专项提升Ⅲ 带电粒子在电场中的运动 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

专项提升Ⅲ 带电粒子在电场中的运动 1．学会分析带电粒子在电场中的直线运动 2．学会分析带电粒子在电场中的类平抛运动． 3．学会分析带电粒子在电场、电场和重力场复合的圆周运动 知识点一、带电粒子在电场中的直线运动 分析带电粒子的加速问题有两种思路 1.利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式分析。适用于电场是匀强电场且涉及运动时间等描述运动过程的物理量，公式有qE＝ma，v＝v0＋at等。 2.利用静电力做功结合动能定理分析。适用于问题涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时，公式有qEd＝mv2－mv(匀强电场)或qU＝mv2－mv(任何电场)等。 3.带电小球在电容器中的直线运动 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - mg qE mg qE θ mg qE θ qE=mg，a=0 qE=mgtanθ，a=g/cosθ qE=mg/cosθ，a=gtanθ qE=mg/cosθ，a=gtanθ 4.多过程运动模型 运动模型 受力分析 运动分析 规律 mg mg ● qE t O v t2 t1 a g v0 ①速度公式v0=gt1=at2; 速度位移公式v02=2gx1=2ax2 ②全程动能定理：mg(h+d)-qU=0 知识点二、带电粒子的类平抛运动 1.先求加速度。 2.将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在两个方向上分别列运动学方程。 3.涉及功能关系，也可用动能定理列方程。 不同的带电粒子由静止开始经过同一电场(U1)加速后，再从同一偏转电场(电压U2、板宽d、板长L)射出时的偏移y、偏转角度φ总是相同的。证明：U1 d U2 q v L m v0 y q y v0 (1)由qU1=；得 (2)由qU1=；，得tan φ=。 【结论】偏移y、偏转角度φ与粒子电量q和质量m无关；与偏转电压U2成正比，与加速电压U1成反比。 【提醒】由qU1=得①，可能不相等；②偏转时间与v0成反比；③末速度与v0成正比。 知识点三、带电体在电场(复合场)中的圆周运动 解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力。有时可以把复合场中的圆周运动等效为竖直面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”。 1. （25-26高二上·湖北·月考）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长的绝缘细线的一端固定在电场中的点，另一端系住一质量、带电量的小球，小球静止时细线与竖直方向成角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现它恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知，，，则（　　） A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得的初速度大小为6.25m/s C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了3.6J D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先增大后减小 【答案】B 【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球受力分析如图所示 根据平衡条件有 可得，故A错误； B．小球受重力和电场力的等效合力为 小球恰能经过等效最高点A，则在A点时满足 从开始到A点由动能定理有 解得小球获得的初速度大小为，故B正确； C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中电场力做功为 则小球的机械能减小了6J，故C错误； D．小球带负电，则小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，电场力先做负功，再做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小，再增大，故D错误。 故选B。 2. （23-24高二上·山西运城·期中）如图所示，水平虚线表示匀强电场中的两等势面，电势分别为-2V和-3V，两等势面相距0.1m。将一带电荷量为的点电荷从a点匀速移动到b点，如，不计重力，则下列说法中正确的是（　　） A．所加外力大小为 B．所加外力沿ab方向 C．外力做的功是 D．点电荷所受合力一定沿ab方向 【答案】C 【详解】A．电场强度大小为 点电荷从a点匀速移动到b点，所加外力等于电场力，则有，故A错误； B．电场强度的方向与等势面垂直且从电势高处指向电势低处，则电场强度的方向竖直向下；负电荷受电场力方向与电场强度的方向相反，故电场力方向竖直向上。点电荷从a点匀速移动到b点，所加外力与电场力方向相反，外力方向竖直向下，故B错误； C．外力做的功为，故C正确； D．点电荷从a点匀速移动到b点，点电荷所受合力为零，故D错误。 故选C。 3. （24-25高二上·广东肇庆·期末）如图，某电子设备的核心部分是一个平行板电容器，板内存在匀强电场，电场强度大小为E，板的长度为L。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0垂直电场方向飞入其中，粒子能被吸附到收集板上，不计粒子受到的重力则下列说法正确的是（　　） A．粒子在电场中做变加速曲线运动 B．粒子在电场中克服电场力做功 C．粒子在电场中的运动时间大于 D．粒子在电场中的偏移量不会大于 【答案】D 【详解】AB．粒子在两收集板间做类平抛运动，加速度恒定，电场力做正功，故AB错误； C．粒子能被收集板吸附，可知在电场中运动时间最大时，有 解得 故C错误； D．最大偏移量为， 解得 故D正确。 故选D。 4. （25-26高三上·新疆·开学考试）如图所示，空间存在水平向右、电场强度大小为的匀强电场，质量为的带电微粒恰好沿图中的虚线在竖直平面内做匀速直线运动，虚线与水平方向的夹角为，微粒受到的空气阻力不能忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．微粒可能带正电 B．微粒可能由点向点运动 C．微粒的电势能不断减小 D．微粒所带电荷量的绝对值为 【答案】CD 【详解】A．由题意知带电微粒恰好沿图中的虚线在竖直平面内做匀速直线运动，可知微粒的合力一定与微粒轨迹共线，且微粒受到的空气阻力与运动方向相反，故受力分析如图 由上图可知微粒带负电，故A错误； B．微粒只能由点向点运动才能保持平衡，故B错误； C．微粒由点向点运动的过程中，电场力做正功，电势能减小，故C正确； D．根据平衡条件有 解得，故D正确。 故选CD。 5. （24-25高二上·云南曲靖·月考）如图所示，一质量m = 2.0 × 10−18 kg、电荷量q = 1.0 × 10−12 C的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿极板中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在竖直荧光屏上的P点（图中未画出）。O′点是荧光屏的中心，已知加速电场电压U0 = 2500 V，偏转电场电压U = 100 V，偏转电场极板的长度L1 = 6.0 cm，板间距离d = 2.0 cm，极板的右端到荧光屏的距离L2 = 3.0 cm。不计粒子重力，求： (1)粒子射入偏转电场时的初速度大小v0； (2)粒子射出偏转电场时距离极板中心轴线OO′的距离； (3)粒子离开偏转电场时的动能Ek； (4)P点到O′点的距离。 【答案】(1)5 × 104 m/s (2)1.8 × 10−3 m (3)2.509 × 10−9 J (4)3.6 × 10−3 m 【详解】（1）带电粒子在加速电场中，根据动能定理得 解得 （2）带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，在水平方向上 竖直方向上 由牛顿第二定律 而 解得 （3）带电粒子由静止开始到离开偏转电场过程中，由动能定理得 解得 （4）根据带电粒子离开偏转电场速度的反向延长线过偏转电场的中点，由相似三角形得 解得 6. （25-26高三上·福建漳州·开学考试）某同学利用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示，矩形区域OMPQ内存在平行于OQ的匀强电场，N为OP的中点。带电粒子a、b分别从Q点和O点同时垂直OQ射入电场，同时到达M、N点，K为轨迹交点。不计粒子重力及其相互作用，则（　　） A．粒子a、b比荷不相等 B．粒子a、b初速度之比为1∶2 C．O、K间与K、Q间的电势差之比为4∶1 D．运动过程中，a的电势能逐渐减小，b的电势能逐渐增大 【答案】C 【详解】A．设OQ之间的距离为d，根据类平抛运动的规律可得，由于d和t相同，则比荷相同，故A错误； B．带电粒子a、b水平方向做匀速运动，根据x=v0t，水平位移之比为2:1，时间相同，可知初速度之比2:1，B错误； C．以Q为坐标原点，水平和竖直方向为坐标轴，设ab两粒子的初速度分别为2v和v，两粒子的加速度为a，则对粒子a由， 解得轨迹方程为 对粒子b由， 解得轨迹方程 联立解得两轨迹交点K纵坐标 即OK与KQ竖直高度之比为4:1，根据U=Ed可知O、K间与K、Q间的电势差之比为4∶1，C正确； D．运动过程中，电场力对粒子ab均做正功，则两粒子的电势能均逐渐减小，D错误。 故选C。 7. （25-26高二上·湖北·月考）将一质量为m的带正电小球，在竖直方向的匀强电场中以水平速度抛出，小球运动的加速度大小为，方向竖直向下，不计空气阻力，小球在下落h的过程中，下列计算结果正确的是（　　） A．动能增加 B．重力势能减少 C．机械能减少 D．电场力大小为 【答案】A 【详解】A．根据动能定理，动能变化等于合力做功，合力为，下落高度h时，合力做功为，因此动能增加，故A正确； B．重力势能减少量等于重力做功，而非，故B错误； C．机械能变化由非保守力（电场力）做功决定，电场力方向竖直向上，大小为，做功为，因此机械能减少，而非，故C错误； D．由牛顿第二定律，合力 解得，而非，故D错误。 故选A。 8. （25-26高三上·山西·开学考试）如图所示，平行板电容器充电后，两极板间的电场为匀强电场。电子从A点沿平行于极板的方向向右飞入匀强电场并从右侧B点飞出。仅将该电容器所带电荷量增加到原来的2倍，电子仍以相同的初速度从A点飞入匀强电场并从右侧某点飞出。不计重力，关于电子在电场中运动情况的分析，正确的是（　　） A．电子仍从B点飞出 B．电子的加速度大小变为原来的4倍 C．电子在电场中运动的时间变为原来的2倍 D．电场力对电子做的功变为原来的4倍 【答案】D 【详解】B．设板间距离为，根据 仅将该电容器所带电荷量增加到原来的2倍，则板间电场强度增加为原来的2倍，根据牛顿第二定律可得 可知电子的加速度大小变为原来的2倍，故B错误； AC．设板长为，电子在板间做类平抛运动，则有， 由于电子仍以相同的初速度从A点飞入匀强电场并从右侧某点飞出，可知电子在电场中运动的时间不变，在电场方向的偏转位移变为原来的2倍，所以电子从B点下方飞出，故AC错误； D．根据 由于电场强度增加为原来的2倍，在电场方向的偏转位移变为原来的2倍，所以电场力对电子做的功变为原来的4倍，故D正确。 故选D。 9. （25-26高二上·辽宁·月考）如图所示，在长方形区域中有竖直向下的匀强电场，同种带正电粒子分别以速度、从点水平向右飞入电场，分别从、的中点、飞出电场区域。已知粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子从、两点飞出的时间之比为 B．粒子从、两点飞出的时间之比为 C．初速度之比 D．粒子从、两点飞出的过程中，电场力做功之比为 【答案】C 【详解】AB．粒子在电场中做类平抛运动，则从、两点飞出的时间为， 可得，，故AB错误，C正确； CD．设粒子受到的电场力为，粒子从、两点飞出的过程中，电场力做功分别为、 故电场力做功之比为，故D错误。 故选C。 10. （24-25高三下·贵州黔南·阶段练习）如图甲所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑绝缘圆环，圆环所在平面内存在水平方向的匀强电场，环上A点与圆心O位于同一水平高度，设圆环上的某点与O点的连线与OA连线的夹角为θ，其电势φ与θ的关系图像如图乙所示，其中。初始时刻从圆环内A点无初速释放一电量为+q、质量为m、可视为质点的小球，重力加速度为g，则在小球以后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动至的位置时，速度最大 B．小球运动至的位置时，动能最大 C．小球运动至的位置时，电势能最大 D．小球能做完整的圆周运动回到A点 【答案】C 【详解】AB．由题意知匀强电场场强大小为 方向水平向左，将电场力和重力合成一恒力F，如图所示 根据几何关系可得 所以 所以当时，小球过等效最低点，则速度及动能最大，故AB错误； CD．根据对称性可知小球运动至位置时，速度为0，此时小球运动到最右端，此后小球将在圆环上往复运动，故C正确，D错误。 故选C。 11. （2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，电荷量为q的带电小球A用长为l的绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为2q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上，OB之间距离为，小球A平衡时与小球B位于同一竖直平面内，此时悬线与竖直方向夹角，已知带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．细线拉力大小为 B．小球A的质量为 C．剪断细线瞬间，小球B的加速度大小为g D．剪断细线，小球B做匀加速运动 【答案】B 【详解】AB．由几何关系可知为等腰三角形，；以小球A为研究对象，受力情况如图所示 由共点力平衡条件得， 由库仑定律得 联立解得， 故A错误，B正确； C．因小球B固定在O点正下方绝缘柱上，所以剪断细线瞬间小球B仍处于静止状态，加速度大小为零，故C错误； D．剪断细线之后，小球B始终固定在下方绝缘柱上，加速度始终为零，故D错误。 故选B。 12. （24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图所示，倾角θ=30°的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，空间存在竖直方向的匀强电场，场强大小为E。带电量为+q，质量为m的小物块A（可视为点电荷）恰好静止于斜面上。则（　　） A．匀强电场的方向竖直向下 B．场强大小 C．若撤去斜面，物块仍保持静止 D．若变换电场方向为水平向右，物块的加速度大小为 【答案】C 【详解】AB．由于物块处于静止状态，则物块受竖直向下的重力和竖直向上的电场力，即 所以 由于物块带正电，所以电场力方向与电场强度方向相同，即匀强电场的方向竖直向上，故AB错误； C．由于物块与斜面间没有弹力，所以若撤去斜面，物块仍保持静止，故C正确； D．若变换电场方向为水平向右，根据牛顿第二定律可得 则物块的加速度大小为，故D错误。 故选C。 13. （24-25高二上·云南保山·期末）如图所示为一带电粒子在由一孤立的负点电荷产生的电场中运动的轨迹，M、N为轨迹上两点，已知粒子在M、N两点的速度关系为，电势能分别为和，带电粒子仅受电场力，以下说法正确的是（　　） A．粒子一定从运动到 B． C．粒子一定带负电 D．场源电荷对粒子的作用力一定是排斥力 【答案】B 【详解】A．由于带电粒子的电性和场源电荷的位置均未知，故不能判断带电粒子的运动方向，故A错误； B．粒子只在电场力作用下运动，故只有动能和电势能相互转化，由能量守恒定律得 又因为 故 故B正确； C．根据运动与力的关系仅能判断粒子受电场力方向指向轨迹的凹侧，由于不知道场源电荷的位置，故无法判断粒子的电性，故C错误； D．由于不知道粒子电性，故场源电荷对粒子的作用力不一定是排斥力，故D错误。 故选B。 14. （24-25高二上·广东深圳·期末）如图为茶叶生产中将茶叶与茶梗分离的装置，装置中A、B两带电球间存在电场。茶叶和茶梗自漏斗漏下，经A表面时都带上了正电，再从A表面滑落，通过A、B间电场分离，最后沿光滑绝缘分离器表面落入两侧小桶。已知茶叶的比荷大于茶梗的比荷，忽略茶叶、茶梗之间的库仑力。下列说法正确的是（　　） A．茶叶经过A球时，正电荷从A球上转移到茶叶上 B．M处的电场强度比N处大 C．M处的电势比N处低 D．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶 【答案】D 【详解】A．茶叶经过A球时，电子从茶叶上转移到A球上，茶叶带正电，故A错误； B．由于M点的电场线稀疏，N点的电场线密集，故M点的电场强度小于N点的电场强度，故B错误； C．沿电场线的方向，电势逐渐降低，故M点的电势高于N点的电势，故C错误； D．根据牛顿第二定律可知 解得 由于茶叶、茶梗带正电，则电场力产生的加速度方向整体向右，由于茶叶的比荷大于茶梗的比荷，可知茶叶所受电场力产生的加速度大于茶梗所受电场力产生的加速度，即在相等时间内，茶叶的水平分位移大于茶梗的水平分位移，可知，茶叶落入右桶，茶梗落入左桶，故D正确。 故选D。 15. （24-25高二上·四川绵阳·期中）如图甲所示为两块水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压U，电压U随时间t变化的图像如图乙所示。现有一群质量为m、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两金属板间，经时间T都能从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述正确的是（　　） A．时入射的粒子，粒子将沿一条直线运动 B．时入射的粒子，从进入电场到射出电场，电场力对粒子先做正功，后做负功 C．时入射的粒子，最终将沿中线离开电场 D．时入射的粒子，离开电场时的速度大小等于初速度 【答案】BD 【详解】A．粒子在电场中水平方向始终做匀速直线运动，在时刻入射的粒子，在竖直方向先做加速运动，然后减速运动，由运动的合成知识可知，一个匀速直线运动与一个变速直线运动合成，其轨迹为曲线，故A项错误； B．因为在水平方向粒子的速度保持不变，当粒子在时入射时，在时间内粒子在竖直方向做加速运动，电场力对粒子做正功，当时间内，粒子在竖直方向上做匀减速运动，电场力对粒子做负功，故B项正确； CD．无论哪个时刻入射的粒子，在一个周期T内，受到的正向电压和反向电压的时间是相同，所以在竖直方向上电场力的冲量为零，所以离开电场时速度方向都是水平的，且离开电场时的速度大小都相等，都等于初速度。但是由之前的分析可知，粒子在竖直方向先做加速运动，后做减速运动，其偏离金属板中线。综上所述可知，粒子最终并不是沿着中线离开电场，故D正确，C错误。 故选BD。 16. （24-25高一下·广西桂林·期末）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度。下列说法正确的是（　　） A．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的电势能最小 C．若将小球在A点以大小为的竖直速度上抛，它将不能到达B点 D．小球做完整的圆周运动过程中，最大拉力与最小拉力之差是 【答案】BD 【详解】A．由于 可知小球受到重力和电场力的合力方向与电场方向的夹角成斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将沿合力方向做匀加速直线运动到C点，故A错误； B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，根据沿电场方向电势逐渐降低可知，圆周上B点的电势最低，根据，由于小球带正电，所以小球运动到B点时的电势能最小，故B正确； C．将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，则有 可知绳子拉力为0，之后绳子处于松弛状态，小球在竖直方向做竖直上抛，水平方向做匀加速，当小球回到A点等高位置时，有 水平方向有 可知此时小球刚好运动到B点，故C错误； D．由于 可知小球受到重力和电场力的合力大小为 方向与电场方向的夹角成斜向下，小球在等效最高点时的速度最小，拉力最小，在等效最高点时的速度最大，拉力最大；则有， 根据动能定理可得 联立可得最大拉力与最小拉力之差是，故D正确。 故选BD。 17. （24-25高一下·浙江丽水·期末）如图所示，一端固定在O点的长为L的绝缘轻绳悬挂一质量为m的绝缘小球，小球带正电q，可视为质点。初始时，小球静止于P点，现给空间施加一水平向右的匀强电场，小球恰好能到达Q点，OQ与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，则（　　） A．电场强度E的大小为 B．P、Q两点的电势差大小为 C．从P点到轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少 D．轻绳对小球的拉力最大时，绳子的拉力大小为 【答案】BD 【详解】A．从P到Q由动能定理 解得电场强度的大小为，选项A错误； B． P、Q两点的电势差大小为，选项B正确； C．小球在平衡位置时轻绳拉力最大，由对称性可知，该位置在细线与竖直方向的夹角为30°的位置，则从P点到轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少，选项C错误； D．轻绳对小球的拉力最大时，重力和电场力的合力为 从P点到该位置由动能定理 且在平衡位置时满足 联立解得绳子的拉力大小为，选项D正确。 故选BD。 18. （24-25高二上·广东深圳·期末）在竖直向下的匀强电场中射入Ａ、Ｂ两带电油滴，两油滴质量相等，的带电量为，B带电量为。在电场中Ａ、Ｂ两油滴分别沿着如图中的方向匀速直线运动。不计油滴间及油滴和空气间的相互作用，下列说法正确的有（    ） A．A的带电量大于B B．A带负电，B带正电 C．的运动方向电势升高，的运动方向电势降低 D．的电势能逐渐减小，的电势能逐渐增大 【答案】CD 【详解】AB．A、B两油滴均只受到重力和电场力作用，由于两油滴均做匀速直线运动，因此油滴受力平衡，即 电场力方向向上，可知两油滴均带负电；且两油滴质量相等，故两者的带电量相同，故AB错误； C．沿电场方向，电势逐渐降低，由题可知，的运动方向电势升高，的运动方向电势降低，故C正确； D．运动过程中，电场力对油滴A做正功，对油滴B做负功，因此A的电势能减小，B的电势能增大，故D正确。 故选CD。 19. （24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，空间中有两块带电平行金属板M、N，两板间距为d=0.5m，两板间的电压UMN=6V。一可视为质点的小球以v0=3m/s的水平速度从紧靠M板的A点飞入，从下极板的右端点B点飞出，并沿切线方向飞入竖直光滑圆轨道。B点与光滑竖直圆轨道平滑连接，圆轨道的半径R=1m。平行金属板M、N的右侧垂线CD的右侧区域存在水平向右的匀强电场，电场强度大小E=15N/C。已知小球带正电，质量m=1.0kg，电荷量q=0.5C，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，不计空气阻力。求： (1)小球在B点的速度大小vB； (2)极板的长度L； (3)小球在竖直圆轨道上滚动时的最大速度vm的大小为多少？ 【答案】(1)5m/s (2) (3) 【详解】（1）小球从点到点由动能定理可得 解得 （2）小球在两板间做类平抛运动，在水平方向，有 在竖直方向，有 根据牛顿第二定律，有 联立解得 （3）小球在圆弧轨道上运动时，在等效平衡位置时速度最大，等效平衡位置如图所示 由图可知 解得 小球在点时，设与的夹角为，可知   解得 小球从点到等效平衡位置由动能定理可得 解得 20. （2025高三·全国·专题练习）如图所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C为最低点，圆心角∠BOC=37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L=5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为+q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ=0.25，电场强度大小，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力。求： (1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小； (2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度； (3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程。 【答案】(1)10.8mg (2)1.2R (3)15R 【详解】（1）小物块从A点第一次到C点的过程，由动能定理得 在C点由牛顿第二定律知 联立解得FN=10.8mg 由牛顿第三定律得，小物块对轨道的压力大小是10.8mg。 （2）小物块从A第一次到D的过程，由动能定理知 小物块第一次到达D点后以速度vD1逆着电场线方向做匀减速直线运动，由动能定理得 联立解得xmax=1.2R （3）小物块到达B点的速度为零后，小物块就在圆弧轨道上做往复圆周运动，由功能关系知 解得d=15R 21. 如图所示，A、B两块带异号电荷的平行金属板间形成匀强电场，上下金属极板长度均为，一电子以的速度垂直于场强方向沿中心线由点射入电场，从电场右侧边缘点飞出时的速度方向与方向成的夹角。已知电子电荷量，电子质量。求： (1)电子在点时的动能是多少？ (2)电子从到C的过程中在垂直极板方向上的位移？ (3)、两点间的电势差大小是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在点时的速度 电子在点时的动能 （2）电子在水平方向做匀速直线运动，运动时间 垂直方向的分速度，根据 又，则 代入数据得 （3）根据动能定理 代入数据得 则 22. （24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在水平向右、电场强度大小为E的匀强电场中，用长为L的绝缘轻绳悬挂质量为m的带电小球（可视为质点），小球恰好静止在B点，此时绳与竖直方向夹角为。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)判断小球带电性质并求电荷量； (2)将绳拉直至水平，在A位置由静止释放小球，求小球运动到最低点C时的动能。 【答案】(1)正电， (2) 【详解】（1）小球恰好静止在B点，对小球受力分析可知，电场力的方向向右，电场的方向也向右，故小球带正电。根据平衡条件有 解得 （2）重力做功 电场力做功 根据动能定理 解得小球运动到C点时的动能 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升Ⅲ 带电粒子在电场中的运动 1．学会分析带电粒子在电场中的直线运动 2．学会分析带电粒子在电场中的类平抛运动． 3．学会分析带电粒子在电场、电场和重力场复合的圆周运动 知识点一、带电粒子在电场中的直线运动 分析带电粒子的加速问题有两种思路 1.利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式分析。适用于电场是匀强电场且涉及运动时间等描述运动过程的物理量，公式有qE＝ma，v＝v0＋at等。 2.利用静电力做功结合动能定理分析。适用于问题涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时，公式有qEd＝mv2－mv(匀强电场)或qU＝mv2－mv(任何电场)等。 3.带电小球在电容器中的直线运动 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - mg qE mg qE θ mg qE θ qE=mg，a=0 qE=mgtanθ，a=g/cosθ qE=mg/cosθ，a=gtanθ qE=mg/cosθ，a=gtanθ 4.多过程运动模型 运动模型 受力分析 运动分析 规律 mg mg ● qE t O v t2 t1 a g v0 ①速度公式v0=gt1=at2; 速度位移公式v02=2gx1=2ax2 ②全程动能定理：mg(h+d)-qU=0 知识点二、带电粒子的类平抛运动 1.先求加速度。 2.将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在两个方向上分别列运动学方程。 3.涉及功能关系，也可用动能定理列方程。 不同的带电粒子由静止开始经过同一电场(U1)加速后，再从同一偏转电场(电压U2、板宽d、板长L)射出时的偏移y、偏转角度φ总是相同的。证明：U1 d U2 q v L m v0 y q y v0 (1)由qU1=；得 (2)由qU1=；，得tan φ=。 【结论】偏移y、偏转角度φ与粒子电量q和质量m无关；与偏转电压U2成正比，与加速电压U1成反比。 【提醒】由qU1=得①，可能不相等；②偏转时间与v0成反比；③末速度与v0成正比。 知识点三、带电体在电场(复合场)中的圆周运动 解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力。有时可以把复合场中的圆周运动等效为竖直面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”。 1. （25-26高二上·湖北·月考）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，一根长的绝缘细线的一端固定在电场中的点，另一端系住一质量、带电量的小球，小球静止时细线与竖直方向成角。现给小球一个与细线垂直的初速度，使其从静止位置开始运动，发现它恰好能绕点在竖直平面内做完整的圆周运动。已知，，，则（　　） A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球获得的初速度大小为6.25m/s C．小球从初始位置运动至轨迹最左端的过程中机械能减小了3.6J D．小球在竖直平面内顺时针运动一周回到初始位置的过程中，其电势能先增大后减小 2. （23-24高二上·山西运城·期中）如图所示，水平虚线表示匀强电场中的两等势面，电势分别为-2V和-3V，两等势面相距0.1m。将一带电荷量为的点电荷从a点匀速移动到b点，如，不计重力，则下列说法中正确的是（　　） A．所加外力大小为 B．所加外力沿ab方向 C．外力做的功是 D．点电荷所受合力一定沿ab方向 3. （24-25高二上·广东肇庆·期末）如图，某电子设备的核心部分是一个平行板电容器，板内存在匀强电场，电场强度大小为E，板的长度为L。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0垂直电场方向飞入其中，粒子能被吸附到收集板上，不计粒子受到的重力则下列说法正确的是（　　） A．粒子在电场中做变加速曲线运动 B．粒子在电场中克服电场力做功 C．粒子在电场中的运动时间大于 D．粒子在电场中的偏移量不会大于 4. （25-26高三上·新疆·开学考试）如图所示，空间存在水平向右、电场强度大小为的匀强电场，质量为的带电微粒恰好沿图中的虚线在竖直平面内做匀速直线运动，虚线与水平方向的夹角为，微粒受到的空气阻力不能忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．微粒可能带正电 B．微粒可能由点向点运动 C．微粒的电势能不断减小 D．微粒所带电荷量的绝对值为 5. （24-25高二上·云南曲靖·月考）如图所示，一质量m = 2.0 × 10−18 kg、电荷量q = 1.0 × 10−12 C的带正电的粒子由静止经加速电场加速后，又沿极板中心轴线从O点垂直进入偏转电场，并从另一侧射出打在竖直荧光屏上的P点（图中未画出）。O′点是荧光屏的中心，已知加速电场电压U0 = 2500 V，偏转电场电压U = 100 V，偏转电场极板的长度L1 = 6.0 cm，板间距离d = 2.0 cm，极板的右端到荧光屏的距离L2 = 3.0 cm。不计粒子重力，求： (1)粒子射入偏转电场时的初速度大小v0； (2)粒子射出偏转电场时距离极板中心轴线OO′的距离； (3)粒子离开偏转电场时的动能Ek； (4)P点到O′点的距离。 6. （25-26高三上·福建漳州·开学考试）某同学利用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示，矩形区域OMPQ内存在平行于OQ的匀强电场，N为OP的中点。带电粒子a、b分别从Q点和O点同时垂直OQ射入电场，同时到达M、N点，K为轨迹交点。不计粒子重力及其相互作用，则（　　） A．粒子a、b比荷不相等 B．粒子a、b初速度之比为1∶2 C．O、K间与K、Q间的电势差之比为4∶1 D．运动过程中，a的电势能逐渐减小，b的电势能逐渐增大 7. （25-26高二上·湖北·月考）将一质量为m的带正电小球，在竖直方向的匀强电场中以水平速度抛出，小球运动的加速度大小为，方向竖直向下，不计空气阻力，小球在下落h的过程中，下列计算结果正确的是（　　） A．动能增加 B．重力势能减少 C．机械能减少 D．电场力大小为 8. （25-26高三上·山西·开学考试）如图所示，平行板电容器充电后，两极板间的电场为匀强电场。电子从A点沿平行于极板的方向向右飞入匀强电场并从右侧B点飞出。仅将该电容器所带电荷量增加到原来的2倍，电子仍以相同的初速度从A点飞入匀强电场并从右侧某点飞出。不计重力，关于电子在电场中运动情况的分析，正确的是（　　） A．电子仍从B点飞出 B．电子的加速度大小变为原来的4倍 C．电子在电场中运动的时间变为原来的2倍 D．电场力对电子做的功变为原来的4倍 9. （25-26高二上·辽宁·月考）如图所示，在长方形区域中有竖直向下的匀强电场，同种带正电粒子分别以速度、从点水平向右飞入电场，分别从、的中点、飞出电场区域。已知粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子从、两点飞出的时间之比为 B．粒子从、两点飞出的时间之比为 C．初速度之比 D．粒子从、两点飞出的过程中，电场力做功之比为 10. （24-25高三下·贵州黔南·阶段练习）如图甲所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑绝缘圆环，圆环所在平面内存在水平方向的匀强电场，环上A点与圆心O位于同一水平高度，设圆环上的某点与O点的连线与OA连线的夹角为θ，其电势φ与θ的关系图像如图乙所示，其中。初始时刻从圆环内A点无初速释放一电量为+q、质量为m、可视为质点的小球，重力加速度为g，则在小球以后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球运动至的位置时，速度最大 B．小球运动至的位置时，动能最大 C．小球运动至的位置时，电势能最大 D．小球能做完整的圆周运动回到A点 11. （2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，电荷量为q的带电小球A用长为l的绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为2q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上，OB之间距离为，小球A平衡时与小球B位于同一竖直平面内，此时悬线与竖直方向夹角，已知带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则（　　） A．细线拉力大小为 B．小球A的质量为 C．剪断细线瞬间，小球B的加速度大小为g D．剪断细线，小球B做匀加速运动 12. （24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图所示，倾角θ=30°的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，空间存在竖直方向的匀强电场，场强大小为E。带电量为+q，质量为m的小物块A（可视为点电荷）恰好静止于斜面上。则（　　） A．匀强电场的方向竖直向下 B．场强大小 C．若撤去斜面，物块仍保持静止 D．若变换电场方向为水平向右，物块的加速度大小为 13. （24-25高二上·云南保山·期末）如图所示为一带电粒子在由一孤立的负点电荷产生的电场中运动的轨迹，M、N为轨迹上两点，已知粒子在M、N两点的速度关系为，电势能分别为和，带电粒子仅受电场力，以下说法正确的是（　　） A．粒子一定从运动到 B． C．粒子一定带负电 D．场源电荷对粒子的作用力一定是排斥力 14. （24-25高二上·广东深圳·期末）如图为茶叶生产中将茶叶与茶梗分离的装置，装置中A、B两带电球间存在电场。茶叶和茶梗自漏斗漏下，经A表面时都带上了正电，再从A表面滑落，通过A、B间电场分离，最后沿光滑绝缘分离器表面落入两侧小桶。已知茶叶的比荷大于茶梗的比荷，忽略茶叶、茶梗之间的库仑力。下列说法正确的是（　　） A．茶叶经过A球时，正电荷从A球上转移到茶叶上 B．M处的电场强度比N处大 C．M处的电势比N处低 D．茶叶落入右桶，茶梗落入左桶 15. （24-25高二上·四川绵阳·期中）如图甲所示为两块水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压U，电压U随时间t变化的图像如图乙所示。现有一群质量为m、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两金属板间，经时间T都能从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述正确的是（　　） A．时入射的粒子，粒子将沿一条直线运动 B．时入射的粒子，从进入电场到射出电场，电场力对粒子先做正功，后做负功 C．时入射的粒子，最终将沿中线离开电场 D．时入射的粒子，离开电场时的速度大小等于初速度 16. （24-25高一下·广西桂林·期末）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度。下列说法正确的是（　　） A．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的电势能最小 C．若将小球在A点以大小为的竖直速度上抛，它将不能到达B点 D．小球做完整的圆周运动过程中，最大拉力与最小拉力之差是 17. （24-25高一下·浙江丽水·期末）如图所示，一端固定在O点的长为L的绝缘轻绳悬挂一质量为m的绝缘小球，小球带正电q，可视为质点。初始时，小球静止于P点，现给空间施加一水平向右的匀强电场，小球恰好能到达Q点，OQ与竖直方向的夹角为，不计空气阻力，则（　　） A．电场强度E的大小为 B．P、Q两点的电势差大小为 C．从P点到轻绳对小球的拉力最大时，小球的电势能减少 D．轻绳对小球的拉力最大时，绳子的拉力大小为 18. （24-25高二上·广东深圳·期末）在竖直向下的匀强电场中射入Ａ、Ｂ两带电油滴，两油滴质量相等，的带电量为，B带电量为。在电场中Ａ、Ｂ两油滴分别沿着如图中的方向匀速直线运动。不计油滴间及油滴和空气间的相互作用，下列说法正确的有（    ） A．A的带电量大于B B．A带负电，B带正电 C．的运动方向电势升高，的运动方向电势降低 D．的电势能逐渐减小，的电势能逐渐增大 19. （24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，空间中有两块带电平行金属板M、N，两板间距为d=0.5m，两板间的电压UMN=6V。一可视为质点的小球以v0=3m/s的水平速度从紧靠M板的A点飞入，从下极板的右端点B点飞出，并沿切线方向飞入竖直光滑圆轨道。B点与光滑竖直圆轨道平滑连接，圆轨道的半径R=1m。平行金属板M、N的右侧垂线CD的右侧区域存在水平向右的匀强电场，电场强度大小E=15N/C。已知小球带正电，质量m=1.0kg，电荷量q=0.5C，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，不计空气阻力。求： (1)小球在B点的速度大小vB； (2)极板的长度L； (3)小球在竖直圆轨道上滚动时的最大速度vm的大小为多少？ 20. （2025高三·全国·专题练习）如图所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C为最低点，圆心角∠BOC=37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L=5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为+q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ=0.25，电场强度大小，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力。求： (1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小； (2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度； (3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程。 21. 如图所示，A、B两块带异号电荷的平行金属板间形成匀强电场，上下金属极板长度均为，一电子以的速度垂直于场强方向沿中心线由点射入电场，从电场右侧边缘点飞出时的速度方向与方向成的夹角。已知电子电荷量，电子质量。求： (1)电子在点时的动能是多少？ (2)电子从到C的过程中在垂直极板方向上的位移？ (3)、两点间的电势差大小是多少？ 22. （24-25高一下·江苏·期中）如图所示，在水平向右、电场强度大小为E的匀强电场中，用长为L的绝缘轻绳悬挂质量为m的带电小球（可视为质点），小球恰好静止在B点，此时绳与竖直方向夹角为。重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)判断小球带电性质并求电荷量； (2)将绳拉直至水平，在A位置由静止释放小球，求小球运动到最低点C时的动能。 学科网（北京）股份有限公司 $