专题01 面积法（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题01 面积法 方法讲解 一、核心概念 面积法是依托等积转化思想，利用图形面积的相等关系、和差关系、比例关系建立等式，不依赖复杂全等、相似推导，借助面积运算求解线段长度、角度、比值及证明几何结论的常用解题方法。 二、适用范围 1.直角三角形、等腰三角形线段计算与证明 2.三角形高、垂线、线段倒数和类题型 3.多边形、组合图形周长与面积综合计算 4.几何定值、等线段、比例线段证明 5.折叠、割补类几何综合题 6.平行线间、同底等高图形的比值问题 三、常用面积法类型 1. 等积替换法 同底等高、等底同高的三角形面积相等，图形平移、翻折后面积保持不变。 2. 割补法 将不规则图形分割为多个规则图形求和，或补全为完整图形作差计算。 3. 面积和差法 一个大图形面积拆分为若干小图形面积之和，构建方程求解未知量。 4. 面积比例法 等高三角形面积比等于底之比，等底三角形面积比等于高之比。 5. 双高等积法 同一个三角形用两组不同底和高表示面积，列等式求线段长，为几何高频考法。 四、通用解题步骤 1.观察图形：分析图形结构，找出公共底、公共高、平行线、垂直条件； 2.选择公式：结合图形类型，选用对应面积公式； 3.建立关系：利用等积、和差、比例，列出面积等式； 4.化简计算：代入已知线段长度，求解未知线段或比值； 5.检验结论：结合图形性质，验证结果合理性，排除矛盾答案。 五、重点注意事项 1.运用双高等积时，底与高必须相互对应垂直； 2.平行线间距离处处相等，可灵活转化三角形的高； 3.分割图形时不重不漏，保证面积和差关系准确； 4.面积法多用于几何计算与简单证明，逻辑简洁，适合小题速解； 5.含直角、垂直条件的几何题，优先考虑面积法简化运算。 六、常考典型应用 1.直角三角形：利用两直角边与斜边、斜高双等积，求斜边上的高； 2.距离求解：平行线、角平分线背景下，借助面积求垂线段长度； 3.比值计算：借助同高 / 等底面积比例，快速求线段比值； 4.几何证明：证明线段相等、线段倒数关系、角度等量关系； 5.不规则图形：通过割补转化为三角形、矩形等规则图形求面积。 典型例题 【例1】阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日 用等面积法解决问题周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系． 任务： (1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________． (2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的条件下，求线段的长度． 【例2】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【例3】如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 基础过关 1. 如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则长为( ) A. B. 1 C. D. 2. 在中，D是BC延长线上一点，且，，过D点作直线AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，则DE：DF的比值为 A. 1： B. 1： C. 1： D. 1： 3. 如图，在中，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是    A. B. 4 C. 5 D. 4．如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______； （2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； （3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：． 5． 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C. 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形. （1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示) （2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系. 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，． （3）请你用面积法证明：． 能力提升 1．【阅读理解】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到完全平方公式：，这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1）如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式：________________； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题：已知，．求的值． 【应用迁移】如图3，中，，点为底边上任意一点，，，垂足分别为，连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 2．我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______； (2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：； (3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值． 3．【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如，由图 1可以得到完全平方公式： 这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1） 如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式： ； （2） 利用（1） 中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知 ，求 的值． ②若m、n满足如下条件： ，，求m的值． 【应用迁移】如图3，中，，点O为底边上一点，（，垂足分别为M，N，H），连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 4．数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如下图中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)探究发现：如图1，把一张长方形纸片沿着线段剪成两部分完全相同的纸片，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的图形．利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是：_____． (2)继续探究：观察图3，利用“等面积法”，表示图中的阴影部分的面积，可获得的数学等式是_____． (3)应用提升：①简便计算； ②已知，，求的值． 5．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． （1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______； （2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示） ②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） （3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留） ②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 6．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明． 7．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． (1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_______； (2)如图1，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作轴于点C，点B在x轴上，连接、，若的面积为4，则k的值为________； (3)①如图2，点是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_________；（结果用含的式子表示） ②如图3，点是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） (4)如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 8．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2． 9．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如下图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，图中，四边形是正方形． (1)请把四边形的面积表示出来． (2)请你用该图证明勾股定理，写出过程． 10．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图①，在中，，，与是的高，求的值； (2)如图②，在中，，，分别在，上，且，求证：． 拓展拔高 1．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法来探究下列两个问题：     (1)如图1，著名的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理； (2)如图2，在中，，是边上高，，，求的长度． 2．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．(写出勾股定理的内容并证明) （2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．    3．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 4．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图1，在中，，，与是的高，求的值？ (2)如图2，在中，，，分别在，上，且，平分，求证：． 5．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 面积法 方法讲解 一、核心概念 面积法是依托等积转化思想，利用图形面积的相等关系、和差关系、比例关系建立等式，不依赖复杂全等、相似推导，借助面积运算求解线段长度、角度、比值及证明几何结论的常用解题方法。 二、适用范围 1.直角三角形、等腰三角形线段计算与证明 2.三角形高、垂线、线段倒数和类题型 3.多边形、组合图形周长与面积综合计算 4.几何定值、等线段、比例线段证明 5.折叠、割补类几何综合题 6.平行线间、同底等高图形的比值问题 三、常用面积法类型 1. 等积替换法 同底等高、等底同高的三角形面积相等，图形平移、翻折后面积保持不变。 2. 割补法 将不规则图形分割为多个规则图形求和，或补全为完整图形作差计算。 3. 面积和差法 一个大图形面积拆分为若干小图形面积之和，构建方程求解未知量。 4. 面积比例法 等高三角形面积比等于底之比，等底三角形面积比等于高之比。 5. 双高等积法 同一个三角形用两组不同底和高表示面积，列等式求线段长，为几何高频考法。 四、通用解题步骤 1.观察图形：分析图形结构，找出公共底、公共高、平行线、垂直条件； 2.选择公式：结合图形类型，选用对应面积公式； 3.建立关系：利用等积、和差、比例，列出面积等式； 4.化简计算：代入已知线段长度，求解未知线段或比值； 5.检验结论：结合图形性质，验证结果合理性，排除矛盾答案。 五、重点注意事项 1.运用双高等积时，底与高必须相互对应垂直； 2.平行线间距离处处相等，可灵活转化三角形的高； 3.分割图形时不重不漏，保证面积和差关系准确； 4.面积法多用于几何计算与简单证明，逻辑简洁，适合小题速解； 5.含直角、垂直条件的几何题，优先考虑面积法简化运算。 六、常考典型应用 1.直角三角形：利用两直角边与斜边、斜高双等积，求斜边上的高； 2.距离求解：平行线、角平分线背景下，借助面积求垂线段长度； 3.比值计算：借助同高 / 等底面积比例，快速求线段比值； 4.几何证明：证明线段相等、线段倒数关系、角度等量关系； 5.不规则图形：通过割补转化为三角形、矩形等规则图形求面积。 典型例题 【例1】阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日 用等面积法解决问题周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系． 任务： (1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________． (2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的条件下，求线段的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）①正方形面积等于边长乘以边长，也可以等于各个小部分的面积之和，即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据角平分线的作法作出图形即可； （3）过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：补全小宇日记中不完整的部分： ①正方形面积等于边长乘以边长，即， 正方形面积也可以等于各个小部分的面积之和，即， 即； ②，， 那么点到的距离为， 所以①，②； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：过作于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故线段的长度为． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，完全平方公式，三角形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． 【例2】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 【例3】如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：． 把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________． (2)如图（3），中，，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； (3)如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以； 故答案为：； （2）如图（3），中，，，，， ， ； 答：的长为； （3）证明：如图（4）， ，，，垂足分别为点，，， ， ， ， ． 即． 基础过关 1. 如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则长为( ) A. B. 1 C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 首先根据折叠可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长． 【解答】解：根据折叠的性质可知，，，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 根据勾股定理求得， ， ，， ， ． 故选D． 2. 在中，D是BC延长线上一点，且，，过D点作直线AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，则DE：DF的比值为 A. 1： B. 1： C. 1： D. 1： 【答案】A 【分析】本题考查了面积法，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关键． 分别用DE、DF表示，，通过线段比可知两三角形面积关系，进而得到，从而得到DE和DF关系即可解答． 【解答】解：连接AD， ， ， ， 又，， ， ， ：， 故选：A． 3. 如图，在中，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是    A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足有最小值时点P和Q的位置．过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q，由AD是的平分线．得出，这时有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用，得出CM的值，即的最小值． 【解答】解：如图，过点C作交AB于点M，交AD于点P，过点P作于点Q， 是的平分线． ，这时有最小值，即CM的长度， ，，， ． ， ， 即的最小值为． 故选A． 4．如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法” （1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______； （2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长； （3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）大长方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可． （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为， 故答案为：； （2）如图（3）中，，，， ∴, ∵, ∴； （3）如图（4）， ∵，，，垂足分别为点，，， ∴， ∴， ∵AB=AC， ∴CH=OM+ON 即． 【点睛】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等通过分析、推理和计算． 5． 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C. 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形. （1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示) （2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系. 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，． （3）请你用面积法证明：． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）直接表示出正方形的面积即可解题； （2）运用两种不同的方法表示正方形的面积，然后整理解题； （3）运用两种不同的方法表示图形的面积，然后整理即可． 【详解】解：（1）在图2中，正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：，； （2）由图可知：，即； （3）选择是图，正方形的面积为 即， ∴． 能力提升 1．【阅读理解】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到完全平方公式：，这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1）如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式：________________； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题：已知，．求的值． 【应用迁移】如图3，中，，点为底边上任意一点，，，垂足分别为，连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 【答案】（1）；（2）30；（3）3.7 【分析】本题主要考查了整式运算在几何图形中的应用，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）利用“面积法”求解即可； （2）将，代入（1）中等式，求解即可； （3）根据，易得，即可获得答案． 【详解】解：（1）利用“面积法”，可以得到数学等式：． 故答案为：； （2）由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴； （3）∵，，， 又∵， ∴， ∴． 2．我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______； (2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：； (3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用两种不同的方法表示左上角正方形的面积，即可求解； （2）根据三角形的面积公式表示即可； （3）过A作于点H，由等腰三角形三线合一可得，根据勾股定理可得，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：左上角正方形的面积可以表示为，也可以表示为： 即， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，． （3）解：如图，过A作于点H， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，等腰三角形的性质以及勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等面积法的应用． 3．【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如，由图 1可以得到完全平方公式： 这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1） 如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式： ； （2） 利用（1） 中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知 ，求 的值． ②若m、n满足如下条件： ，，求m的值． 【应用迁移】如图3，中，，点O为底边上一点，（，垂足分别为M，N，H），连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了整式运算在几何图形中的应用，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）利用“面积法”求解即可； （2）①将，代入（1）中等式，求解即可； ②设，得到，根据，列出方程进行求解即可； （3）根据，易得，即可获得答案． 【详解】解：（1）利用“面积法”，可以得到数学等式：． 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴； ②设， ∴， ∵ ， 又∵ ∴ ∵， ∴当时，，不符合；当时，，符合， ∴； （3）∵，，， 又∵， ∴， ∴． 4．数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如下图中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)探究发现：如图1，把一张长方形纸片沿着线段剪成两部分完全相同的纸片，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的图形．利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是：_____． (2)继续探究：观察图3，利用“等面积法”，表示图中的阴影部分的面积，可获得的数学等式是_____． (3)应用提升：①简便计算； ②已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②1 【分析】本题主要考查平方差公式，完全平方公式的变形在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法表示阴影部分面积，图1面积为，图2面积为，进一步可得答案； （2）阴影部分的面积可表示为或，进一步可得答案． （3）由可得：，进一步代入计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得： ． （2）解：由图形可得：． （3）解：① ； ②∵，， ∴． 5．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． （1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______； （2）①如图1，是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_____；（结果用含的式子表示） ②如图2，是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） （3）①如图3，已知的半径为2，点为外一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留） ②如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②见解析． 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可； （2）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题； （3）①由切线性质解得，再由平行线性质及等腰三角形性质解得，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题． 【详解】解：（1）直角三角形的面积为：， 直角三角形斜边为：， 设直角三角形斜边上的高为，则 设直角三角形内切圆的半径为，则 ， 故答案为：，1； （2）①边长为的正底边的高为，面积为： ， 故答案为：； ②类比①中方法可知， 设点为正五边形的中心，连接，， 由①得， 过作于，， 故，， 故，从而得到： ． （3）①是的切线， 过点作 ， 是的高， 故答案为：； ②如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求， 连接，∵， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 6．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明． 【答案】见解析 【分析】多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证． 【详解】解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则， 如图，这个多边形的面积为 整理得ab+c2=， 故． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键． 7．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． (1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_______； (2)如图1，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作轴于点C，点B在x轴上，连接、，若的面积为4，则k的值为________； (3)①如图2，点是边长为的正内任意一点，点为的中心，设点到各边距离分别为，，，连接，，，由等面积法，易知，可得_________；（结果用含的式子表示） ②如图3，点是边长为的正五边形内任意一点，设点到五边形各边距离分别为，，，，，参照①的探索过程，试用含的式子表示的值．（参考数据：，） (4)如图4，现有六边形花坛，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形，其中点在的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点的位置，并说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)①； (4)连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求，理由见解析 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长即可； （2）如图，连接，由轴，可得，可得，再进一步解答即可； （3）①先求得边长为的正的面积，再根据解题即可；②设点为正五边形的中心，连接，，过作于，先由正切定义，解得的长，由①中结论知，，继而得到，据此解题； （4）连接，过点作交的延长线于点，根据，据此解题． 【详解】（1）解：直角三角形的面积为：， 直角三角形斜边为：， 设直角三角形斜边上的高为，则 ； （2）解：如图，连接， ∵轴，则轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①边长为的正底边的高为， 面积为： ， ②类比①中方法可知， 设点为正五边形的中心，连接，， 由①得， 过作于，， 故，， 故，从而得到： ． （4）解：如图，连接，过点作交的延长线于点，则点即为所求， 连接，∵， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 8．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2． 【答案】见解析 【分析】利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a， ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab， 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）， ∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）， ， 即a2+b2＝c2． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键． 9．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如下图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理，图中，四边形是正方形． (1)请把四边形的面积表示出来． (2)请你用该图证明勾股定理，写出过程． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、平方差公式与图形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）先求出，，再利用直角梯形的面积公式计算即可得； （2）连接，先根据四边形的面积等于求出四边形的面积，再与（1）的结论建立等式，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． （2）证明：如图，连接， 由上已得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积为 ， 由（1）已得：四边形的面积为， ∴， ∴． 10．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图①，在中，，，与是的高，求的值； (2)如图②，在中，，，分别在，上，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，角平分线的性质，熟练掌握并运用三角形的面积公式，是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出，再根据，，即可得出答案； （2）先证明，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出，整理可证明结论． 【详解】（1）解：∵与是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 拓展拔高 1．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法来探究下列两个问题：     (1)如图1，著名的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理； (2)如图2，在中，，是边上高，，，求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （）先由勾股定理求出 的长，再根据三角形的面积求 的长即可； 此题考查了勾股定理的证明，三角形和正方形面积公式，熟练掌握和运用勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为：， ∴， 即； （2）在中， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 2．（1）勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，小明发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．(写出勾股定理的内容并证明) （2）已知实数x，y，z满足：，试问长度分别为x、y、z的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．    【答案】（1）a2+b2=c2，证明见解析；（2）可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6． 【分析】（1）分别用两种方法表示出五边形的面积，然后建立等式即可得出勾股定理； （2）先根据二次根式有意义的条件和非负性建立方程组求出x,y,z的值，然后利用勾股定理的逆定理判断三边是否满足，如果满足则能组成直角三角形，反之则不能，如果能，再利用三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】（1）∵S五边形面积=S梯形面积1+S梯形面积2=S正方形面积+2S直角三角形面积， ∴ ， ∴， 即：a2+b2=c2； （2）根据二次根式的意义，得， 解得：x+y=8， ∴0， 根据非负数的意义，得 解得：x=3，y=5，z=4． ∵32+42=52， ∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明及勾股定理的逆定理，掌握梯形的面积公式，二次根式的非负性和勾股定理及其逆定理是解题的关键． 3．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． 4．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图1，在中，，，与是的高，求的值？ (2)如图2，在中，，，分别在，上，且，平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式列出，再根据，，即可得出答案； （2）先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出，整理可证明结论． 【详解】（1）解：∵与是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，角平分线的性质，熟练掌握并运用三角形的面积公式，是解题的关键． 5．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $