精品解析：山东济宁市曲阜市二〇二六年四月高中段学校招生模拟考试数学试题

二O二六年四月高中段学校招生模拟考试 数学试题 试卷类型A 本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. 5 D. 0 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 若，则小球的最大速度为 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于轴对称，则 _____． 12. 分解因式：________． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 15. 如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转一周得到，是的中点，是的中点，连接，若，，在旋转的过程中线段的最大值是__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算或化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． （2）连接，求线段的长． 18. 我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． （1）种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ （2）今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 19. 某中学“”创新教育实践社团部为提高学生的安全意识和安全技能，组织九年级学生进入消防支队进行实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校随机从中抽取男、女生各25名的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 性别 平均分 中位数 众数 方差 女生 8.76 a 9 1.06 男生 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：________，________，并把女生竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为女生和男生哪个的成绩更好，并说明理由； （3）若“”创新教育实践社团部九年级共有300人（男女人数相等）参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该社团部九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 20. 如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 21. 项目式学习 课题：估算摩天轮的高度 背景 曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算． 估算方法 方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算 摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成： 吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离． 方法二：基于仰角的三角测量法 测量的相关数据如下 为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角． 问题解决 （1）任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3） （2）任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米） 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 23. 综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，请判断的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二O二六年四月高中段学校招生模拟考试 数学试题 试卷类型A 本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项符合题目要求． 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. 5 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 负数小于正数和零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：B． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：如图所示即为其俯视图， ∴选项A符合题意． 4. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法则、合并同类项法则、单项式乘法法则，负整数指数幂，对各选项逐一计算判断对错. 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种， ∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为． 7. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是准确找出题目中的等量关系：用元购买《水浒传》连环画的套数等于用元购买《西游记》连环画套数的2倍．首先根据每套《西游记》比《水浒传》贵元，得出《西游记》的单价，再分别表示出两种连环画的购买套数，最后根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元， ∴每套《西游记》连环画的价格为元． 用元购买《水浒传》连环画的套数为，用元购买《西游记》连环画的套数为． 根据“用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍”，可列方程：． 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得，于是得到，根据特殊角三角函数，得到，根据扇形面积公式计算即可． 本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，扇形面积公式，熟练掌握三角函数，扇形面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由矩形， 得， 故， 故， ， 故阴影部分的面积为：， 故选：A． 9. 如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解． 【详解】解：∵菱形的面积为8， ∴， ∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 10. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 若，则小球的最大速度为 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意； C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即， 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等， ∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于轴对称，则 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的特征，得出、的值，求解即可． 【详解】解：根据关于轴对称的点的特征， 可得，， ∴． 12. 分解因式：________． 【答案】9 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 2031 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 15. 如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转一周得到，是的中点，是的中点，连接，若，，在旋转的过程中线段的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，锐角三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，在中，利用可求得，根据含角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可知，，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，，从而根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ，即， ， ， 由旋转的性质可得，，， 是的中点是的中点， ，， 又，即， 的最大值为6（此时P，C，M三点共线）． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算或化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时，原式． 17. 如图，在中，，，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线，交于点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点． （2）连接，求线段的长． 【答案】（1）①见详解；②见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的尺规作图过程进行解答即可； ②根据垂直平分线的尺规作图过程进行解答即可； （2）结合角平分线以及垂直平分线的性质，证明，运用30度角的直角三角形的性质得，再列式化简得，最后代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：①作的平分线，交于点，如图所示： ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，如图所示． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 即， ∴． 18. 我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． （1）种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ （2）今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 【答案】（1）种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元； （2）种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元． 【解析】 【分析】（1）设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元根据题意列方程即可解答； （2）设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，根据题意得到y关于x的一次函数，再根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元， 根据题意，得， 解得：， 答：种植每棵A种景观树需要200元，每棵B种景观树需要300元； 【小问2详解】 解：设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，总费用为y元 根据题意得：， ∵A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，（元）， ∴种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元． 19. 某中学“”创新教育实践社团部为提高学生的安全意识和安全技能，组织九年级学生进入消防支队进行实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校随机从中抽取男、女生各25名的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 性别 平均分 中位数 众数 方差 女生 8.76 a 9 1.06 男生 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：________，________，并把女生竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为女生和男生哪个的成绩更好，并说明理由； （3）若“”创新教育实践社团部九年级共有300人（男女人数相等）参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该社团部九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），；图见解析 （2）女生；理由见解析 （3）180人 【解析】 【分析】（1） 用（人），根据中位数的定义第13个数据是中位数，在B组中，可以确定a值，根据所占百分比最大的数据是众数，计算b；后完成统计图的补充即可． （2）根据方差，中位数判断即可． （3）用总人数乘以优秀率即可得到人数． 【小问1详解】 解：根据题意，得C组的人数为：（人）， 根据中位数的定义第13个数据是中位数，恰好在B组中， 故（分）； ∵男生竞赛成绩中A组所占的百分比最大， ∴众数A组中， 故（分），补充统计图如下： 女生竞赛成绩统计图如下： 【小问2详解】 解：女生的成绩更好． 理由：女生和男生的平均分相同，女生中位数大于男生中位数，女生方差小于男生方差，波动较小，所以女生成绩更好． 【小问3详解】 解：达到优秀成绩的男生人，女生人，共有30人，， 答：该社团部九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有180人． 20. 如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等，得出，再根据直角三角形两锐角互余，推出，从而得出，最后根据度的圆周角所对的弦是直径得出是直径，即可证明结论； （2）利用角的正切值，得出，利用等角对等边得出，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴​， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴​， ∴， ∴． 21. 项目式学习 课题：估算摩天轮的高度 背景 曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算． 估算方法 方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算 摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成： 吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离． 方法二：基于仰角的三角测量法 测量的相关数据如下 为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角． 问题解决 （1）任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3） （2）任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用、解直角三角形的实际应用；解题的关键是任务一中将吊舱弧距转化为直径范围，任务二中构造直角三角形利用正切函数列方程求解． 任务一：由24个吊舱均匀分布，利用弧长公式，将弧距范围转化为直径的范围，取计算得 再由，结合底部支撑净空的范围米，得的范围为米； 任务二：过点分别作于点，由知四边形均为矩形，得米，米，设米，分别在和中利用和表示出，由列关于的方程求解即可. 【小问1详解】 解：摩天轮安装了24个全景吊舱，吊舱沿圆周均匀分布， 圆周上相邻吊舱中心弧距， 通常为米， ， ， 取， （米）， （米）， ， 底部支撑净空通常为米，， （米）， （米）， ， 即摩天轮的高度的估算范围为米； 【小问2详解】 解：过点分别作于点，则三点共线，， ， 四边形和四边形均为矩形， 米, 米， 设米， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得，， 米 （米）． 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线开口向上， ∵已知，在该抛物线上，， ∴，  ​ ∴或， 又∵． 当时，则，无解； 当时，则，解得，符合条件． 故的取值范围为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， ∴， ∵对于任意实数，都有，即 ∴， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， 即抛物线与直线交点的横坐标为和， ． 23. 综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： （1）如图1，请判断的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． （2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析； （2），见解析； （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明； （2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么； （3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故，解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，正方形中， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：存在， 当点在的延长线上， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，如图： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $