【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-11）

【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-11） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•大冶市模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023•绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 3．（2014•泰安）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2026•沭阳县校级一模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，（5，2），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣6＜n≤﹣2或2＜n B．﹣6＜n＜﹣2或2＜n C．n≤﹣2或2≤n D．﹣6＜n＜﹣2或n≥2 5．（2026•新城区校级模拟）已知点A（x1，﹣2），B（x2，﹣1），C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 6．（2026•遂平县一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝65°．E为AC边上的动点，F，G为AD上的动点，且FG的长为定值．连接CF，GE，当GE+CF取最小值时，∠CFD的度数为（　　） A．25° B．35° C．55° D．65° 7．（2026•梓潼县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•邵阳校级模拟）双曲线y1，y2在第一象限的图象如图所示，其中y1，y2的解析式分别为，，过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026•巢湖市校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB边上一动点，以PC为直角边作等腰直角△PCD，∠PCD＝90°，连接BD，直线PD与BC相交于E点．设AP＝x，则下列结论正确的是（　　） A．PD的最小值为 B．BD⊥AB C．当BD＝2时， D．△CDE的面积S随x增大先减小后增大 10．（2023•全椒县二模）如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝60°，AB＝BC＝10cm，AD＝16cm，点P从点A出发，以4cm/s的速度沿A﹣D向点D运动，同时，点Q从点A出发，以5cm/s的速度沿A﹣B﹣C向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 11．（2026•长春一模）如图，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，且AO＝AB，若▱AOBC的面积为12，则k的值为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 12．（2026•莲湖区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x（表格中x从左到右增大）与函数值y的对应值如下表： x ⋯ 0 x1 x2 1 3 x3 ⋯ y ⋯ 1 y1 y2 0 1 y3 ⋯ 下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 13．（2026•包头一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 14．（2026•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 15．（2013•昭通）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根 C．a+b+c＝0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 二．填空题（共15小题） 16．（2026•湖北模拟）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为　 　 ，ab的值为　 　 ． 17．（2026•安阳县一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为　 　 ． 18．（2026•秦都区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对角线上，则AE的长为 　 　 ． 19．（2026•沭阳县校级一模）如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD，过点E作EF⊥AD交BD于点F，连接BE，取BE的中点为G，则GF的最小值为　 　 ． 20．（2024•广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 21．（2026•遂平县一模）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝6．连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为　 　 ． 22．（2026•梓潼县一模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠BAC＝∠CBE，AB＝6，BE＝3，AD＝5，则DE＝ 　 　 ． 23．（2026•邵阳校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不包括这两点）．下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③若x1＜x2，x1+x2＜2，则y1＞y2；④；⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b． 其中正确的结论序号有　 　 ． 24．（2026•巢湖市校级模拟）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．F（264）＝　 　 ．若s、t都是“迥异数”，其中s＝100x+12，t＝340+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F（s）+F（t）＝14时，的值为　 　 ． 25．（2026•西宁校级一模）如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D在边BC上且CD＝1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为　 　 ． 26．（2026•长春一模）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝4，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连结PC，交MN于点Q，连结CM．下列结论：①CQ＝AB；②四边形CMPN是菱形；③当点P，A重合时，MN；④△PNQ的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是　 　 ． 27．（2026•莲湖区一模）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　 　 ． 28．（2026•包头一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，，连接BD．点E为BC上的一点，连接DE，且DE平分∠BDC，连接AE交BD于点F，则AF的长为　 　 ． 29．（2026•浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，AD∥BC，连接OA交BC于E，OA平分∠BAD，，，则AC＝　 　 ． 30．（2026•城中区校级一模）已知在△ABC中，AB＝12，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积等于 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•湖北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝6时，求点B的坐标． （3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围． （4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 32．（2026•安阳县一模）几何综合 【方法尝试】 （1）如图①，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB，ED分别是它们的对角线．求证：CB⊥ED； 【类比迁移】 （2）如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，，，，AD＝1．将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，连接CE，BD． ①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当点B，D，E在同一直线上时，求线段CE的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点A作AP∥BC，在射线AP上取一点D，连接CD，使得，请直接写出线段BD的最大值． 33．（2024•罗湖区二模）【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边△ABC中，点D在边BC上，CD＝2，连接AD，则△ACD的面积为 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°，若EF＝5，求△AEF的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在AB＝4米，米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与点B、C、D重合），且∠EAF＝60°，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 34．（2026•沭阳县校级一模）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的和的一半称为点A的“横纵中点值”．函数图象上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点A（1、3）在函数y＝2x+1（3≤x≤6）的图象上，点A的“横纵中点值”为，函数y＝2x+1图象上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当3≤x≤6时，最大值为，最小值为5，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为5． （1）点P（﹣2，4）的“横纵中点值”为　 　 ． （2）已知二次函数y＝﹣x2+9x+3，当﹣2≤x≤6时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”． （3）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象顶点在“横纵中点值”为的函数图象上． ①二次函数y＝ax2+2ax+c的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式． ②当a+1≤x≤a+3时，设二次函数y＝2ax2+（4a﹣1）x+2c（a＜0）的“完美横纵中点值”为t1，“缺陷横纵中点值”为t2，且t2﹣t1＝2a，求a的值． 35．（2025•东胜区二模）【问题情境】 如图，在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB＝AE＝6，AD＝AG＝8． 【初步探究】 （1）如图1，连接BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中，求的值； 【问题解决】 （2）如图2，连接BD，当点E恰好落在BD上，延长FE与交BC于点M，连接AM，交BD于点H． ①求证：AM垂直平分BE； ②如图3，取GD中点N，连接AN，HN，求线段HN的长． 36．（2011•莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 37．（2026•梓潼县一模）如图1，将▱ABCD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜360）得到▱AEFG，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心． （1）连接NE、ME，当NE＝ME时： ①求证：AE平分∠MAN； ②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，当▱ABCD绕点A逆时针旋转一定角度后，连接BF、GE，且两直线BF、GE互相垂直．若FG＝4°，求△ABF的面积． 38．（2026•邵阳校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点B、C的坐标分别为B（b，0），C（0，c），且满足（c+4）2+|b﹣12|＝0． （1）求点B、点C的坐标； （2）△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，∠ABC＝45°，△ABC的高CD交x轴于点E，点E的坐标为（2，0），求证：△ACD≌△EBD； （3）在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线A﹣O﹣x轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 39．（2026•巢湖市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点（﹣1，0）， ①点B的坐标为　 　 ； ②当t﹣1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值； （2）已知，点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），求出a的取值范围． 40．（2025•长清区一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，DC上的点，且，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．若AF＝2，CF＝1．求CM的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 41．（2026•长春一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图①，设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图①中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； （4）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为﹣2n+1，且线段EF∥x轴，当线段EF与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 42．（2026•莲湖区一模）问题探究 （1）如图1，在△ABC中，BC＝12，∠A＝120°，求△ABC外接圆的半径． 问题解决 （2）为了营造春节节日氛围，管理部门对某地城墙AB段设计灯光夜间探照，如图2，点C为探照灯位置，点O为变电枢纽，OD，AD，BD为电缆线．按照设计要求∠ACB＝120°，点O到A，B，C三点的距离相等，且AD⊥OC．若AB＝120m，则电缆线BD是否存在最小值？若存在，求出BD的最小值；若不存在，请说明理由． 43．（2020•海南）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AF，交DE于点G． （1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE； （2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长； （3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由． 44．（2026•浙江模拟）如图，已知正方形ABCD，AB＝6，E，F是AD，AB上的两个动点，CE⊥DF，CE，DF交于点G． （1）求证：CE＝DF； （2）若四边形AEGF的面积为，求CE的长； （3）求的最小值． 45．（2026•城中区校级一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知A，E，B三点共线，且∠A＝∠DEC＝∠B的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ （1）【特例探究】如图，已知A，E，B三点在同一条直线上，∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，求证：Rt△ADE∽Rt△BEC； （2）【规律总结】如果∠A＝∠B＝∠DEC，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：△ADE∽△BEC； （3）【实例应用】如果∠A＝∠B＝∠DEC，若点E是AB的中点，求证：DE2＝AD•DC． 【中考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编45题（20-11） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 B A B A D D C B B D C D D C B 一．选择题（共15小题） 1．（2026•大冶市模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4； ②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2； ③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝2，x2＝﹣4，则结论①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴当x＝3时的函数值与x＝﹣5的函数值相等， ∵a＜0， ∴当x≥﹣1，y随x的增大而减小， ∵﹣1＜3＜π， ∴y1＞y2，②结论错误； ③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，则抛物线顶点的纵坐标为：a﹣b+c，且a﹣b+c＞0， 将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移a﹣b+c个单位得到新的抛物线解析式为： y＝ax2+bx+c﹣（a﹣b+c）＝ax2+bx﹣a+b，由二次函数图象特征可知，y＝ax2+bx﹣a+b的图象位于x轴下方，顶点恰好在x轴上，即y≤0恒成立， ∴对于任意实数t总有at2+bt﹣a+b≤0，即at2+bt≤a﹣b，③正确； ④将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移P个单位长度得到抛物线解析式为y＝ax2+bx+c﹣p，函数y＝ax2+bx+c﹣p对应的一元二次方程ax2+bx+c＝p， ∴若方程的根为整数，则其根只能是x1＝1，x2＝﹣3或x1＝0，x2＝﹣2或x1＝x2＝﹣1，对应的P值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：B． 2．（2023•绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上， 在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4， ∴AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AE＝EDAD＝2，BEAE＝2， ∵AM＝2x，AN＝x， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△AMN∽△ABE， ∴∠ANM＝∠AEB＝90°， ∴x， ∴yxxx2， 当2≤x≤4时，点M在BC上， y， 综上所述，当 0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 3．（2014•泰安）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． 其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故（1）正确； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； （3）∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∵c＝3，∴9a+3b+3＝3，∴9a+3b＝0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（3）正确； （4）∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确． 故选：B． 4．（2026•沭阳县校级一模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，（5，2），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣6＜n≤﹣2或2＜n B．﹣6＜n＜﹣2或2＜n C．n≤﹣2或2≤n D．﹣6＜n＜﹣2或n≥2 【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数为y， ∵点M，N的坐标分别为，（5，2）， ∴当﹣2≤n≤2时，由图象可知二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象与线段MN有三个交点， 当n＞2时， 满足当x时，y＝2x2﹣8x﹣n的值大于等于2；当x＝5时，y＝﹣2x2+8x+n的值小于等于2， 线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点， 如图1所示， 即，解得，故， 故； 当n≤﹣2时， 满足y＝﹣2x2+8x+n的顶点坐标在y＝2上方时，如图2所示， 线段MN与二次函数y＝﹣2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共点， 即8+n＞2，即n＞﹣6， 故﹣6＜n≤﹣2， 综上，n的取值范围为﹣6＜n≤﹣2或． 故选：A． 5．（2026•新城区校级模拟）已知点A（x1，﹣2），B（x2，﹣1），C（x3，1）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x3＜x2＜x1 B．x1＜x2＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3 【解答】解：由k＝m2+1＞0可知：反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小， ∴x2＜x1＜0，x3＞0， ∴x2＜x1＜x3． 故选：D． 6．（2026•遂平县一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝65°．E为AC边上的动点，F，G为AD上的动点，且FG的长为定值．连接CF，GE，当GE+CF取最小值时，∠CFD的度数为（　　） A．25° B．35° C．55° D．65° 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝65°， ∴， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°＝∠CAD， 如图，平移CF，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于AD的对称点H，过点H作HQ⊥AC，交线段AD于点G′，线段PH，AD交于点F′，连接PG′，CF′， ∴PG′＝HG′， 由平移可知：PG＝CF， ∴CF+GE＝PG+GE＝HG+GE，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点G′重合，点E与点Q重合，此时点F与点F′重合， ∵∠AQG′＝90°，∠CAD＝25°， ∴∠AG′Q＝65°＝∠HG′F′， ∴∠HG′F′＝∠PG′F′＝65°， ∵PG′∥CF′， ∴∠CF′D＝∠PG′F′＝65°， 即当GE+CF取最小值时，∠CFD的度数为65°， 故选：D． 7．（2026•梓潼县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，， 则CF＝BC﹣BF＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x， 在Rt△ECF中，x2+12＝（3﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2026•邵阳校级模拟）双曲线y1，y2在第一象限的图象如图所示，其中y1，y2的解析式分别为，，过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C，连接OA，OB．则△AOB的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：过y1图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2的图象于点B，交y轴于点C， ∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝4﹣2＝2， 故选：B． 9．（2026•巢湖市校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB边上一动点，以PC为直角边作等腰直角△PCD，∠PCD＝90°，连接BD，直线PD与BC相交于E点．设AP＝x，则下列结论正确的是（　　） A．PD的最小值为 B．BD⊥AB C．当BD＝2时， D．△CDE的面积S随x增大先减小后增大 【解答】解：在Rt△PCD中，PDPC， 而PC⊥AB时最小，此时PCAB＝2， ∴PD最小值为PC＝4， 故选项A错误，不合题意； ∵∠ACB＝∠PCD＝90°， ∴∠ACP＝∠BCD， ∵AC＝BC．PC＝DC， ∴△ACP≌△BCD（SAS）， ∴∠CBD＝∠CAP＝45°， ∴∠ABD＝90°， ∴BD⊥AB， 故选项B正确，符合题意； ∵△ACP≌△BCD， ∴AP＝BD＝2， 故选项C错误，不符合题意； 由运动轨迹可知△CDE的面积S随x增大而增大， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 10．（2023•全椒县二模）如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝60°，AB＝BC＝10cm，AD＝16cm，点P从点A出发，以4cm/s的速度沿A﹣D向点D运动，同时，点Q从点A出发，以5cm/s的速度沿A﹣B﹣C向点C运动，直到两点都到达终点．若点P的运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，当点Q在线段AB上时，作QE⊥AD交AD于点E， ∵∠A＝60°， ∴∠AQE＝30° 由题意可得，AQ＝5t，AP＝4t， ∵AB＝BC＝10cm， ∴0≤t≤2， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点Q在线段BC上时，此时2＜t≤4， 作BF⊥AD交AD于点F， 同理可得，， ∴ ∴， ∴综上所述，当0≤t≤2时，；当2＜t≤4时，． 故选：D． 11．（2026•长春一模）如图，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，且AO＝AB，若▱AOBC的面积为12，则k的值为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB，垂足为D， ∵▱OBCA的面积为12，而AB是对角线， ∴△AOB面积为12＝6， 又∵OA＝AB，AD⊥OB， ∴AD＝BD， ∴S△AOD＝S△ABDS△AOB＝3|k|， ∵k＞0， ∴k＝6， 故选：C． 12．（2026•莲湖区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x（表格中x从左到右增大）与函数值y的对应值如下表： x ⋯ 0 x1 x2 1 3 x3 ⋯ y ⋯ 1 y1 y2 0 1 y3 ⋯ 下列判断正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【解答】解：由表格数据可知，x＝0或3时，y＝1， ∴二次函数图象的对称轴为直线x， 又∵x＝1时，y＝0， ∴x＝2时，y＝0， 如图所示： ∵0＜x1＜x2＜1， ∴0＜y2＜y1＜1， ∵x3＞3， ∴y3＞1， ∴y2＜y1＜y3， 故选：D． 13．（2026•包头一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【解答】解：由条件可得点B的坐标为（﹣1，0）， ∴OB＝1， ∵点C坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∴， 设点A坐标为（m，﹣m﹣1）， ∴， ∵AC＝BC， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴m＝﹣3， ∴点A坐标为（﹣3，2）， ∴， 解得k＝﹣6． 故选：D． 14．（2026•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（2，2），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝2时，k＞0 D．当m+n＝2时，k＜0 【解答】解：由条件可知， 解得：， A、当m＞n时，则n﹣m＜0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； B、当m＜n时，则n﹣m＞0， ①当m＞2时，；②当0＜m＜2时，；故该选项判断错误，不符合题意； C、当m+n＝2时，则m＝2﹣n， ∵点P（m，n）在第一象限内， ∴0＜m＜2，0＜n＜2， ∴，故该选项判断正确，符合题意； D、同理可得该选项判断错误，不符合题意． 故选：C． 15．（2013•昭通）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．3是方程ax2+bx+c＝0的一个根 C．a+b+c＝0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误； B、根据对称轴为x＝1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c＝0的一个根，故此选项正确； C、把x＝1代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中得：y＝a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误； D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选：B． 二．填空题（共15小题） 16．（2026•湖北模拟）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为　4　 ，ab的值为　16　 ． 【解答】解：连接AC，AE，AP，设AE交BD于点Q， ∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝BC，AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∵点E是BC边的中点， ∴AE⊥BC， ∵A、C关于BD对称， ∴PA＝PC， ∴PC+PE＝PA+PE， ∴当A、P、E共线时，PC+PE＝PA+PE＝AE，PE+PC的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6， ∴BC+BE＝6， ∵， ∴BE＝2，BC＝4， ∴AB＝4， ∴菱形的边长为4； ∴在Rt△AEB中，， ∴PC+PE的最小值为， ∴点H的纵坐标， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADB＝30°， ∵AE⊥AD， ∴， ∵AD＝4，AD2+AQ2＝DQ2， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ∴． 故答案为：4，16． 17．（2026•安阳县一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为　或　 ． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∴∠DFC＝90°， ∵∠FCE＝∠DEC＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵， ∴AC＝2CB． ∵， ∴AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+CB2＝20， 解得：BC＝2（负值已舍去）， ∴AC＝4， ∵四边形ACBD为垂等四边形， ∴． ①当△ACB∽△BED时，， ∴， 设DE＝x，则BE＝2x， ∴CE＝2+2x． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，即（2+2x）2+x2＝20， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB ； ②当△ACB∽△DEB时，， ∴， 设BE＝y，则DE＝2y， ∴CE＝2+y． 根据勾股定理得，（2+y）2+（2y）2＝20， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB， ∴综上所述，四边形ACBD的面积为或， 故答案为：或． 18．（2026•秦都区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对角线上，则AE的长为 　3或　 ． 【解答】解： ∵矩形ABCD， ∴∠A＝90°，BD10， 当A′在BD上时，如图1所示： 设AE＝x， 由翻折的性质得：EA′＝AE＝x，BA′＝AB＝6， ∴ED＝8﹣x，∠EA′D＝∠A＝90°， ∴A′D＝10﹣6＝4， 在Rt△EA′D中， x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴AE＝3； 当点A′在AC上时，如图2所示： 由翻折的性质得：BE垂直平分AA′，AC＝10， ∵∠AGB＝∠ABC＝90°，∠BAG＝∠CAB， ∴△ABG∽△ABC， ∴AB2＝AG•AC， ∴AG， ∵∠AGE＝∠D＝90°，∠EAG＝∠CAD， ∴△AEG∽△ACD， ，即， ∴AGAE， ∴AE． ∴AE的长为3或． 故答案为3或． 19．（2026•沭阳县校级一模）如图，正方形ABCD边长为4，E为边AD上一点，连接对角线BD，过点E作EF⊥AD交BD于点F，连接BE，取BE的中点为G，则GF的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，延长FG，交AB于点H，取AB的中点N，连接NG， ∵EF⊥AD， ∴∠AEF＝∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝∠A＝90°， ∴∠AEF+∠A＝180°， ∴AB∥EF， ∴∠GBH＝∠GEF， ∵BE的中点为点G， ∴BG＝EG， 又∵∠HGB＝∠FGE， ∴△HGB≌△FGE（ASA）， ∴GF＝GH，EF＝BH， ∵AB的中点为点N，BE的中点为点G， ∴，NG∥AE， ∴∠HNG＝180°﹣∠A＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDF＝45°， ∴△DFE为等腰直角三角形， ∴DE＝EF， ∴DE＝EF＝BH， 设DE＝x，则BH＝x，AE＝4﹣x，，NH＝|2﹣x|，GH2＝y， ∴， ∴， 当时，y取得最小值，即GH的最小值为， ∴GF的最小值为， 故答案为：． 20．（2024•广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　10　 ． 【解答】解：连接BD， ∵E是AB的中点， ∴S△AEDS△ABDS菱形ABCD＝6， 连接EC， 同理可得S△BEC＝S△AED＝6， ∵S△BEF＝4， ∴S△BEFS△BEC， ∴FCBC， ∴S△DFCS△BCDS菱形ABCD＝4， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 故答案为：10． 21．（2026•遂平县一模）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°，AB＝4，BC＝6．连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD＝120°，则线段MN长度的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，连接DE， ∵CD、CE的中点为M、N， ∴， ∴DE取得最小值时，MN长度最小． ∵点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB＝90°， ∴点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆， 设AB的中点为O，连接OE， ∴当O、E、D三点共线时，此时DE最小，如图， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OEAB4＝2， 过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F， ∵四边形ABCD为平行四边形，BC＝6，∠BAD＝120°， ∴∠OAF＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，AD＝BC＝6， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF＝90°﹣∠OAF＝90°﹣60°＝30°， ∴， 由勾股定理得， ∴DF＝AD+AF＝6+1＝7， ∴， ∴， ∴线段MN长度的最小值． 故答案为：． 22．（2026•梓潼县一模）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，点E为对角线AC上一点，连接BE，DE，若∠BAC＝∠CBE，AB＝6，BE＝3，AD＝5，则DE＝ 　2.5　 ． 【解答】解：∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝BCE， ∴△BEC∽△ABC， ∴， ∵AB＝6，BE＝3， ∴， ∵BC＝CD， ∴， ∵∠ACD＝∠ACD， ∴△CDE∽△CAD， ∴， ∵AD＝5， ∴DE＝2.5， 故答案为：2.5． 23．（2026•邵阳校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不包括这两点）．下列结论： ①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③若x1＜x2，x1+x2＜2，则y1＞y2；④；⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b． 其中正确的结论序号有　②③④　 ． 【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间， ∴函数开口方向向上，对称轴为直线x1， ∴a＞0，a、b异号， ∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①错误； ②∵抛物线开口向上，与x轴交于点A（﹣1，0），（3，0）， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 故②正确； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线上的点，离对称轴越远，函数值越大， ∵x1+x2＜2， ∴x1，x2的中点在对称轴的左侧， ∵x1＜x2， ∴x1到对称轴的距离大于x2到对称轴的距离， ∴y1＞y2， 故③正确； ∴﹣1＜x1＜x2＜3， ④∵1， ∴b＝﹣2a， ∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+c， ∵过点（﹣1，0）， ∴a+2a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2， ∴， 故④正确； ⑤由题意可知当x＝1时，函数有最小值为a+b+c， ∴若m为任意实数，则am2+bm+c≥a+b+c， 即am2+bm≥a+b， 故⑤错误． 故答案为：②③④． 24．（2026•巢湖市校级模拟）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．F（264）＝　12　 ．若s、t都是“迥异数”，其中s＝100x+12，t＝340+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F（s）+F（t）＝14时，的值为　　 ． 【解答】解：∵n＝264，对调百位与十位上的数字得到624，对调百位与个位上的数字得到462，对调十位与个位上的数字得到246，这三个新三位数的和为624+462+246＝1332，1332÷111＝12， ∴F（264）＝12， 故答案为：12； ∵s＝100x+12（1≤x≤9，x是正整数），对调百位与十位上的数字得到100+10x+2，对调百位与个位上的数字得到200+10+x，对调十位与个位上的数字得到100x+21， 这三个新三位数的和为（100+10x+2）+（200+10+x）+（100x+21）＝111x+333，（111x+333）÷111＝x+3， ∴F（s）＝x+3， ∵t＝340+y（1≤y≤9，y是正整数），对调百位与十位上的数字得到430+y，对调百位与个位上的数字得到100y+40+3，对调十位与个位上的数字得到300+10y+4， 这三个新三位数的和为（430+y）+（100y+40+3）+（300+10y+4）＝111y+777，（111y+777）÷111＝y+7， ∴F（t）＝y+7， ∵F（s）+F（t）＝14， ∴x+3+y+7＝14， ∴x+y＝4， ∵s、t都是“迥异数”， ∴x≠1，x≠2，y≠3，y≠4， ∴x＝3，y＝1， ∴F（s）＝x+3＝3+3＝6，F（t）＝y+7＝1+7＝8， ∴． 故答案为：． 25．（2026•西宁校级一模）如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D在边BC上且CD＝1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接BG、CH，连接GH分别交AB于点E，交AC于点F， ∵∠ABC＝90°， ∴∠GBE＝∠ABC＝90°， ∴∠GBE+∠ABC＝180°，即点G、B、D、C在同一直线上， ∵AB＝BC＝4，CD＝1， ∴∠ACB＝∠A＝45°，BD＝BC﹣CD＝3， 由对称性可得：FH＝FD，EG＝ED，GB＝BD＝3，CH＝CD＝1，∠FCH＝∠ACB＝45°， ∴CG＝GE+BD+CD＝7，∠HCG＝∠FCH+∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴△DEF周长的最小值为． 故答案为：5． 26．（2026•长春一模）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝4，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连结PC，交MN于点Q，连结CM．下列结论：①CQ＝AB；②四边形CMPN是菱形；③当点P，A重合时，MN；④△PNQ的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是　②③④　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P， ∴∠MNC＝∠MNP，NC＝NP，MP＝MC， ∴∠PMN＝∠MNP， ∴PM＝PN， ∴NC＝NP＝MP＝MC， ∴四边形CMPN是菱形， 故②正确； 由NC＝CM得∠CNM＝∠CMN， ∵∠CMD与∠CMN的数量关系不确定，无法证明△CDM与△CQM或△CQN全等， ∴CQ不等于CD，即CQ不等于AB， 故①错误； 如图所示，当点P，A重合时， ∴设NC＝NP＝x，则BN＝BC﹣NC＝4﹣x， 在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB2+BN2＝NP2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故③正确； ∵四边形CMPN是菱形， ∴， 设NC＝NP＝a， ∴， 如图2，当点D，点G重合时，NC＝CD＝DP＝PN＝2， ∴四边形CMPN是正方形， ∴， ∴当a＝2时，S△PNQ＝1， 故④正确， 综上所述，正确的序号是②③④， 故答案为：②③④． 27．（2026•莲湖区一模）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　　 ． 【解答】解：如图1，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF， ∴BF+DE的最小值等于AE+DE的最小值， 如图2，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点， 根据对称性可得AE＝HE， ∴AE+DE＝HE+DE＝DH， 在Rt△ADH中，AH＝AB+BH＝1+1＝2，AD＝1， ∴， ∴BF+DE的最小值等于． 故答案为：． 28．（2026•包头一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，，连接BD．点E为BC上的一点，连接DE，且DE平分∠BDC，连接AE交BD于点F，则AF的长为　　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝1，， ∴AB＝CD＝1， ， ∴∠BDC＝60°， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝30°， ， ∴，， ， ∵AD∥BC， ∴△BEF～△DAF， ∴， ， 故答案为：． 29．（2026•浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，AD∥BC，连接OA交BC于E，OA平分∠BAD，，，则AC＝　10　 ． 【解答】解：延长AO交⊙O于点F，连接FC，OB，如图， ∵OA平分∠BAD， ∴∠DAO＝∠BAO， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠ABO＝∠BEA， ∴△AOB∽△ABE， ∴， ∵，， ∴， ， 解得：， ∴，， ∵∠FCB＝∠BAF，∠FEC＝∠BEA， ∴∠FCE＝∠FEC， ∴， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ACF＝90°， ∴， 故答案为：10． 30．（2026•城中区校级一模）已知在△ABC中，AB＝12，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积等于 　或　 ． 【解答】解：当BC边上的高在三角形外部时，如图所示， 过点A作BC的垂线，垂足为D， 在Rt△ABD中， sinB， ∴AD， ∴BD． 在Rt△ACD中， CD， ∴BC＝BD﹣CD， ∴． 同理可得，当BC边上的高在三角形内部时， BC＝BD+CD， ∴， 综上所述，△ABC的面积等于或． 故答案为：或． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•湖北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝6时，求点B的坐标． （3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围． （4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．将点的坐标代入得： 4﹣2b＝0， 解得：b＝2， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x； （2）如图1，由y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，则对称轴为直线x＝1， 设点B的坐标为（n，n2﹣2n），由点C与点B关于直线x＝1轴对称， 则点C的横坐标为2×1﹣n＝2﹣n，则点C的坐标为（2﹣n，n2﹣2n）， ∵BC＝2﹣n﹣n＝6， 解得：n＝﹣2， ∴B（﹣2，8）； （3）以点A为中心，构造正方形PQMN， ∵点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0），PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴， ∴MN＝PQ＝2|m|，且M，N在y轴上， ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图2，当正方形PQMN点Q在x轴上时，此时M与O点重合， ∵PN＝PQ， ∴OP的解析式为y＝x， ∴A（m，m），将A（m，m）代入y＝x2﹣2x，即m2﹣2m﹣m＝0， 解得：m1＝0，m2＝3， ∵m＞0， ∴A（3，3）， 观察图形可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，如图3，当PQ经过抛物线的对称轴x＝1时， ∵MQ＝PQ＝2|m|，m＞0， ∴2m＝1， 解得：， 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小； 综上所述，m的取值范围为或m≥3； （4）或或．理由如下： ①如图4，当A点在抛物线对称轴左侧，y轴左侧， 设正方形与抛物线的交点分别为E，F，当时，则， ∵A是正方形PQMN的中心， 设点A的坐标为（m，m2﹣2m）， ∴， 即， ②如图5，当A点在抛物线对称轴左侧，y轴右侧时， ∵A（m，m2﹣2m）， ∴MN＝2m， ∴， ∵交点的纵坐标之差为， ∴F的纵坐标为， ∵F的横坐标为MQ＝PQ＝2m， ∴， ∵F在抛物线y＝x2﹣2x上， ∴， 解得； ③当A在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为O，S，设直线AN交x轴于点T，如图6， 则， ∴， 即，， 设直线NQ解析式为y＝kx+b，将点B，点T的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线NQ解析式为， 令， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴A的横坐标为，即， 综上所述，或或． 32．（2026•安阳县一模）几何综合 【方法尝试】 （1）如图①，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB，ED分别是它们的对角线．求证：CB⊥ED； 【类比迁移】 （2）如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，，，，AD＝1．将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，连接CE，BD． ①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当点B，D，E在同一直线上时，求线段CE的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点A作AP∥BC，在射线AP上取一点D，连接CD，使得，请直接写出线段BD的最大值． 【解答】（1）证明：如图①，四边形ABFC是矩形，延长CB交DE于点T， ∴∠CAB＝90°， ∵矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形， ∴∠ACB＝∠AED， ∵∠ABC＝∠EBT， ∴∠BTE＝∠CAB＝90°， ∴CB⊥ED； （2）解：①，CE⊥BD；理由如下： 如图②﹣1，延长CE分别交BD于点Q，交AB于点O， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵，，，AD＝1， ∴， ∴△CAE∽△BAD， ∴，∠ACE＝∠ABD， ∵∠AOC＝∠BOQ， ∴∠OQB＝∠OAC＝90°， ∴，CE⊥BD； ②如图②﹣2，当点D落在线段BE上时，设BD＝x， ∵，CE⊥BD， ∴， ∵，， ∵BC2＝EC2+BE2， ∴， 整理得：x2+x﹣6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴； 如图②﹣3，当点E在线段BD上时， 设BD＝m，则，BE＝m﹣2， ∵BC2＝BE2+EC2， ∴， 整理得：m2﹣m﹣6＝0， 解得：m1＝3，m2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴， ∴综上所述，线段EC的长为或； （3）解：如图⑤，过点A作AE⊥AB，使得，取AB的中点R，连接CR，ER，EC，BE， ∵∠CAD＝∠EAB＝90°， ∴∠CAE＝∠DAB， ∵， ∴， ∴△DAB∽△CAE， ∴， ∴， ∵∠ACB＝90°，AR＝RB， ∴， ∵∠EAB＝90°，AE＝8，AR＝3， ∴， ∵EC≤ER+CR， ∴，即EC最大值为， ∴当E，R，C三点共线时，EC取得最大值，此时线段BD取得最大值， ∴． 33．（2024•罗湖区二模）【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边△ABC中，点D在边BC上，CD＝2，连接AD，则△ACD的面积为 　3　 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°，若EF＝5，求△AEF的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在AB＝4米，米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与点B、C、D重合），且∠EAF＝60°，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥BC于E， ∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴AC＝BC＝6，CEBC＝3， ∴AE3， ∵CD＝2， ∴S△ACDAE•CD＝3； 故答案为：3； （2）如图2所示，延长EB到G使得BG＝DF，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABG＝∠BAD＝90°， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°， ∴∠EAG＝∠EAF＝45°， 又∵AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴EG＝EF＝5，S△AEF＝S△AEG， 又∵AB＝6， ∴S△AEF＝S△AEGAB•EG＝15； （3）存在一个面积最小的△AEF；理由如下： 把△ADF绕点A顺时针旋转90°并把边长缩小为原来的，得到△ABG， ∴， ∵∠EAF＝60°， ∴∠EAG＝30°， 过点E作EM⊥AG于M，作EN⊥AF于N，则四边形AMEN是矩形， ∴ME＝AN， ∴， ∴， ∴S△AEF＝3S△AEG， ∴当△AEG的面积最小时，△AEF的面积最小； 如图3所示，作△AEG的外接圆，圆心为O，连接OA，OG，OE，过点O作OH⊥EG于H，设OG＝OA＝OE＝r， ∴∠GOE＝2∠GAE＝60°， ∴∠GOH＝∠EOH＝30°， ∴， ∵S△AGEGE•AB＝2GE＝2r， ∴当r最小时，△AEG的面积最小， ∵OA+OH≥AB， ∴， ∴， ∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为， ∴（S△AEF）最小值＝3（S△AEG）最小值＝3×296﹣48， ∴存在一个面积最小的△AEF，其最小值为． 34．（2026•沭阳县校级一模）在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的和的一半称为点A的“横纵中点值”．函数图象上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点A（1、3）在函数y＝2x+1（3≤x≤6）的图象上，点A的“横纵中点值”为，函数y＝2x+1图象上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当3≤x≤6时，最大值为，最小值为5，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为5． （1）点P（﹣2，4）的“横纵中点值”为　1　 ． （2）已知二次函数y＝﹣x2+9x+3，当﹣2≤x≤6时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”． （3）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象顶点在“横纵中点值”为的函数图象上． ①二次函数y＝ax2+2ax+c的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式． ②当a+1≤x≤a+3时，设二次函数y＝2ax2+（4a﹣1）x+2c（a＜0）的“完美横纵中点值”为t1，“缺陷横纵中点值”为t2，且t2﹣t1＝2a，求a的值． 【解答】解：（1）由“横纵中点值”定义可得点P（﹣2，4）的“横纵中点值”为， 故答案为：1； （2）二次函数y＝﹣x2+9x+3的“横纵中点值”可设为m， 故对称轴为直线x＝5，图象开口向下， 当﹣2≤x≤6时，即当x＝5时，m的最大值为14； 当x＝﹣2时，m的最小值为， 即“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”分别为14和； （3）①二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， 顶点坐标为（﹣1，c﹣a）， 又∵顶点在“横纵中点值”为的函数图象上， ∴c﹣a﹣1＝3，c﹣a＝4， ∴c＝a+4， 故二次函数y＝ax2+2ax+a+4的“横纵中点值”可表示为n， 其最大值nmax， 整理可得14a＝12a﹣1，解得a， 故二次函数y； ②由①可知二次函数y＝2ax2+（4a﹣1）x+2a+8（a＜0）， 设其“横纵中点值”为ka（x+1）2+4， 即k为x的二次函数，其对称轴为直线x＝﹣1，图象开口向下， 当a+3≤﹣1时，即a≤﹣4时， 则当x＝a+3时，t1＝a（a+3+1）2+4；当x＝a+1时，t2＝a（a+1+1）2+4； ∵t2﹣t1＝2a， ∴a（a+1+1）2﹣a（a+3+1）2＝2a，解得a，与题设不符，故舍去； 当1，即a≤﹣3时， 则有t1＝4，t2＝a（a+1+1）2+4， ∴a（a+1+1）2＝2a，解得a或（与题设不符，舍去）； 当a+2＞﹣1，即a＞﹣3时， 则有t1＝4，t2＝a（a+3+1）2+4， ∴a（a+3+1）2＝2a，解得a或（与题设不符，舍去）； 当a+1≥﹣1，即a≥﹣2时， 则有t1＝a（a+1+1）2+4，t2＝a（a+3+1）2+4， ∴a（a+3+1）2﹣a（a+1+1）2＝2a，解得a，与题设不符，舍去． 综上，a的值为或． 35．（2025•东胜区二模）【问题情境】 如图，在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB＝AE＝6，AD＝AG＝8． 【初步探究】 （1）如图1，连接BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中，求的值； 【问题解决】 （2）如图2，连接BD，当点E恰好落在BD上，延长FE与交BC于点M，连接AM，交BD于点H． ①求证：AM垂直平分BE； ②如图3，取GD中点N，连接AN，HN，求线段HN的长． 【解答】解：【初步探究】（1）∵两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG，AB＝AE＝6，AD＝AG＝8， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAG﹣∠EAD，即∠BAE＝∠DAG， ∴， ∴△BAE∽△DAG， ∴； 【问题解决】（2）①在矩形ABCD和矩形AEFG中，∠ABC＝∠AEF＝90°， ∴∠AEM＝90°， 在Rt△ABM和Rt△AEM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△AEM（HL）， ∴∠BAM＝∠EAM， ∵AB＝AE， ∴AM⊥BE，BH＝EH， ∴AM垂直平分BE； ②由【初步探究】知，∠ABD＝∠ADG， ∴∠ADG+∠ADB＝90°， ∵AB＝6，AD＝8． ∴DB10， ∵AM垂直平分BE， ∴AH， ∴BH， ∴DH＝BD﹣BH＝10，BE， 由【初步探究】知，， ∴DG， ∵GD的中点为N， ∴DN， ∴HN8． 36．（2011•莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】（1）证明：如图1，分别连接OE、0F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD＝DC＝BC， ∴∠COD＝∠COB＝∠AOD＝90°． ∠ADO∠ADC60°＝30°， 又∵E、F分别为DC、CB中点， ∴OECD，OFBC，AOAD， ∴0E＝OF＝OA， ∴点O即为△AEF的外心． （2）解：①猜想：外心P一定落在直线DB上． 证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J， ∴∠PIE＝∠PJD＝90°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠IPJ＝360°﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI＝120°， ∵点P是等边△AEF的外心， ∴∠EPA＝120°，PE＝PA， ∴∠IPJ＝∠EPA， ∴∠IPE＝∠JPA， ∴△PIE≌△PJA， ∴PI＝PJ， ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上． ②为定值2． 当AE⊥DC时．△AEF面积最小， 此时点E、F分别为DC、CB中点． 连接BD、AC交于点P，由（1） 可得点P在BD上，即为△AEF的外心． 如图3．设MN交BC于点G， 设DM＝x，DN＝y（x≠0．y≠O），则CN＝y﹣1， ∵BC∥DA， ∴△GBP≌△MDP． ∴BG＝DM＝x． ∴CG＝1﹣x ∵BC∥DA， ∴△NCG∽△NDM， ∴， ∴， ∴x+y＝2xy， ∴2， 即2． 37．（2026•梓潼县一模）如图1，将▱ABCD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜360）得到▱AEFG，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心． （1）连接NE、ME，当NE＝ME时： ①求证：AE平分∠MAN； ②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，当▱ABCD绕点A逆时针旋转一定角度后，连接BF、GE，且两直线BF、GE互相垂直．若FG＝4°，求△ABF的面积． 【解答】（1）证明：由旋转可知，AM＝AN， 在△ANE和△AME中， ， ∴△ANE≌△AME（SSS）， ∴∠NAE＝∠MAE， ∴AE平分∠MAN； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：记BF与GE交点为I， ∵GE⊥FB， ∴∠GIF＝90°， ∵∠EGF＝45°，， ∴GI＝FI＝4， 过A作AH⊥BF，垂足为H， 则，NI＝GI﹣GN＝1.5， ∵∠NFI＝∠AFH，∠FIN＝∠AHF， ∴△FNI∽△FAH， ∴， ∴AH＝2NI＝3，FH＝2FI＝8， ∵， 由勾股定理得BH， 第一种情况：如图1所示， ∴， ∴； 第二种情况：如图2所示， ∴BF＝FH﹣BH＝8， ∴； 综上，△ABF的面积为或． 38．（2026•邵阳校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点B、C的坐标分别为B（b，0），C（0，c），且满足（c+4）2+|b﹣12|＝0． （1）求点B、点C的坐标； （2）△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，∠ABC＝45°，△ABC的高CD交x轴于点E，点E的坐标为（2，0），求证：△ACD≌△EBD； （3）在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线A﹣O﹣x轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）解：∵（c+4）2+|b﹣12|＝0， ∴c+4＝0，b﹣12＝0， ∴c＝﹣4，b＝12， ∴B（12，0），C（0，﹣4）； （2）证明：∵CD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠EDB＝90°， ∴∠DEB+∠ABO＝90°， ∵∠ABC＝45°，∠EDB＝90°， ∴△BCD是等腰直角三角形，CD＝BD， ∵∠AOB＝90°， ∴∠DAC+∠ABO＝90°， ∴∠DAC＝∠DEB， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（AAS）； （3）解：存在t值，使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形；理由如下： ∵△ACD≌△EBD，B（12，0），C（0，﹣4），点E的坐标为（2，0）， ∴BE＝10，OC＝4， ∴AC＝BE＝10， ∴OA＝10﹣4＝6， 动点M从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线A﹣O﹣x轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．设点M运动的时间为t秒， 分两种情况讨论： ①当点N在AO上时，OM＝2t，AN＝5t， ∴ON＝OA﹣AN＝6﹣5t， ∵△MCN关于x轴对称， ∴ON＝OC， ∴6﹣5t＝4， 解得：； ②当点N在x轴负半轴上时，OM＝2t，ON＝5t﹣6， ∵△MCN关于y轴对称， ∴OM＝ON， ∴2t＝5t﹣6， 解得：t＝2； 综上所述，存在t值，使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形，符合条件的t值为或2． 39．（2026•巢湖市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点（﹣1，0）， ①点B的坐标为　（3，4）　 ； ②当t﹣1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值； （2）已知，点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），求出a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）过点（﹣1，0）， ∴a+3a﹣3a+1＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x+4， ∴点A坐标为（0，4）， 当y＝4时，即y＝﹣x2+3x+4＝4， ∴x1＝0，x2＝3， ∴点B（3，4）， 故答案为：（3，4）； ②∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（，）， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，t﹣1≤x≤t在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∴x＝t时，﹣（t）2为最大值，即﹣（t）2， 解得t或t（舍）； Ⅱ．当t﹣1即t时，t﹣1≤x≤t在对称轴右侧，y随x增大而减小， x＝t﹣1时，y＝﹣（t﹣1）2为最大值，即﹣（t﹣1）2， 解得t或t（舍）， 综上所述，t的值为或； （2）∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1＝a（x）2， ∴抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1＝a（x）2， 对称轴为x，顶点为（，）， ∵点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点， 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1的顶点（，）在线段GH上时， 即：， 解得：a； Ⅱ．当抛物线顶点落在GH上方时， 当x＝1时，y＝a﹣3a﹣3a+1＝﹣5a+1， 当x＝3时，y＝9a﹣9a﹣3a+1＝﹣3a+1， ∵a＜0，对称轴为x， ∴﹣5a+1＜﹣3a+1， ∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得：a． 综上，a的取值范围是a或a． 40．（2025•长清区一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，DC上的点，且，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．若AF＝2，CF＝1．求CM的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB． （2）①解：如图2， 连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∠BAC＝∠CAD∠BAD， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAF， 即∠BAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAF， ∴∠BAM＝∠CAF， ∵AB∥CD， ∴∠BAM＝∠M， ∴∠CAF＝∠M， ∵∠AFC＝∠MFA， ∴△FAC∽△FMA， ∴， ∵AF＝2，CF＝1， ∴， ∴FM＝4， ∴CM＝FM﹣CF＝3； （3）如图3， 在BC上截取BE， ∵，∠PBE＝∠CBE， ∴△PBE∽△CBP， ∴， ∴PEPC， ∴PDPC＝PD+PE， ∴当D、P、E共线时，PD+PE最小＝DE，此时P在P′处， 作DF⊥BC，交BC的延长线于F， 在Rt△CDF中，CD＝BC＝6，∠DCF＝60°， ∴CF＝6•cos60°＝3，DF＝6•sin60°＝3， 在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝CE+CF＝63， ∴DE， ∵（PDPC）最小． 41．（2026•长春一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）如图①，设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图①中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）； （4）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为﹣2n+1，且线段EF∥x轴，当线段EF与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图①，设二次函数图象的顶点为P，连接OP， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴P（﹣1，4）． ∴PQ＝4，OQ＝1． 二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴相交于点A和点C， 当y＝0时，得：﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3． ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3． ∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP； （3）二次函数图象的对称轴上存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形；点M的坐标为（﹣1，1）；理由如下： 由点M在对称轴上，则设M（﹣1，m）， 由（2）知，A（﹣3，0）． ∵△AMB是以AB为底边的等腰三角形， ∴AM＝BM，则AM2＝BM2， ∴[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2． 解得：m＝1． ∴M（﹣1，1）； （4）n的取值范围为n＜﹣1或n≥3．理由如下： ∵点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n， ∴E（n，﹣n2﹣2n+3）． ∵点F的横坐标为﹣2n+1，且线段EF∥x轴， ∴E、F纵坐标相等． ∴F（﹣2n+1，﹣n2﹣2n+3）． 当n＝﹣2n+1时，E、F重合， 解得：． ∵线段EF与抛物线有两个公共点， ∴不符合题意． 当时，n＜﹣2n+1． ∴E在F左侧．如图③， 此时，线段EF与抛物线有一个交点，不符合题意． 当n＜﹣1时，n＜﹣2n+1． ∴E在F左侧．如图④， 点E关于直线x＝﹣1对称点E′横坐标为﹣2﹣n 此时，线段EF与抛物线有两个公共点． ∴n＜﹣1． 当时，n＞﹣2n+1． ∴E在F右侧，如图 此时，点E关于直线x＝﹣1对称点E″横坐标为﹣2﹣n， 当E″与F重合时，线段EF与抛物线有两个公共点， ∴﹣2﹣n＝﹣2n+1， 解得n＝3． ∴n≥3． 综上所述，n＜﹣1或n≥3． 42．（2026•莲湖区一模）问题探究 （1）如图1，在△ABC中，BC＝12，∠A＝120°，求△ABC外接圆的半径． 问题解决 （2）为了营造春节节日氛围，管理部门对某地城墙AB段设计灯光夜间探照，如图2，点C为探照灯位置，点O为变电枢纽，OD，AD，BD为电缆线．按照设计要求∠ACB＝120°，点O到A，B，C三点的距离相等，且AD⊥OC．若AB＝120m，则电缆线BD是否存在最小值？若存在，求出BD的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，作△ABC外接圆O，作OD⊥BC于点D，连接OB，OC． ∵∠A＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣240°＝120°． ∵OB＝OC，即△OBC为等腰三角形， ∴，∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴， ∴△ABC外接圆的半径为； （2）存在． 如图2，连接OA． ∵点O到A，B，C三点距离相等， ∴点O为△ABC的外心，作△ABC的外接圆O． ∵∠ACB＝120°， ∴点C在劣弧AB上．（A，B两点除外） ∵AB＝120m， ∴由（1），易得∠OAB＝30°，， ∵AD⊥OC， ∴∠ADO＝90°， ∴点D在以OA为直径的半圆上． 取OA的中点H，连接BH，交⊙H于点D′， 则当点D运动到与点D′重合时，BD的值最小，即为BD′． 作HG⊥AB于点G， ∴， ∴． 在Rt△HGB中，， ∴BD的最小值． 43．（2020•海南）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连接AF，交DE于点G． （1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE； （2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长； （3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC， ∵点E，F分别是AB、BC的中点， ∴AEAB，BFBC， ∴AE＝BF， ∴△ABF≌△DAE（SAS）； （2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2， ∴AC2， ∵AB∥CD， ∴△AGE∽△CGD， ∴，即， ∴AG； （3）当BF时，AG＝AE，理由如下： 如图所示，设AF交CD于点M， 若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠4， 又∵∠2＝∠3， ∴∠3＝∠4， ∴DM＝MG， 在Rt△ADM中，AM2﹣DM2＝AD2，即（DM+1）2﹣DM2＝22， 解得DM， ∴CM＝CD﹣DM＝2， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△MCF， ∴，即， ∴BF， 故当BF时，AG＝AE． 44．（2026•浙江模拟）如图，已知正方形ABCD，AB＝6，E，F是AD，AB上的两个动点，CE⊥DF，CE，DF交于点G． （1）求证：CE＝DF； （2）若四边形AEGF的面积为，求CE的长； （3）求的最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ADC＝90°，CD＝DA， ∴∠ADF+∠CDF＝90°， ∵CE⊥DF， ∴∠CDF+∠DCE＝90°， ∴∠ADF＝∠DCE， 在△CDE和△DAF中， ， ∴△CDE≌△DAF（ASA）， ∴CE＝DF； （2）解：∵△CDE≌△DAF， ∴S△CDE＝S△DAF， ∴S△CDE﹣S△DEG＝S△DAF﹣S△DEG， 即， 设DG＝a，CG＝b，其中a＜b，则，， ∵DG2+CG2＝CD2， ∴a2+b2＝36， 依题意得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∵∠DCG＝∠ECD，∠CGD＝∠CDE＝90°， ∴△CGD∽△CDE， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）； （3）解：由（1）得△CDE≌△DAF， ∴AF＝DE， 设AF＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x， 由勾股定理得：EF2＝AE2+AF2＝（6﹣x）2+x2＝2x2﹣12x+36，DF2＝AD2+AF2＝62+x2＝x2+36， 设，则，其中0＜k＜1， ∴2x2﹣12x+36＝kx2+36k，即（k﹣2）x2+12x+36k﹣36＝0， ∴Δ＝144﹣4（k﹣2）（36k﹣36）≥0， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 45．（2026•城中区校级一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知A，E，B三点共线，且∠A＝∠DEC＝∠B的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ （1）【特例探究】如图，已知A，E，B三点在同一条直线上，∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，求证：Rt△ADE∽Rt△BEC； （2）【规律总结】如果∠A＝∠B＝∠DEC，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：△ADE∽△BEC； （3）【实例应用】如果∠A＝∠B＝∠DEC，若点E是AB的中点，求证：DE2＝AD•DC． 【解答】证明：（1）∵∠A＝∠B＝∠DEC＝90°， ∴∠DEA+∠CEB＝90°， ∵∠DEA+∠D＝90°， ∴∠D＝∠CEB， ∴Rt△ADE∽Rt△BEC； （2）∵∠A＝∠B＝∠DEC，∠DEB＝∠A+∠D＝∠DEC+∠CEB， ∴∠D＝∠CEB， ∴△ADE∽△BEC； （3）∵∠A＝∠B＝∠DEC，∠DEB＝∠A+∠ADE＝∠DEC+∠CEB， ∴∠ADE＝∠CEB， ∴△ADE∽△BEC， ∴， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∴， ∵∠A＝∠DEC， ∴△AED∽△ECD， ∴， ∴DE2＝AD•DC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $