精品解析：江苏省连云港市外国语学校2024-2025学年下学期九年级数学第一次月考试题

连云港外国语学校2024-2025 学年第二学期九年级阶段性检测 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较结论是解题的关键； 根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，逐项判定即可． 【详解】A、，，由于，所以，故本选项符合题意； B、因为0大于负数，所以，故本选项不符合题意； C、，，由于，所以，故本选项不符合题意； D、因为正数大于负数，所以，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键． 4. 如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义分析，可知当拿走第二层的正方体后，俯视图不会发生变化，据此即可求解． 【详解】解：依题意，拿走第二层的正方体后，即①和④，俯视图不会发生变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的定义，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 5. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5， 所以这组数据的众数为2，中位数3， 故选C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式，圆周角定理是解决问题的关键．连接，，根据圆周角定义得，再根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接，，如图所示： 依题意得：， ， 的长为：， 故选：B． 7. 如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 8. 如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数图像与系数的关系以及二次函数与方程的关系， 熟练掌握二次函数的图像与性质并灵活运用是解题的关键； 根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②； 根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④． 【详解】二次函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2， ，， ， ，故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间， 该抛物线与轴的另一个交点在，0之间，故结论②错误； 根据函数图像可得，二次函数的最大值一定大于2， 抛物线与直线一定有两个交点， 方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确； 抛物线与轴的另一个交点在，0之间， 当时，， ， ．故结论④正确． 正确的有①③④，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 点向下平移2个单位，再向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 本题根据坐标与图形变化-平移的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算， ∵点向下平移2个单位，再向右平移2个单位到点B， ∴， 故答案为：； 11. 母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式 ，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据圆锥的侧面积公式进行作答，然后即可求解； 【详解】解：∵圆锥的侧面积公式 ，圆锥母线长为，底面圆的半径为 ∴， 故答案为：； 12. 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 13. 若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识，重点是掌握直线与坐标轴交点求方程的解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据一元一次方程 的解和一次函数与轴交点的关系，即可求解； 【详解】解：已知一次函数  的图像经过点 和点 ， 点表示当时，函数值， ∴方程， 即求函数值时对应的值， ∴方程的解为； 故答案：； 14. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：； 15. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时， _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点使，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，利用相似三角形的性质求出，，进而可得，由即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，使，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图保留作图痕迹） 17. 计算： ； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，三角函数，含二次根式的绝对值化简和负整数指数幂的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 先根据立方根，三角函数，含二次根式的绝对值和负整数指数幂的知识进行化简，然后按照加减运算作答，即可求解． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用分式的运算法则化简，再将代入即可得出答案． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，属于中考常规考题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则． 19. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据一元一次不等式的解法求出两个不等式的解集，再由不等式组解集的求法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，即可得到答案，熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为． 20. 甲乙两个同学分解因式 时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a， 分解结果为， 求的平方根为． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题将和化简，求得，，然后即可求解； 【详解】解：由题得：，， ∵时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a， 分解结果为， ∴，， ∴， ∴的平方根为：； 即的平方根为：； 21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有以下四种方式： 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次一共调查了 名消费者； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 °； （3）该超市本周内约有2400名消费者，估计使用C和 D两种支付方式的消费者的人数的总和． 【答案】（1） （2）画图见解析， （3）估计使用C和D两种支付方式的消费者的人数的总和为624名． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，样本估计总体； （1）用B的人数除以所占百分比就能求出一共调查的消费者人数； （2）消费者人数乘以A所占的百分比，求出A的人数；消费者总人数减去A，B，C的人数，就得到D的人数；再补全图形，利用周角乘以D占的比例就得到D种支付方式所对应的圆心角； （3）用总人数乘以对应的占比求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：A支付方式的人数为（名）， D支付方式的人数为（名）， 补全图形如下：     在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计使用C和D两种支付方式的消费者的人数的总和为624名． 22. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图，从而可得甲、乙、丙三人选择一部观看的所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这两部电影中任意选择一部观看，甲共有2种等可能的结果， ∴甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》分别记为，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙、丙三人选择一部观看共有8种等可能的结果，其中，甲、乙、丙三人选择同一部电影的结果有2种， 则甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是， 答：甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像经过点与， 过点A作轴， 垂足为C，连接、． （1）求k的值； （2）D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合和轴对称的知识．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）把点与代入反比例函数，然后即可求解； （2）过点A作轴，得到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，设所在直线的表达式为，把，代入，求得，然后即可求解点的坐标； 【小问1详解】 解：∵反比例函数 的图像经过点与， ∴把点与代入反比例函数 ， 即， 解得：， 故的值为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由（1）得， ∴和， ∵过点A作轴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，如图： ， 设所在直线的表达式为， 把，代入， 即， 解得：， ∴， 当时，， 故点的坐标为； 24. 某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 （1）求斜坡A 地到B地的距离； （2）下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【答案】（1）斜坡A地到B地的距离为100米 （2）小明跑到A地时，无人机已经回到A地 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为100米； 【小问2详解】 解：是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴小明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴小明跑到A地时，无人机已经回到A地． 25. 某校打算购买一些卡通挂件和印章作为艺术节奖品送给学生留作纪念．已知每盒挂件有个，每盒印章有个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多元；用元购买挂件的盒数与用元购买印章的盒数相同． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？ （2）如果给每位获奖学生分发1个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则 （用含a的代数式表示）； （3）累计购买超过元后，超出元部分有折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数表达式． 【答案】（1）每盒挂件为元，每盒印章为元 （2） （3），且��为正整数 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，列代数式，分段函数及一次函数的应用，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）设每盒挂件的价格为元，则每盒印章为元，可得：，然后即可求解； （2）根据买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，可列式，然后即可求解； （3） 根据累计购买额超过元后，超出元的部分有6折的优惠，分段可求得解析式． 【小问1详解】 解：设每盒挂件的价格为元，则每盒印章为元， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每盒挂件为元，每盒印章为元． 【小问2详解】 解：∵买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， ∴，且为正整数， 当时，， ∴，且��为正整数， ∴，且为正整数． 26. 如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ， （2）结论成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 27. 已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为．平行于x轴的直线l过点． （1）求一次函数与二次函数的表达式； （2）判断以线段为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位，该二次函数的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）一次函数解析式为，二次函数的解析式为； （2）以线段为直径的圆与直线l相切，证明见解析 （3）当时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）联立两函数解析式可求出点B坐标，从而得到线段的中点，，再求出线段的中点到直线l的距离，然后根据切线的判定解答即可； （3）根据平移的性质可得移后二次函数的解析式为，再求出点，可得，再根据垂径定理可得过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线的距离，求出点F的坐标为，可得圆心的坐标为，此时半径为2，圆C的面积为，设圆心为C，的中点为E，连接，则，可求出，从而得到t的值，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， ∴， ∴一次函数的解析式为， 设二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：以线段为直径的圆与直线l相切，证明如下： 联立得：， 解得：或， ∴点B的坐标为， ∵A点坐标为， ∴线段的中点为，， ∵平行于x轴的直线l过点， ∴线段的中点到直线l的距离为， ∴线段的中点到直线l的距离， ∴以线段为直径的圆与直线l相切； 【小问3详解】 解：如图， 根据题意得：平移后二次函数的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 令，得：， 解得：， ∴点， ∴， ∵该二次函数的图象与x轴交于M，N两点， ∴过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上， 要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线的距离， 对于， 当时，， ∴点F的坐标为， ∴圆心的坐标为， 此时半径为2，圆C的面积为， 设圆心为C，的中点为E，连接，则， 在中，， ∴， ∵， ， 即当时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数的解析式和二次函数解析式，垂径定理，切线的判定等，熟练掌握相关知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连云港外国语学校2024-2025 学年第二学期九年级阶段性检测 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A B. C. D. 4. 如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 5. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2 6. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，，则图中的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 8. 如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x取值范围是_____． 10. 点向下平移2个单位，再向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为_____________． 11. 母线长为，底面圆的半径为的圆锥侧面积是_____________． 12. 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为_______________． 13. 若一次函数图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为______ 14. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是________________． 15. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时， _______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图保留作图痕迹） 17. 计算： ； 18 先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式组 20. 甲乙两个同学分解因式 时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a， 分解结果为， 求的平方根为． 21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有以下四种方式： 某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次一共调查了 名消费者； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 °； （3）该超市本周内约有2400名消费者，估计使用C和 D两种支付方式的消费者的人数的总和． 22. 2025年春节档电影票房火爆，电影《哪吒之魔童闹海》和《唐人街探案1900》深受观众喜爱，甲、乙、丙三人从这两部电影中任意选择一部观看． （1）甲选择《哪吒之魔童闹海》的概率是__________； （2）用树状图或列表法求甲、乙、丙三人选择同一部电影的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像经过点与， 过点A作轴， 垂足为C，连接、． （1）求k的值； （2）D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 某中学为了丰富同学们课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 （1）求斜坡A 地到B地的距离； （2）下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 25. 某校打算购买一些卡通挂件和印章作为艺术节奖品送给学生留作纪念．已知每盒挂件有个，每盒印章有个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多元；用元购买挂件的盒数与用元购买印章的盒数相同． （1）求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？ （2）如果给每位获奖学生分发1个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则 （用含a的代数式表示）； （3）累计购买超过元后，超出元的部分有折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数表达式． 26. 如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 27. 已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为．平行于x轴的直线l过点． （1）求一次函数与二次函数的表达式； （2）判断以线段为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位，该二次函数的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$