精品解析：江苏连云港市新海初级中学2025-2026学年下学期九年级阶段测试数学试题

2025-2026学年第二学期九年级阶段测试 数学试题 （分值：160分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2. 下列各数：，其中无理数的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的数逐一判断，统计无理数的个数即可． 【详解】解：开方开不尽，是无理数； 中是无理数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共有个． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ，选项B错误； ∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变， ，选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，选项D错误． 故选：A． 4. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的含义，根据两直线平行，内错角相等得到，进而求解即可. 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∴． 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 6. 如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数． 【详解】解：∵，，于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A 7. 如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和图2可推出，，得到，，当在上时，即，此时，过点作于点，再由平行四边形的性质和，可得到，从而推出，得到，可知当时，取最大值；当点Q在上时，即时，根据平行四边形的性质可推出，根据一次函数性质，可知当时，取最大值，综上当时，得到，即的面积的最大值． 【详解】解：根据题图2可知，当时，点停止运动 ， 根据题意得，， 当在上时，即，此时 过点作于点，如图1， 四边形是平行四边形 又 在中， 当时，取最大值，最大值为 当点Q在上时，即时，如图2， 四边形是平行四边形 越小，越大 ， 取最大值，最大值为 综上所述，， 取最大值，最大值为 的值为，即的面积的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、二次函数的最值、一次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8. 已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 若整数满足，则的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用夹逼法可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， 即， ∵整数满足， ∴． 12. 如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：对于，当时，， 由函数图象可知，不等式的解集为． 13. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 14. 圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 _____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易证，利用相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数的几何意义解答即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ，  ，  ， ，  ，  ， ， 在中，， ，  ∵点在反比例函数的图象上，  ， ∵点在反比例函数的图象上，  ，  ， 解得， ∵反比例函数的图象在第二象限， ，  ． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图象上．则在点平移的过程中最大值______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，分别交、轴于点，将点坐标代入一次函数解析式求出，进而求出反比例函数解析式及点坐标，根据平移性质表示出点坐标，得到点坐标，进而表示出的长，再构建关于的二次函数，利用二次函数性质解答即可求解． 【详解】解：∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图，过点作轴的垂线，分别交、轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴，反比例函数解析式为， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴当时，取最大值，最大值为． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 求一元一次不等式的最小正整数解． 【答案】 1 【解析】 【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴最小正整数解为：1． 19. 化简求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 20. 数学活动课上，小明所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成五张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，C，E属于物理变化，B，D属于化学变化．小明将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上． （1）若组员小红从这随机抽取一张卡片，则她抽到“冰雪融化”的概率是 ； （2）若小明从中五张卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由简单概率公式直接代值计算即可； （2）由列表法得到所有等可能的结果、满足题意的结果，代入简单概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：她抽到“冰雪融化”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D E A — AB AC AD AE B BA — BC BD BE C CA CB — CD CE D DA DB DC — DE E EA EB EC ED — 由表可知，共有种等可能的结果，其中小明抽到的卡片内容都是化学变化的有种， 小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 21. 为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】甲班：； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，____，____； （2）小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”） （3）你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由． 【答案】（1） （2）甲 （3）乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据中位数、众数和方差的定义解答即可； （）根据中位数的意义即可判断求解； （）根据中位数和方差的意义即可判断求解； 本题考查了条形统计图，中位数、众数和方差，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：甲班数据由小到大排序为：， ∴中位数， ∵乙班条形图中，时长为小时的人数最多， ∴众数， 甲班方差， 故答案为：； 【小问2详解】 解：甲班中位数为，乙班中位数为，小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后名，所以小明是甲班的学生， 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下： 乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； 乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定，故乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 22. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． （1）求证：； （2）若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【解析】 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 23. 如图所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点，是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，， 求： （1）__________． （2）若小腿长，求的长．（结果保留根号） （3）求点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）连接，由题意得，， 即得，再利用勾股定理解答即可求解； （）过点作交延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为； 【小问3详解】 解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：点距离地面的高度约为． 24. 如图，已知内接于，是的直径． （1）尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的条件下，求证：是的切线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）过点作线段的垂线交于点，由垂径定理可得，再经过点作的垂线，交的延长线于点，得，则点即为所求； （）连接，设交于点，可得，即得，得到，即可求证； 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 证明：如图，连接，设交于点， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 25. 如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，． （1）求直线和反比例函数解析式； （2）若面积等于，求点的坐标； （3）点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式，进而可求出点坐标，过点作轴于，利用相似三角形的性质可得到点，即可求出反比例函数的解析式； （）过点作轴，交直线于，设，则，可得，联立函数解析式求出点坐标，再根据列出方程解答即可求解； （）分是边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键 【小问1详解】 解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴，交直线于， 设，则， ∴， 由，解得，， ∴，， ∵面积等于， ∴， 解得，， ∵点在第一象限， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当是边时，设，则， 则， ∵， ∴， 当时， 解得或， ∴或， 当时， 解得或， ∴或； 当是对角线时，则中点坐标为， 设， ∵点和点关于点对称， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴或； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或或． 26. 已知抛物线． （1）证明：抛物线与轴一定有两个公共点； （2）若抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为抛物线在，之间的图像上一动点（点与点，不重合）．过点作轴于点，交于点，连接，． 求该抛物线的解析式； 连接，设的面积为，的面积为，求的最大值； 延长交的外接圆于点，连接，当线段取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）抛物线；的最大值为；． 【解析】 【分析】（）由，从而求证； （）先求出，得抛物线； 由得：抛物线，求得，，从而可得直线解析式为，设，则，则，得的面积为，的面积为，然后代入有，再通过二次函数的性质即可求解； 设，则，，则，，，证明，所以，即，求得，，则，根据二次函数的性质可得当时，有最小值，为，即的最小值为，此时． 【小问1详解】 证明：， ∵， ∴， ∴抛物线与轴一定有两个公共点； 【小问2详解】 解：∵与轴交于点， ∴当时，，解得：， ∴抛物线； 如图， 由得：抛物线， 令，即，解得：，， ∴，， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为； 如图，设，则，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵过点作轴于点，交于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，为， ∴的最小值为，此时． 27. 解答下列问题： （1）【知识技能】如图，在等边中，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则______； （2）【数学理解】如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接，当时，求的长． （3）【问题探究】如图，矩形中，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使．连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； （4）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）利用等边三角形和旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理解答即可求解； （）过点作于，于，可证，得到，利用三角形面积求出，进而可得，再利用勾股定理和等腰三角形的性质解答即可求解； （）证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解； （）连接交于点，证明得出，当时，取最小值，再根据含度角的直角三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转可得，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作于，于， 由旋转可得，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，连接交于点，连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴共圆，且点为圆心， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴在上运动，且， 当时，取最小值， ∵， ∴， 又∵， ∴， 当时，， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级阶段测试 数学试题 （分值：160分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数：，其中无理数的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，在中，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动，到点停止．同时动点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到点停止．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为_______． 10. 因式分解：_______________________． 11. 若整数满足，则的值是__________． 12. 如图，若一次函数和的图像相交于点，则不等式的解集为______． 13. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 14. 圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 _____度． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若，且，则______． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图象上．则在点平移的过程中最大值______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明） 17. 计算： 18. 求一元一次不等式的最小正整数解． 19. 化简求值：，其中． 20. 数学活动课上，小明所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成五张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，C，E属于物理变化，B，D属于化学变化．小明将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上． （1）若组员小红从这随机抽取一张卡片，则她抽到“冰雪融化”的概率是 ； （2）若小明从中五张卡片中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出小明抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 21. 为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】甲班：； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，____，____； （2）小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”） （3）你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由． 22. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． （1）求证：； （2）若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 23. 如图所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点，是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，， 求： （1）__________． （2）若小腿长，求的长．（结果保留根号） （3）求点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：） 24. 如图，已知内接于，是的直径． （1）尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的条件下，求证：是的切线． 25. 如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，． （1）求直线和反比例函数解析式； （2）若面积等于，求点的坐标； （3）点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 26. 已知抛物线． （1）证明：抛物线与轴一定有两个公共点； （2）若抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为抛物线在，之间的图像上一动点（点与点，不重合）．过点作轴于点，交于点，连接，． 求该抛物线的解析式； 连接，设的面积为，的面积为，求的最大值； 延长交的外接圆于点，连接，当线段取最小值时，求点的坐标． 27. 解答下列问题： （1）【知识技能】如图，在等边中，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则______； （2）【数学理解】如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接，当时，求的长． （3）【问题探究】如图，矩形中，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使．连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； （4）【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $