学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷（广东专用，范围：人教A版选二数列+导数+选三计数原理、随机变量及其分布列）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册+第三册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 3．在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 4．已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（   ） A．-90 B．97 C．160 D．-145 5．函数的图象大致是（   ） A．   B．   C． D．   6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 8．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 10．若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 11．已知函数，则（ ） A． B．是的极值点 C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 13．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 14．若函数的最小值为，则___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 16．（15分）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 17．（15分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 18．（17分）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意丰项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第二册+第三册第六、七章。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.曲线f(x)=e在点(0,1)处的切线方程为() A.y=2x+1 B.y=x+1 C.y=ex+1 D.y=(e+1)x+1 2.已知{a}是等差数列，且4+4，=4a,a2=-4,则首项a,等于（) A.0 B.-2 C.-6 D.-8 3.在某市2019年1月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布W(98100).已知参加本次 考试的全市理科生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排 : 在全市第( )(参考数值：P(-<X≤L+o)=0.683;P-2o<X≤u+2o)=0.954, 拟 P(u-3o<X≤u+3o)=0.997) : A.1498名 B.1700名 C.4500名 D.8000名 4.己知(2+ax)(1+x)的展开式中x2的系数为35，则展开式中所有项的系数和为() A.-90 B.97 C.160 D.-145 : : 5.函数f(x)=（x2-2x)e*的图象大致是() : : 试题第1页（共4页） ©学科网·学易金卷做树装：限是鲁” 6.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、 节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给 另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有() A.120种 B.210种 C.1440种 D.2880种 7.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数44,4,4,4（例如01001），每个位置出现的数字 相互独立，其中a低=12345)出现0的概率为；，出现1的短率为号，记X=a+a+a,+a,+a,则当 程序运行一次时，下列说法正确的是() A.P(X=1) B.(X)=3 5 C.五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D.D(x)-号 8.已知函数f(x)=e*lna-(a>1),若f(x)≥0恒成立，则实数a的值为() A.e B.ve C.e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. .设48是一个随机验中的两个事件、且P(=7P列=宁P川丽=行则《) 6 A.P(4B)= B.P(a)-} c.P(I)-月 。.P- 2 0.若数列@的首项8了且a时 a’则() A.数列 为等比数列 8.a=2” 2n+1 C.数列{an}为递增数列 D.存在三个不相等正整数，n,1,使得an.+4.=4 11.己知函数f(x)=x3-6x2+12x-6-h4- ,则() A.f1)+f3)=4 B.x=2是f(x)的极值点 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是藉 C.当V6<x<3时，f(x2-6)<f(x)D.当f(a+f(b)>4时，a+b>4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{a}与私}的前a项和分别为S,,且三-2m+3, T1+2’则的值为 b,+b 13.己知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为5， 该骑手某次工作中共配送3单，若三次配 送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X,则X的数学期望()= 若已知该骑手 没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为 14.若函数f(x)=e-ln(x+m)的最小值为2+h2,则m= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要 制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快 板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,数列b}是公比为3的等比数列，且Sn=n,b=4 (1)求数列{an}、{b}的通项公式： (2)令cn=(an+1)bn,求数列{Cn}的前n项和T. 17.15分)已知函影/)-2+a(-), (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)当a=1时，求f(x)在[1，+o)上的最小值： 试题第3页（共4页） (3)若f(x)在(1，e)上存在零点，求a的取值范围. O : : 18.(17分)第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司 对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏， : 兵 规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有 放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功， % 闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去， 直至闯关成功 加 (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）. 游 (ⅰ)记该人闯关的轮数为X,求X的分布列和数学期望： 游 (ⅱ)在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率. : 2记同关者前acN)轮闪关成功的概率之和为A,证明：)卫，<写 .1 : S ..0 S 19.(17分)己知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx. (1)讨论f(x)的单调性： 世 (2)若f(x)有两个零点，f(x)为f(x)的导函数. (i)求实数a的取值范围； (i)记f(x)较小的一个零点为x。,证明：xf'(x)>-2, : 试题第4页（共4页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版（2019)选择性必修第二册+第三册第六、七章。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.曲线f(x)=e在点(0,1)处的切线方程为() A.y=2x+1 B.y=x+1 C.y=ex+1 D.y=(e+1)x+1 2.已知{an}是等差数列，且4+4=4a,a2=-4,则首项a等于() A.0 B.-2 C.-6 D.-8 3.在某市2019年1月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布(98,100) 已知参加本次考试的全市理科生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分， 那么他的数学成绩大约排在全市第()（参考数值：P(-σ<X≤业+σ）=0.683； P(-2o<X≤1+2σ)=0.954，P(-3o<X≤+3σ)=0.997) A.1498名 B.1700名 C.4500名 D.8000名 4.己知(2+)1+x)°的展开式中x2的系数为35，则展开式中所有项的系数和为() A.-90 B.97 C.160 D.-145 5.函数f(x)=(x2-2x)e*的图象大致是() 1/6 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、 善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同 学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同 字的分配方案有() A.120种 B.210种 C.1440种 D.2880种 7.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数4424,4,4，（例如01001)，每个 位置出现的数字相互独立，其中a(=L234)出现0的概率为兮，出现1的概率为号，记 X=4+4,+4,+4,+a,则当程序运行一次时，下列说法正确的是() A.P(X=)=243 2 B.4x)- C.五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D.D)-9 8.已知函数f(x)=elna-(a>1),若f(x)≥0恒成立，则实数a的值为() A.e B.ve C.e' D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P4)7P(到号P()石则《) A.P(4B)- B.P(aB)月 c.P(B)-月 D.P(国A)- 2a, 10.若数列{a}的首项4= 2 a+1,则() A.数列 1-1为等比数列 2” a. B.4= 2n+1 C.数列{a}为递增数列 D.存在三个不相等正整数m,n,l,使得 am +a =a 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 11.已知函数f)=x-6x2+12x-6-h4-x,则() A.f(1)+f(3)=4 B.x=2是f(x)的极值点 C.当√6<x<3时，f(x2-6)<f(x)D.当f(a四+f(b)>4时，a+b>4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,已知等差数列Q5地的前项和分别为9，，且子对，则华孕的值为 D:+D 4 13.己知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为了，该骑手某次工作中共配送3 单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为X,则X的数学期望F()= ,若己知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为 14.若函数f(x)=e-n(x+m)的最小值为2+ln2,则m= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个 小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育 才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,数列b}是公比为3的等比数列，且 S,=n,b=a (1)求数列{a}、b}的通项公式： (2)令cn=(a,+1)b,求数列{cn}的前n项和T 1.15分)已知数)-a(-) (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)当a=1时，求f(x)在[1，+∞)上的最小值； (3)若f(x)在(1，e)上存在零点，求a的取值范围. 4/6 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上 海)举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该 公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同 的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过 程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败， 然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功. (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）， ()记该人闯关的轮数为X,求X的分布列和数学期望： (i)在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率. ②记闯关者前（∈N)轮闯关成功的概率之和为2，证明：）卫<兮 1 5/6 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)己知函数f(x)=m2+(a-2)x-lnx. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，f"(x)为f(x)的导函数 (i)求实数a的取值范围； (i)记f(x)较小的一个零点为x。,证明：xf"(x)>-2 6/6 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A C B D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法；------------------------------------4分 （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法．------------------------8分 （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． ------------------------------------13分 16．（15分） 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.----------------7分 （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. ----------------15分 17．（15分） 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值.---------------4分 （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，.---------8分 （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是.----------------15分 18．（17分） 【详解】（1）（i）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望.----------------5分 （ii）设事件B表示该人闯关成功，F表示该人第一轮闯关失败，（，2，3）表示该人第i轮闯关成功， 则，，， ， ， 由条件概率的计算公式可得， 故在该人闯关成功的条件下，该人第1轮闯关失败的概率为.----------------10分 （2）法一：由题意知 ， 令， 则， 所以. 因为，所以，所以， 所以.----------------17分 法二：由题意知， 则 ， 所以. 因为，所以，所以， 所以.----------------17分 19．（17分） 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增.---------------5分 （2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是.----------------10分 （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以.----------------17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册+第三册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义可求切线方程. 【详解】因为，故， 故曲线在点处的切线方程为， 故选：B. 2．已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由，即， 解得. 3．在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】A 【分析】将正态总体向标准正态总体转化，求出概率 ，随后乘以总人数即可得到答案． 【详解】解：因为理科生的数学成绩服从正态分布，，， 所以 ， 所以， 故该学生的数学成绩大约排在全市第名． 故选． 4．已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（   ） A．-90 B．97 C．160 D．-145 【答案】C 【分析】先利用二项式展开式的通项，拆分出项的构成，列方程求出参数的值，再通过赋值法（令）计算展开式所有项的系数和. 【详解】的展开式通项为. 中项由两部分构成：与. 因此的系数为. 由题意，解得. 令，得展开式所有项的系数和为. 5．函数的图象大致是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】B 【分析】利用函数零点排除选项A，根据函数值的符号排除选项C，利用导数求解单调递增区间排除选项D，即可得解. 【详解】由可得，解得或，排除A； 由时，，排除C； 因为，令，可得，解得或 所以的单调区间为和，排除D． 故选：B 6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 8．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用和可判断A选项；利用全概率公式可得，，即可判断BCD选项 【详解】， 又， ，故A正确； ，所以B错误； 则，所以C正确； 又， 则，故D正确； 故选：ACD 10．（多选）若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 【答案】AC 【分析】通过取倒数变形判断数列类型，推导通项公式，分析数列单调性，假设存在性验证等式是否成立，逐一验证各选项. 【详解】选项A，由，取倒数得，变形得. 首项，故是以为首项、为公比的等比数列，A正确. 选项B，由的通项得，故，即. 选项B中表达式为，与推导结果不符，B错误. 选项C，，因随增大而递增，随增大而递减， 故随增大而递增，数列为递增数列，C正确. 选项D，假设存在不相等正整数，使得， 由C选项分析可知，数列为递增数列， 则对于任意不相等的正整数，有， 而，则， 所以等式无法成立，故不存在这样的，D错误. 故答案为：AC 11．已知函数，则（ ） A． B．是的极值点 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】直接求的值可判断选项A，利用导数分析函数的单调性，可判断选项B,C；分析函数的对称性并结合单调性可判断选项D. 【详解】选项A：由题可知：，所以选项A正确； 选项B：由得函数的定义域为， 在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误； 选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确； 选项D：因为函数， 所以， 所以，所以. 当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 13．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 / 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 14．若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即. 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 16．（15分）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 17．（17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 18．（17分）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）分别计算出取1，2，3对应的概率，列出分布列，求出期望； （ii）用条件概率公式进行求解； （2）法一：根据裂项相消发化简得，结合证不等式； 法二：计算，用平方差公式展开约分，得，结合证不等式； 【详解】（1）（i）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望. （ii）设事件B表示该人闯关成功，F表示该人第一轮闯关失败，（，2，3）表示该人第i轮闯关成功， 则，，， ， ， 由条件概率的计算公式可得， 故在该人闯关成功的条件下，该人第1轮闯关失败的概率为. （2）法一：由题意知 ， 令， 则， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 法二：由题意知， 则 ， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 19．（19分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数分和求解； （2）（i）由（1）知，且最小值为小于0即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册+第三册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 3．在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；， A．名 B．名 C．名 D．名 4．已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（   ） A．-90 B．97 C．160 D．-145 5．函数的图象大致是（   ） A．   B．   C． D．   6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 8．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 10．若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在三个不相等正整数，使得 11．已知函数，则（ ） A． B．是的极值点 C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 13．已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 14．若函数的最小值为，则___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 16．（15分）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 17．（15分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 18．（17分）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． (1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． (2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $