期中考前满分冲刺之中等易错题-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、幂的乘方与积的乘方(选、填、解) 1．计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方法则的逆用即可计算． 【详解】解：． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则将每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算即可得到结果，用到的运算法则为积的乘方：，幂的乘方：． 【详解】解：． 3．计算：＝______． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法法则将变形，再逆用积的乘方法则将同指数的幂合并简化计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 4．已知实数、、存在数量关系，求________． 【答案】144 【分析】先利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将进行变形，转化为含和的形式，再代入，计算． 【详解】解：∵， ∴． 5．已知，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)72 (2)1024 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则把原式变形为，然后把，代入计算即可； （2）先利用积的乘方法则把原式变形为，再逆用幂的乘方法则把原式变形为，然后把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 6．下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算； 将代数式变形为指数相同，再根据积的乘方的逆运算即可求解； （2）将代数式变形为底数相同，再根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】（1）解： ； 解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型二、不含某项、与某项无关(选、填、解) 1．若乘积中不含和项，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式法则、合并同类项法则化简整式，再根据不含某项得到方程，求解方程得到结论． 【详解】解： ， ∵乘积中不含和项， ∴，， ∴． 2．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 3．已知既不含x的二次项，也不含x的一次项，则的值为___________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式的计算法则计算出，然后根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的积不含某项，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则． 4．已知，，，且的值与无关，则__________． 【答案】 【分析】本题考查整式运算中的无关型问题．根据题意，列出算式，化简后，根据值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ； ∵的值与无关， ∴， ∴； 故答案为：． 5．若关于x的多项式与的乘积中不含与x项． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据题意，得到，，将转化为，再代入计算即可； （2）利用完全平方公式的非负性求出的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：， 由题意，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 类型三、完全平方公式变形求值(选、填、解) 1．已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由，可得，再对所求多项式进行因式分解，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ∴． 2．已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先求出两个式子的差，再将所求代数式变形为含已知条件的形式，代入计算即可． 【详解】解：设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴ 将，代入得，． 3．若实数a，b满足，则的值为______． 【答案】16 【分析】根据完全平方公式将式子变形为，求出，即可得到答案． 【详解】解：实数a，b满足， ， 即， ， 解得， ． 4．已知，，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式展开已知等式，通过两式作差消去和，即可求解的值. 【详解】解：∵，， ∴①， ②， 得， ∴ ∴． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由公式变换即可得出结果； （2）由公式变换即可得出结果； （3）由公式变换即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：． （3）解：， ∴． 6．已知a，b满足，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据完全平方公式可得，，两式相减即可求出答案； （2）根据（1）所求求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴． 类型四、完全平方式(选、填、解) 1．若是完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．49 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式，完全平方式符合的结构， 将原式整理为， ， 开平方得：． 2．如果是完全平方式，则的值是（   ） A．3 B．3或 C．6 D．6或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即或，故D正确． 3．形如和的二次三项式称为完全平方式，如果是一个完全平方式，则k的值是_____． 【答案】 【分析】根据是一个完全平方式得到，即可得到k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的形式是解题的关键． 4．若是一个完全平方式，则m＝________ ． 【答案】 【分析】完全平方式是能写成的形式，对比完全平方式的结构特征，即可确定的取值． 【详解】解：是完全平方式， 根据完全平方公式，可得， 展开得， 对比等式两边同类项系数，得， 解得． 5．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式． 请解决下列问题： (1)已知，，则_________； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)已知，，求的值． (4)若x满足，求的值 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键． （1）由得，即可代值求解； （2）由题意得，即可求解； （3）设，则，据此即可求解； （4）设，则，根据，得，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴， 故答案为： （2）解：∵， 若是一个完全平方式，则， 解得：， 故答案为： （3）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：； （4）解：设，则， ∵， ∴； ∵， ∴， 即： 6．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 类型五、新定义运算(选、填、解) 1．对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，新定义，根据新定义结合幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法法则得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 3．定义一种幂的新运算：，例如，求的值为____． 【答案】32 【分析】本题考查了新定义运算及同底数幂的除法运算，解题的关键是理解新运算“”的规则，将对应数值代入运算式计算． 根据新运算，将、代入式子，利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：由新运算定义， 当，时， 故答案为：32． 4．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算的规则，确定对应a、b的值，代入后利用整式乘法运算法则展开，合并同类项得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 5．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 6．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 类型六、单(多)项式乘多项式(选、填、解) 1．若则m，n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据整式的乘法将式子计算出来即可得到答案． 【详解】解：， 故，． 2．若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 3．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 【答案】10 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张． 4．已知，，均为整数，且，则的可能取值是______． 【答案】或 【分析】先根据多项式乘多项式运算法则得到对应系数关系，，再结合，均为整数分类讨论即可得到的所有可能取值． 【详解】解：，， 根据多项式相等对应系数相等可得，， ，均为整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的可能取值为或， 故答案为：或． 5．为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)平方米 (2)9850元 【分析】（1）把两个乒乓球场地平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）先求出乒乓球场地和其余场地的面积，再根据每平方米的造价求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：这两个乒乓球场地的占地面积平方米． （2）解：场地的总面积为 （平方米）， 其余场地的面积为 （平方米）， 当，时， 乒乓球场地的面积（平方米）， 其余场地的面积（平方米）， 总造价为（元）． 答：整个长方形场地的造价是9850元． 6．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【答案】(1)平方米 (2)此时种植区的总面积S为108平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：此时种植区的总面积S为108平方米． 类型七、乘法公式表示图形(选、填、解) 1．如图，将图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得． 故选项A符合题意． 2．如图，边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形后，把剩余的阴影部分拼成一个平行四边形，根据阴影部分面积相等，我们可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是通过等面积法寻找到等量关系． 原来阴影部分面积为边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积，拼成后的阴影面积是底为，高为的平行四边形的面积，根据两图形阴影面积相等即可得解． 【详解】解：∵边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形， ∴原来阴影部分的面积为：， ∵拼成后的图形是平行四边形，且平行四边形的底为，高为， ∴平行四边形的面积为， ∵阴影部分面积相等， ∴． 3．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【分析】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 【答案】 【分析】根据，将，，代入进行计算即可；根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，， 若，， 则； 由图可得， 若时， ． 5．把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． (1)若，，且，则______； (2)如图，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】（1）由即可求解； （2）由题意得，求，由完全平方公式变形即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 即阴影部分的面积为5． 6．如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)36 (3) 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）根据平方差公式求出，即可求解； （3）将式子中的4化为，运用平方差计算即可． 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解： ． 类型八、尺规作图(选、填、解) 1．尺规作图，要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（     ） A．图--，图--，图--Ⅰ，图-- B．图--，图--，图--，图--Ⅰ C．图--，图--，图--，图--Ⅰ D．图--，图--Ⅰ，图--，图-- 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案． 【详解】解：图是作角平分线，对应Ⅳ 图2是过直线外一点作这条直线的垂线，对应Ⅰ， 图3是作线段的垂直平分线，对应Ⅱ， 图4是过直线上一点作这条直线的垂线，对应Ⅲ， 故选：D． 2．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 3．如图，根据长方形中尺规作图的痕迹，得______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质、线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，根据尺规作图的痕迹可知，垂直平分，平分. ∵， ， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ，即， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 4．如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为_________ 【答案】/40度 【分析】本题考查尺规作图：作一个角等于已知角，作角的平分线．由作图过程可知，，进而即可求解． 【详解】解析：根据作图过程，可知，， ， ， 故答案为：． 5．如图，按下列要求作图： (1)用尺规作图作出的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)用尺规作图作出的高；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本操作，解题关键是掌握角平分线和三角形高的尺规作图方法． （1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点A与该交点作射线，即为的平分线； （2）延长；以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交的延长线于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点B与该交点作直线，交于点F，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． 6．如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用基本作图作出的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图，即为所作． 类型九、二元一次方程组求参(选考)(选、填、解) 1．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 2．已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】已知关于、的方程组， 解得：， 当时，， 变形为无意义， 不可能等于，故正确； 当时，方程组的解为， 代入方程， 左边， 右边， 左边右边， 当时，方程组的解也是方程的解，故正确； 当，时，代入方程组得， 解得：，无实数解， 不存在某一个值，使得，，故错误； ， ， 的最小值为，故正确． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是______． 【答案】2 【分析】利用方程方程，可得出，再结合方程组的解满足，即可求出a的值． 【详解】解：， 得：， 又关于x，y的二元一次方程组的解满足，， 解得：， 的值是2． 5．已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)； (3)时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 6．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 类型十、图形的折叠(选、填、解) 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的度数为． 故选：B． 2．将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是关键；由第一次折叠知，，，则；由第二次折叠得，，则，；由，得，由此即可求得与的关系式． 【详解】解：如图，由第一次折叠知，，， ， ； 由第二次折叠得，， ，， 则； ， ， 即， ． 故选：D． 3．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，先证明，由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出从而得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．沿继续折叠纸片，点M的对应点为点N，若恰好是的角平分线，则_____． 【答案】45 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，在图1中得到，图2中得到，进而得到，再根据恰好是的角平分线，得到，进行求解即可． 【详解】解：在图1中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 在图2中， ∵折叠， ∴， 如图，由折叠可知：， ∵恰好是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45． 5．【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 【答案】(1)70 (2) (3)或 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，角的和差关系推导，熟练掌握相关知识，分类讨论，数形结合借助方程解决问题是解题的关键； （1）根据折叠的性质即可解答； （2）设，使得恰好平分，，，根据折叠的性质列方程求解即可； （3）分是否在或内部两种情况讨论，设，，则 ，，根据和差关系得，或，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得； （2）解：设， ∵使得恰好平分， ∴，， 由折叠的性质得， ， 解得， ∴； （3）解：设，，则，， 如图3，当 在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴； 如图4，当 不在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴， ∴或． 6．已知点分别在长方形纸片的边和上，连接，先将纸片的沿折叠，使点落在点处，再将纸片的沿折叠，使点落在点处． (1)如图1，若点恰好落在折痕上，且，求的度数； (2)如图2，若点恰好落在直线上，求的度数； (3)如图3，分别将纸片的和折叠后，得到的和重叠形成，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了长方形纸片折叠中的角度计算问题，涉及折叠的性质（折痕是对称轴、对应点对称）、平角的定义以及角度的和差关系．掌握折叠后对应角相等、折痕为角平分线等性质，并灵活利用点共线时的角度关系是解题的关键． （1）点落在折痕上，所以相等，结合平角建立方程； （2）当点落在直线上时，通过角度和差推导出为直角，解题核心是利用折叠后对应角之和为的性质； （3）本小题重点在于折叠后重叠角与折痕夹角的数量关系，通过代数推导建立等式，关键思路是利用平角条件和折叠对称性进行角度转换． 【详解】（1）解：∵沿折叠，点A落在， ∴根据折叠对称性，有， ∵点落在折痕上，故在射线上， ∴沿折叠，点B落在，根据折叠对称性，有， 由于在上，射线与重合， ∴， ∵点A、E、B共线， 故， ∴， ∵，且， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． （2）由（1）可得，， ∵点A、E、B共线， 故， ∴， 即， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴． 故答案为：． （3）由（1）可得，， ∵点A、E、B共线， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、幂的乘方与积的乘方(选、填、解) 1．计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算：＝______． 4．已知实数、、存在数量关系，求________． 5．已知，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 6．下图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题． 作业计算： 解：原式= (1)计算：①； ②； (2)若，请求出的值． 类型二、不含某项、与某项无关(选、填、解) 1．若乘积中不含和项，则（ ） A．3 B．1 C． D． 2．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知既不含x的二次项，也不含x的一次项，则的值为___________． 4．已知，，，且的值与无关，则__________． 5．若关于x的多项式与的乘积中不含与x项． (1)求的值； (2)已知，求的值． 6．已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 类型三、完全平方公式变形求值(选、填、解) 1．已知，则的值是（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 2．已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 3．若实数a，b满足，则的值为______． 4．已知，，则_________． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．已知a，b满足，求下列各式的值： (1) (2) 类型四、完全平方式(选、填、解) 1．若是完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．49 D． 2．如果是完全平方式，则的值是（   ） A．3 B．3或 C．6 D．6或 3．形如和的二次三项式称为完全平方式，如果是一个完全平方式，则k的值是_____． 4．若是一个完全平方式，则m＝________ ． 5．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式． 请解决下列问题： (1)已知，，则_________； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)已知，，求的值． (4)若x满足，求的值 6．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 类型五、新定义运算(选、填、解) 1．对于非零的两个有理数a，b定义一种新运算，规定．若，则的值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．16 2．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 3．定义一种幂的新运算：，例如，求的值为____． 4．定义一种新运算：，则的运算结果是______． 5．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 6．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 类型六、单(多)项式乘多项式(选、填、解) 1．若则m，n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 4．已知，，均为整数，且，则的可能取值是______． 5．为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 6．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 类型七、乘法公式表示图形(选、填、解) 1．如图，将图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形后，把剩余的阴影部分拼成一个平行四边形，根据阴影部分面积相等，我们可以验证公式（   ） A． B． C． D． 3．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 5．把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． (1)若，，且，则______； (2)如图，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积． 6．如图1，从边长a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是______（填字母）； A．；            B． (2)应用所得的公式计算：已知，，则的值为______； (3)应用所得的公式计算：． 类型八、尺规作图(选、填、解) 1．尺规作图，要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图，则正确的配对是（     ） A．图--，图--，图--Ⅰ，图-- B．图--，图--，图--，图--Ⅰ C．图--，图--，图--，图--Ⅰ D．图--，图--Ⅰ，图--，图-- 2．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，根据长方形中尺规作图的痕迹，得______． 4．如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为_________ 5．如图，按下列要求作图： (1)用尺规作图作出的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)用尺规作图作出的高；（保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 类型九、二元一次方程组求参(选考)(选、填、解) 1．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 3．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是______． 5．已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 6．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 类型十、图形的折叠(选、填、解) 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 4．如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．沿继续折叠纸片，点M的对应点为点N，若恰好是的角平分线，则_____． 5．【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 6．已知点分别在长方形纸片的边和上，连接，先将纸片的沿折叠，使点落在点处，再将纸片的沿折叠，使点落在点处． (1)如图1，若点恰好落在折痕上，且，求的度数； (2)如图2，若点恰好落在直线上，求的度数； (3)如图3，分别将纸片的和折叠后，得到的和重叠形成，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $