精品解析：河南省许昌市2026年第一次中招模拟考试试卷 九年级数学

2026年第一次中招模拟考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术基础有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 6. 如图，是的中位线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 代数式可以表示为（ ） A. B. （个相乘） C. （个相加） D. 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系. 下列叙述正确的是 A. 运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/L C. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 D. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳 二、填空题每小题3分，共15分） 11. 写出一个含有字母的单项式：________． 12. 在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 13. 河南古代书院文化兴盛，应天府书院（商丘）、嵩阳书院（登封）、伊川书院（洛阳）、百泉书院（辉县）是其中较有代表性的四所．现从这四所书院中随机选取两所进行传统文化研学，则选中的恰好是应天府书院和嵩阳书院的概率是________． 14. 如图，是的内接三角形，，过点C的切线交于点P，则的度数为_____． 15. 如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________． 三、解答题本大题8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算； （2）化简． 17. 为培养学生的科技创新能力，合肥市某中学利用本地科创资源，举办了“机器人迷宫编程挑战赛”．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成迷宫任务的时间（单位：秒，用时越短成绩越好）．时间用t表示，并分为三组：A．（优秀），B．（良好），C．（合格）．下面给出了部分信息： 七年级10个小组的完成时间：36，38，40，42，47，47，47，48，50，50． 八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：41，43，44，44． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 44.5 47 b 八年级 44.5 a 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由； （3）若该校七年级有50个小组，八年级有40个小组，请估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有多少个？ 18. 如图，中，． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，，求的周长． 19. 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 20. 为传承红色精神，某校同学开展了“测量红二十五军血战独树镇战斗纪念碑”的综合实践活动．如图，在D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为，沿方向前进到达F处，又测得纪念碑顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点D，F与纪念碑的底部B在同一水平线上． （1）求纪念碑的高度；（结果精确到，参考数据：） （2）查阅资料可知，该纪念碑的实际高度为（“25”代表红二十五军，“34”代表红军长征的关键年份1934年），请你计算本次测量结果的误差． 21. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求y的最大值与最小值的差； （3）过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 23. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] （2）如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] （3）在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年第一次中招模拟考试试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国是最早使用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正负数可表示一对相反意义的量，题目中零上记为正，则零下记为负，据此即可作答． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 2. 某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术基础有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正上方中间位置，即看到的图形如下： 故选：A． 4. 将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 5. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 6. 如图，是的中位线，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质可判断，根据平行线分线段成比例可判断，证明，根据相似三角形的性质可判断． 【详解】解：是的中位线， ，， ， 故正确，不符合题意， ， ， ， 故不正确，符合题意． 7. 代数式可以表示为（ ） A. B. （个相乘） C. （个相加） D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方的定义、合并同类项、同底数幂相除，逐一分析各选项即可得出正确结果． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故，故错误； B、根据乘方的定义，个相乘的结果记作，故正确； C、个相加的结果是，不等于，故错误； D、，故错误． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：将方程化为一般形式，得， ，，， ， 该一元二次方程没有实数根． 9. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系. 下列叙述正确的是 A. 运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/L C. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 D. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的特征逐项判断即可． 【详解】A、由图象可知，当时，虚线高于实线，即采用静坐方式休息时的血乳酸浓度大于采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度，此项错误 B、由图象可知，血乳酸浓度最高出现在实线上，大约为，此项错误 C、由题意知，当血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳；观察图象可知，实线早于虚线使血乳酸浓度降到以下，即慢跑活动方式能更快达到消除疲劳的效果，此项正确 D、由实线可知，当时，血乳酸浓度等于，即采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑后才能基本消除疲劳，此项错误 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象的特征，掌握理解函数图象的定义与特征是解题关键． 二、填空题每小题3分，共15分） 11. 写出一个含有字母的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可． 【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确． 12. 在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再根据正比例函数的定义，令常数项为，即可求解的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后的函数的解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴，解得． 13. 河南古代书院文化兴盛，应天府书院（商丘）、嵩阳书院（登封）、伊川书院（洛阳）、百泉书院（辉县）是其中较有代表性的四所．现从这四所书院中随机选取两所进行传统文化研学，则选中的恰好是应天府书院和嵩阳书院的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出从四所书院中随机选取两所的所有等可能结果，再找出符合题意的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记应天府书院为，嵩阳书院为，伊川书院为，百泉书院为， 从四所书院中随机选取两所，所有等可能的结果为：，，，，，，共种等可能的结果， 其中选中的恰好是应天府书院和嵩阳书院的结果有种， ． 14. 如图，是的内接三角形，，过点C的切线交于点P，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由切线的性质可得，，再由圆内接四边形的性质求得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示：连接、， ∵是的切线， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作交于点，由旋转的性质可证，得，由，可得，由勾股定理可得出的长度，由点的位置不确定，故可做分类讨论，当点在点左右两侧时得出结果． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理， 解得， ∴， ∴； 当点在点右侧时，同理可得， ∴； 综上，的长为或． 三、解答题本大题8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、算术平方根、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为培养学生的科技创新能力，合肥市某中学利用本地科创资源，举办了“机器人迷宫编程挑战赛”．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成迷宫任务的时间（单位：秒，用时越短成绩越好）．时间用t表示，并分为三组：A．（优秀），B．（良好），C．（合格）．下面给出了部分信息： 七年级10个小组的完成时间：36，38，40，42，47，47，47，48，50，50． 八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：41，43，44，44． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 44.5 47 b 八年级 44.5 a 44 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由； （3）若该校七年级有50个小组，八年级有40个小组，请估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有多少个？ 【答案】（1）42，47，40 （2） 八年级学生在此次比赛中的表现更好，理由如下： 八年级学生完成任务时间的中位数42小于七年级的中位数47，说明八年级成绩在中间水平的小组用时更短 （3）估计两个年级的完成时间为“优秀”（）的小组总共有31个 【解析】 【分析】（1）需分别计算八年级的中位数、七年级的众数和八年级组的百分比．众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据排序后中间位置的数；扇形统计图中百分比由对应组人数除以总人数得到． （2）通过比较中位数、众数等统计量的大小，分析哪个年级成绩更优． （3）利用样本中“优秀”的比例，分别估计七、八年级的优秀小组数再求和． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级C组有：（人），把八年级被抽取的10个小组的完成时间按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的两个数分别为41，43，故中位数，在七年级被抽取的10个小组的完成时间中，47出现的次数最多，故众数，，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （个）． 答：估计两个年级的完成时间为“优秀”（）的小组总共有31个． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，，求的周长． 【答案】（1）解解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求； （2）先由勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质列出比例式求出，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求； 由可得； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的周长． 19. 如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． （1）求v与t的函数表达式； （2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【小问1详解】 解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 20. 为传承红色精神，某校同学开展了“测量红二十五军血战独树镇战斗纪念碑”的综合实践活动．如图，在D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为，沿方向前进到达F处，又测得纪念碑顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点D，F与纪念碑的底部B在同一水平线上． （1）求纪念碑的高度；（结果精确到，参考数据：） （2）查阅资料可知，该纪念碑的实际高度为（“25”代表红二十五军，“34”代表红军长征的关键年份1934年），请你计算本次测量结果的误差． 【答案】（1）纪念碑的高度为 （2）本次测量结果的误差为 【解析】 【分析】（1）延长与交于点M，由题可知：四边形和四边形是矩形，，，则可得到，．设，解直角三角形得到，，据此建立方程求解即可； （2）用（1）计算的结果减去该纪念碑的实际高度即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长与交于点M， 由题可知：四边形和四边形是矩形，，， ，． 设， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得． 经检验，是该分式方程的解． ， 答：纪念碑的高度为． 【小问2详解】 解： 答：本次测量结果的误差为． 21. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：，解得，经检验是原方程的解． 乙：，解得，经检验是原方程的解． 则甲所列方程中的表示_______，乙所列方程中的表示_______； （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？ 【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量 （2）最多购进型玩具个 【解析】 【分析】（1）根据方程表示的意义，进行作答即可； （2）设最多购进型玩具个，根据题意，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个， ∴分别表示型玩具和型玩具的数量， ∴表示型玩具的单价； 对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍， ∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价， ∴表示购买型玩具的数量； 故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量 【小问2详解】 设购进型玩具个，则购买型玩具个， 由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元， 由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴； 答：最多购进型玩具个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求y的最大值与最小值的差； （3）过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2）4 （3）5或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先化为顶点式，求出顶点坐标及对称轴，可求出y的最小值，根据开口向上，抛物线上的点离对称轴越远y值越大可得y的最大值，进而得解； （3）设，，则是方程的两根，可得，再分情况讨论，当时，，当时，，即可求出，再把其中一根代入方程即可得解，当  时，与  矛盾，故舍去． 【小问1详解】 解：把，代入得， 解得：， 抛物线的表达式． 【小问2详解】 解：抛物线的表达式， 顶点坐标为，对称轴为直线， ， 当时，y有最小值，此时， ， 当时，y有最大值，此时， y的最大值与最小值的差为． 【小问3详解】 解：过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点， 设，，则是方程的两根， 整理得， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当  时， ， 此时由  得 ，即 ，  ∵ ，解得 ，这与  矛盾，故舍去； t的值为5或． 23. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] （2）如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] （3）在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】（1）菱形 （2） 解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由矩形的性质可得，，则，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则．由折叠的性质可得，，，，则，从而证明，因此，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明结论； （3）分类讨论，当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，容易证明四边形是矩形，．由平行四边形的性质可得，从而证明，则．利用勾股定理可得，容易证明，则，利用，求得；当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，同理可得，进而证明，则．由折叠的性质可得，，，从而求出，因此． 【小问1详解】 解：∵由沿折叠得到， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点， 同理①可得，点为的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $