专题4 电容器　带电粒子在电场中的运动 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

专题4 电容器　带电粒子在电场中的运动 ►考点01电容器 3 ►考点02带电粒子（体）在电场中的直线运动 6 ►考点03带电粒子在电场中的曲线运动 10 ►考点04带电粒子在交变电场中的运动 14 【基础回顾】 一、电容器　电容 1．电容器 (1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。 (2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。 (3)电容器的充、放电 ①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。 ②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。 2．电容 (1)意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量。 (2)定义式：C＝＝。 (3)单位：法拉(F)，1F＝106μF＝1012pF。 (4)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压无关　。 3．平行板电容器 (1)影响因素：平行板电容器的电容与两极板的正对面积成正比，与电介质的相对介电常数成正比，与两极间的距离成反比。 (2)决定式：C＝，k为静电力常量。 二、带电粒子在电场中的运动 1．带电粒子在电场中的加速 (1)处理方法：利用动能定理qU＝mv2－mv　。 (2)适用范围：任何电场。 2．带电粒子在匀强电场中的偏转 (1)研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场。 (2)处理方法：类似于平抛运动，应用运动的合成与分解的方法。 ①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝　。 ②沿电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动。 3．带电粒子在电场中偏转的重要推论 推论1：如图所示，粒子从偏转电场中射出时，其速度的反向延长线与初速度方向交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。 证明：由tanθ＝，y＝和x＝，知x＝。故O点平分了沿初速度方向的位移，所以粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间中点处沿直线射出似的。 推论2：位移方向与初速度方向间夹角的正切值为速度偏转角正切值的，即tanα＝tanθ。 推论3：不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合(与比荷无关)。 证明：带电粒子先经加速电场(电压U加)加速，又进入偏转电场(电压U偏)，射出偏转电场时，偏移量y＝at2＝，速度偏转角的正切值。可见偏移量y和偏转角θ只与U加、U偏有关，与q、m无关，运动轨迹必定重合。 ►考点01电容器 1．电容器两类问题的比较 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变 S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变() S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 2．解电容器问题的常用技巧 （1）在电荷量保持不变的情况下，电场强度与板间的距离无关()。 （2）对平行板电容器的有关物理量Q、E、U、C进行讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，在变量中哪些是自变量，哪些是因变量，抓住、Q＝CU和进行判定即可。 【例题精讲】 1．（2026•绍兴模拟）许多公共场所配备了自动体外除颤器（AED），其核心部件参数值为20μF，该参数对应的物理量为（　　） A．电容 B．电感 C．电能 D．电压 2．（2026春•郑州期中）健身挥拳力量测试仪的核心部件为平行板电容器，固定极板与可动极板的正对面积保持不变，极板间介质为空气。挥拳冲击可动极板时，可认为极板间距减小，放开手后，在绝缘弹簧的作用下极板间距恢复。测试前先将电容器充电，随后断开电源。若测试仪表可视为并联在两极板间的理想电压表改装而成，则挥拳力量越大（　　） A．极板间场强越大 B．极板间场强越小 C．理想电压表的示数越大 D．理想电压表的示数越小 3．（2026•杭州模拟）如图是四个电容式传感器的示意图，关于这四个传感器，下列说法正确的是（　　） A．图甲中电容C与动片转出的角度θ成正比 B．图乙中导电液体液面上升时，电容C减小 C．图丙中压力F增大时，电容C增大 D．图丁中电介质右移时，电容C增大 4．（2026•郑州模拟）如图为某昆虫级机器人翅膀结构原理图。M、N为固定电极，P为柔性机翼电极，其间有绝缘液体电解质，可视为电容器。电极M、P、N通过单刀双掷开关连接在直流电源上，P极接地。实验时，开关S掷于1端，P向上摆动；开关S掷于2端，P向下摆动，从而模拟翅膀振动。已知O为MP间一点，则P缓慢向上摆动达到O点前（　　） A．M板的电势逐渐减小 B．M极电荷量逐渐减小 C．O点的场强逐渐减小 D．O点的电势逐渐减小 5．（2026•山西模拟）某种心脏起搏器利用电容式传感器监测心肌的微小位移。如图所示，传感器由两块平行金属板组成，其中一块固定，另一块随心脏跳动而移动。两极板间的电势差U恒定。当心脏收缩导致两极板间的距离d减小时（　　） A．电容器的电容减小 B．极板所带的电荷量增加 C．两极板间的电场强度保持不变 D．电容器处于放电状态，电路中产生瞬时电流 （多选）6．（2026•西安校级二模）用如图a所示的电路观察电容器的充放电现象，当闭合开关S2，将S1接1，电压表示数增大，最后稳定在10V。先后断开开关S2、S1，将电流表更换成电流传感器，通过传感器将电流信息传入计算机，画出电流随时间变化的I﹣t图像，如图b，t＝2s时I＝1.0mA，图中M、N区域面积比为8：7下列说法正确的是（　　） A．在开关S1接1的过程中，电流表的示数先增大，后稳定在某一非零数值 B．在开关S1接2的过程中，电流方向从a→b C．电路中电阻R约为5.2kΩ D．电路中电阻R约为4.7kΩ （多选）7．（2026•辽宁模拟）我国科学家狄增峰团队成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的晶圆，这种材料具有卓越的绝缘性能，即使在厚度仅为1纳米时也能有效阻止电流泄漏，为开发低功耗芯片提供了重要的技术支撑。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点恰好处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．该带电油滴带负电 B．B板下移，油滴将继续保持静止状态 C．减小极板间的正对面积，P点的电势升高 D．两板间插入人造蓝宝石的过程中，电路中有电流 ►考点02带电粒子（体）在电场中的直线运动 1.带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理 基本粒子 如电子、质子、α粒子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量） 带电体 如带电液滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力 2.带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法 【例题精讲】 8．（2026春•南昌月考）如图所示，光滑水平面上方空间中存在垂直纸面向外的匀强磁场，足够长的绝缘木板静止于水平面上，带负电物块放置于木板右端。0时刻水平向右的恒力F作用在木板上使得木板和物块由静止开始一起运动，t时刻物块开始相对于木板滑动。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．0～t内物块与木板间的摩擦力逐渐增大 B．0～t内物块做加速度逐渐减小的加速直线运动 C．t时刻后物块先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 D．t时刻后木板先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 9．（2026春•昆明月考）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板距离相等。甲的质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH＝3，接通电源，不计粘滞阻力和甲、乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒运动到极板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先到达极板 B．甲、乙运动到极板时动能相同 C．甲、乙运动到极板时动量大小相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 10．（2026•浙江开学）如图所示，真空中固定一个圆心为O、半径为R、带电量为Q的均匀带正电圆环。一根与水平面成30°角的固定绝缘长细杆，过圆心O且垂直于圆环平面穿过该圆环。一可视为质点的带负电小球，从杆上的a点以某一初速度沿杆向上运动，恰好能运动到杆上d点，已知小球电荷量为q（q≪Q），ab＝bO＝Oc＝cd＝R，静电力常量为k，重力加速度大小为g，绝缘细杆与小球间的动摩擦因数，则小球从a运动到d的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．圆环在b点产生的电场强度的大小 B．小球与圆环间的电势能先增大后减小 C．小球初速度大小等于 D．小球从a到O和从O到d的运动时间相等 11．（2026•青羊区校级开学）如图，足够大的空间内存在与水平方向夹角θ＝37°的匀强电场，长度为L、不可伸长的轻绳一端系于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），O点距水平地面的高度为2L，其正下方P处固定一刀片，O、P间距离小于L。当小球处于静止状态时，轻绳与竖直方向的夹角为θ。现将小球拉至O点右侧等高位置（轻绳刚好拉直）静止释放，运动至O点正下方时轻绳被刀片割断，最终小球落到水平地面上。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．小球运动至O点正下方时的速度大小为 C．轻绳与刀片接触前瞬间的拉力大小为0.96mg D．小球落地点与O点的水平距离为L 12．（2026•九龙坡区校级模拟）如图所示，光滑绝缘固定管道足够长，管道与水平面夹角为30°，管道内存在方向与管道平行的匀强电场。质量为m，电荷量为q（q＞0）的带电小球（带电小球的直径小于管道的内径，且可视为质点），从固定管道底端P点由静止释放，经时间t，小球沿管道上升到Q点，此时撤去电场，又经过时间t小球恰好回到初始位置P点，重力加速度为g，忽略电场变化带来的电磁效应。则（　　） A．撤去电场前小球从P到Q电势能增大 B．带电小球上滑过程中撤去电场前后的加速度大小之比为1：2 C．撤去电场后小球从Q点沿管道上升到最高点的时间为 D．撤去电场前P、Q两点间的电势差为 （多选）13．（2026•晋中模拟）如图所示，矩形区域ABCD内存在与矩形所在平面平行的匀强电场（未画出），AB竖直，AD水平，AD＝4L，AB＝5L。一质量为m的带电小球从A点沿AD方向以初速度v0射入矩形区域后以原速率离开矩形区域，整个过程中小球克服电场力做功3mgL，重力加速度为g。对于小球在矩形内运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球的重力势能减少了3mgL B．出射点在B点正上方2L处 C．小球的最小速度为 D．小球所受电场力的最小值为 （多选）14．（2026•广东模拟）如图所示，空间内存在竖直向下的匀强电场，弹簧上端固定，下端悬挂一个带电的小球，小球静止时位于O点，此时弹簧处于原长。向下把小球拉到M点由静止释放，小球最高上升到N点（图中没有标出）。小球运动过程中电荷量不变，小球的质量为m，OM的长度为d，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为g。下列说法正确的有（　　） A．小球带正电 B．小球从M点到N点的过程，电场力对小球做正功 C．小球从M点到N点的过程，小球的机械能守恒 D．小球从M点到N点的过程，小球的电势能减少了2mgd ►考点03带电粒子在电场中的曲线运动 1．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv y＝at2＝··2 tanθ＝ 得：y＝，tanθ＝。 (2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为。 2．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝U，指初、末位置间的电势差 【例题精讲】 15．（2025春•镇海区校级期中）如图所示，在竖直平面xOy内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m，带电量为q的小球从y轴上P点以水平速度v进入第一象限，速度方向沿x轴正方向，经过x轴上Q点（图中未标出）时的速度大小也为v，方向与x轴正半轴夹角为60°。重力加速度大小为g，不计空气阻力，则小球从P点运动到Q点的过程中（　　） A．水平位移与竖直位移的大小之比为2： B．机械能先增大后减小 C．电场强度的最小值为 D．速度的最小值为 16．（2025秋•重庆月考）有相同初动量三个带同种电荷的粒子a、b、c从两板的中点以平行金属板的方向射入同一偏转电场，如图所示。经过一段时间，三个粒子均离开平行金属板间且在板间运动过程中未与板接触。已知粒子a、b、c的质量之比为1：3：4，所带的电荷量之比为1：1：2，粒子a、b、c的重力以及所受的阻力均可忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动量的变化量大小之比为1：3：8 B．粒子a、b、c离开平行金属板间时速度方向与水平方向的夹角正切值之比为1：3：16 C．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动能的变化量之比为1：3：4 D．粒子a、b、c在平行金属板间运动的时间之比为4：3：1 17．（2025秋•天津校级月考）如图所示为带异种电荷的平行金属板（忽略电场的边界效应），在电场内紧贴M板左端内侧，向垂直于M板和平行于M板两个方向分别发射速度大小均为v0的相同粒子a、b，分别打中N板左端和右端。若不计重力和粒子之间的相互作用，a粒子到达N板的速度大小为，则（　　） A．a、b粒子到达N板的时间相等 B．a粒子到达N板的时间大于b粒子到达N板的时间 C．a粒子到达N板的速率小于b粒子到达N板的速率 D．a、b粒子到达N板的速度大小相等 18．（2025秋•西安月考）如图所示，某匀强电场的电场线（图中未画出）与半径为R的圆所在的竖直平面平行，A、B、C为圆周上的三个点，E为圆弧BC的中点，AB∥OE，O为圆心，D为AB的中点，∠ACB＝θ。粒子源可从C点沿不同方向发射速率均为v0的带正电的粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为q（不计粒子受到的重力和粒子之间的相互作用力）。若沿CA方向入射的粒子恰以v0cosθ的速度垂直于AB方向经过D点，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C、D、E、O六点中，B点的电势最高 B．沿垂直于BC方向入射的粒子可能经过O点 C．在圆周上各点中，从E点离开的粒子速率最小 D．若θ＝60°，则匀强电场的电场强度大小为 19．（2025•江西模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中有a、b、c三点，a点坐标为（0，2cm），b点坐标为（3cm，2cm），c点坐标为（3cm，0），在矩形Oabc区域内存在平行于xOy平面的匀强电场，一电子以大小为v0、与x轴负方向成45°角的速度从c点进入电场后，在仅受电场力作用下恰好经过b点，已知a、b、c三点的电势分别为φa＝1V，φb＝10V，φc＝4V，下列说法正确的是（　　） A．该匀强电场的电场强度大小为 B．该匀强电场的电场强度大小为 C．电子经过b点时的速度大小为 D．电子经过b点时的速度大小为2v0 （多选）20．（2026•河南模拟）如图所示，电容器水平放置，板间距离为L，板长为3L。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球以v0的速度水平抛出，随后紧靠电容器上极板边缘进入电容器，小球进入电容器时速度方向与极板夹角为45°，小球能从电容器中飞出，且运动过程中恰好与极板不碰撞，重力加速度为g，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．小球抛出点到上极板左端的水平距离为 C．小球出电容器时速度一定与极板平行 D．两极板间的电压可能为或 （多选）21．（2026•渝中区校级一模）如图所示，竖直平面内平行正对的两水平金属板A1B1、A2B2的间距和板长均为d，上极板接地，下极板不带电。一发射源从A1点沿A1B2方向以相同速度持续喷射出质量为m、电荷量为+q（q很小）的油滴（视为质点），第1滴油滴落在下极板中点C处，油滴落在极板上立即被吸收且电荷均匀分布在极板上。已知重力加速度为g，不计空气阻力，忽略油滴间的相互作用，则（　　） A．油滴喷射的初速度大小为 B．最终稳定时，油滴沿A1B2方向做匀速直线运动 C．油滴在平行板间运动的最短、最长时间之比为1：2 D．油滴在平行板间运动时电势能最多减少 ►考点04带电粒子在交变电场中的运动 1.常见的交变电场类型:电压(或场强)波形:正弦波、矩形波、锯齿波等。 2.交变电场中常见的粒子运动及分析思路 (1)粒子做单向直线运动:一般对整段或分段研究用牛顿运动定律结合运动学公式求解； (2)粒子做往返运动:一般分段研究,应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解； (3)粒子做偏转运动:一般根据交变电场特点分段研究,应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解。 3.分析思路 (1)动力学观点:根据牛顿第二定律及运动学规律分析； (2)能量观点:应用动能定理、功能关系等分析； (3)动量观点:应用动量定理分析。 4.解题技巧 (1)按周期性分段研究； (2)将转化成，再将转化成。 5.注意事项 (1)带电粒子在交变电场中的运动,通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形； 当粒子垂直于交变电场方向射入时,沿初速度方向的分运动为匀速直线运动,沿电场方向的分运动具有周期性。 (2)研究带电粒子在交变电场中的运动,关键是根据电场变化的特点,利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况；根据电场的变化情况,分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 (3)注重全面分析(分析受力特点和运动规律):抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (4)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场,若粒子穿过板间的时间极短,带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 【例题精讲】 22．（2025秋•无锡月考）如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔，右极板电势随时间变化的规律如图乙所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是（　　） A．从t＝0时刻释放电子，电子将不能打到右极板上 B．从t＝0时刻释放电子，电子可能在两板间振动 C．从时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上 D．从时刻释放电子，电子必将打到左极板上 23．（2025•保定二模）如图甲所示，两正对平行板AC、DB水平放置，在其右侧有汇聚状的电场，电场线的延长线的交点在O点（BC的中点），在两平行板间加上周期为T的交变电压，两板间电势差的绝对值为U0，t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端（视为A点）以水平向右的速度v0射入匀强电场，T时刻从下极板B点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达C点，到达C点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是（　　） A．平行板的长度为2v0T B．0.5T时刻，粒子的速度大小为 C．两平行板间的距离为T D．粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为 24．（2024秋•沈阳月考）如图所示，一对平行金属板长为L，两板间距为d，两板间所加交变电压为UAB，交变电压的周期。质量为m、电荷量为e的电子从平行板左侧以速度v0沿两板的中线持续不断地进入平行板之间，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，下列说法正确的是（　　） A．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为 B．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为 C．所有电子在两板间运动的时间都为T D．所有电子离开电场时的动能都相同 25．（2024秋•太原月考）如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是（　　） A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2s末带电粒子回到原出发点 C．4s末带电粒子的速度为零 D．0～3s内，电场力做的总功为零 26．（2024•天心区校级模拟）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入（记为t＝0时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是（　　） A．粒子射出时间可能为t＝4s B．粒子射出的速度大小为2v C．极板长度满足L＝3vn（n＝1，2，3⋯） D．极板间最小距离为 （多选）27．（2025•衡水校级一模）如图（a），长为4d、间距为d的平行金属板水平放置，两金属板左边中点O有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子，金属板右侧距离为d处竖直放置一足够大的荧光屏。现在两板间加图（b）所示电压，已知t＝0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出。不计粒子重力，则（　　） A．无论哪个时刻入射的粒子在金属板间运动的时间相等 B．无论哪个时刻入射的粒子恰能从金属板右侧中点O出射 C．无论哪个时刻入射的粒子从金属板间出射时动能Ek D．粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为 （多选）28．（2024秋•朝阳区校级期末）如图甲所示，长为6d、间距为2d的平行金属板水平放置，电场中轴线OO'上的左端O点有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q（q＜0）、质量为m的粒子。在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖直向上为正方向，不计粒子重力。以下判断正确的是（　　） A．t＝0时刻进入的粒子，在电场中运动的时间为 B．t时刻进入的粒子，在电场中运动的时间为 C．t＝0时刻进入的粒子，从O′点射出 D．时刻进入的粒子，从O′点射出 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 电容器　带电粒子在电场中的运动 ►考点01电容器 3 ►考点02带电粒子（体）在电场中的直线运动 8 ►考点03带电粒子在电场中的曲线运动 16 ►考点04带电粒子在交变电场中的运动 23 【基础回顾】 一、电容器　电容 1．电容器 (1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。 (2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。 (3)电容器的充、放电 ①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。 ②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。 2．电容 (1)意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量。 (2)定义式：C＝＝。 (3)单位：法拉(F)，1F＝106μF＝1012pF。 (4)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压无关　。 3．平行板电容器 (1)影响因素：平行板电容器的电容与两极板的正对面积成正比，与电介质的相对介电常数成正比，与两极间的距离成反比。 (2)决定式：C＝，k为静电力常量。 二、带电粒子在电场中的运动 1．带电粒子在电场中的加速 (1)处理方法：利用动能定理qU＝mv2－mv　。 (2)适用范围：任何电场。 2．带电粒子在匀强电场中的偏转 (1)研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场。 (2)处理方法：类似于平抛运动，应用运动的合成与分解的方法。 ①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝　。 ②沿电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动。 3．带电粒子在电场中偏转的重要推论 推论1：如图所示，粒子从偏转电场中射出时，其速度的反向延长线与初速度方向交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。 证明：由tanθ＝，y＝和x＝，知x＝。故O点平分了沿初速度方向的位移，所以粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间中点处沿直线射出似的。 推论2：位移方向与初速度方向间夹角的正切值为速度偏转角正切值的，即tanα＝tanθ。 推论3：不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合(与比荷无关)。 证明：带电粒子先经加速电场(电压U加)加速，又进入偏转电场(电压U偏)，射出偏转电场时，偏移量y＝at2＝，速度偏转角的正切值。可见偏移量y和偏转角θ只与U加、U偏有关，与q、m无关，运动轨迹必定重合。 ►考点01电容器 1．电容器两类问题的比较 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变 S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变() S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 2．解电容器问题的常用技巧 （1）在电荷量保持不变的情况下，电场强度与板间的距离无关()。 （2）对平行板电容器的有关物理量Q、E、U、C进行讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，在变量中哪些是自变量，哪些是因变量，抓住、Q＝CU和进行判定即可。 【例题精讲】 1．（2026•绍兴模拟）许多公共场所配备了自动体外除颤器（AED），其核心部件参数值为20μF，该参数对应的物理量为（　　） A．电容 B．电感 C．电能 D．电压 【答案】A 【详解】单位μF（微法）是电容的单位，电感的单位是亨利，电能的单位是焦耳，电压的单位是伏特，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．（2026春•郑州期中）健身挥拳力量测试仪的核心部件为平行板电容器，固定极板与可动极板的正对面积保持不变，极板间介质为空气。挥拳冲击可动极板时，可认为极板间距减小，放开手后，在绝缘弹簧的作用下极板间距恢复。测试前先将电容器充电，随后断开电源。若测试仪表可视为并联在两极板间的理想电压表改装而成，则挥拳力量越大（　　） A．极板间场强越大 B．极板间场强越小 C．理想电压表的示数越大 D．理想电压表的示数越小 【答案】D 【详解】CD、挥拳力量越大，则极板间距d会越小，根据 可知电容C越大，根据 可知极板间电压U越小，故电压表示数变小，故C错误，D正确； AB、挥拳力量越大，则极板间距d会越小，Q不变，根据，，E 解得E，故极板间场强不变，故AB错误。 故选：D。 3．（2026•杭州模拟）如图是四个电容式传感器的示意图，关于这四个传感器，下列说法正确的是（　　） A．图甲中电容C与动片转出的角度θ成正比 B．图乙中导电液体液面上升时，电容C减小 C．图丙中压力F增大时，电容C增大 D．图丁中电介质右移时，电容C增大 【答案】C 【详解】A.根据电容的决定式 电容器的正对面积为（R为动片半径） 联立可得：，即电容C与动片转出的角度θ不成正比，故A错误； B.导电液体液面上升时，正对面积增大，根据电容的决定式 可知电容C增大，故B错误； C.随着压力的增大，板间距d逐渐减小，根据电容的决定式 可知电容C增大，故C正确； D.电介质右移时，介电常数ε1减小，根据电容的决定式 可知电容C减小，故D错误。 故选：C。 4．（2026•郑州模拟）如图为某昆虫级机器人翅膀结构原理图。M、N为固定电极，P为柔性机翼电极，其间有绝缘液体电解质，可视为电容器。电极M、P、N通过单刀双掷开关连接在直流电源上，P极接地。实验时，开关S掷于1端，P向上摆动；开关S掷于2端，P向下摆动，从而模拟翅膀振动。已知O为MP间一点，则P缓慢向上摆动达到O点前（　　） A．M板的电势逐渐减小 B．M极电荷量逐渐减小 C．O点的场强逐渐减小 D．O点的电势逐渐减小 【答案】D 【详解】A.电容器始终连接电源，极板间电压恒定，P极板接地电势恒为0，M板与P板电势差不变，故M板电势保持不变，故A错误； B.P向上摆动，极板间距减小，由电容决定式C 可知电容增大，结合Q＝CU 电压不变电容增大则极板电荷量增大，故B错误； C.板间场强满足 极板间电压U不变，间距d减小，整体场强增大，O点场强随之增大，故C错误； D.P极板接地电势为0，上极板电势为U，则UOM＝E•dOM P上摆时E增大，故UOM增大，M电势不变，故O点电势逐渐减小，故D正确。 故选：D。 5．（2026•山西模拟）某种心脏起搏器利用电容式传感器监测心肌的微小位移。如图所示，传感器由两块平行金属板组成，其中一块固定，另一块随心脏跳动而移动。两极板间的电势差U恒定。当心脏收缩导致两极板间的距离d减小时（　　） A．电容器的电容减小 B．极板所带的电荷量增加 C．两极板间的电场强度保持不变 D．电容器处于放电状态，电路中产生瞬时电流 【答案】B 【详解】ABD、当心脏收缩导致两极板间的距离d减小时，根据 电容器的电容增大；根据 由于两极板间的电势差U恒定，则极板所带的电荷量增加，电容器处于充电状态，电路中产生瞬时电流，故AD错误，B正确； C、根据 由于两极板间的电势差U恒定，两极板间的距离d减小，所以两极板间的电场强度增大，故C错误。 故选：B。 （多选）6．（2026•西安校级二模）用如图a所示的电路观察电容器的充放电现象，当闭合开关S2，将S1接1，电压表示数增大，最后稳定在10V。先后断开开关S2、S1，将电流表更换成电流传感器，通过传感器将电流信息传入计算机，画出电流随时间变化的I﹣t图像，如图b，t＝2s时I＝1.0mA，图中M、N区域面积比为8：7下列说法正确的是（　　） A．在开关S1接1的过程中，电流表的示数先增大，后稳定在某一非零数值 B．在开关S1接2的过程中，电流方向从a→b C．电路中电阻R约为5.2kΩ D．电路中电阻R约为4.7kΩ 【答案】BD 【详解】A、电容器充电过程中，电路刚接通后，电流表示数从0增大到某一最大值，后随着电容器的不断充电，电路中的充电电流在减小，当充电结束电路稳定后，电路相当于开路，电流为0，故A错误； B、充电结束后电容器上极板带正电，将S1接2，电容器放电，定值电阻R的电流方向a→b，故B正确； CD、t＝2s时I＝1.0mA，电容器两端的电压为U2＝IR 电容器开始放电前两端电压为U0＝10V I﹣t图像与横轴围成的面积表示放电量0﹣2s间的放电量为Q1＝ΔU•C＝（U0﹣I×R）C 2s后到放电结束间放电量为Q2＝ΔU′•C＝（IR﹣0）C 根据题意 代入数据可得R＝4.7kΩ，故C错误，D正确。 故选：BD。 （多选）7．（2026•辽宁模拟）我国科学家狄增峰团队成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的晶圆，这种材料具有卓越的绝缘性能，即使在厚度仅为1纳米时也能有效阻止电流泄漏，为开发低功耗芯片提供了重要的技术支撑。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点恰好处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．该带电油滴带负电 B．B板下移，油滴将继续保持静止状态 C．减小极板间的正对面积，P点的电势升高 D．两板间插入人造蓝宝石的过程中，电路中有电流 【答案】ABD 【详解】A.油滴受重力和电场力的作用，处于平衡状态，重力方向竖直向下，电场力方向竖直向上，A板带正电荷，因此该带电油滴带负电，故A正确； B.B板下移，d增大，由可知，电容减小，由Q＝CU可知，Q减小，由于二极管具有单向导电性，电容器不会放电，则由可知，电场强度不变，电场力不变，油滴将继续保持静止状态，故B正确； C.减小极板间的正对面积，由可知，E增大，由U＝Ed可知，A板与P点之间的电势差增大，A板接地，电势始终为0，因此P点的电势降低，故C错误； D.两板间插入人造蓝宝石，εr增大，由可知，电容增大，此时电容器的电荷量增大，电源为电容器充电，电路中有电流，故D正确。 故选：ABD。 ►考点02带电粒子（体）在电场中的直线运动 1.带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理 基本粒子 如电子、质子、α粒子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量） 带电体 如带电液滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力 2.带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法 【例题精讲】 8．（2026春•南昌月考）如图所示，光滑水平面上方空间中存在垂直纸面向外的匀强磁场，足够长的绝缘木板静止于水平面上，带负电物块放置于木板右端。0时刻水平向右的恒力F作用在木板上使得木板和物块由静止开始一起运动，t时刻物块开始相对于木板滑动。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．0～t内物块与木板间的摩擦力逐渐增大 B．0～t内物块做加速度逐渐减小的加速直线运动 C．t时刻后物块先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 D．t时刻后木板先做加速度逐渐减小的加速直线运动，后做匀速直线运动 【答案】C 【详解】对系统进行受力分析，整体在恒力F作用下运动。 AB、在0到t时间内，物块与木板保持相对静止，系统具有共同的加速度，该加速度为定值。对于物块，静摩擦力提供其加速度，即f＝ma，因此摩擦力在此阶段保持不变，物块做匀加速直线运动，故AB错误； CD、物块带负电，向右运动时，根据左手定则可知其受到的洛伦兹力方向竖直向上。随着速度v增加，洛伦兹力FL＝qvB增大，木板对物块的支持力N＝mg﹣qvB逐渐减小，则最大静摩擦力fmax＝μN逐渐减小。当fmax减小到等于ma时，物块开始相对滑动。时刻t后，物块受到的滑动摩擦力f＝μ（mg﹣qvB）随速度增大而减小，物块的加速度逐渐减小，当时，支持力降为零，摩擦力消失，物块此后做匀速直线运动；对于木板，其受到的合力为F﹣f，由于滑动摩擦力f逐渐减小，其加速度逐渐增大，当f＝0后，木板在恒力作用下做匀加速直线运动，故C正确，D错误。 故选：C。 9．（2026春•昆明月考）如图a所示是用电泳技术分离蛋白质的装置，溶液中有上下正对放置的平行金属板电极，溶液中甲、乙两个蛋白质颗粒与上下极板距离相等。甲的质量是乙的两倍，带电量与pH值的关系如图b所示。未接极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮。现调节溶液pH＝3，接通电源，不计粘滞阻力和甲、乙之间的作用力。对于两种蛋白质颗粒运动到极板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先到达极板 B．甲、乙运动到极板时动能相同 C．甲、乙运动到极板时动量大小相同 D．增大pH值，甲受到的电场力变大 【答案】B 【详解】A、未接通极板电源时，甲、乙颗粒均悬浮，重力等于浮力。调节溶液pH＝3，从图b中可知甲带电量为﹣2q0，乙带电量为2q0，接通电源后，由牛顿第二定律可得Eq＝ma，因甲的质量是乙的两倍，则甲的加速度为乙的一半，二者到相应极板距离相同，则乙比甲先到达极板，故A错误； BC、甲、乙运动过程中电场力都做相同的正功，由动能定理可知，甲、乙颗粒运动到极板时动能相同，根据可知动量大小不相同，故B正确，C错误； D、由图可知，增大pH值，甲的带电量先减小后增大，由F＝qE分析知甲受到的电场力也是先减小后增大，故D错误。 故选：B。 10．（2026•浙江开学）如图所示，真空中固定一个圆心为O、半径为R、带电量为Q的均匀带正电圆环。一根与水平面成30°角的固定绝缘长细杆，过圆心O且垂直于圆环平面穿过该圆环。一可视为质点的带负电小球，从杆上的a点以某一初速度沿杆向上运动，恰好能运动到杆上d点，已知小球电荷量为q（q≪Q），ab＝bO＝Oc＝cd＝R，静电力常量为k，重力加速度大小为g，绝缘细杆与小球间的动摩擦因数，则小球从a运动到d的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．圆环在b点产生的电场强度的大小 B．小球与圆环间的电势能先增大后减小 C．小球初速度大小等于 D．小球从a到O和从O到d的运动时间相等 【答案】C 【详解】A、根据均匀带电圆环轴线上的电场强度公式，在b点时x＝R，代入解得，故A错误； B、圆环带正电，小球带负电，小球受到的电场力方向始终指向圆心O。从a到O的过程中，电场力做正功，电势能减小；从O到d的过程中，电场力做负功，电势能增大，即电势能先减小后增大，故B错误； C、小球从a运动到d的过程中，根据对称性可知a、d两点电势相等，电场力做功为零。重力做功WG＝﹣mg•4Rsin30°，解得：WG＝﹣2mgR。支持力N＝mgcos30°，摩擦力f＝μN，代入与，解得：。摩擦力做功Wf＝﹣f•4R，解得：。根据动能定理有，即，解得：，故C正确； D、小球从a到O的过程中，电场力沿杆向上，与运动方向相同，阻碍小球减速的合力较小；从O到d的过程中，电场力沿杆向下，与运动方向相反，阻碍小球减速的合力较大。由于两段位移大小相等，且第一段过程的平均速度大于第二段过程的平均速度，所以小球从a到O的运动时间小于从O到d的运动时间，故D错误。 故选：C。 11．（2026•青羊区校级开学）如图，足够大的空间内存在与水平方向夹角θ＝37°的匀强电场，长度为L、不可伸长的轻绳一端系于O点，另一端系一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），O点距水平地面的高度为2L，其正下方P处固定一刀片，O、P间距离小于L。当小球处于静止状态时，轻绳与竖直方向的夹角为θ。现将小球拉至O点右侧等高位置（轻绳刚好拉直）静止释放，运动至O点正下方时轻绳被刀片割断，最终小球落到水平地面上。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．小球运动至O点正下方时的速度大小为 C．轻绳与刀片接触前瞬间的拉力大小为0.96mg D．小球落地点与O点的水平距离为L 【答案】C 【详解】A、小球静止时对其受力分析，构建矢量三角形如图所示： 有Eq＝mgsinθ，代入数据可得E，故A错误； B、小球由释放至O点正下方，由动能定理可知，代入数据可得v＝0.4，故B错误； C、轻绳与刀片接触前瞬间，对小球受力分析如图所示： 由牛顿第二定律可知T'+Eqsinθ﹣mg，代入数据可得T'＝0.96mg，故C正确； D、轻绳切断后，对小球受力分析如图所示： 沿水平方向做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知Eqcosθ＝ma1，由匀变速直线运动规律可知x＝vt， 沿竖直方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可知mg﹣Eqsinθ＝ma2，由匀变速直线运动规律可知L，代入数据可得x，故D错误。 故选：C。 12．（2026•九龙坡区校级模拟）如图所示，光滑绝缘固定管道足够长，管道与水平面夹角为30°，管道内存在方向与管道平行的匀强电场。质量为m，电荷量为q（q＞0）的带电小球（带电小球的直径小于管道的内径，且可视为质点），从固定管道底端P点由静止释放，经时间t，小球沿管道上升到Q点，此时撤去电场，又经过时间t小球恰好回到初始位置P点，重力加速度为g，忽略电场变化带来的电磁效应。则（　　） A．撤去电场前小球从P到Q电势能增大 B．带电小球上滑过程中撤去电场前后的加速度大小之比为1：2 C．撤去电场后小球从Q点沿管道上升到最高点的时间为 D．撤去电场前P、Q两点间的电势差为 【答案】D 【详解】A、由题意可知，撤去电场前，小球从P到Q的过程中，电场力对小球做正功，所以小球的电势能减小，故A错误； B、设撤去电场时小球的位移大小为x，速度大小为v0，撤去电场前小球的加速度大小为a1，撤去电场后小球的加速度大小为a2，由运动学公式可得 ，，又v0＝a1t 联立解得，故B错误； C、撤去电场后小球上升到最高点的时间为，解得，故C错误； D、撤去电场前的过程中，根据动能定理可得 由于，所以可得，， 联立解得，故D正确。 故选：D。 （多选）13．（2026•晋中模拟）如图所示，矩形区域ABCD内存在与矩形所在平面平行的匀强电场（未画出），AB竖直，AD水平，AD＝4L，AB＝5L。一质量为m的带电小球从A点沿AD方向以初速度v0射入矩形区域后以原速率离开矩形区域，整个过程中小球克服电场力做功3mgL，重力加速度为g。对于小球在矩形内运动的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球的重力势能减少了3mgL B．出射点在B点正上方2L处 C．小球的最小速度为 D．小球所受电场力的最小值为 【答案】AD 【详解】A、根据题意，带电小球以原速率离开矩形区域，表明其初、末动能相等，合力做功为零。电场力做功为﹣3mgL，因此重力做功应为3mgL，重力势能减少了3mgL，故A正确； B、重力做功3mgL对应竖直方向下降高度为3L，则小球可能从B点正上方2L处或C点正上方2L处离开。若从B点正上方2L处离开，位移沿竖直AB方向，结合合力做功为零，可推得合力方向水平向左，而初速度方向水平向右，这与运动假设矛盾，故只能从C点正上方2L处离开，故B错误； C、设小球从C点正上方2L处的E点离开，根据合力做功为零，可知合力方向与AE连线垂直。将初速度v0分解为沿合力方向和垂直合力方向，当沿合力方向的速度减为零时，合速度最小，解得最小速度为vmin＝v0cosθ，代入数据得，故C错误； D、当电场力方向与合力方向垂直时，电场力取最小值，解得最小电场力为Fmin＝mgsinθ，代入数据得，故D正确。 故选：AD。 （多选）14．（2026•广东模拟）如图所示，空间内存在竖直向下的匀强电场，弹簧上端固定，下端悬挂一个带电的小球，小球静止时位于O点，此时弹簧处于原长。向下把小球拉到M点由静止释放，小球最高上升到N点（图中没有标出）。小球运动过程中电荷量不变，小球的质量为m，OM的长度为d，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为g。下列说法正确的有（　　） A．小球带正电 B．小球从M点到N点的过程，电场力对小球做正功 C．小球从M点到N点的过程，小球的机械能守恒 D．小球从M点到N点的过程，小球的电势能减少了2mgd 【答案】BD 【详解】A、小球静止在O点时，弹簧处于原长，说明此时小球的重力与电场力平衡，即有mg＝qE，所以小球所受的电场力方向竖直向上，与电场方向相反，故小球带负电，故A错误； B、小球从M点到N点的过程，电场力始终竖直向上，与位移方向相同，所以电场力对小球做正功，故B正确； C、小球从M点到N点，重力势能增大，初末动能均为零，因此小球的机械能增大，故C错误； D、小球的运动为简谐运动，由于小球的重力与电场力平衡，所以小球所受的合力为弹簧的弹力，平衡位置为O点，根据简谐运动的对称性可知，O点为M、N的中点，则有ON＝OM＝d 所以小球从M到N的竖直位移为x＝2d，则小球从M点到N点的过程，电场力做的功为W电＝Eqx＝2mgd，电场力做正功，电势能减少，且电势能的减少量等于电场力做功的值，所以小球从M点到N点的过程，小球的电势能减少了2mgd，故D正确。 故选：BD。 ►考点03带电粒子在电场中的曲线运动 1．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv y＝at2＝··2 tanθ＝ 得：y＝，tanθ＝。 (2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为。 2．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝U，指初、末位置间的电势差 【例题精讲】 15．（2025春•镇海区校级期中）如图所示，在竖直平面xOy内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m，带电量为q的小球从y轴上P点以水平速度v进入第一象限，速度方向沿x轴正方向，经过x轴上Q点（图中未标出）时的速度大小也为v，方向与x轴正半轴夹角为60°。重力加速度大小为g，不计空气阻力，则小球从P点运动到Q点的过程中（　　） A．水平位移与竖直位移的大小之比为2： B．机械能先增大后减小 C．电场强度的最小值为 D．速度的最小值为 【答案】C 【详解】A.小球在重力与匀强电场的复合场中做匀变速曲线运动，初速度大小为v，方向沿x轴正方向，末速度大小也为v，方向与x轴正半轴夹角为60°。可得水平方向初速度vx0＝v，末速度，水平位移；竖直方向初速度vy0＝0，末速度，竖直位移。所以水平位移与竖直位移的大小之比，故A错误。 B.因为小球所受重力与电场力的合力F方向必定垂直于PQ连线指向左下方，且重力方向竖直向下，则电场力方向斜向左且斜向左下时与竖直方向的夹角大于30°，即电场力与速度间的夹角一定大于90°，所以电场力一直做负功。小球的机械能变化由除重力外的电场力做功决定，电场力做正功时机械能增大，做负功时机械能减小，可知小球的机械能一直增大，故B错误。 C.根据矢量运算法则，合力、重力、电场力满足，当电场力方向与合力方向垂直时电场力最小，结合合力与x轴负方向成60°角、重力竖直向下的几何关系，最小电场力，对应电场强度最小值，故C正确。 D.将运动分解为沿PQ方向的匀速直线运动和垂直PQ方向的匀变速直线运动，当垂直PQ方向的分速度减为0时速度最小，最小值等于沿PQ方向的分速度，由PQ与x轴正方向夹角为30°得最小速度，故D错误。 故选：C。 16．（2025秋•重庆月考）有相同初动量三个带同种电荷的粒子a、b、c从两板的中点以平行金属板的方向射入同一偏转电场，如图所示。经过一段时间，三个粒子均离开平行金属板间且在板间运动过程中未与板接触。已知粒子a、b、c的质量之比为1：3：4，所带的电荷量之比为1：1：2，粒子a、b、c的重力以及所受的阻力均可忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动量的变化量大小之比为1：3：8 B．粒子a、b、c离开平行金属板间时速度方向与水平方向的夹角正切值之比为1：3：16 C．粒子a、b、c在平行金属板间运动的整个过程，动能的变化量之比为1：3：4 D．粒子a、b、c在平行金属板间运动的时间之比为4：3：1 【答案】A 【详解】D、三个粒子初动量相同，粒子a、b、c的质量之比为1：3：4，根据p0＝mv0可知，三个粒子的初速度之比为va：vb：vc＝12：4：3 三个粒子在平行金属板间均做类平抛运动，设金属板长度为L，在沿金属板方向三个粒子做匀速直线运动，根据L＝v0t可知，三个粒子在平行金属板间运动的时间之比为ta：tb：tc＝1：3：4，故D错误； A、粒子在平行金属板间运动过程，根据动量定理I合＝Δp，其中I合＝F合t，F合＝qE，可得Δp＝qEt 因为三个粒子所带的电荷量之比为qa：qb：qc＝1：1：2，运动的时间之比为ta：tb：tc＝1：3：4，可知，三个粒子在平行金属板间运动过程中，动量的变化量之比为Δpa：Δpb：Δpc＝1：3：8，故A正确； B、在平行金属板间类平抛运动，在垂直平行金属板根据牛顿第二定律可得qE＝ma 设离开平行金属板间时速度方向与水平方向的夹角为θ，则粒子离开平行金属板间时速度方向与水平方向的夹角正切值为 其中vy＝at 联立解得三个粒子离开平行金属板间时速度方向与水平方向的夹角正切值之比为（tanθ）a：（tanθ）b：（tanθ）c＝1：3：8，故B错误； C、三个粒子在平行金属板间运动过程中，根据动能定理W合＝ΔEk 其中W合＝F合y＝qEy 在垂直平行金属板方向 联立解得 解得三个粒子在平行金属板间运动的整个过程，动能的变化量之比为ΔEka：ΔEkb：ΔEkc＝1：3：16，故C错误。 故选：A。 17．（2025秋•天津校级月考）如图所示为带异种电荷的平行金属板（忽略电场的边界效应），在电场内紧贴M板左端内侧，向垂直于M板和平行于M板两个方向分别发射速度大小均为v0的相同粒子a、b，分别打中N板左端和右端。若不计重力和粒子之间的相互作用，a粒子到达N板的速度大小为，则（　　） A．a、b粒子到达N板的时间相等 B．a粒子到达N板的时间大于b粒子到达N板的时间 C．a粒子到达N板的速率小于b粒子到达N板的速率 D．a、b粒子到达N板的速度大小相等 【答案】D 【详解】设a、b粒子的电量均为q，质量均为m，M、N两板间电压为U，板间距离为d，粒子进入偏转电场的速度大小为v0。经过偏转电场的加速度为a。 AB．根据牛顿第二定律可知两粒子在电场中的加速度均为 a粒子在电场中做匀加速直线运动，则有 b粒子在电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可得 两式相比较可得ta＜tb，即a粒子到达N板的时间小于b粒子到达N板的时间，故AB错误； CD．两粒子运动过程中只有电场力做功，根据动能定理均可得 可知a、b粒子到达N板的速度大小相等，故C错误，D正确。 故选：D。 18．（2025秋•西安月考）如图所示，某匀强电场的电场线（图中未画出）与半径为R的圆所在的竖直平面平行，A、B、C为圆周上的三个点，E为圆弧BC的中点，AB∥OE，O为圆心，D为AB的中点，∠ACB＝θ。粒子源可从C点沿不同方向发射速率均为v0的带正电的粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为q（不计粒子受到的重力和粒子之间的相互作用力）。若沿CA方向入射的粒子恰以v0cosθ的速度垂直于AB方向经过D点，则下列说法正确的是（　　） A．A、B、C、D、E、O六点中，B点的电势最高 B．沿垂直于BC方向入射的粒子可能经过O点 C．在圆周上各点中，从E点离开的粒子速率最小 D．若θ＝60°，则匀强电场的电场强度大小为 【答案】D 【详解】A、因为沿CA方向入射的粒子恰好垂直于AB方向以v0cosθ的速度经过D点，则粒子沿平行于BC方向的速度不变，沿垂直于BC方向的速度减小到零，所以粒子所受电场力方向平行于AB向下，粒子带正电，则其电场强度方向平行于AB向下，由OD和BC均垂直于电场线，可知BC和OD均为等势面，则A、B、C、D、E、O六点中，A点的电势最高，故A错误； B、电场方向垂直BC向下，则沿垂直BC方向入射的粒子做直线运动，不可能经过O点，故B错误； C、在圆周上各点中，从E点离开的粒子电场力做正功，且做的功最大，根据动能定理可知，从E点离开的粒子的速率最大，故C错误； D、如图所示： 若∠ACB＝60°，由几何关系可知BC＝R，， 由类平抛运动的规律可知 R＝v0tcos60°， 解得匀强电场的电场强度大小为，故D正确。 故选：D。 19．（2025•江西模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中有a、b、c三点，a点坐标为（0，2cm），b点坐标为（3cm，2cm），c点坐标为（3cm，0），在矩形Oabc区域内存在平行于xOy平面的匀强电场，一电子以大小为v0、与x轴负方向成45°角的速度从c点进入电场后，在仅受电场力作用下恰好经过b点，已知a、b、c三点的电势分别为φa＝1V，φb＝10V，φc＝4V，下列说法正确的是（　　） A．该匀强电场的电场强度大小为 B．该匀强电场的电场强度大小为 C．电子经过b点时的速度大小为 D．电子经过b点时的速度大小为2v0 【答案】C 【详解】AB、设该匀强电场在ba方向的分电场强度大小为E1，在bc方向的分电场强度大小为E2，则有 Uba＝φb﹣φa＝E1×ba Ubc＝φb﹣φc＝E2×bc 代入数据解得E1＝3V/cm，E2＝3V/cm 该匀强电场的电场强度大小为EV/cm＝3V/cm，故AB错误； CD、电子经过b点时垂直于电场方向的分速度大小为v0，平行于电场方向的分速度大小为v1，则垂直于电场方向有 v0t＝bccos45° 平行于电场方向有 联立解得v1＝2v0 故电子在b点的速度大小，故C正确，D错误。 故选：C。 （多选）20．（2026•河南模拟）如图所示，电容器水平放置，板间距离为L，板长为3L。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球以v0的速度水平抛出，随后紧靠电容器上极板边缘进入电容器，小球进入电容器时速度方向与极板夹角为45°，小球能从电容器中飞出，且运动过程中恰好与极板不碰撞，重力加速度为g，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电容器上极板带负电 B．小球抛出点到上极板左端的水平距离为 C．小球出电容器时速度一定与极板平行 D．两极板间的电压可能为或 【答案】AD 【详解】小球进入电容器前做平抛运动，水平速度为v0，进入时速度方向与极板夹角为45°，则进入时的竖直速度vy＝v0tan45°＝v0。根据vy＝gt1可得平抛时间，抛出点到极板左端的水平距离，竖直高度。 A、小球进入电容器时有向下的初速度v0，若要小球不与极板碰撞并飞出，电场力必须向上且大于重力，即qE＞mg。由于q＞0，电场强度E方向向上，故上极板带负电，故A正确； B、由前述分析可知，抛出点到上极板左端的水平距离为，故B错误； C、若出电容器时速度与极板平行，则竖直速度需减为0，此时经历时间，加速度，此时竖直位移。由于1.5L＞L，说明小球在速度减为0前已撞击下极板，故飞出时速度不可能与极板平行，故C错误； D、“恰好不碰撞”有两种临界情况：一是轨迹最低点恰好与下极板相切，此时，解得：。由解得：。二是小球刚好从上极板右边缘飞出，此时x＝3L时y＝0，根据解得：。由解得：，故D正确。 故选：AD。 （多选）21．（2026•渝中区校级一模）如图所示，竖直平面内平行正对的两水平金属板A1B1、A2B2的间距和板长均为d，上极板接地，下极板不带电。一发射源从A1点沿A1B2方向以相同速度持续喷射出质量为m、电荷量为+q（q很小）的油滴（视为质点），第1滴油滴落在下极板中点C处，油滴落在极板上立即被吸收且电荷均匀分布在极板上。已知重力加速度为g，不计空气阻力，忽略油滴间的相互作用，则（　　） A．油滴喷射的初速度大小为 B．最终稳定时，油滴沿A1B2方向做匀速直线运动 C．油滴在平行板间运动的最短、最长时间之比为1：2 D．油滴在平行板间运动时电势能最多减少 【答案】CD 【详解】A.第1滴油滴落在下极板中点C处，水平方向上 竖直方向上 可知油滴喷射的初速度，故A错误； B.下极板的电荷量累积至油滴刚好离开B1点为止，故B错误； C.水平方向的分运动决定了油滴在平行板间运动的时间，因此最短、最长时间之比为1：2，故C正确； D.电场力做功最多时油滴向上运动至最高点，由运动的对称性和分析知，水平方向上 竖直方向上，从A1点到最高点的过程中有 代入数据得，即电势能最多减少，故D正确。 故选：CD。 ►考点04带电粒子在交变电场中的运动 1.常见的交变电场类型:电压(或场强)波形:正弦波、矩形波、锯齿波等。 2.交变电场中常见的粒子运动及分析思路 (1)粒子做单向直线运动:一般对整段或分段研究用牛顿运动定律结合运动学公式求解； (2)粒子做往返运动:一般分段研究,应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解； (3)粒子做偏转运动:一般根据交变电场特点分段研究,应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解。 3.分析思路 (1)动力学观点:根据牛顿第二定律及运动学规律分析； (2)能量观点:应用动能定理、功能关系等分析； (3)动量观点:应用动量定理分析。 4.解题技巧 (1)按周期性分段研究； (2)将转化成，再将转化成。 5.注意事项 (1)带电粒子在交变电场中的运动,通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形； 当粒子垂直于交变电场方向射入时,沿初速度方向的分运动为匀速直线运动,沿电场方向的分运动具有周期性。 (2)研究带电粒子在交变电场中的运动,关键是根据电场变化的特点,利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况；根据电场的变化情况,分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。 (3)注重全面分析(分析受力特点和运动规律):抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (4)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场,若粒子穿过板间的时间极短,带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。 【例题精讲】 22．（2025秋•无锡月考）如图甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔，右极板电势随时间变化的规律如图乙所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是（　　） A．从t＝0时刻释放电子，电子将不能打到右极板上 B．从t＝0时刻释放电子，电子可能在两板间振动 C．从时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上 D．从时刻释放电子，电子必将打到左极板上 【答案】C 【详解】AB.从t＝0时刻释放电子，电子在时间内向右做匀加速直线运动，在时间内向右做匀减速直线运动，且两段时间内的加速度大小相同，根据匀变速直线运动的对称性可知电子将始终向右运动，直到打到右极板上，故AB错误。 C.从时刻释放电子，在内向右做匀加速运动，在向右做匀减速运动，有可能打到右极板上；若没有打到右极板上，则时速度为零，T内向左做匀加速运动，向左做匀减速运动，时速度为零，接着周而复始，电子可能在两板间振动，故C正确。 D.从时刻释放电子，内电子在电场力的作用下向右做匀加速运动，内向右做匀减速运动，可能打到右极板上，故D错误。 故选：C。 23．（2025•保定二模）如图甲所示，两正对平行板AC、DB水平放置，在其右侧有汇聚状的电场，电场线的延长线的交点在O点（BC的中点），在两平行板间加上周期为T的交变电压，两板间电势差的绝对值为U0，t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从靠近上极板左端（视为A点）以水平向右的速度v0射入匀强电场，T时刻从下极板B点水平向右进入汇聚状电场做匀速圆周运动，经过半个圆周到达C点，到达C点时的速度方向水平向左，下列说法正确的是（　　） A．平行板的长度为2v0T B．0.5T时刻，粒子的速度大小为 C．两平行板间的距离为T D．粒子在汇聚状电场中，受到的电场力大小为 【答案】D 【详解】A、由于粒子在水平方向做匀速直线运动，平行板的长度应为L＝v0T，故A错误。 BC、在0～0.5T时间内：粒子在水平方向做匀速直线运动，速度vx＝v0。 竖直方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：，竖直方向速度：，竖直方向位移：。 在0.5T～T时间内，粒子在水平方向仍做匀速运动，竖直方向做加速度大小不变的减速运动，根据运动对称性可知，粒子到达B点时竖直方向速度为零，位移大小仍为，故有d＝2y， 解得：。0.5T时刻竖直方向速度：，此时粒子速度大小：，故BC错误。 D、粒子在电场中做匀速圆周运动的半径：。电场力提供向心力，根据牛顿第二定律：，解得电场力大小：，故D正确。 故选：D。 24．（2024秋•沈阳月考）如图所示，一对平行金属板长为L，两板间距为d，两板间所加交变电压为UAB，交变电压的周期。质量为m、电荷量为e的电子从平行板左侧以速度v0沿两板的中线持续不断地进入平行板之间，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，下列说法正确的是（　　） A．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为 B．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为 C．所有电子在两板间运动的时间都为T D．所有电子离开电场时的动能都相同 【答案】D 【详解】D、电子进入电场后做类平抛运动，不同时刻进入电场竖直方向的分速度如图所示： 由图看出，所有电子离开电场时竖直方向分速度为vy＝0，速度都等于v0，则动能都是相同，故D正确； C、电子在水平方向做匀速直线运动，时间为：，故C错误； B、时刻进入电场的电子，在时刻侧位移最大，最大侧位移为： t＝0时刻进入电场的电子的位移最大，则有： 联立解得：，故B错误； A、时刻进入电场的电子垂直极板方向的速度—时间图像如下图所示： 由图像可知，在时刻侧位移最大，最大侧位移为： 在t＝0时刻进入电场的电子的位移最大，为： 联立解得：，故A错误。 故选：D。 25．（2024秋•太原月考）如图所示为匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是（　　） A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2s末带电粒子回到原出发点 C．4s末带电粒子的速度为零 D．0～3s内，电场力做的总功为零 【答案】D 【解答】解；A、0～1s内带电粒子做匀加速直线运动，1～2s电场强度大小为0～1s内电场强度大小的2倍，且电场强度方向与0～1s内电场强度方向相反，所以1～2s内先做匀减速直线运动再做反向的匀加速直线运动，2s﹣3s反方向做匀减速运动到零，之后再重复以上过程，所以带电粒子做往复运动，故A错误； B、E﹣t图像相当于a﹣t图像，作出带电粒子的0～5s内的v﹣t图像如下图所示： 根据速度—时间图像与坐标轴围成的面积表示位移可知，在t＝2s时，带电粒子没有回到出发点，故B错误； C、根据速度图像可知，4s末的速度最大，故C错误； D、根据图像可知，带电粒子在0～3s内动能变化量为零，根据动能定理可知，0～3s内电场力做的总功为零，故D正确。 故选：D。 26．（2024•天心区校级模拟）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN以速度v平行于极板进入（记为t＝0时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向的速度射出。则下列说法中正确的是（　　） A．粒子射出时间可能为t＝4s B．粒子射出的速度大小为2v C．极板长度满足L＝3vn（n＝1，2，3⋯） D．极板间最小距离为 【答案】D 【详解】AB、粒子进入电容器后，在平行于极板方向做匀速直线运动，垂直极板方向运动的a﹣t图像如图所示。 依题意，粒子平行极板射出，可知粒子垂直极板的分速度为0，速度变化量为0，根据a﹣t图像与时间轴所围的面积表示速度变化量，图线在时间轴上方速度变化量与在时间轴下方速度变化量方向相反，可知粒子射出时刻可能为1.5s、3s、4.5s……，满足t＝1.5n，（n＝1，2，3……），粒子射出的速度大小必定为v，故AB错误； C、极板长度L＝v•1.5n，（n＝1，2，3……），故C错误； D、因为粒子不跟极板碰撞，则应满足 v垂直＝a×1 且由牛顿第二定律有 联立解得，故D正确。 故选：D。 （多选）27．（2025•衡水校级一模）如图（a），长为4d、间距为d的平行金属板水平放置，两金属板左边中点O有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q（q＞0）、质量为m的粒子，金属板右侧距离为d处竖直放置一足够大的荧光屏。现在两板间加图（b）所示电压，已知t＝0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出。不计粒子重力，则（　　） A．无论哪个时刻入射的粒子在金属板间运动的时间相等 B．无论哪个时刻入射的粒子恰能从金属板右侧中点O出射 C．无论哪个时刻入射的粒子从金属板间出射时动能Ek D．粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为 【答案】AC 【详解】AB.已知t＝0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出，则有 4d＝v0T 作出不同时刻进入金属板的粒子在电场方向速度与时间的图像如下图 由图像可知，在时刻（n＝0，1，2，3，）进入金属板的粒子会在电场方向上有最大位移，结合题目条件可以看出最大位移为，其他时刻进入的粒子在电场方向位移都小于，所以不同时刻进入金属板的粒子都能够出金属板，由水平方向匀速运动可知，粒子射出金属板时间都相同，时间都为 故A正确，B错误； C.由于粒子在电场中运动的时间都为，恰为电压随时间变化的周期，故粒子在电场中所受相反电场力作用时间相同，根据动量定理有 mΔv＝∑FΔt＝0 故粒子无论何时进入电场，出射时只剩水平速度v0，竖直方向的速度为0，故粒子从金属板间出射时动能都为 故C正确； D.由AC选项分析可知不同时刻出射的粒子出射的位置在两金属板右侧上下边缘之间，竖直方向最大位移大小都为，且出射时速度均水平向右，故粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为d，故D错误。 故选：AC。 （多选）28．（2024秋•朝阳区校级期末）如图甲所示，长为6d、间距为2d的平行金属板水平放置，电场中轴线OO'上的左端O点有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q（q＜0）、质量为m的粒子。在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖直向上为正方向，不计粒子重力。以下判断正确的是（　　） A．t＝0时刻进入的粒子，在电场中运动的时间为 B．t时刻进入的粒子，在电场中运动的时间为 C．t＝0时刻进入的粒子，从O′点射出 D．时刻进入的粒子，从O′点射出 【答案】AB 【详解】AC、在水平方向上粒子做匀速直线运动，速度为v0，设t＝0出发的粒子，下面分两个时间段讨论其运动情况 竖直方向：根据电场力公式F＝qE，牛顿第二定律F＝ma，可得加速度， 由图乙可知：，则：； 竖直方向：在 时间内，，根据位移公式： 代入数据可得：，恰好等于板间的一半。 粒子在： 根据，，， 则位移为：，大于板间距的一半。 综上分析，粒子会在t时刻恰好打到板上，在电场中运动时间为，故A正确、C错误； BD、时刻进入的粒子：把粒子的运动时间分成的时间段，水平方向运动总时间，即在电场中运动的时间为； 竖直方向：在时间内粒子做对称的匀加速与匀减速运动，竖直方向的总位移为零； 在时间内，粒子先做初速度为零的匀加速运动，再做匀减速运动，竖直方向的位移为： ，其中：，解得：y1d。粒子不会从O′点射出，故B正确，D错误。 故选：AB。 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题4 电容器带电粒子在电场中的运动 考点01电容器 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】BD 7.【答案】ABD 考点02带电粒子（体)在电场中的直线运动 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】C 12.【答案】D 13.【答案】AD 14.【答案】BD 考点03带电粒子在电场中的曲线运动 15.【答案】C 16.【答案】A 17.【答案】D 18.【答案】D 19.【答案】C 20.【答案】AD 21.【答案】CD 第1页（共2页） ◆考点04带电粒子在交变电场中的运动 22.【答案】C 23.【答案】D 24.【答案】D 25.【答案】D 26.【答案】D 27.【答案】AC 28.【答案】AB 第2页（共2页）