答】（1）证明：∵D、E分别为，中点， ∴，， ∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE， ∵∠AFG＝∠DAB+∠EAD，∠AGF＝∠AED+∠CAE， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AF＝AG； （2）证明：∵D、E分别为，的中点， ∴，， ∴∠ADE＝∠NDE，∠AED＝∠NED，AE＝EC， ∵DE＝DE， ∴△ADE≌△NDE（ASA）， ∴AE＝NE＝CE， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BEC＝∠BAC＝60°， ∴△NEC是等边三角形； （3）∵AF＝AG．∠BAC＝60°， ∴△AFG为等边三角形， 过A点作AH⊥DE于点H，如图： ∵AF＝4， ∴FH＝HGAF＝2．AH2． ∴tan∠DEA＝tan∠DAF， ∴HE， ∴GE＝HE﹣HG， 由（1）知，∠AEG＝∠DAF，∠ADF＝∠EAG， ∴△AFD∽△EGA， ∴，即， ∴DF＝6， ∴AD2， ∵△ADE≌△NDE， ∴DN＝AD＝2； ∵DN＝AD＝BD，∠BDC＝∠BAC＝60°， ∴△BDN为等边三角形， ∵△CEN为等边三角形， ∴∠BDC＝∠CEB＝60°， ∴BD∥CE，△BDN∽△ECN， ∴， 设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，S△CBE＝S△ECN+S△BNC＝10S， ∵△ADE≌△NDE， ∴S△ADE＝S△NDE＝6S， ∴S四边形ADBE＝6S+6S+9S＝21S， ∴． 39．（2026•武威一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点（0，﹣4），其对称轴是直线x＝1．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为（m，2﹣m），（1﹣m，2﹣m），点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点构造矩形ABCD． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当点A，B重合时，求m的值； （3）当抛物线的最低点在矩形ABCD的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标和抛物线最低点的纵坐标之差为h（h＞0），求h的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点（0，﹣4），其对称轴是直线x＝1，将点的坐标代入，结合对称轴公式得： ， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣4； （2）∵点A在这个抛物线y＝x2﹣2x﹣4的图象上，其横坐标为m，点B的坐标为（m，2﹣m）， ∴A（m，m2﹣2m﹣4）． ∵点A，B重合， ∴m2﹣2m﹣4＝2﹣m， 解得：m＝3或﹣2； （3）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣5）． ∵抛物线的开口方向向上， ∴抛物线的最低点为（1，﹣5）． ∵点A在这个抛物线上， ∴抛物线的最低点可能在BC，AD边上． ①抛物线的最低点在AD边上时，抛物线的最低点与点A重合，如图1， ∴A（1，﹣5）， ∴m＝1， ∴C（0，1），D（0，﹣5）， ∴点C，D均在y轴上， ∴该矩形与抛物线交点即为抛物线与y轴的交点． 当x＝0时，得：y＝﹣4， ∴抛物线与y轴交于点（0，﹣4）， ∴该矩形与抛物线交点的纵坐标为﹣4， ∴h＝﹣4﹣（﹣5）＝﹣4+5＝1； ②抛物线的最低点在BC边上时，如图2， ∴2﹣m＝﹣5， 解得：m＝7， ∴A（7，31），B（7，﹣5），C（﹣6，﹣5），D（﹣6，31）， ∴h＝31﹣（﹣5）＝36． 综上所述，h的值为1或36． 40．（2026•榆林模拟）问题探究 （1）如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长，请在射线AD上画出一点P，连接CP，使得△DCP≌△DBA； （2）如图②，在▱ABCD中，∠B＝60°，连接AC，AC＝6，点O1、O2分别是△ADC、△ABC的外心，求点O1、O2之间的距离； 问题解决 （3）为便于市民休闲，现计划在河边修建一座大型综合性的三角形公园AMN（点M、N是动点），如图③，△ABC是一片荒地，∠ABC＝90°，AB＝2km，BC＝1km，AB是一条梧桐树步道，AC是一条沿河跑道．根据规划要求，三角形公园AMN的边MN经过点B，且MB：BN＝2：1，∠MAN＝45°，点N位于AB的右侧．为方便沿河跑道上运动的市民能快速进入公园，要把点N设置在AC上．请问点N能否在AC上，如果能，请求出点N到A的距离AN；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）使得△DCP≌△DBA的点P，如图①即为所求； （2）如图②，点O1、O2分别是△ADC、△ABC的外心，连接O1O2、AO2、CO2、AO1，O1O2交AC于点E，以点O2为圆心，AO2长为半径作⊙O2， ∴O1O2垂直平分线段AC，AO2＝CO2， ∴∠AO2O1＝∠CO2O1，， ∵∠B＝60°， ∴∠AO2C＝2∠B＝120°， ∴，∠O2AC＝∠O2CA＝30°， ∴， ∴∠O2AO1＝60°＝∠AO2O1， ∴△AO1O2是等边三角形， ∵AE⊥O1O2， ∴O1E＝O2E， 在Rt△AO2E中，， ∴，即点O1、O2之间的距离为； （3）点N能在AC上；理由如下： 如图③，延长AB到D使得，连接ND，则AD＝3km． ∵MB：BN＝2：1， ∴． ∵∠MBA＝∠NBD， ∴△ABM∽△DBN， ∴∠M＝∠MND． ∵∠MAN＝45°， ∴∠ANM+∠M＝135°＝∠ANM+∠MND＝∠AND， ∴∠AOD＝2（180°﹣∠AND）＝90°． 作△ADN的外接圆⊙O，⊙O交AC于点N′，连接OA、OD、ON′，则∠AOD＝2（180°﹣∠AND）＝90°，点N在劣弧上， 当点N与点N′重合时，此时即为点N所求的位置． 过点N′作N′H⊥BC于点H，N′G⊥AD于点G，过点O作OE⊥N′H于点E，交AD于点F，则四边形GN′HB是矩形，四边形GN′EF是矩形，OF⊥AB，， ∵OA＝OD，AF＝DF， ∴∠AOF＝∠DOF＝45°， ∴∠AOF＝∠OAF＝45°， ∴， 在直角三角形AOF中，由勾股定理得：． ∵∠BAC＝∠GAN′，∠ABC＝∠AGN′＝90°， ∴△ABC∽△AGN′， ∴，即． 设GN′＝xkm，则AG＝（2x）km，，， 在Rt△OEN′中，由勾股定理得：OE2+EN′2＝ON′2， ∴， 解得（舍去负值）， ∴，， 在直角三角形AGN′中，由勾股定理得：． 综上所述，点N能在AC上，点N到A的距离AN为． 41．（2024•广平县一模）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝10． （1）求点D到直线AB的距离． （2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N． ①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 　3s或9s ． ②当t＝2时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为 　10　 ． 【解答】解：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，如图， ∵∠COD＝60°，OC＝OD， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠OCD＝60°，CD＝OC＝10． ∵优弧COD与直线AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∴∠OCB＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∴DECD＝5． ∴点D到直线AB的距离为5； （2）①Ⅰ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的左侧时，如图， ∵直线l与优弧COD相切， ∴OM⊥l， ∵直线l∥OC， ∴OM⊥OC， ∴∠MOC＝90°， ∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒， ∴30t＝90， ∴t＝3． Ⅱ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的右侧时，如图， ∵直线l与优弧COD相切， ∴OM⊥l， ∵直线l∥OC， ∴OM⊥OC， ∴∠MOC＝90°， ∴OM的旋转的度数为270°， ∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒， ∴30t＝270， ∴t＝9． 综上，当直线l与优弧COD相切时，t的值为3s或9s． 故答案为：3s或9s． ②连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，如图， ∵t＝2， ∴∠MOC＝60°． ∵优弧COD与直线AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵直线l∥OC， ∴直线l⊥AB， ∵OF⊥MN， ∴四边形OFAC为矩形， ∴∠FOC＝90°，AF＝OC＝10， ∴∠FOM＝30°， ∴FMOM＝5，OFOM＝5． ∵OF⊥MN， ∴FM＝FN＝5，∠MON＝2∠FOM＝60°， ∴阴影部分面积＝S扇形OMN﹣S△OMN25． （3）延长DO交MP于点T，过点C作CQ⊥MP于点Q，过点O作OR⊥CQ于点R，如图， ∵直线MP⊥OD，CQ⊥MP，OR⊥CQ， ∴四边形ORQT为矩形， ∴OT＝RQ，∠TOR＝90°， ∴∠ROC＝90°﹣∠COD＝30°， ∴RCOC＝5，∠OCQ＝60°， ∵OC⊥AB， ∴∠QCP＝30°， ∴CPCQ（CR+RQ）， ∵OT＝RQ， ∴CP（OT+5）． ∴当OT取得最大值时，CP取得最大值， ∵优弧COD上存在一动点M，MP⊥OT， ∴OT≤OM， ∴OT≤10， ∴当点T与点M重合时，OT的最大值为10， ∴CP的最大值为（10+5）＝10． 故答案为：10． 42．（2011•泉州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B（b，t）在直线x＝b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中b是大于零的常数． （1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式； （3）设直线x＝b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由． 【解答】解：（1）四边形DEFB是平行四边形． 证明：∵D、E分别是OB、OA的中点， ∴DE∥AB，同理，EF∥OB， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解法一：∵S△AOB8×b＝4b， 由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB， ∴（）2，即S△AEFS△AOB＝b，同理S△ODE＝b， ∴S＝S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE＝4b﹣b﹣b＝2b，即S＝2b（b＞0）； 解法二：如图，连接BE，S△AOB8×b＝4b， ∵E、F分别为OA、AB的中点， ∴S△AEFS△AEBS△AOB＝b， 同理S△EOD＝b， ∴S＝S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE＝4b﹣b﹣b＝2b， 即S＝2b（b＞0）； （3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E， ①当直线x＝b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO＝90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形， 此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC， ∴，即OB2＝OA•BC＝8t， 在Rt△OBC中，OB2＝BC2+OC2＝t2+b2， ∴t2+b2＝8t， ∴t2﹣8t+b2＝0， 解得t＝4±， ②当直线x＝b与⊙E相离时，∠ABO≠90°， ∴四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t＝4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形； 解法二：由（1）知，当∠ABO＝90°时，四边形DEFB是矩形， ∵∠COB+∠AOB＝90°，∠OAB+∠AOB＝90°， ∴∠COB＝∠OAB， 又∵∠ABO＝∠OCB＝90°， ∴Rt△OCB∽Rt△ABO， ∴，即OB2＝OA•BC， 又OB2＝BC2+OC2＝t2+b2，OA＝8，BC＝t（t＞0）， ∴t2+b2＝8t， ∴（t﹣4）2＝16﹣b2， ①当16﹣b2≥0时，解得t＝4±，此时四边形DEFB是矩形， ②当16﹣b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形， 综上所述：当16﹣b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t＝4±，当16﹣b2＜0时，四边形DEFB不是矩形； 解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M， 在Rt△AMB中，AB2＝AM2+BM2＝b2+（8﹣t）2， 在Rt△OCB中，OB2＝OC2+BC2＝b2+t2， 在△OAB中，当AB2+OB2＝OA2时，∠ABO＝90°，则四边形DEFB为矩形， ∴b2+（8﹣t）2+b2+t2＝82， 化简得t2﹣8t＝﹣b2，配方得（t﹣4）2＝16﹣b2，其余同解法二． 43．（2026•鼓楼区校级模拟）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，MN＝0.2米，MQ＝1.6米，雨伞撑开的宽度AC＝1米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，OG⊥AC，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为θ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）中，点C到地面的距离是　1.8　 米； ②如图（1）所示，θ＝72°，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），求小丽身体被雨水淋湿的部分PK的长度．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，θ＝60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并直接写出头部不被淋湿情况下x的取值范围． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示．小丽在旋转雨伞后，通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿．请直接写出EG的最小值为　　 ． 【解答】解：（1）①由题意知，OG＝0.45米，GP＝1.35米，∴OP＝OG+GP＝0.45+1.35＝1.8米， 即点C到地面的距离是1.8米， 故答案为：1.8； ②∵AC＝1米，点O为AC中点， ∴OCAC＝0.5米， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠KDP＝72°， ∵AC∥BD， ∴∠OCK＝∠KDP＝72°， ∴在Rt△OCK中，OK＝OC•tan72°＝0.5×3.08＝1.54米， ∴PK＝OP﹣OK＝1.8﹣1.54＝0.26米； （2）如图，延长PN交AC于点F，则OF＝EG＝x， ∴CF＝OF+OC＝（x米， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠KDP＝60°， ∵AC∥BD， ∴∠FCK＝∠KDP＝60°， ∴在Rt△FCK中，FK＝CF•tan60°米， ∴PK＝FP﹣FK＝1.8x）x+1.8， 即y， 延长NM交AB于点H，过A作AI⊥MN于点I， 则AI＝1.8﹣1.6＝0.2（米），，AF＝NI＝0.5﹣x，为使头部不被淋湿， ∴， 解得， 又∵x≥0， ∴， ∴； （3）设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿， 如图，延长NM交AB于点R，过R作RT⊥BD交BD于T， 延长EG交CD于W，过W作WY⊥OG交OG于Y， 则WY＝OC＝0.5，∠GWD＝∠YGW＝60°，RT＝MQ＝1.6， ∴BD， 在Rt△YGW中，YGOG，GW； 在Rt△DEW中，EW， ∴EG＝EW﹣GW， 在Rt△BRT中，BT， 又∵BD﹣BTMN＝0.2， ∴此时头部不会被淋湿，综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为． 故答案为：． 44．（2026•海门区校级模拟）问题提出 （1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD　＝　 S△BCD（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 【解答】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N. ∵a∥b， ∴∠MAB＝∠AMN＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴AM＝BN， ∴CD•AM＝CD•BN 又S△ACDCD•AM，S△BCDCD•BN， ∴S△ACD＝S△BCD； 故答案为：＝； （2）取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O且AD＝BD，如图②所示. 过点C作AB的平行线a， ∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大， ∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大， 又∵AB为常数， ∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大， 下面计算△ABC1的面积： 连接OB， 在Rt△OBD中， ∵AB＝12，⊙O的直径为20， ∴BD＝6，BO＝10，OC1＝10， 由勾股定理得： OD8， ∴C1D＝OD+OC1＝8+10＝18， ∴△ABC1的面积为：AB•C1D12×18＝108， ∴△ABC面积的最大值为108； （3）过点C作CF∥BD交AD的延长线于F，如图③﹣1所示， ∵CF∥BD， ∴∠F＝∠ADB＝60°， ∵AD∥CE， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴DF＝CE，FC＝DE， ∵DC＝CD ∴△DFC≌△CED（SSS）， ∴S△DFC＝S△CED， 又由（1）的结论知S△DAC＝S△DAE， ∴S四边形ADCE＝S△DAE+S△CED＝S△DAC+S△DFC＝S△AFC， 所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值. 以AC为边向△ABC外作等边△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如图③﹣2所示， ∵∠F＝60°， ∴点F在△AGC的外接圆上， 由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大＝S△ACG； 在Rt△ABC中： 由勾股定理得AC10， ∴AJAC＝5， ∴GJ1015， ∴S△ACGAC×GJ1015＝75； ∴四边形ADCE的最大面积是75． 45．（2024•扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上（AD＞BD），连接AD、BD、CD． 【特殊化感知】 （1）如图1，若∠ACB＝60°，点D在AO延长线上，则AD﹣BD与CD的数量关系为 AD﹣BD＝CD ； 【一般化探究】 （2）如图2，若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，判断AD﹣BD与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若∠ACB＝α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示） 【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°， ∴CD＝BDAD， ∴AD﹣BD＝CD． 故答案为：AD﹣BD＝CD； （2）若∠ACB＝60°，点C、D在AB同侧，AD﹣BD与CD的数量关系为：AD﹣BD＝CD，理由： 延长BD至点E使DE＝CD，连接CE，如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CDE＝∠BAC＝60°， ∵DE＝CD， ∴△CDE为等边三角形， ∴CE＝CD，∠DCE＝∠E＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝60°+∠BCD， ∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝60°+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE． ∵∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠ADC∠E＝60°． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BE， ∵BE＝BD+DE＝BD+CD， ∴AD＝BD+CD， ∴AD﹣BD＝CD． （3）①当点C、D在AB同侧时， 延长BD至点E，连接CE，使CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝α， ∴∠CAB＝∠CBA＝90°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CDE＝∠BAC＝90°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝90°α，∠DCE＝α． ∵CF⊥DE， ∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin， ∴DE＝2DF＝2CD•sin， ∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝α+∠BCD，∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝α+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝∠E． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BE， ∵BE＝BD+DE＝BD+2CD•sin， ∴AD﹣BD＝2CD•sin． ②当点C、D在AB两侧时， 延长DB至点E，使BE＝AD，连接CE，过点C作CF⊥DE于点F，如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝α， ∴∠CAB＝∠CBA＝90°， ∵四边形ABDC为圆的内接四边形， ∴∠CBE＝∠DAC， 在△CAD和△CBE中， ， ∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴CD＝CE，∠ADC＝∠E， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠E＝90°， ∵CF⊥DE， ∴∠DCF＝∠ECF，DF＝EF＝CD•sin， ∴DE＝CD•sin， ∴DE＝2CD•sin， ∵DE＝BD+BE＝AD+BD， ∴AD+BD＝2CD•sin． 综上，若∠ACB＝α，AD、BD、CD满足的数量关系为：当点C、D在AB同侧时AD﹣BD＝2CD•sin；当点C、D在AB两侧时，AD+BD＝2CD•sin． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $