精品解析：2025年山东省济宁市曲阜市中考数学一模试卷

2025年山东省济宁市曲阜市中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由6个完全相同小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 截至2025年3月29日，《哪吒之魔童闹海》《哪吒2》的全球票房已突破154亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位．数据“154亿”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 6. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为______． 12. 分解因式：_______． 13. 如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，则__________． 14. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 15. 下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于____________. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再选择恰当的数代入求值． 17. 甲、乙两个“综合与实践”小组计划开展测量某广场同一旗杆高度的实践活动．他们分别制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．为了减小测量误差，小组在测量时，对每个数据都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，以下是他们研究报告的部分记录内容． 课题 测量旗杆的高度 工具 测角仪，皮尺，镜子等 成员 甲组 乙组 测量说明 线段表示旗杆，测角仪高度，测点A，与在地面同一直线上，A，之间的距离可以测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上． 线段表示旗杆，镜子放在点处，人眼睛与地面距离，在测量过程中保证人的眼睛恰好能在镜子中看到旗杆的顶端． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 26.5° 26.7° 26.6° ，之间的距离 1.9m 2.1m 2m 的度数 40.4° 39.6° 40° ，之间的距离 25.2m 26.8m 26m A，之间的距离 14.4m 14.6m 请完成以下问题： （1）表中_________m； （2）乙组这种测量方法的原理是我们所学的（ ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 （3）根据以上测量结果，请帮甲组求出旗杆的高度．（结果精确到0.1） （参考数据：，，，，，） （4）经计算乙组测量的结果为19.5米，与甲组的数据有差异，老师说：“你们做得都很好，在我们这种测量条件下，出现误差是_______事件，所以虽然数据存在差异但数据都是可信的!”（填“必然”，“随机”，“不可能”） 18. 如图，反比例函数图象与正比例函数的图象相交于点，B． （1）求k的值和点B的坐标． （2）不等式的解集是 ． （3）以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积． 19. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数万件 中位数万件 平均数万件 方差万件 型号 和 型号 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中______，______，______； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 21. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为______；的度数为______； 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点在边上运动，且始终满足，以为折叠，将翻折，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）当时，函数值y的取值范围是， ①求a和b的值； ②将该抛物线在间的部分记为G，将G在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省济宁市曲阜市中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可求解，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂指数、积的乘方、完全平方差公式，分别计算四个选项即可得到． 【详解】A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D错误； 故选C． 【点睛】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、幂指数、乘方、完全平方差公式，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 4. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：从上往下看，得到一共3列，从左往右依次有1，1，2块，即可求解． 【详解】解：根据题意得：从上往下看，得到一共3列，从左往右依次有1，1，2块， ∴这个几何体的俯视图是 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图就是从上往下看得到的图形是解题的关键． 5. 截至2025年3月29日，《哪吒之魔童闹海》《哪吒2》的全球票房已突破154亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位．数据“154亿”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：154亿， 故选：A． 6. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 9. 如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，则__________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得出，，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． 详解】解：∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 15. 下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于____________. 【答案】n的值是10或9． 【解析】 【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】由①=1+2得x=1或x=2； 由②=2+3得x=2或x=3； 由③=3+4得x=3或x=4， 可得第n个方程为：x+=2n+1， 解得：x=n或x=n+1， 将变形，(x+3)+=2n+1， ∴x+3=n或x+3=n+1， ∴方程的解是x=n-3，或x=n-2， 当n-3=7时，n=10， 当n-2=7时，n=9， ∴n的值是10或9． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解与其形式的规律是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： （2）先化简，再选择恰当的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂计算； 根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】解：（1）原式； 原式 ， 由题意可知：和1， 当时，原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算、特殊角的三角函数值、负指数幂，掌握分式的混合运算法则、实数的运算法则是解题的关键． 17. 甲、乙两个“综合与实践”小组计划开展测量某广场同一旗杆高度的实践活动．他们分别制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．为了减小测量误差，小组在测量时，对每个数据都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，以下是他们研究报告的部分记录内容． 课题 测量旗杆的高度 工具 测角仪，皮尺，镜子等 成员 甲组 乙组 测量说明 线段表示旗杆，测角仪高度，测点A，与在地面同一直线上，A，之间的距离可以测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点在上． 线段表示旗杆，镜子放在点处，人眼睛与地面距离，在测量过程中保证人的眼睛恰好能在镜子中看到旗杆的顶端． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 的度数 26.5° 26.7° 26.6° ，之间的距离 1.9m 2.1m 2m 的度数 40.4° 39.6° 40° ，之间的距离 252m 26.8m 26m A，之间的距离 14.4m 14.6m 请完成以下问题： （1）表中_________m； （2）乙组这种测量方法的原理是我们所学的（ ） A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似 （3）根据以上测量结果，请帮甲组求出旗杆的高度．（结果精确到0.1） （参考数据：，，，，，） （4）经计算乙组测量的结果为19.5米，与甲组的数据有差异，老师说：“你们做得都很好，在我们这种测量条件下，出现误差是_______事件，所以虽然数据存在差异但数据都是可信的!”（填“必然”，“随机”，“不可能”） 【答案】（1）14.5 （2）D （3）19.4 m （4）必然 【解析】 【分析】(1)求平均数即可； (2)根据相似三角形的判定即可判定； (3)解直角三角形即可求得； (4)根据“必然事件”，“随机事件”，“不可能事件”的定义即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：14.5； 【小问2详解】 解：由题意和图形可知：，， ，， ， ， 故选：D； 【小问3详解】 解：设EG=x， ， ， ， ， 解得， ， 【小问4详解】 解：在我们这种测量条件下，出现误差是必然事件， 故答案为：必然． 【点睛】本题考查了求平均数的方法，相似三角形的判定，解直角三角形的应用，必然事件的定义，理解题意并结合图形求出旗杆的高度是解决本题的关键． 18. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，B． （1）求k的值和点B的坐标． （2）不等式的解集是 ． （3）以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，正方形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得m和k的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标； （2）根据图象直接可得答案； （3）先利用勾股定理求得的长，再由可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴点A与B关于原点O对称， ∴； 【小问2详解】 解：，， 由图象知，不等式的解集为或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵，， 由勾股定理得， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 19. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数万件 中位数万件 平均数万件 方差万件 型号 和 型号 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中______，______，______； （2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． （3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，求抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率． 【答案】（1），， （2）型智能机器人，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，平均数，方差，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可； （2）可以从众数、平均数、中位数三个方面分析； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，， 故中位数； ； 【小问2详解】 解：从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人； 【小问3详解】 解：树状图如图所示， 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的结果数有4种， ∴抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率为． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，， ，则，由勾股定理求得，再证明 ，得，则，且，于是得，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 【答案】（1），；（2）能，18元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴y与x的函数表达式为， ∵销售单价不低于成本价， ∴， 又∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， 又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元， ∴当时，日销售利润取最大值， 此时（元）， 这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点是边上的一个动点． 【操作判断】 （1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为______；的度数为______； 【迁移探究】 （2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长； 【综合应用】 （3）如图3，点在边上运动，且始终满足，以为折叠，将翻折，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长． 【答案】（1）， （2）或 （3）面积的最大值， 【解析】 【分析】（1）由折叠得：，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明是等边三角形即可求出角度． （2）对点分别落在对角线、上进行分类讨论，①当点落在对角线上点时，设，分别求出、、，用勾股定理即可求解；当点落在对角线上点时，过作，设，，证明∽，从而求出，再求出、，用勾股定理即可求解． （3）设，分别求出当和时，面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值，对最大值再进行比较取较大的最大值． 【小问1详解】 解： ． 理由：由折叠得：，， 、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； ． 理由：将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ． 【小问2详解】 解：①如图，当点落在对角线上点时， 在矩形中 ，， ， 设，由折叠得： ，，，， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当点落在对角线上点时， 过作，交于，交于， ， ， 由折叠得：， ， ， ∽， ， 设，， ，，，， ， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 综上所述：的长为或． 【小问3详解】 解：， ， 设， ， 解得：， 如图，翻折后的三角形为， ，， ①当点在于之间或在对角线上时，如上图： ， ， 此时折叠后与重叠部分面积：， ， 在，当时， ； ②当点在对角线的右侧时，交于，交于， 如图： ， 由翻折得：， ， ，， ， ， ， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 此时折叠后与重叠部分面积： ， ，当时， ； 综合①②：， 折叠后与重叠部分面积的最大值是，此时． 【点睛】本题考查了以矩形为背景的典型折叠问题，考查的主要知识有折叠的性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数等；熟练掌握典型折叠问题的解法及找出函数关系式是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）当时，函数值y的取值范围是， ①求a和b的值； ②将该抛物线在间的部分记为G，将G在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，进而可以计算得解；②依据题意，分在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，函数的对称轴是直线， 故答案为； 【小问2详解】 解：①函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是， 是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ， ， 抛物线的表达式为：， ， 当时，y取最大值． ∴， ②设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是函数所处的位置，图象Q为区域， 点，点，则点， 当点在点H下方时，，， 函数Q的最高点为H，最低点为N， ， ， ， 当点在点H上方时， 同理可得：； ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式组、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $