专题09 填空小压轴17或18题（与圆相关的综合问题，20题）（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题09 填空小压轴17/18题 （与圆相关的综合问题，20题） 考点01：与圆相关的问题 1．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 2．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先画出图形，连接，利用勾股定理可得，，从而可得，再根据与有公共点可得一个关于的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：由题意画出图形如下：连接，   过点，且， 的半径为7， 过点，它的半径为，且， ， ， ，， 在边上，点在延长线上， ，即， ， 与有公共点， ，即， 不等式①可化为， 解方程得：或， 画出函数的大致图象如下：    由函数图象可知，当时，， 即不等式①的解集为， 同理可得：不等式②的解集为或， 则不等式组的解集为， 又， 半径r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键． 3．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】18 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 4．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可． 【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK， 过圆心O，， 设的半径为 ∴ 整理得： 解得： 不符合题意，舍去， ∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键． 5．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 【答案】400π 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图， ∵AC=11，BC=21， ∴AB=AC+BC=32， ∵OD⊥AB于D， ∴AD=BD=AB=16， ∴CD=AD-AC=5， 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 OD==12, 在Rt△OBD中，由勾股定理，得 OB==20， ∴这个花坛的面积=202π=400π， 故答案为：400π． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键． 6．（2021·上海·中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ． 【答案】． 【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可． 【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE， 在正六边形ABCDEF中， ∵直角三角板的最短边为1， ∴正六边形ABCDEF为1， ∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形， ∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， ∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒， ∴BG=DI= FH=， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =， ∴AC =AE = CE =， ∴由勾股定理得：AI=， ∴S=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用． 7．（2025·上海奉贤·三模）在中，，以D为圆心、为半径的交的延长线于点E，连接，交于点F．当时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，延长至，使，连接，证明，，，再证明，可得，，可得四点在同一个圆上，即四点在上，证明，，设，再进一步利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵在中，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四点在同一个圆上，即四点在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，（经检验不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（2025·上海·二模）如图，已知与相交于A、B两点，的半径长为2，的半径长为3，如果的圆心在上，那么公共弦的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键．延长交于点，连接，则为的直径，求出，证明， 在中，，得到，即可得到． 【详解】解：延长交于点，连接，则为的直径， ∴，， ∴ ∵ ∴垂直平分， ∴， 在中， ∴， ∴ 故答案为： 9．（2025·上海青浦·二模）在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是 ． 【答案】 【分析】设六边形是的内接正六边形，则是的内接正三角形，连接，，，设交于点H，证明和均为正三角形，则，，根据垂径定理得，，则，设，则，，进而得，据此求出的值即可得出答案． 此题主要考查了等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，圆内接正多边形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：设六边形是的内接正六边形，则是的内接正三角形， 连接，，，设交于点H，如图所示： ∴，， ∵， ∴和均为正三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据垂径定理得：，， ∴， 在中，设， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 即在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是． 故答案为：． 10．（2025·上海闵行·二模）已知等腰三角形的底边长为8，它的外接圆半径为5，那么圆心到腰的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．根据题意画出图形，应注意底边BC与圆心可能存在两种位置关系可能． 【详解】解：①如图：过点作于点， 由题意可得， 在中， ∴ 在中， ∴ 在中，； ②如图，过点作于点， ， 在中， ∴ 在中， ∴ 在中，； 综上：圆心到腰的距离为或． 故答案为：或 11．（2025·上海奉贤·二模）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的问题，正多边形的性质，熟练掌握了正多边形与圆的问题是解题的关键．作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P，求出、、的长，即可求得的半径 r 的取值范围，即得答案． 【详解】解：作正六边形的外接圆，连结，，，设与相交于点P， 则，是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 是的直径， ， ， ， 以为半径的与以为半径的相交， ， 即； 的半径 r满足． 故答案为： 12．（2025·上海松江·二模）如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，得出，运用勾股定理表示，因为，证明△△，则，即可作答． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、， 则， ， 、、三点在同一条直线上， 点在上， 连接、， 则， ， ， ， 则， ， ， ∴， △△， ， 故答案为：． 13．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 如图，过作于，则，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到；过点作交的延长线于，同理得，根据勾股定理得到． 【详解】解：如图，过作于， 则， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ； 过点作交的延长线于， 同理得， ， ∴， 综上所述，的长为 5 或， 故答案为： 5 或． 14．（2025·上海浦东新·二模）如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用，解题关键是找到界点时的情况计算． 根据题意，需要找到当时，半径最小；当点与点重合时，半径最大，计算出长度即可解答． 【详解】解：作交于点， 在中， ，，，， ， 是等边三角形， ，， 在直角中， ，， ， ， 在直角中， ， 在直角中， ， 作交于点， ， ， ， 与相切时，，即， 当时，半径最小，即； 当点与点重合时，，即， ， 半径最大为， 综上所述，． 15．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、重心和外心等知识．求出和，即可得到答案． 【详解】解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 16．（2025·上海金山·二模）圆是的外接圆，，，垂足分别是点、，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”以及“三角形的中位线等于第三边的一半”． 根据垂径定理可知点和点分别为的中点，根据中位线定理即可进行求解． 【详解】解：∵， ∴点和点分别为的中点， ， ， 故答案为：． 17．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 18．（2025·上海虹口·二模）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形的边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ，又， ， 即正六边形的边长为， 设正六边形的中心为，连接，过点作于点， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 19．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．利用垂径定理求出是解题的关键． 连接，根据，，得到，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴ 故答案为：5． 20．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键． 先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围． 【详解】解：取的中点，连接、、，如图： 点E是的中点，点是的中点，， ，， 当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 即． 故答案为：． 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题09 填空小压轴17/18题 （与圆相关的综合问题，20题） 考点01：与圆相关的问题 1．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 2．（2023·上海·中考真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ． 3．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 4．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 5．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留） 6．（2021·上海·中考真题）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ． 7．（2025·上海奉贤·三模）在中，，以D为圆心、为半径的交的延长线于点E，连接，交于点F．当时，的长为 ． 8．（2025·上海·二模）如图，已知与相交于A、B两点，的半径长为2，的半径长为3，如果的圆心在上，那么公共弦的长为 ． 9．（2025·上海青浦·二模）在同圆中，圆内接正三角形的边长与圆内接正六边形的边长的比值是 ． 10．（2025·上海闵行·二模）已知等腰三角形的底边长为8，它的外接圆半径为5，那么圆心到腰的距离为 ． 11．（2025·上海奉贤·二模）如图，在边长为 2 的正六边形中，G为的中点，点Q为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径 r 的取值范围是 ． 12．（2025·上海松江·二模）如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为 ． 13．（2025·上海崇明·二模）如图，在矩形中，与相交于点，点是在直线上方到距离等于3的一个动点，当点在以点为圆心，为半径长的圆上时，的长为 ． 14．（2025·上海浦东新·二模）如图，在中，，，点在边上，且是等边三角形，点是对角线上一点．如果经过点且与边没有公共点，那么的半径的取值范围是 ． 15．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于 ． 16．（2025·上海金山·二模）圆是的外接圆，，，垂足分别是点、，如果，那么 ． 17．（2025·上海虹口·二模）如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是 ． 18．（2025·上海虹口·二模）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是 ． 19．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为 ． 20．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$