专题16 综合实践（几何压轴题综合，51题）（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题16 综合实践（几何压轴题综合，51题） 1．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 3．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，    则． 半径为4， ， ．， ， ， ， 线段的最小值为； （2）如图②，分别在，上作，    连接，、、、． ，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 当点在上时，取得最小值． 作，使圆心在上，半径， 作，垂足为，并与交于点． ∴， △△， ， 在矩形区域内（含边界）， 当与相切时，最短，即． 此时，也最短． ， 也最短． ， ， 此时环道的圆心到的距离的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2022·陕西·中考真题）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)符合要求，理由见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出即可； （2）连接．先证明出四边形是菱形．利用菱形的性质得出，由，得出．根据，得，，即可求出，再求出，利用即可求解； （3）由作法，知，根据，得出．以为边，作正方形，连接．得出．根据l是的垂直平分线，证明出为等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，连接．       图2 ∵， ∴四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：符合要求． 由作法，知． ∵， ∴． 如图3，以为边，作正方形，连接．         图3 ∴． ∵l是的垂直平分线， ∴l是的垂直平分线． ∴． ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∴． ∴裁得的型部件符合要求． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难． 5．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在符合设计要求的四边形面积的最小值为，这时，点N到点A的距离为． 【分析】（1）在中，设边上的高为h，根据题意求出h的值，，计算即可； （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则， ， ，，在根据列出关于x的一元二次方程，根据二次函数最值得方法求解即可． 【详解】解：（1）在中，设边上的高为h． ∵，，∴ ∵，∴点到的距离为． ∴ ． （2）存在．如图，分别延长与，交于点F，则四边形是矩形． 设，则 ， ， ，． 由题意，易知， ∴ ． ∴当时，． ，． ∴符合设计要求的四边形面积的最小值为， 这时，点N到点A的距离为． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质，运用锐角三角函数求边长，根据二次函数图像求最值问题，正确列出所求图形面积的式子是解题关键． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，在中，点D在边上，连接，若，，则的值为_______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点D、E分别是、边的中点，连接，平分交于点F．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向右方进行扩建，扩建区域为，再从点B向边的中点E修建一条儿童健身跑道，为了达到跑步锻炼的效果，要求跑道尽可能的长．已知，，扩建区域需要的费用为200元/，求跑道最长时，扩建区域需要的总费用． 【答案】（1）4；（2）10；（3）跑道最长时，扩建区域所需的总费用为256000元 【分析】（1）根据高相等的三角形面积比等于底的比计算即可； （2）先证明是的中位线，，则，，可知，进而根据角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，即可求出的长； （3）取的中点O，连接，则是的中位线，可知，取的中点P，连接，则是的中位线，根据，得出当点B、P、E三点共线时，取得最大值，由三角形面积公式求出，由勾股定理求出，则，即，证明，求出，即可求出扩建区域需要的总费用． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）点D、E分别是、边的中点，， 是的中位线，， 则，， ． 平分， ， ， ， 则， ； （3）取的中点O，连接，则是的中位线． ∴， ∵， ∴， ∵，点O是的中点， ∴， 取的中点P，连接，则是的中位线． ∴，， ∴， ∴， ， 当点B、P、E三点共线时，取得最大值，此时， ， ． ，， ， ，则， ． ， ， ， ． （元）， 跑道最长时，扩建区域所需的总费用为256000元． 【点睛】本题考查了三角形面积公式，中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为斜边的中点，若，则的长为_____________； 【深入探究】 （2）如图②，在中，，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某社区有一块健身器材区，其中．为方便居民使用，决定改建，按照设计要求，在中点处建一个休息凉亭，过点作的垂线，交的延长线于点，在点处增加一个小门方便居民通行．点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，点为的中点，延长交于点，连接，在处建一个便民休闲区，引入商家方便居民随时购买饮品．为充分满足居民需求，想让区域的面积尽可能大，若，求区域的最大面积． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握直角三角形的性质与相似三角形的判定是解题的关键， （1）根据直角三角形的性质可得：，再由，从而得到的长； （2）由直角三角形的性质可得，由于，可得，利用，可推出，再利用锐角三角函数可求得； （3）如图③，延长，在延长线上取一点，使，连接．根据三角形的性质可得．从而可证得四点共圆，由于点为中点，可证明从而可推出，进而，即可得到，又因为，从而得到，故，由，从而得到，如图④，作的外接圆，连接，则，得到为等边三角形，从而得到，过点作于点，并延长交于点，过点作交的延长线于点，则，当点与重合时，此时的高最大，即的面积最大，代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在中，，点为的中点，， ∴， 故答案为：3． （2）点是中点，， ， ， ， ， ∵， ， ， ， （3）如图③，延长，在延长线上取一点，使，连接． 则． ， ， ， 四点共圆， 点为中点， 是中位线． ． 四点共圆， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 如图④，作的外接圆，连接， 则， 为等边三角形， 过点作于点，并延长交于点，过点作交的延长线于点，则， 当点与重合时，此时的高最大，即的面积最大， ， ， 此时， 区域的最大面积为． 8．（2025·陕西渭南·三模）问题提出 (1)如图①，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接、，若，求证：； 问题探究 (2)如图②，在四边形中， ，，点在线段上，连接，过点作交边于点，若，，求四边形的面积； 问题解决 (3)如图③，某家具厂要生产一批特殊的四边形木质雕花装饰板，该装饰板的具体要求为：，，厘米，点到的距离为厘米，已知这种木质材料每平方厘米造价元，在保证装饰效果和质量的前提下，求制作一个这样的装饰板的最低造价是多少元？            【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积是（3）这种四边形金属部件的造价最低是元 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，二次函数的性质等知识，运用前一小问解决问题的方法解决新的问题是解题的关键． （1）由菱形的性质证明，再结合已知条件可得结论； （2）过点作于，可得，有，即可求出的长，根据代入计算即可； （3）类比（2）中解决问题的方法，将四边形补成矩形，设 ，则，，同理可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质求出面积的最小值，从而可得答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ，即， ， ； （2）解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 答：四边形的面积是； （3）解：过点作，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，过点作于点， 点到的距离为 同（2）可得， ∴， 设 则 ，， ， 当时，最小为， 四边形金属部件的最低造价为元， 答：这种四边形金属部件的造价最低是元． 9．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】（1）可证得，从而， （2）连接，连接，交于，根据三角形中位线的性质得出，从而得出当时，最小，从而最小，根据可求得，进而得出结果； （3）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，可证得 是矩形，从而，进而求得的值，可证得，从而，从而得出，作于，则最小值是的值，进一步得出结果． 【详解】（1）如下图， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 连接，连接，交于， 点、分别是、的中点， ， 当时，最小，从而最小， 四边形是菱形， ，，， ， ， 由， ， ， ； （3）如图， 取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， ， ，， 米， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 作于， 则最小值是的值， 米， 米， 米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 【点睛】本题考查了正方形，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，在由线段与孤围成的封闭图形中，，，，，E是弧上任意一点，若弧的半径为2，则面积的最小值为 ； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一块空地，经测量，，，，规划部门在四边形内一点E处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道步道宽度忽略不计，分别为，且步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹，牡丹比较昂贵，种植成本高，为节约成本，要求面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出面积的最小值；若不存在，请说明理由结果精确到整数；参考数据：，， 【答案】（1）8（2）存在， 【分析】本题考查了圆的基本性质，三角形的面积，利用锐角三角函数解直角三角形等，掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）先找出面积最小时，点E的位置，再进行计算； （2）以线段为直径画圆，圆心为,连接，作，交于点，交于点,作，交于点,根据给出的边长和角的度数，利用锐角三角函数解直角三角形，最后求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴为矩形， ， ∵弧的半径为2， ∴为直径， 设弧的圆心为O，过O作，交弧于点E，此时的面积最小， 此时由为矩形易得，四边形为矩形， ∴， ， 面积的最小值， 故答案为：8； （2）根据题意，如图所示，以线段为直径画圆，圆心为,连接，作，交于点，交于点,作，交于点, ， ， 又∵， ， ，， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ， 当最小时，的面积最小， 当H、E、O三点共线时，上的高最小， 此时， ， 答：面积的最小值为 11．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点A作的切线，猜想与的数量关系，并证明． 【问题解决】 （2）如图②，在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．其中是两段长度均为200米的直线形灌溉管道，且．，是一段弧形灌溉管道，其所对的圆心角为为了优化灌溉系统的成本和输水效率，需在上选取一个辅助喷头D的安装位置．试验发现，当出水源A点到喷水口D的距离与喷水口D到农田一角B的距离的比值最小时，喷水口D为最佳安装位置．请问：是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算此时以A、B、D为顶点的重点灌溉区域的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）的最小值为；平方米 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由三角形内角和定理得到；由切线的性质得到，则，由圆周角定理可得，则； （2）设所在圆的圆心为O，连接，连接并延长交于E，连接，可证明，得到，，则，则是的切线，由（1）可得，证明，可得，则当是的直径时，有最小值，解得到米，则的最小值为；可证明此时三点共线，，则，由勾股定理得米，则米，米，即可得到平方米． 【详解】解：（1），证明如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图所示，设所在圆的圆心为O，连接，连接并延长交于E，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最小值， ∵是的一条弦， ∴当是的直径时，有最大值， 在中，米， ∴的最小值为； ∵是的直径， ∴此时三点共线，， ∴， 在中，由勾股定理得米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴平方米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图，在中，，交于点H，点E、F分别为、上的动点，连接、、，若的面积为6，的长为3，求周长的最小值． 【问题解决】 （2）2025年3月12日，一年一度的植树节到来．植树造林是生态文明建设的重要环节，也是实践绿色发展理念、弘扬生态文化的重要契机之一．西安市高新管委会计划在一片空地上修建一个直径为800米的半圆形森林生态公园．如图所示，小区C恰好位于半圆弧的三等分点上．现在计划在弧上找一个点D，在D处修建一个停车场，为了方便市民进入公园管委会还修建了和两条游览小路．经过与附近居民的调研了解到，居民希望在游览小路上确定一个点E，使得点E到小区C和停车场D的距离相等（即），同时还能再在上确定点M，在上确定点N，沿着点修建健身步道，已知修建健身步道每米的费用是1000元．请你帮助管委会计算出修建健身步道的最低费用． 【答案】（1）；（2）修建散步小道的最低费用为元 【分析】（1）作点关于的对称点，再作关于的对称点，连接，交于点，交于点．当点运动到点处、点运动到点处时，的周长最小．根据，求出．证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）连接，，证明为等边三角形，得出，说明不论D点位置如何变化，恒定不变为，求出米，说明不论D点位置如何变化，的长度恒定不变，得出为定边对顶角三角形，作的外接圆，连接，作点关于的对称点，作关于的对称点点，连接，由第（1）问的结论可知，当四点共线时，的周长最小为，求出的最小值为米，最后求出最少费用即可． 【详解】解：问题提出： 如图，作点关于的对称点，再作关于的对称点，连接，交于点，交于点．当点运动到点处、点运动到点处时，的周长最小．理由如下： 点与点关于对称，点与点关于对称 ，， 两点之间线段最短， ， 的最小值为， ， ， ． ， ， 为等腰直角三角形， ， 的最小值为； 【问题解决】解：连接，，如图所示： ∵点C为半圆弧的三等分点， ∴， ， ∵， ， ， ∴为等边三角形， ， ，即不论D点位置如何变化，恒定不变为， ∵为的直径， ， ∵米，， ∴米， 米，即不论D点位置如何变化，的长度恒定不变， ∴为定边对顶角三角形， 作的外接圆，连接，如图所示： ∴当点D在上运动时，点E在上运动， 作点关于的对称点，作关于的对称点点，连接， 由第（1）问的结论可知， 当四点共线时，的周长最小为， 由第（1）问，同理可得：，且 ，即的最小值为为， ∴当最小时，最小． 连接交于一点，当运动至该点处时，最小． ， 点在上（对角互补四点共圆）， ， 米， 米， 的最小值为米， 的最小值为米， 修建散步小道的最低费用为元． 【点睛】本题主要考查了轴对称的应用，四点共圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，，与交于点，若，，则的长为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，五边形是某校园内部分绿化区域的平面图，点是该绿化区域的入口，、、是三条小路（宽度忽略不计），区域是草坪，和是绿植种植区，区域是水池，是从通往小路的一座小桥（宽度忽略不计），现要从到之间挂一条激励即将参加中考学生的横幅．已知， ， m，，且m，求这条横幅的长度． 【答案】（1）5；（2）证明见解析；（3）这条横幅的长度为24m 【分析】（1）由可得，结合已知条件即可求解； （2）证明利用证明，从而可得； （3）连接，，延长至点，使得，连接，同理（2）证明，得，，再过点作交的延长线于点，则，可得，进而可得．结合勾股定理求出m．过点作于点，即可求得m， 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． ∵，， ∴的长为， 故答案为：5； （2）证明：∵， ∴． ∵，，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． （3）连接，，延长至点，使得，连接． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴点在上，即、、在一条直线上． ∵，， ∴，即． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，则， ∴． ∵m，m， ∴m． 过点作交的延长线于点，则，， ∴， ∴． 在中，， ∴m，m，m， ∴， ∴m． 过点作于点，则m， ∴m． ∴m， ∴这条横幅的长度为24m． 【点睛】此题考查三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定、勾股定理，关键是构造全等三角形、相似三角形，转化线段和角的关系解答． 14．（2025·陕西·一模）问题提出 （1）如图1，在中，于点，，则点到的距离为_____． 问题探究 （2）如图2，在半圆中，为直径，为上一点，连接，若，求的值． 问题解决 （3）如图3，某城市有三条主干道，其平面示意图分别为线段，，．规划部门拟在道路的延长线上选取一点，并沿着点向分别修建两条大道，要求，然后经过两点再修建一条辅路．已知，点，点分别在线段上，且不与端点重合，辅路的距离需要最短，请你找出满足题意的点的位置，并求出的最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3）辅路的最短距离为 【分析】（1）设到的距离为，根据等面积法，即可求解； （2）连接，根据已知可得是等腰直角三角形，设半径为，进而求得，即可求解； （3）连接，取的中点，连接，证明四点共圆，进而证明是等边三角形，得出，过点作于点，则当重合时，最短，即最短，进而解求得，即可求解． 【详解】解：（1）设到的距离为， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接， ∵ 在半圆中，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设半径为，则，，， ∴； （3）如图，连接，取的中点，连接， ∵，， ∴在与中，， 即， ∴四点共圆， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∵， ∴当重合时，最短，即最短， 在中，， ， ， 答：辅路的最短距离为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．（2025·陕西西安·三模）问题探究 （1）如图1，在中，，，点D是上方一动点，连接，，过点D作，交的延长线于点E，求线段的最大值； 问题解决 （2）如图，是一片风景园林景区，是一个小型度假区，，点D在上的是的半径且是定值，，，，点O与点A之间的距离等于的长．点P是上的动点（不与点D重合），现管理人员计划在点P处设置一个小吃城，连接交于点M，在M处设置一个游客集散中心，并沿铺设一条步行景观道，沿铺设一条直通车道．根据规划要求步行景观道长度与直通车道长度的比值尽可能的小（即的值尽可能的小），请你帮管理人员判断的值是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，1 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质以及，可得，过点C作于点F，延长到点H，使得，过点H作交的延长线于点G，则，当的长最大时，的长就最大，根据题意得：的最大值即为的长，此时点D在点H的位置，即可求解； （2）过点P作，交的延长线于点E，则，由题可得的长为定值，当的长最大时，的值最小．延长交于点，过点作，交的延长线于点F，连接交于点，连接，当点P在的位置，点E在点F的位置时，的值最大，最大为的长，可得的值最小为，证明，可得，从而得到．延长交的延长线于点H，交于点G，然后锐角三角函数以及平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵， ∴， 过点C作于点F，延长到点H，使得，过点H作交的延长线于点G，如图，则． ∵， ∴， ∴， 当的长最大时，的长就最大， 根据题意得：的最大值即为的长，此时点D在点H的位置， ∴的最大值． （2）过点P作，交的延长线于点E，如图，则， 由题可得的长为定值，当的长最大时，的值最小． 延长交于点，过点作，交的延长线于点F，连接交于点，连接， 由图可得当点P在的位置，点E在点F的位置时，的值最大，最大为的长， ∴的值最小为． 设，则， 在中，， ∵点O与点A之间的距离等于的长， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 延长交的延长线于点H，交于点G， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的值存在最小值，的最小值为1． 【点睛】本题主要查了圆的基本性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，掌握锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，最短路径的计算，数形结合分析思想是解题的关键． 16．（2025·陕西渭南·二模）【问题探究】 （1）如图1，为线段上的动点，分别过点、作，（点与点在的两侧），连接、．已知，，，则的最小值为______； （2）如图2，在中，，，点在线段上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3是某公园拟规划的一个三角形的人工湖，．为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个观景台（为内部一点），、为人工湖内的两条木质栈道，点、分别是、边上的垂钓中心，且，现计划在人工湖上沿、修建两座笔直的石桥，根据设计要求，，，，若修建石桥的造价为5000元，为节省资金，要使修建两座石桥的总费用尽可能的低，求修建这两座石桥的最低总费用．（观景台、垂钓中心的大小，栈道和石桥的宽度均忽略不计） 【答案】（1）5；（2）；（3）修建这两座石桥的最低总费用为元 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明四边形为矩形，得出，，求出，再由得出的最小值为，最后由勾股定理计算即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）作，且，连接、，作交的延长线于，证明，得出，结合得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：（1）如图，作交的延长线于， ， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值为，即， 故答案为：5； （2）∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）如图，作，且，连接、，作交的延长线于， ， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，, ∴，， ∴， ∴，即的最小值为， ∴修建这两座石桥的最低总费用为元． 17．（2025·陕西咸阳·三模）【问题提出】 （1）如图1，、为的两条弦，连接、，若，则的度数为___________°． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，以为边向上作，以为边向下作，使得，试判断与是否相似？并说明理由； 【问题解决】 （3）为了全面落实新课标理念，促进学习方式深度转变，某校拟修建一座项目式学习基地，如图3为基地的平面规划示意图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧分别交于点，规划四边形区域为项目实施区，区域为协作交流区，其他区域为评价反馈区，根据规划要求，，请你判断项目实施区（四边形的面积与协作交流区的面积是否相等？并说明理由． 【答案】（1）130；（2）与相似，理由见解析；（3）相等，理由见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由可得劣弧所对的圆周角为，再结合圆内接四边形对角互补可求得的度数． （2）证明，结合即可证明与相似 （3）连接、，证明，得到；再证明和均为等腰直角三角形，得出，由可证明，设与之间的距离为，则，从而可得结论． 【详解】解：（1）在优弧上取点D，连接， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质得，， ∴， 故答案为：130． （2）与相似． 理由：， ，即． ， ． 在中， ， ． 又 ． （3）连接、，如图． ． ， ． ． 劣弧所对的圆周角为 ． ∴ ． ， 和均为等腰直角三角形， ∴． ． 设，则． 四边形为平行四边形． 设与之间的距离为，则， ，即项目实施区（四边形）的面积与协作交流区（）的面积相等． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出： (1)如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，连接，当，请直接写出线段之间的数量关系______． (2)如图2，在现代化智能农场中，有一四边形试验田，，，，．为实现精准施肥，走走决定在边上设置施肥装置E，连接，在点C关于的对称点F处设置一智能控制中心．连接并延长与交于M，连接并延长与交于G，其中为肥料输送管道，为输水管道．为避免干扰其他区域，点M、G均在线段上．因农场的小型机器人在运输时需穿行边，为确保安全、顺畅通行，走走现需了解管道间距的最大值．请问是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请帮走走求出的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的最大值为 【分析】（1）把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应，利用旋转的性质，证明即可； （2）如图，过点B作交延长先于点N，连接，作的外接圆，过点O作于点H，连接，先证明四边形是正方形，再证明，由对称的性质得： ，证明，推出，，当取最小值时，取得最大值；设半径为，得到，，求出；根据，即，求出，即可解答． 【详解】（1）解：， 证明：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应， 由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， ，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：存在， 如图，过点B作交延长先于点N，连接，作的外接圆，过点O作于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 由对称的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴当取最小值时，取得最大值； 设半径为，则， ∵为的外接圆， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，添加辅助线，构造圆与全等三角形是解题的关键． 19．（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)米 【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定即可求解； （2）将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，由翻折的性质可得，，，，，推出，则有，再利用两点之间线段最短的性质即可求出周长的最小值； （3）过点作且，连接、、，作于点，交于点，利用勾股定理求出米，根据正方形的判定证出四边形是正方形，得到，，，由且米，得到四边形是平行四边形，，通过证明四边形是矩形，得到米，，，进而推出是等腰直角三角形，米，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：4． （2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图： 由翻折的性质可得，，，，，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 周长的最小值为． （3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图： ，米，， 四边形是矩形， ， 米， ， 矩形是正方形， ，，， 且米， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 米，，， ， 是等腰直角三角形，米， 米，米， 米， 米， ， 米， 米， 米， 的最小值米． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、翻折的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理与最短路径问题、正方形的性质与判定、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理求出最短路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 20．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践 【特例感知】 （1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造 ，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3）的长为或 【分析】（1）由正方形的性质得到，由全等三角形的判定和性质得到，即，即可得到； （2）由矩形的性质得到，证明，得到，再由即可证明； （3）求出，分两种情况讨论即可. 【详解】解：（1）四边形为正方形， ． ， ． 又 ， ， ． 故答案为：，； （2）． 证明：四边形为矩形， ． 在中，， ， 即． 又 ． ． ． ， ． ； （3）或． ．分两种情况讨论： ①如图1，当四边形为矩形时，四边形为轴对称图形． 由（2）得 在矩形中，． 在中， ， 解得 ． ②如图2，当四边形关于所在的直线对称时，． 在 中，． ． 由（2）得． 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.熟练掌握各知识点是解题的关键. 21．（2025·陕西榆林·二模）【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点为内一动点，连接、、，，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），过点向下方作，连接，试判断与是否相等，并说明理由；    【问题解决】 （2）国务院新闻办公室5月12日发布了《新时代的中国国家安全》白皮书，旨在全面阐释新时代中国国家安全工作的相关内容．为了提高学生的国家安全意识和素养，某校拟举办国家安全教育宣传活动，如图2，四边形为规划中的活动场地平面示意图，为一条走廊，点为内一点，区域为互动区，区域为便民服务区，其他区域为案例展示区，并沿、（点在上）打造两面资料展示墙，用于展示国家安全相关资料．根据规划要求，，，，，请你判断图中与这两条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2），见解析 【分析】（1）根据题意得到，即，由等腰直角三角形，旋转的性质得到，即，由此即可求解； （2）延长到点，使得，连接，如图2，证明，得，，再证明，得，根据题意得到和是顶角相等的等腰三角形，可证，得，结合题意，得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）与相等，理由如下， ， ， ， ， ，即， 是由绕点旋转得到， ， ， ， ， ， ， 与相等； （2）延长到点，使得，连接，如图2， ，，， ， ，， 将绕点顺时针旋转到的位置，连接，如图2， 由旋转的性质可得，， ， ，即， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可得，， ， 和是顶角相等的等腰三角形， ， ， ， ， ， 即与这两条线段之间的数量关系是． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． 22．（2025·陕西汉中·二模）【问题探究】 （1）如图1，在中，，点为的中点，连接，点为上一动点（不与端点重合），点为的中点，点为内一点，连接、、、，，，延长到点，使得，连接、． ①设，，请用含、的式子分别表示线段、、的长； ②判断与的位置关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，四边形是农民李大爷家的一块种植地，经测量，，，为了提高产量，李大爷计划对这块种植地重新进行规划，取的中点，沿将四边形分成两部分，分别用于种植两种不同的作物，在上取点（不与端点重合），将点和的中点设为两个出入口，沿修一条灌溉水渠，在四边形内部取点，沿修建运输通道，是一条小路，根据规划要求，，，根据李大爷的预算，修建运输通道每米的费用是修建灌溉水渠每米费用的2倍，请你计算并说明段修建灌溉水渠的总费用与段修建运输通道的总费用是否相等？ 【答案】（1）①，，；②，见解析；（2）段修建灌溉水渠的总费用与段修建运输通道的总费用相等 【分析】（1）①根据中位线的性质得，根据中点的定义得，再根据题意可表示出表示线段、、的长； ②根据中位线的性质得，根据平行线的性质得，进而得，证明得，再根据等腰三角形的性质可得结论； （2）连接、，延长到点，使得，连接、，由已知得是等边三角形，则，，设，，则，，，进而得，证明得，，进而得，根据含30度角直角三角形的性质得，设，则，设修建灌溉水渠每米费用为元，则修建运输通道每米费用是元，分别表示出段修建灌溉水渠的总费用与段修建运输通道的总费用，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ②，理由如下： ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①易得， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）连接、，延长到点，使得，连接、，如图2， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， 设，，则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴在中，， 设，则， 设修建灌溉水渠每米费用为元，则修建运输通道每米费用是元， ∴段修建灌溉水渠的总费用为元，段修建运输通道的总费用为元， ∴段修建灌溉水渠的总费用与段修建运输通道的总费用相等． 【点睛】本题考查了中位线的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识点． 23．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，则的度数为_____； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为的中点，连接并延长到点，过点作交的延长线于点，连接、交于点，试判断与的面积是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）某校为了更好地推动劳动教育的深入开展，拟修建劳动教育实践基地，如图3为基地的平面规划示意图，在五边形中，，，，米，米．现计划在边、上分别取点M、N，在五边形内部取点，沿、修建两面资料展示墙（宽度不计），用于摆放劳动教育相关的知识资料，并将区域规划为种植区，根据规划要求，，，请你判断种植区的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）90；（2）与的面积相等，理由见解析；（3）种植区的面积为定值，这个定值是平方米 【分析】（1）过作，为垂足，由等腰三角形的定义得，设，由勾股定理得 ，再由等腰三角形的性质得 ，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，由，即可求解； （3）延长、，连接，取的中点，连接、，过作，为垂足，作，为垂足，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由四点共圆判定方法得点、、、在以圆心，为半径的圆上，可得 ，是定值，即可求解． 【详解】（1）解：过作，为垂足， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：与的面积相等， 理由如下： ，点为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长、，连接，取的中点，连接、，过作，为垂足，作，为垂足， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点、、、在以圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， 是定值， 是定值， 在中， ， （平方米）， 故种植区的面积为定值，定值为平方米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，等边三角形的判定及性质，圆的基本性质等，掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，能由圆的基本性质找出四点共圆，并能熟练利用勾股定理，直角三角形的特征进行求解是解题的关键． 24．（2025·陕西榆林·三模）问题提出： （1）如图①，点是等边三角形边延长线上的一点，以为边作等边三角形，连接、相交于点，已知，则的长为________，的大小为________； 问题解决： （2）如图②，某公园有距离300米的两个水源A、，设计部门计划修建一块四边形鲜花区域（四边形），其中中，，内部用来种植郁金香，使用水源A进行浇灌；中，内部用来种植牡丹花，使用水源进行浇灌，请利用所学知识求出牡丹花区域的最大面积． 【答案】（1）8；；（2）平方米 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得、，则，易证可得、，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等可得，再根据邻补角的性质即可解答； （2）如图，连接，将绕点A逆时针旋转得，连接．根据旋转的性质以及勾股定理可得，进而得到；如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为．解直角三角形可得、．再说明，进而得到点在以为弦，所含圆周角为的上．设点为所在圆的圆心，连接、，．如图：过点作，垂足为；过点作，垂足为，则．易得、．最后根据三角形的三边关系以及三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：∵、是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8；； （2）解：如图，连接，将绕点A逆时针旋转得，连接． ∴，，，． ∴． ∵，， ∴． ∴． 如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为． 则． ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴点在以为弦，所含圆周角为的上． 设点为所在圆的圆心，连接、，． 过点作，垂足为；过点作，垂足为，则． ∴，． ∵， ∴． ∴最大值为． ∵， ∴最大面积为． ∴牡丹花区域的最大面积为平方米． 25．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】 （）如图①，是的直径，点在上，是的中点，若，，求的长； 【问题解决】 （）畅享绿水青山，近年来户外露营火爆，某街道规划将原来的三角形公园进行扩大改造成四边形公园．分为露营区和活动区． 图②所示，按设计要求，，，，．为改造后公园的两条主干道．为了更好的平衡露营区和活动区用地，要让露营区的面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的露营区？若存在，求面积的最大值及此时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）存在，符合设计需求的面积的最大值为，此时点到点的距离为 【分析】（）如图①，连接，是的中点可得，将绕点顺时针旋转到处，可得，，进而得，即得三点共线，利用勾股定理得，即得，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求解； （）以为直径作，连接并延长交于点，连接，可得，由（）同理可得，即得，利用勾股定理得，，即可得，进而可得，过点作交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，令， 则，，设的面积为， 则，最后利用二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：（）如图①，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转到处， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （）存在．如图②， 以为直径作，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 由（）同理可得，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 令， 则，， 设的面积为， 则， ， ∴当时，有最大值， ∴符合设计需求的面积的最大值为，此时点到点的距离为． 【点睛】本题考查了弧弦圆周角的关系，旋转的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（2025·陕西榆林·二模）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E在上，连接，，则的度数为________； （2）如图2，在中，，点D是上一点，连接，，延长到点E，使得，在下方作，连接，，若，求证：； 【问题解决】 （3）李师傅有一个如图3所示的平行四边形板材，点E是上一点，，连接，点O是的对称中心，连接并延长交于点F，，作平分交于点G，连接，交于点M，过点M作交于点N，现李师傅要裁出三角形部件和三角形部件，根据使用要求三角形部件的面积与三角形部件的面积要相等．李师傅裁出的三角形部件和三角形部件是否满足使用要求？并说明理由． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3）满足使用要求，理由见解析 【分析】（1）先推出，即可求得，即可求解； （2）证出得，即可证明； （3）先推出，进而证出，，再推出，即可证明． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． （3）连接，如图， 点O是的对称中心， 点A在的延长线上． 在中，，， ，， ． ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，过点H作于点P，过点F作于点Q， ∵，， ， ，，， ， ， ， ． 李师傅裁出的三角形部件和三角形部件满足使用要求． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 27．（2025·陕西西安·三模）【问题提出】 （1）如图，点在直线上，点、均在直线上，连接、，，且与之间的距离为，，则的面积为__________； 【问题探究】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，若的面积为，求的面积； 【问题解决】 （3）年月日，中共中央、国务院《生态环境保护督察工作条例》的发布，对于全面推进美丽中国建设具有重要意义．为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被，如图，五边形是该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，米，米，米，，的中点处有一个出入口，集团规划人员计划在上取一个点，在五边形内部取一个点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，并在和区域内种植某种裸子植物，为了合理购买植物幼苗的数量，需要知道和的面积之和，请你帮助规划人员计算出和的面积之和． 【答案】（）；（）；（）和的面积之和为平方米． 【分析】（）利用三角形面积公式即可求解； （）先证明，则有与的相似比为，所以与的面积比为，从而求解； （）连接，取的中点，连接，可证四边形是正方形，所以米，和均为等腰直角三角形，，取的中点，连接，如图，则，由（）可得，所以，过点作于点，过点作于点，取的中点，连接，连接交于点，过点作于点，则有四边形为矩形，由四边形为正方形可得米， 米，，故有米，则平方米，，所以，，，则点在所在直线上运动，点到的距离即为的长，最后通过即可求解． 【详解】解：（）∵与之间的距离为，， ∴的面积为， 故答案为：； （）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴，且与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴； （）连接，取的中点，连接，如图， ∵米，米， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴为正方形的中心， ∴米，和均为等腰直角三角形， ∴， 取的中点，连接，如图，则， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 由（）可得， ∴， 过点作于点，过点作于点，取的中点，连接，连接交于点，过点作于点，则有四边形为矩形，如图， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴米， 米， ∴米， 由四边形为正方形可得米， 米，， ∴（米）， ∴（平方米），， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在所在直线上运动，点到的距离即为的长， ∵， ∴， 在中，， ∴米（负值已舍）， ∴米， ∴（平方米）， ∴（平方米）， ∴和的面积之和为平方米． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，中位线定理，解直角三角形等知识掌握知识点的应用是解题的关键． 28．（2025·陕西商洛·三模）问题提出 （1）如图①，在等腰中，，在的边上存在一点，使得，则此时面积为_____； 问题探究 （2）如图②，在中，，，点是平面内一点，且，请在图中作出满足条件的所有点，并求出面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，是某小区一块空地，为了提高小区居民的生活质量和社区的整体形象，物业计划将这块空地打造成一个宜人舒适的休闲场所，为满足居民的多样化需求，现要在内部规划一个花园和一个休息区，其余部分设计为娱乐区，在点处分别设置一个出水口方便花园浇水，为花园水管管道，根据设计要求，且，根据实际需求，要令休息区的面积尽可能大，而管道的长度尽可能短．已知，，米，求面积的最大值及线段长的最小值．（管道宽忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）4，（2）图见解析，，（3）面积的最大值为平方米，线段长的最小值为米 【分析】（1）由题意得，得到，代入数据求解即可； （2）以为边作等边，等边，作，的外接圆．则满足条件的点或在，上，当点与或点与重合时，，的面积最大，据此求解即可； （3）先判断点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当时，此时点到的距离最大，即边上的高最大．在延长线上截取，连接．可知点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当，，三点共线时最短，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）如图②，以为边作等边，等边，作，的外接圆． ， 满足条件的点或在，上， 当点与或点与重合时，，的面积最大， 面积的最大值=． 面积的最大值为； （3）， ． ． ， ， 点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动， 作的外接圆，连接，，，则， 要使面积最大，则点到的距离最大即可． 当时，此时点到的距离最大，即边上的高最大． 设时与交于点，则． ，， ． ． ． ． 则， ． 在延长线上截取，连接． ，， ． ， ． ． ． 由前述可知点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动， 当，，三点共线时最短， 此时， ， ． ， ， 在中，，， ， 当最小时，， ． 综上所述，面积的最大值为平方米，线段长的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 29．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践： (1)如图1，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B 的对应点 D 恰好落在边上．则 ； (2)如图2，在中，，点D为边的中点，， 如果在平面内有一点P，且点 P到点D的距离为1，则线段长度的最大值是 ； (3)如图3是某公园的设计示意图，已知，，．弧的半径为米，圆心角为，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，，，且满足点P在图形内部，Q在弧上．为了节约成本，三条小路的长度和（即）越小费用越低，求铺设这三条小路的长度之和的最小值（小路宽度不计）． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）在等腰中，易得，根据点B的对应点D恰好落在边上，即，求出，根据即可求解； （2）连接，在中，易得，根据已知，可得点P在以D为圆心，半径为1的圆上，，即、、三点共线时取最值； （3）将绕点顺时针旋转得到，则、都是等边三角形，，根据弧的半径为米，圆心角为，过点作于点，可得，在等边中，求出点到的距离为，从而求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点B的对应点D恰好落在边上， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 在中， ，点D为边的中点，， ， ， 点P在以D为圆心，半径为1的圆上， ， 故答案为：； （3）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， 、都是等边三角形， ， ， 弧的半径为米，圆心角为， 如图所示，，， 过点作于点， ，， ， ， ， 在等边中，点到的距离为， ， ， 铺设这三条小路的长度之和的最小值为米． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． 30．（2025·陕西宝鸡·二模）问题提出 （1）如图1，在扇形中，，半径，为在上且靠近点的三等分点，点，分别在线段，上，且，为的中点，连接，在滑动的过程中，的长度始终保持不变，当取最小值时，求的长． 问题解决 （2）如图2，正方形是某社区的花园，经测量，．社区管委会计划对该花园及正方形花园周边空地进行重新规划利用．在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取一点，将段铺设成休闲通道（通道宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长尽可能小，问的长是否存在最小值？若存在，求出的长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长存在最小值，最小值为 【分析】（1）根据，为在上且靠近点的三等分点，可得，由直角三角形的斜边中线定理可得，则点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，当、、三点共线时，取最小值，证明是等边三角形，得到，即可求解； （2）连接，由正方形的性质可得，，证明，得到，得到，证明，得到，推出点在射线上运动时，点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接交圆于点，则，根据勾股定理可得：，进而得到，当点与点重合时，的值最小． 【详解】解：（1）连接、， 在扇形中，，为在上且靠近点的三等分点， ，， 点，分别在线段，上，且，为的中点， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，当、、三点共线时，取最小值， ，， 是等边三角形， ， ； （2）的长存在最小值， 连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ，且， ， ， 点在射线上运动时，点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接交圆于点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与点重合时，的值最小， 的长度存在最小值，最小值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径问题，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 31．（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图，在中，，，点分别在边上，连接，若，，则的长为_____； 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，点在上，，连接，若，平分，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，菱形是某公园的一块空地，对角线是原有的一条小路，公园规划人员计划将这块空地中的（点分别在边上）区域打造为花海，在的中点处修建一座凉亭（大小忽略不计），再沿铺设一条小路，为节约成本，要求小路的长度尽可能的短．已知，，，求小路长度的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【答案】（）；  （）；理由见解析； （）． 【分析】（）先证明是等边三角形，得到，根据，推出，，易证是等边三角形，即可求解； （）根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，推出，结合已知证明，推出，即可得出结论； （）连接交于点，连接，取中点，连接，证明是等边三角形， 同理（）得是等边三角形，再证明是的中位线，推出，，根据，当三点共线时，有最小值，即，此时证明，求出 即可解答． 【详解】（）解: ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （）解：如图，连接交于点，连接，取中点，连接， ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∵，同理（）得是等边三角形， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线, ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴此时，点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴长度的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造三角形相似是解题的关键 32．（2025·陕西西安·三模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点，连接，，则______．（填写“＞”“＜”或“＝”） 问题探究 （2）如图②，四边形中，，，，，，在边上，是否存在一点，使得的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图③，有一长为2米的移动耙从地面上的点处沿方向飞行，在距点水平方向60米的处上方，建有一射击台点（设计台的大小忽略不计），米，当最大时更容易击中靶子，请求出此时的长及的值． 【答案】（1）；（2）（3）； 【分析】（1）连接，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）作的外接圆，在上任取一点，当重合时取得等于号，此时和相切，，延长交于点，则，连接，过点作于点，求得，设，在中，，根据勾股定理建立方程求得，进而根据正弦的定义，即可求解； （3）过点作，作的外接圆，连接，并延长交于点，同（1）可得（圆与相切时相等），由（2）可得，则，圆与相切，延长，交于点，分别求得得出，进而根据求得，在中，勾股定理建立方程，得出，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图，作的外接圆，在上任取一点， 由（1）可得 当重合时取得等于号，此时和相切，， 如图，延长交于点，则，连接，过点作于点， ∴ ∵四边形中，，，，， ∴ ∵ 设， ∴ 在中， ∴ 解得： ∴ （3）如图，过点作，作的外接圆，连接，并延长交于点， 同（1）可得（圆与相切时相等） 由（2）可得，则 ∴ 如图，圆与相切，延长，交于点， 依题意，，则是等腰直角三角形 ∴， ∴，, ∴ ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角的性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．（2025·陕西西安·三模）（1）问题提出：在正方形中，，点在上，点在上，连接，，，若，且，则的长为________； （2）从年月起，教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（年版）》正式实施，这意味着劳动课正式成为中小学的一门独立课程，在校内开展劳动教育，培养劳动素养，在全社会树立一种正确的劳动价值观．小明所在的学校为全体学生开设了劳动教育课程——手工制作课．一天老师拿来了一个四边形型板材，经测量得知该板材的相关信息如下：，，，，现在老师计划从板材的边上选取一个点、在边上选取一个点，连接、、，得到，老师要求的必须同时满足以下两个条件：， 面积最小，若存在这样的，请求出的长为多少，以便老师能使得沿着、、将剪裁下来． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）过点作交的延长线于点，由正方形的性质得，，进而得，由得，证明得，，证明得，，，在中，由勾股定理得，即，解出即可得解； （2）由，得到，在的左侧作交的延长线于点，证明得，即，因为，得，所以要最小，则只要最小即可，由为定角，且为定高，得到为定角对定高三角形，作的外接圆，过点作的垂线交于点，交于点，当运动至点处，的面积达到最小，连接、、，且，由圆周角定理得，所以要最小，则要最小，根据两点之间线段最短和斜边大于等于直角边得：，即，解出的取值范围，再结合此时为等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点作交的延长线于点， 在正方形中， ，， ，即， ， ，即， ， ， ，设， ， 为公共边， ， ， ，， ，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， 在的左侧作交的延长线于点， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 要最小，则只要最小即可， 为定角，且为定高， 为定角对定高三角形， 作的外接圆，过点作的垂线交于点，交于点，当运动至点处，的面积达到最小，理由如下： 连接、、，且， 弧弧且， ， ，，， 要最小，则要最小， 根据两点之间线段最短和斜边大于等于直角边得：，即， ， 当落在上即于重合时最小为， 此时为等边三角形，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 34．（2025·陕西商洛·二模）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”，为主题开展数学活动，如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和． 【操作发现】 （1）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到图②的，过点C作，与的延长线交于点E，四边形的形状是______； （2）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点F，连接，并延长至点G，使，连接，，得到四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图④，平行四边形是一个花园的初步设计图，其中有四个三角形和一个四边形，其中和是分别将和绕平行四边形的中心对称点旋转得到的．为了让花园看起来更加和谐美观，要令四边形为菱形，且，若，．求这个平行四边形花园面积的最大值． 【答案】（1）菱形；（2）正方形，见解析；（3）最大值为平方米 【分析】本题主要考查了菱形的判定、正方形的判定与性质、旋转的性质、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关几何图形的判定与性质是解题的关键， （1）根据矩形的性质可得，再由旋转的性质可得，然后由平行四边形的判定与性质及菱形的判定定理即可解答； （2）根据已知可证四边形是平行四边形，由矩形的性质及旋转的性质可得，再根据矩形的判定与性质及正方形的判定即可解答； （3）如图④，分别过点A、点C作的垂线，垂足分别为P，M，过点E作于点Q．根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，易得；再根据平行线的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到、 ，然后列出，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下： 证明：在图②中，∵是矩形的对角线， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，，， ， ， ∴，． 又∵， 四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． （2）四边形是正方形．理由如下： ∵点F是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 由旋转可知， ∴四边形是菱形． ∵， ∴． ∴四边形是正方形． （3）如图④，分别过点A、点C作的垂线，垂足分别为P，M，过点E作于点Q． ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴当时，平行四边形花园ABCD的面积有最大值，最大值为平方米． 35．（2025·陕西商洛·二模）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点分别是边上的点，连接．若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，张叔叔承包了一个四边形农场的中点处是农场的入口，是一条小路（宽度忽略不计），现要在上修建一口水井，并以为边用篱笆围一个等腰直角三角形区域（即，且，点在上方）用于养殖动物，再从点向入口修一条运输通道，为节省时间，要求运输通道尽可能的短．已知，，求运输通道的最小值． 【答案】（1）6 （2） 【分析】（1）证明，得，，从而求得，即可由求解． （2）如图，当点O与点B重合时，则点F与M重合，当点O与点P重合时，则点F与N重合，从而得出当点O在上运动时，点F在上运动，根据垂线段最短得出当时，的值最小，证明，得到，再由，点E是的中点，求得，由勾股定理求得，从而可求得，，，，，然后证明是等腰直角三角形，即可由勾股定理求出此时的长． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）如图，当点O与点B重合时，则点F与M重合，当点O与点P重合时，则点F与N重合， 则当点O在上运动时，点F在上运动， ∴当时，的值最小， 当点O与点P重合时，即与重合， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，点E是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点O与点N重合时，与， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 答：运输通道的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识面．（2）问的关键是分析研究得出点F的运动路径是解题的关键． 36．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，正方形的边长为8，点为的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为_________． （2）如图2，四边形是某公园的示意图，已知，，米，米，米，根据实际情况，需要在边的中点处开一个大门，在边上建立一个直径（）为米的半圆形休息区，圆心为，半圆与的交点是休息区的入口，半圆的中点为休息区的出口，根据规划，需在公园内以为边建立一个儿童游乐场，满足，连接、，请求出的最小值，并直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）取的中点，连接，则，有 ，当M在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长，利用勾股定理即可求得最小值； （2）连接、，则由勾股定理得由勾股定理得：；过做于，得四边形是矩形，有．在中，由勾股定理可得，则易得．将点E沿射线的方向平移20个单位后得到点，连接，则四边形为平行四边形，有；由得点G在平行于的平行线上运动．再作点关于直线的对称点交直线于点N，连接，则，当、G、H三点共线时，此时的最小值即为的最小值．由题意易得点H在以为直径的半圆上运动（四边形内部）．连接交于点，交直线于点，由，且，当三点共线，且在圆心P点的同侧时，取得最小值，最小值即为此时的长；在中，由勾股定理可得：，从而求得最小值．证明，由三角形相似的性质即可求得的长． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接； ∵四边形为正方形，分别为的中点， ∴，， ∴ ， 当M在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长， ∵点为线段的中点， ∴； 在中，由勾股定理得； 故答案为：； （2）连接、，则，， ∴， 由勾股定理得：； 过做于， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理可得：， ， ∴． 将点E沿射线AD的方向平移20个单位后得到点，连接， 则四边形为平行四边形， ∴． ∵，且， ∴点G在平行于的平行线上运动． 作点关于直线的对称点交直线于点N，交于点T，连接，易得：． ∵对称， ∴， ∴当、G、H三点共线时， 此时的最小值即为的最小值． ∵， ∴， ∴， ∴点H在以为直径的半圆上运动（四边形内部）． 如图，连接交于点，交直线于点， ∵， ∴， ∴当三点共线，且在圆心P点的同侧时，取得最小值，最小值即为此时的长； 过作⊥直线于K， ∵P是的中点， ∴； ∵E为的中点，， ∴； ∵， 由勾股定理得：， ∴， 由对称得， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理可得：． ∴， 即的最小值为； 如图，设交于点Q，则， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∴当取最小值时，的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一点到圆上点的距离的最值，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，构造辅助线是解题的关键与难点． 37．（2025·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，是的外接圆，，若的长为，则的半径为______； （2）如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、在轴上，顶点A、在轴上，点，．点为轴上的动点，当取最小值时，求点的坐标； 【问题解决】 （3）如图3，某城区有一块矩形空地，其中，，城建部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，已知点为矩形内部一动点，满足，为对角线上的动点，过点作的垂线，垂足为，规划要求将区域设置成绿化区，区域设置成建设区，区域和四边形设置成观赏区，用于种植各类鲜花，区域设置成人工湖，为安全起见，现要沿修建一条笔直的隔离带，沿铺设一条笔直的步行景观道，已知修建隔离带的造价为元，铺设景观道的造价为1000元，求修建隔离带和景观道的最低总造价．（隔离带、景观道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）点的坐标为；（3）元 【分析】（1）如图：在上取一点D，连接，根据圆的内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，运用勾股定理结合求得即可解答； （2）根据菱形的性质以及点坐标可得，，，进而得到，；如图：过点作于点，过点作于点，交轴于点，则，当C、P、E三点共线时， 即点与点重合时，取得最小值，然后运用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形求解即可； （3）由题意知，修建隔离带和景观道的总造价为，只需求出的最小值即可．然后根据矩形的性质以及正切的定义可得，进而得到；如图，作的外接圆，则由，可知点为矩形内部上的动点（不与端点重合）．在的下方作，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，、．然后解直角三角形以及三角形的三边关系可得，即当、、在上时，取最小值．再说明、是等腰直角三角形，进而得到，即的最小值，进而完成解答． 【详解】解：（1）如图：在上取一点D，连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：(舍弃负值)． ∴的半径为4． （2）∵菱形的顶点、在轴上，顶点A、在轴上，点， ∴，，， ，， 如图：过点作于点，过点作于点，交轴于点，则， ∴当C、P、E三点共线时， 即点与点重合时，取得最小值， ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形，， ∵， ， 在中，， ，， ， ，即取最小值时，点的坐标为． （3）由题意知，修建隔离带和景观道的总造价为，只需求出的最小值即可． 在矩形中，，， ，，， ∴， ∴， 如图，作的外接圆，则由，可知点为矩形内部上的动点（不与端点重合）． 在的下方作，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，、． 在中，，则，， 在中，，， ． ， 当、、在上时，取最小值． ， ． ，， ，， ∴， 又∵， 、是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 的最小值． ． 故修建隔离带和景观道的最低总造价为元． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形、圆周角定理、解直角三角形、菱形的性质、矩形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 38．（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【答案】（1）24；（2）4；（3）①；② 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 39．（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D、E分别在边上，连接，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，点E在上，，连接，若平分，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一块空地，对角线是原有的一条小路，公园规划人员计划将这块空地中的（点E、F分别在边上）区域打造为花海，在的中点M处修建座凉亭（大小忽略不计），再沿铺设一条小路，为节约成本，要求小路的长度尽可能的短．已知，，求小路长度的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，根据，推出，易证是等边三角形，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，推出，结合已知证明，推出，即可得出结论； （3）连接交于点G，连接，取中点N，连接，证明是等边三角形，同理（2）得是等边三角形，再证明是的中位线，推出，，根据，当三点共线时，有最小值，即，此时证明，求出，，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图，连接交于点G，连接，取中点N，连接， ∵菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， 同理（2）得是等边三角形， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即， 此时，， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ∴此时，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值为． 【点睛】本题是菱的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造三角形相似是解题关键． 40．（2025·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图1，点是半径为6的上一点，是外一条直线，过点作，垂足为，圆心到直线的距离为8，则线段的最大长度为___________； 【问题探究】（2）如图2，矩形的长，宽，以矩形的边为直径作半圆，为半圆上一动点，求长度的最大值； 【问题解决】（3）农业观光园是集科技示范、旅游观光、科普教育以及休闲娱乐功能为一体的综合型园区，越来越受到人们的喜爱．如图3，某农业观光园中有一块三角形的蔬菜种植基地．经测量，，，，上方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划在上方确定一点，将该蔬菜基地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑观光园的整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，修建的观赏小路长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最大长度是 【分析】本题考查圆的综合知识，涉及正方形、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是构造符合条件的图形． （1）当线段过点时，线段最长，据此求解即可； （2）连接并延长交半圆O于F，当P运动到F时，最大，的长度即是的最大值，根据勾股定理求解即可； （3）构造一个过点和的，且，连接并延长交于M，则为满足条件的小路，利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）如图，当线段过点时，线段最长，最大长度为：， 故答案为： （2）连接并延长交半圆O于F，如图： ∵矩形的边为直径作半圆O， ∴，，， 当P运动到F时，最大，的长度即是的最大值， 中， ， ∴， 即最大为； （3）存在，的最大长度是，理由如下： 作的垂直平分线，在上方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于M，则为满足条件的小路，过C作于F，如图： ∵，， ∴， 中，， ， ∵垂直平分，， ∴，， ∴ ， ∴， 中， ， ∴． 即小路的长度最大为． 41．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，点是直线外一点，于点，点在直线上，，连接，，则点到直线的最短距离为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点、、分别为、和的中点，连接、．求证：四边形是矩形； 【问题解决】 （3）如图3，和是某植物园的两块三角形花圃，且点、、在同一条直线上，，，．点是上的动点（不与端点重合），连接，现要沿搭建一道篱笆墙，并在区域种植另外一种植物，将的中点设为入口，再沿铺设一条观赏小路（宽度忽略不计），为节省铺设观赏小路的成本，要求的长尽可能的短．已知，当观赏小路的长度最短时，求的长． 【答案】（1）12；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用垂线段最短求得点到直线的最短距离； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据它有一个角是直角，证得结论成立； （3）先证明是等腰直角三角形，再利用中位线的性质证得和，证得四边形是矩形，再利用矩形的性质得出，，设，接着手表示出，，再借助三角函数求得，再用表示出，然后利用线段的和求最的长度最短． 【详解】解：（1） 于点，，， ∴， ∴点到直线的最短距离为12． （2）证明：点、、分别为、和的中点， 和是的中位线， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （3）连接，分别取、的中点、，连接，过点作于点，交于点． ， 是等腰直角三角形，． 在中，点、分别是、的中点， 是的中位线， ，则． 点是的中点，点是的中点， 是的中位线，则，． G、O、H三点共线， 当点在上运动时，点在上运动， 当时，最短，即点与点重合时，的长度最短． 连接并延长交于点，则的长度最短时，点与点重合，此时． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ，． 在中，设，则， ． 在中，， ， ． 的长度最短时，． 当观赏小路的长最短时，的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，中位线的性质，矩形的判定与性质，解直三角形，勾股定理等知识，解题的关键是根据矩形的性质与判定求线段长． 42．（2025·陕西宝鸡·一模）问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的周长存在最小值，其最小值为． 【分析】（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点，此时取最小值，设直线的解析式为，将点、点坐标代入求出解析式后，即可求得直线与轴的交点的坐标，可得值； （2）由勾股定理求出，证明后，由相似三角形的性质即可求出； （3）先证四边形是矩形，结合勾股定理求出，设，由平行线性质和正切值得出、、，证明后，由相似三角形的性质求出后即可得，即为定值，故只需求出的最小值即可，过作，作点关于的对称点，连接，则，即为的最小值，过作于点，由等面积法求出后即可得，再由勾股定理可得，周长的最小值即为． 【详解】解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点， 由对称性质可得，，， 则取得最小值即取最小值， 且当点是与轴的交点时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将，代入解得， 当时，， 即， ． 故答案为：． （2）在中，，，点为边的中点， ，， ， ， 是公共角， ， ， 即， 解得． （3），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即为定值，故只需求出的最小值即可， 如图，过作，作点关于的对称点，连接，则， ， 故为的最小值， 过作于点， 由等面积法知， ，， ， ， ， 周长的最小值为． 故的周长存在最小值，其最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数的实际应用、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、利用正切值求线段，解题关键是熟练运用将军饮马模型解题． 43．（2025·陕西咸阳·三模）【问题情境】 （1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度． 【答案】（1）；（2）30米． 【分析】（1）当延长线交于中点且在优弧上时，最大，利用勾股定理求出，再求的最大值； （2）先说明当最小时，面积最小，再最小值，然后含有30度角的直角三角形的性质求出当三角形花园的面积取最小值时道路的长度． 【详解】解：（1）已知外接圆半径，． 设到的距离为， 当延长线交于中点且在优弧上时，最大， 此时． ∵，， ∴的最大值为； （2）由题意，在以为直径的半圆上，设点为圆心， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴当最小时，面积最小． ∵， ∴， ∴当，，三点在一条直线上时，取得最小值， 此时， ∵米，， ∴是等边三角形， ∴米 ∴米，米， ，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴的最小值为米． ∴面积的最小值为：平方米， 此时点为半圆弧的中点， ∴， 又， ∴， 又是的中点， ∴即 ∴是的中位线， ∴米． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外接圆，勾股定理，求三角形的面积等知识点，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度． 44．（2025·陕西西安·二模）问题提出 如图1，正方形边长为4，对角线相交于点，点、点分别在上，，则四边形的面积为___________． 问题解决 如图2，小明自己制作了一款玩具，在部分，，过点有一根平行于的伸缩杆（即），在边上有一个滑动点，在伸缩杆的长度变化的过程中，滑动点也随之滑动，且保持，其中部分填充红色液体，部分填充绿色液体，当红色液体的面积最小（面积最小）时求伸缩杆的长及此时的面积． 【答案】问题提出：4；问题解决：的长为，面积为 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； 问题提出：如图1中，证明即可解决问题； 问题解决：过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，根据，得，根据，得出则当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小．设，进而求得关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】问题提出：解：如图1中， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：4； 问题解决： 如图，过点作，垂足为， ∵ ∴ ． ． ． ． ． ． ， ． ， ． 当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小． 过点作，垂足为． 设，则． ． ． 当时，取最大值4． 当面积最小时，的长为，此时面积为 45．（2025·陕西商洛·二模）问题提出 （1）如图①，在中，点在边上，且，过点作，交于点，若，则的长为___________； 问题解决 （2）如图②，某小区有一个边长为的正方形（边为墙）活动区域，小区物业在墙的中点处安装一台监控器，该监控器的视角为，点为正方形边上的点，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方，若点为边上一动点． ①当时，求的长； ②当点在线段上运动时，连接，试探索的面积是否存在最值？若存在，请求出面积的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在，的面积的最小值为，最大值为； 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，根据，即可求出答案； （2）①根据题意画出图形，此时点在上，勾股定理求得的长，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②过点作于点，证明，得出，的面积为，当时，有最小值，进而得到的面积的最小值为，当点与点重合时，有最大值，进而得到面积的最大值为； 【详解】解：（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）①解：如图， ∵正方形的边长为，为的中点， ， ∴m，m， 在中，m， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴m， ②解：存在， 如图，点作于点，    ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴m， ∵为的中点， ∴m， ∵ ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 当时，有最小值为m，则的面积的最小值为， 当点与点重合时，有最大值为，则面积的最大值为． 46．（2025·陕西商洛·一模）问题情境 如图①，在矩形中，，连接，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，． 数学思考 （1）如图①，在旋转过程中，当点落在边上时，的度数为______； 问题探究 （2）如图②，直线交直线于点，在旋转过程中，当时，求的长； 问题解决 （3）如图③，连接，为线段的中点，连接，直线交直线于点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，求出的最小值以及此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为，此时的长度为． 【分析】（1）四边形是矩形，将绕点顺时针旋转得到，则，在中，，则，所以，由此即可求解； （2）如答案图①，点在线段上，，可得，可证，则，所以，由此即可求解； （3）如答案图②，取的中点，连接，可得，，点在以为圆心，的长为半径的半圆上，连接，则，则当点，，三点共线时，的最小值为，如答案图③，点在上，过点作于点，延长交于点，可证，则，即，解得，由，可证，得，则，解得，由此即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， ，， 点在边上， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）如答案图①，点在线段上，， ， ， 与重合， ， ， ， ， ； （3）存在，理由如下， 如答案图②，取的中点，连接， 是的中点，是的中点， ，， 点在以为圆心，的长为半径的半圆上，连接， ，，为的中点， ， ， ， ， 当点，，三点共线时，的最小值为， 如答案图③，点在上， ， 过点作于点，延长交于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，，， ， ，即， 解得， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， 解得， 的最小值为，此时的长度为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，线段最小值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 47．（2025·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，分别延长、，交于点，若，求的长； （2）如图2，在中，，点为的中点，点为边上的动点，连接、，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已经成为驱动全球经济和科技创新的重要力量．某科技公司有一个形状为四边形的研发基地（如图3），测得，，，，现计划在、、、边上分别取点、、、，且，沿四边形修建一个人工智能研究中心，为确保安全和保密，需要在该研究中心四周修建围墙，围墙必须使用某种特殊材料，为节省成本，要求围墙的总长度（四边形的周长）尽可能的短．问围墙总长度是否存在最小值？若存在，求出围墙总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）围墙总长度存在最小值，最小值为 【分析】（1）根据解直角三角形的计算得到，，由即可求解； （2）如图2，作点关于的对称点，连接、，则，，当、、三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，作的中位线，则，，，，由此即可求解； （3）如图3，延长和，两线交于点，根据解直角三角形得到，，，，分别作点关于，所在直线的对称点，，连接，作点关于所在直线的对称点，连接，延长交于点，作点关于所在直线的对称点.过点作的垂线，垂足为，并延长，交于点，连接交于点，连接，，，，所以,当点，，，，共线时，四边形的周长最小，该最小值等于线段的长，，，，在中，，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）如图2，作点关于的对称点，连接、，则，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， 取的中点，即， 又∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的最小值为； （3）如图3，延长和，两线交于点， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴，，， 分别作点关于，所在直线的对称点，，连接，作点关于所在直线的对称点，连接，延长交于点，作点关于所在直线的对称点.过点作的垂线，垂足为，并延长，交于点，连接交于点，连接，，，， ∴，，，四边形关于所在直线对称， ∴， ∴, ∴当点，，，，共线时，四边形的周长最小，该最小值等于线段的长， 根据题意可得，，， ∴，，，， 根据题意，四边形是矩形，则，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 当点，，，，共线时，四边形的周长取得最小值，最小值为， 故围墙总长度存在最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，轴对称最短路径的计算，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握解直角三角形的计算，轴对称最短路径的计算，合理作出辅助线是关键． 48．（2025·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，是菱形的对角线，点是上的动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，使点恰好落在射线上，求证：； 问题解决 （2）管理员计划对某动植物园进行改造，如图②，直线是一条观光车道，是一片草地，点、在直线上，直线，．点是边上一动点，连接，，将绕点逆时针旋转得到线段，过点作直线于点，将四边形区域建成水族馆，区域建成食草动物区，延长到点使得，连接，为方便游客观光，沿的三边修建云轨，为节约成本要求云轨的总长（即的周长）尽可能的小．根据规划可知四边形的面积为，请你求出当的周长最小时的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接，可证明得到，再由旋转的性质推出，得到，则； （2）过点A作交延长线于E，证明四边形是矩形，，由旋转的性质可得，据此证明，得到，则可证明，据此根据矩形面积计算公式求出，则可得到；延长到G，使得，连接，分别取的中点T、N，连接交于O，则，则是等边三角形；证明是的中位线，，得到，则的周长；证明，得到，则当A、P、N三点共线时，的值最小，即此时的周长最小，的最小值为线段的长，此时点P与点O重合，据此求出的长即可． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点A作交延长线于E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，延长到G，使得，连接，分别取的中点T、N，连接，交于O，则， ∴是等边三角形； ∵， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长； ∵是等边三角形，C，T、N分别的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当A、P、N三点共线时，的值最小，即此时的周长最小， ∴的最小值为线段的长，此时点P与点O重合， ∵N为的中点，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，符合题意， ∴的周长最小值时的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解直角三角形等等，解（1）的关键在于作出辅助线构造等腰三角形转换线段；解（2）的关键在于构造中位线和等边三角形，把求三角形周长的最小值转换成求线段的最小值． 49．（2025·陕西咸阳·一模）【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即 的最小值）    【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【分析】（1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案； （2）过点B作，且截取，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案； （3）过点A作，且截取，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接，    ∵，，， ∴， ∵点O是对角线上的动点， ∴当三点共线时，最短， ∴最小值为13． （2）过点B作，且截取，连接，，交于点G．    ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴，     ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且截取，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M．    ∵四边形是正方形，， ∴，，，．     ∴，而， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴，     在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，平行四边形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 50．（2025·陕西咸阳·一模）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，连接、，点E在对角线上，点F在边上，且满足，求证：； （2）如图2，在中，，作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转后得到线段，连接．若，，求的长； 【问䰦解决】 （3）如图3，某货运场为一个矩形场地，其中米，米，对角线为该场地内的一条小路，顶点A，B为两个入口，顶点D为出口．管理人员计划对该场地进行改造，根据设计要求，准备在线段上找一点E（分拨场），将绕点A须时针旋转得到，旋转角等于，F为货物中转站，沿修建专用车道，为了控制成本，管理人员要求专用车道的长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求专用车道的最短长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）220米 【分析】（1）证明，又由即可得到结论； （2）证明，则，．进一步求出，在Rt中，由勾股定理得，即可求出答案； （3）证明，得到，即的最小值即为的最小值．当时，的值最小．进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴．     ∵， ∴．     （2）解：∵线段绕点B逆时针旋转角α得到线段， ∴， ∴． 在与中，，，， ∴．     ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴．     在Rt中，由勾股定理得， ∴， 即．     （3）解：在矩形中，，， ∴． 如图，当点E在边上时，将线段绕点A逆时针旋转，旋转角等于，得到，连接，，则，， ∴，         ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴，即的最小值即为的最小值． 当时，的值最小．     过点T作于．延长，交于点H，则． ∵，， ∴，     ∴，即， ∴， ∴，即此时的最小值为220. 综上，专用车道的最短长度为220米． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 51．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”） 问题探究 （2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由． 问题解决 （3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P位于边中点时最大，理由见解析；（3）在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 【分析】（1）设交于点，连接，根据圆周角定理得到，再根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； （2）作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，同理（1）根据圆周角定理结合三角形外角的性质可得，当两点重合时，最大，此时，由切线的性质结合矩形的性质可得，根据垂径定理得到，再证明四边形都是矩形，可得，进而得到为中点，即可得出结论； （3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大，连接、，分别延长、交于点，证明四边形是正方形，再求出，连接，交于点，由正方形的性质可得，，，再证明垂直平分线段，再根据圆的性质可得，连接，可得，则，设的半径为，则，，在中，利用勾股定理得到，又利用得到 ，故可得到方程，求出R，再求出此时的长即可． 【详解】（1）解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）点P位于边中点时最大，理由如下： 作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H， 同理（1）得， 当两点重合时，最大， 此时，∵是的切线， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵是的半径， ∴， ∵，， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴当点P位于边中点时最大； （3）作经过点、且和相切的，切点为，由（2）可知此时最大， 连接、，分别延长、交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴． 连接，交于点，由正方形的性质可得，，， ∵ ∴垂直平分线段， ∴圆心在线段上， 连接，则，则， 设的半径为，则，， 在中， ∵ ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或， ∴， ∴， ∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 【点睛】此题主要考查圆的综合运用，涉及圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质． 试卷第142页，共142页 试卷第141页，共142页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 综合实践（几何压轴题综合，51题） 1．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 2．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 3．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    4．（2022·陕西·中考真题）问题提出 (1)如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为__________． 问题探究 (2)如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积． 问题解决 (3)如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接； ②作的垂直平分线l，与于点E； ③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论． 5．（2021·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，，E是的中点，点F在上且求四边形的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园按设计要求，要在五边形河畔公园内挖一个四边形人工湖，使点O、P、M、N分别在边、、、上，且满足，．已知五边形中，，，，，．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最小值及这时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，在中，点D在边上，连接，若，，则的值为_______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点D、E分别是、边的中点，连接，平分交于点F．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向右方进行扩建，扩建区域为，再从点B向边的中点E修建一条儿童健身跑道，为了达到跑步锻炼的效果，要求跑道尽可能的长．已知，，扩建区域需要的费用为200元/，求跑道最长时，扩建区域需要的总费用． 7．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为斜边的中点，若，则的长为_____________； 【深入探究】 （2）如图②，在中，，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．若，求的长； 【问题解决】 （3）如图③，某社区有一块健身器材区，其中．为方便居民使用，决定改建，按照设计要求，在中点处建一个休息凉亭，过点作的垂线，交的延长线于点，在点处增加一个小门方便居民通行．点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，点为的中点，延长交于点，连接，在处建一个便民休闲区，引入商家方便居民随时购买饮品．为充分满足居民需求，想让区域的面积尽可能大，若，求区域的最大面积． 8．（2025·陕西渭南·三模）问题提出 (1)如图①，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，连接、，若，求证：； 问题探究 (2)如图②，在四边形中， ，，点在线段上，连接，过点作交边于点，若，，求四边形的面积； 问题解决 (3)如图③，某家具厂要生产一批特殊的四边形木质雕花装饰板，该装饰板的具体要求为：，，厘米，点到的距离为厘米，已知这种木质材料每平方厘米造价元，在保证装饰效果和质量的前提下，求制作一个这样的装饰板的最低造价是多少元？            9．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，在由线段与孤围成的封闭图形中，，，，，E是弧上任意一点，若弧的半径为2，则面积的最小值为 ； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一块空地，经测量，，，，规划部门在四边形内一点E处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道步道宽度忽略不计，分别为，且步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹，牡丹比较昂贵，种植成本高，为节约成本，要求面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出面积的最小值；若不存在，请说明理由结果精确到整数；参考数据：，， 11．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点A作的切线，猜想与的数量关系，并证明． 【问题解决】 （2）如图②，在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．其中是两段长度均为200米的直线形灌溉管道，且．，是一段弧形灌溉管道，其所对的圆心角为为了优化灌溉系统的成本和输水效率，需在上选取一个辅助喷头D的安装位置．试验发现，当出水源A点到喷水口D的距离与喷水口D到农田一角B的距离的比值最小时，喷水口D为最佳安装位置．请问：是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算此时以A、B、D为顶点的重点灌溉区域的面积；若不存在，请说明理由． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】 （1）如图，在中，，交于点H，点E、F分别为、上的动点，连接、、，若的面积为6，的长为3，求周长的最小值． 【问题解决】 （2）2025年3月12日，一年一度的植树节到来．植树造林是生态文明建设的重要环节，也是实践绿色发展理念、弘扬生态文化的重要契机之一．西安市高新管委会计划在一片空地上修建一个直径为800米的半圆形森林生态公园．如图所示，小区C恰好位于半圆弧的三等分点上．现在计划在弧上找一个点D，在D处修建一个停车场，为了方便市民进入公园管委会还修建了和两条游览小路．经过与附近居民的调研了解到，居民希望在游览小路上确定一个点E，使得点E到小区C和停车场D的距离相等（即），同时还能再在上确定点M，在上确定点N，沿着点修建健身步道，已知修建健身步道每米的费用是1000元．请你帮助管委会计算出修建健身步道的最低费用． 13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题提出】 （1）如图1，，与交于点，若，，则的长为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：； 【问题解决】 （3）如图3，五边形是某校园内部分绿化区域的平面图，点是该绿化区域的入口，、、是三条小路（宽度忽略不计），区域是草坪，和是绿植种植区，区域是水池，是从通往小路的一座小桥（宽度忽略不计），现要从到之间挂一条激励即将参加中考学生的横幅．已知， ， m，，且m，求这条横幅的长度． 14．（2025·陕西·一模）问题提出 （1）如图1，在中，于点，，则点到的距离为_____． 问题探究 （2）如图2，在半圆中，为直径，为上一点，连接，若，求的值． 问题解决 （3）如图3，某城市有三条主干道，其平面示意图分别为线段，，．规划部门拟在道路的延长线上选取一点，并沿着点向分别修建两条大道，要求，然后经过两点再修建一条辅路．已知，点，点分别在线段上，且不与端点重合，辅路的距离需要最短，请你找出满足题意的点的位置，并求出的最短距离． 15．（2025·陕西西安·三模）问题探究 （1）如图1，在中，，，点D是上方一动点，连接，，过点D作，交的延长线于点E，求线段的最大值； 问题解决 （2）如图，是一片风景园林景区，是一个小型度假区，，点D在上的是的半径且是定值，，，，点O与点A之间的距离等于的长．点P是上的动点（不与点D重合），现管理人员计划在点P处设置一个小吃城，连接交于点M，在M处设置一个游客集散中心，并沿铺设一条步行景观道，沿铺设一条直通车道．根据规划要求步行景观道长度与直通车道长度的比值尽可能的小（即的值尽可能的小），请你帮管理人员判断的值是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 16．（2025·陕西渭南·二模）【问题探究】 （1）如图1，为线段上的动点，分别过点、作，（点与点在的两侧），连接、．已知，，，则的最小值为______； （2）如图2，在中，，，点在线段上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、．若，，求的长； 【问题解决】 （3）如图3是某公园拟规划的一个三角形的人工湖，．为更好地提升市民的观景体验，决定在湖中央修建一个观景台（为内部一点），、为人工湖内的两条木质栈道，点、分别是、边上的垂钓中心，且，现计划在人工湖上沿、修建两座笔直的石桥，根据设计要求，，，，若修建石桥的造价为5000元，为节省资金，要使修建两座石桥的总费用尽可能的低，求修建这两座石桥的最低总费用．（观景台、垂钓中心的大小，栈道和石桥的宽度均忽略不计） 17．（2025·陕西咸阳·三模）【问题提出】 （1）如图1，、为的两条弦，连接、，若，则的度数为___________°． 【问题探究】 （2）如图2，在中，，以为边向上作，以为边向下作，使得，试判断与是否相似？并说明理由； 【问题解决】 （3）为了全面落实新课标理念，促进学习方式深度转变，某校拟修建一座项目式学习基地，如图3为基地的平面规划示意图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧分别交于点，规划四边形区域为项目实施区，区域为协作交流区，其他区域为评价反馈区，根据规划要求，，请你判断项目实施区（四边形的面积与协作交流区的面积是否相等？并说明理由． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出： (1)如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，连接，当，请直接写出线段之间的数量关系______． (2)如图2，在现代化智能农场中，有一四边形试验田，，，，．为实现精准施肥，走走决定在边上设置施肥装置E，连接，在点C关于的对称点F处设置一智能控制中心．连接并延长与交于M，连接并延长与交于G，其中为肥料输送管道，为输水管道．为避免干扰其他区域，点M、G均在线段上．因农场的小型机器人在运输时需穿行边，为确保安全、顺畅通行，走走现需了解管道间距的最大值．请问是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请帮走走求出的最大值． 由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， ，，三点在一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 19．（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 20．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践 【特例感知】 （1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造 ，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度． 21．（2025·陕西榆林·二模）【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点为内一动点，连接、、，，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），过点向下方作，连接，试判断与是否相等，并说明理由；    【问题解决】 （2）国务院新闻办公室5月12日发布了《新时代的中国国家安全》白皮书，旨在全面阐释新时代中国国家安全工作的相关内容．为了提高学生的国家安全意识和素养，某校拟举办国家安全教育宣传活动，如图2，四边形为规划中的活动场地平面示意图，为一条走廊，点为内一点，区域为互动区，区域为便民服务区，其他区域为案例展示区，并沿、（点在上）打造两面资料展示墙，用于展示国家安全相关资料．根据规划要求，，，，，请你判断图中与这两条线段之间的数量关系，并说明理由． 22．（2025·陕西汉中·二模）【问题探究】 （1）如图1，在中，，点为的中点，连接，点为上一动点（不与端点重合），点为的中点，点为内一点，连接、、、，，，延长到点，使得，连接、． ①设，，请用含、的式子分别表示线段、、的长； ②判断与的位置关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，四边形是农民李大爷家的一块种植地，经测量，，，为了提高产量，李大爷计划对这块种植地重新进行规划，取的中点，沿将四边形分成两部分，分别用于种植两种不同的作物，在上取点（不与端点重合），将点和的中点设为两个出入口，沿修一条灌溉水渠，在四边形内部取点，沿修建运输通道，是一条小路，根据规划要求，，，根据李大爷的预算，修建运输通道每米的费用是修建灌溉水渠每米费用的2倍，请你计算并说明段修建灌溉水渠的总费用与段修建运输通道的总费用是否相等？ 23．（2025·陕西榆林·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，，则的度数为_____； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为的中点，连接并延长到点，过点作交的延长线于点，连接、交于点，试判断与的面积是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）某校为了更好地推动劳动教育的深入开展，拟修建劳动教育实践基地，如图3为基地的平面规划示意图，在五边形中，，，，米，米．现计划在边、上分别取点M、N，在五边形内部取点，沿、修建两面资料展示墙（宽度不计），用于摆放劳动教育相关的知识资料，并将区域规划为种植区，根据规划要求，，，请你判断种植区的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 24．（2025·陕西榆林·三模）问题提出： （1）如图①，点是等边三角形边延长线上的一点，以为边作等边三角形，连接、相交于点，已知，则的长为________，的大小为________； 问题解决： （2）如图②，某公园有距离300米的两个水源A、，设计部门计划修建一块四边形鲜花区域（四边形），其中中，，内部用来种植郁金香，使用水源A进行浇灌；中，内部用来种植牡丹花，使用水源进行浇灌，请利用所学知识求出牡丹花区域的最大面积． 25．（2025·陕西咸阳·一模）【问题提出】 （）如图①，是的直径，点在上，是的中点，若，，求的长； 【问题解决】 （）畅享绿水青山，近年来户外露营火爆，某街道规划将原来的三角形公园进行扩大改造成四边形公园．分为露营区和活动区． 图②所示，按设计要求，，，，．为改造后公园的两条主干道．为了更好的平衡露营区和活动区用地，要让露营区的面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的露营区？若存在，求面积的最大值及此时点到点的距离；若不存在，请说明理由． 26．（2025·陕西榆林·二模）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E在上，连接，，则的度数为________； （2）如图2，在中，，点D是上一点，连接，，延长到点E，使得，在下方作，连接，，若，求证：； 【问题解决】 （3）李师傅有一个如图3所示的平行四边形板材，点E是上一点，，连接，点O是的对称中心，连接并延长交于点F，，作平分交于点G，连接，交于点M，过点M作交于点N，现李师傅要裁出三角形部件和三角形部件，根据使用要求三角形部件的面积与三角形部件的面积要相等．李师傅裁出的三角形部件和三角形部件是否满足使用要求？并说明理由． 27．（2025·陕西西安·三模）【问题提出】 （1）如图，点在直线上，点、均在直线上，连接、，，且与之间的距离为，，则的面积为__________； 【问题探究】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，连接、，若的面积为，求的面积； 【问题解决】 （3）年月日，中共中央、国务院《生态环境保护督察工作条例》的发布，对于全面推进美丽中国建设具有重要意义．为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被，如图，五边形是该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，米，米，米，，的中点处有一个出入口，集团规划人员计划在上取一个点，在五边形内部取一个点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，并在和区域内种植某种裸子植物，为了合理购买植物幼苗的数量，需要知道和的面积之和，请你帮助规划人员计算出和的面积之和． 28．（2025·陕西商洛·三模）问题提出 （1）如图①，在等腰中，，在的边上存在一点，使得，则此时面积为_____； 问题探究 （2）如图②，在中，，，点是平面内一点，且，请在图中作出满足条件的所有点，并求出面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，是某小区一块空地，为了提高小区居民的生活质量和社区的整体形象，物业计划将这块空地打造成一个宜人舒适的休闲场所，为满足居民的多样化需求，现要在内部规划一个花园和一个休息区，其余部分设计为娱乐区，在点处分别设置一个出水口方便花园浇水，为花园水管管道，根据设计要求，且，根据实际需求，要令休息区的面积尽可能大，而管道的长度尽可能短．已知，，米，求面积的最大值及线段长的最小值．（管道宽忽略不计，结果保留根号） 29．（2025·陕西咸阳·二模）综合与实践： (1)如图1，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B 的对应点 D 恰好落在边上．则 ； (2)如图2，在中，，点D为边的中点，， 如果在平面内有一点P，且点 P到点D的距离为1，则线段长度的最大值是 ； (3)如图3是某公园的设计示意图，已知，，．弧的半径为米，圆心角为，为方便游客游览的体验感，现计划在该区域内铺设三条赏花小路，，，且满足点P在图形内部，Q在弧上．为了节约成本，三条小路的长度和（即）越小费用越低，求铺设这三条小路的长度之和的最小值（小路宽度不计）． 30．（2025·陕西宝鸡·二模）问题提出 （1）如图1，在扇形中，，半径，为在上且靠近点的三等分点，点，分别在线段，上，且，为的中点，连接，在滑动的过程中，的长度始终保持不变，当取最小值时，求的长． 问题解决 （2）如图2，正方形是某社区的花园，经测量，．社区管委会计划对该花园及正方形花园周边空地进行重新规划利用．在射线上取一点，沿，修两条小路，并在小路上取一点，将段铺设成休闲通道（通道宽度忽略不计）．根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长尽可能小，问的长是否存在最小值？若存在，求出的长的最小值；若不存在，请说明理由． 31．（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图，在中，，，点分别在边上，连接，若，，则的长为_____； 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，点在上，，连接，若，平分，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图，菱形是某公园的一块空地，对角线是原有的一条小路，公园规划人员计划将这块空地中的（点分别在边上）区域打造为花海，在的中点处修建一座凉亭（大小忽略不计），再沿铺设一条小路，为节约成本，要求小路的长度尽可能的短．已知，，，求小路长度的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 32．（2025·陕西西安·三模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点，连接，，则______．（填写“＞”“＜”或“＝”） 问题探究 （2）如图②，四边形中，，，，，，在边上，是否存在一点，使得的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图③，有一长为2米的移动耙从地面上的点处沿方向飞行，在距点水平方向60米的处上方，建有一射击台点（设计台的大小忽略不计），米，当最大时更容易击中靶子，请求出此时的长及的值． 33．（2025·陕西西安·三模）（1）问题提出：在正方形中，，点在上，点在上，连接，，，若，且，则的长为________； （2）从年月起，教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（年版）》正式实施，这意味着劳动课正式成为中小学的一门独立课程，在校内开展劳动教育，培养劳动素养，在全社会树立一种正确的劳动价值观．小明所在的学校为全体学生开设了劳动教育课程——手工制作课．一天老师拿来了一个四边形型板材，经测量得知该板材的相关信息如下：，，，，现在老师计划从板材的边上选取一个点、在边上选取一个点，连接、、，得到，老师要求的必须同时满足以下两个条件：， 面积最小，若存在这样的，请求出的长为多少，以便老师能使得沿着、、将剪裁下来． 34．（2025·陕西商洛·二模）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”，为主题开展数学活动，如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和． 【操作发现】 （1）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到图②的，过点C作，与的延长线交于点E，四边形的形状是______； （2）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点F，连接，并延长至点G，使，连接，，得到四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图④，平行四边形是一个花园的初步设计图，其中有四个三角形和一个四边形，其中和是分别将和绕平行四边形的中心对称点旋转得到的．为了让花园看起来更加和谐美观，要令四边形为菱形，且，若，．求这个平行四边形花园面积的最大值． 35．（2025·陕西商洛·二模）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点分别是边上的点，连接．若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，张叔叔承包了一个四边形农场的中点处是农场的入口，是一条小路（宽度忽略不计），现要在上修建一口水井，并以为边用篱笆围一个等腰直角三角形区域（即，且，点在上方）用于养殖动物，再从点向入口修一条运输通道，为节省时间，要求运输通道尽可能的短．已知，，求运输通道的最小值． 36．（2025·陕西西安·二模）（1）如图1，正方形的边长为8，点为的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为_________． （2）如图2，四边形是某公园的示意图，已知，，米，米，米，根据实际情况，需要在边的中点处开一个大门，在边上建立一个直径（）为米的半圆形休息区，圆心为，半圆与的交点是休息区的入口，半圆的中点为休息区的出口，根据规划，需在公园内以为边建立一个儿童游乐场，满足，连接、，请求出的最小值，并直接写出此时的长． 37．（2025·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，是的外接圆，，若的长为，则的半径为______； （2）如图2，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、在轴上，顶点A、在轴上，点，．点为轴上的动点，当取最小值时，求点的坐标； 【问题解决】 （3）如图3，某城区有一块矩形空地，其中，，城建部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，已知点为矩形内部一动点，满足，为对角线上的动点，过点作的垂线，垂足为，规划要求将区域设置成绿化区，区域设置成建设区，区域和四边形设置成观赏区，用于种植各类鲜花，区域设置成人工湖，为安全起见，现要沿修建一条笔直的隔离带，沿铺设一条笔直的步行景观道，已知修建隔离带的造价为元，铺设景观道的造价为1000元，求修建隔离带和景观道的最低总造价．（隔离带、景观道的宽度均忽略不计） 38．（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          39．（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D、E分别在边上，连接，若，则的长为 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，点E在上，，连接，若平分，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一块空地，对角线是原有的一条小路，公园规划人员计划将这块空地中的（点E、F分别在边上）区域打造为花海，在的中点M处修建座凉亭（大小忽略不计），再沿铺设一条小路，为节约成本，要求小路的长度尽可能的短．已知，，求小路长度的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 40．（2025·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图1，点是半径为6的上一点，是外一条直线，过点作，垂足为，圆心到直线的距离为8，则线段的最大长度为___________； 【问题探究】（2）如图2，矩形的长，宽，以矩形的边为直径作半圆，为半圆上一动点，求长度的最大值； 【问题解决】（3）农业观光园是集科技示范、旅游观光、科普教育以及休闲娱乐功能为一体的综合型园区，越来越受到人们的喜爱．如图3，某农业观光园中有一块三角形的蔬菜种植基地．经测量，，，，上方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划在上方确定一点，将该蔬菜基地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑观光园的整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，修建的观赏小路长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由． 41．（2025·陕西宝鸡·二模）【问题提出】 （1）如图1，点是直线外一点，于点，点在直线上，，连接，，则点到直线的最短距离为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点、、分别为、和的中点，连接、．求证：四边形是矩形； 【问题解决】 （3）如图3，和是某植物园的两块三角形花圃，且点、、在同一条直线上，，，．点是上的动点（不与端点重合），连接，现要沿搭建一道篱笆墙，并在区域种植另外一种植物，将的中点设为入口，再沿铺设一条观赏小路（宽度忽略不计），为节省铺设观赏小路的成本，要求的长尽可能的短．已知，当观赏小路的长度最短时，求的长． 42．（2025·陕西宝鸡·一模）问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 43．（2025·陕西咸阳·三模）【问题情境】 （1）如图，三角形外接圆圆心为．若，圆半径为4．求三角形面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图，在四边形中设计一个三角形花园，点在边上，修建四条笔直小路，，，．满足．经测量，，米，，．当三角形花园的面积取最小值时，求道路的长度． 44．（2025·陕西西安·二模）问题提出 如图1，正方形边长为4，对角线相交于点，点、点分别在上，，则四边形的面积为___________． 问题解决 如图2，小明自己制作了一款玩具，在部分，，过点有一根平行于的伸缩杆（即），在边上有一个滑动点，在伸缩杆的长度变化的过程中，滑动点也随之滑动，且保持，其中部分填充红色液体，部分填充绿色液体，当红色液体的面积最小（面积最小）时求伸缩杆的长及此时的面积． 45．（2025·陕西商洛·二模）问题提出 （1）如图①，在中，点在边上，且，过点作，交于点，若，则的长为___________； 问题解决 （2）如图②，某小区有一个边长为的正方形（边为墙）活动区域，小区物业在墙的中点处安装一台监控器，该监控器的视角为，点为正方形边上的点，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方，若点为边上一动点． ①当时，求的长； ②当点在线段上运动时，连接，试探索的面积是否存在最值？若存在，请求出面积的最值；若不存在，请说明理由． 46．（2025·陕西商洛·一模）问题情境 如图①，在矩形中，，连接，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，． 数学思考 （1）如图①，在旋转过程中，当点落在边上时，的度数为______； 问题探究 （2）如图②，直线交直线于点，在旋转过程中，当时，求的长； 问题解决 （3）如图③，连接，为线段的中点，连接，直线交直线于点，在旋转过程中，是否存在最小值，若存在，求出的最小值以及此时的长度；若不存在，请说明理由． 47．（2025·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，分别延长、，交于点，若，求的长； （2）如图2，在中，，点为的中点，点为边上的动点，连接、，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）随着科技的飞速发展，人工智能（AI）已经成为驱动全球经济和科技创新的重要力量．某科技公司有一个形状为四边形的研发基地（如图3），测得，，，，现计划在、、、边上分别取点、、、，且，沿四边形修建一个人工智能研究中心，为确保安全和保密，需要在该研究中心四周修建围墙，围墙必须使用某种特殊材料，为节省成本，要求围墙的总长度（四边形的周长）尽可能的短．问围墙总长度是否存在最小值？若存在，求出围墙总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 48．（2025·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图①，是菱形的对角线，点是上的动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，使点恰好落在射线上，求证：； 问题解决 （2）管理员计划对某动植物园进行改造，如图②，直线是一条观光车道，是一片草地，点、在直线上，直线，．点是边上一动点，连接，，将绕点逆时针旋转得到线段，过点作直线于点，将四边形区域建成水族馆，区域建成食草动物区，延长到点使得，连接，为方便游客观光，沿的三边修建云轨，为节约成本要求云轨的总长（即的周长）尽可能的小．根据规划可知四边形的面积为，请你求出当的周长最小时的长． 49．（2025·陕西咸阳·一模）【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即 的最小值）    50．（2025·陕西咸阳·一模）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，连接、，点E在对角线上，点F在边上，且满足，求证：； （2）如图2，在中，，作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转后得到线段，连接．若，，求的长； 【问䰦解决】 （3）如图3，某货运场为一个矩形场地，其中米，米，对角线为该场地内的一条小路，顶点A，B为两个入口，顶点D为出口．管理人员计划对该场地进行改造，根据设计要求，准备在线段上找一点E（分拨场），将绕点A须时针旋转得到，旋转角等于，F为货物中转站，沿修建专用车道，为了控制成本，管理人员要求专用车道的长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求专用车道的最短长度． 51．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出 （1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”） 问题探究 （2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由． 问题解决 （3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由． ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴． 连接，交于点，由正方形的性质可得，，， ∵ ∴垂直平分线段， ∴圆心在线段上， 连接，则，则， 设的半径为，则，， 在中， ∵ ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)或， ∴， ∴， ∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为． 试卷第142页，共142页 试卷第141页，共142页 学科网（北京）股份有限公司 $$