期中考前满分冲刺之中等易错题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、梯形的性质求解(选、填) 1．如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰梯形的性质可得，再利用三角形中位线定理求出四边形各边的长度，进而求得周长． 【详解】解：连接 ， 四边形是等腰梯形 分别是的中点 在中，是中位线，则 同理可得，， 篱笆的总长度为． 2．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 5．在梯形中，，，，，，则______． 【答案】9或3 【分析】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【详解】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 6．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 类型二、矩形的性质求解(选、填) 1．如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：． 2．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点在直线上表示出点坐标及长，利用矩形性质和求出长，进而得到点的坐标，代入求解即可. 【详解】解：设点的坐标为（）， 点在直线上，且四边形为矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ， ， ， 点的横坐标为， 四边形是矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即 点在直线上 ， ， ， . 3．如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质得到，再结合翻折的性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， 沿翻折得到， ． 4．如图，矩形纸片中，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于_____． 【答案】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ∴，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 【答案】3 【分析】根据题意，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：直线直线，则可设直线的解析式为， 又， ，解得， 即直线的解析式为， 又，四边形是长方形， 当时，， ， 又， ． 6．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，则为______． 【答案】/20度 【分析】由翻折变换得出相等的角：，再求出，即可求出 【详解】解：根据折叠的意义得：， 四边形是矩形， ， ， ， 类型三、菱形的性质求解(选、填) 1．如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的周长是（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，由菱形的面积可求出，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长． 故选：D． 2．如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（   ） A．13 B．11 C．12 D．10 【答案】A 【分析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而求得是解题的关键． 由菱形的性质得，，，因为于点，所以，则，所以，，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与交于点， ，，， 于点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 菱形的边长为13， 故选：A． 3．如图，菱形中，直线边，并从点出发向右平移，设直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系的图象如图所示，则菱形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析是解决此类问题的关键， 将图1和图2结合起来分析，分别得出直线过点D, B和时对应的值和值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 【详解】解：由图2可知，当直线过点时，，菱形的高等于线段的长，此时，直线向右平移直到点过点时，， 当直线过点时，， ∴菱形的边长为， ∴当点与点重合时，由勾股定理得， ∴， ∴菱形的高为， ∴菱形的面积为． 故选：A． 4．如图，菱形的顶点、在直线上，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形交于点交直线于点，若，则的大小为_____． 【答案】 【分析】先根据旋转的性质得，根据菱形的性质求出，进而得，再根据四边形是菱形求出，即可求出，可说明，接下来根据“角边角”证明，可得，结合等腰三角形的性质求出，然后根据平行线的性质得，则此题可解． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等，证明两个三角形全等是解题的关键． 5．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及勾股定理，解答关键是根据折叠的条件推出． 过作于，过作于，可求得，，根据勾股定理求得， ，根据折叠可知：，， ，然后证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：过作于，过作于，如图： ， 由已知，，菱形的面积为，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， 由折叠可知：， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； 6．如图， 在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上， 与交于点P， 则的长是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 连接交于，由菱形的性质得出，，，，，由直角三角形的性质求出，，得出的值，由旋转的性质得：，，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形， ，，，，， ， ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 类型四、正方形的性质求解(选、填) 1．如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可求出两个正方形重叠部分的面积． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ， ， ． 故选：B． 2．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．先求出，证明是等腰直角三角形，设，则，再证明是等腰直角三角形，则，同理，则，由此解得，进而得，，据此可对选项A，B进行判断；再设，证明是等腰直角三角形，则，，同理，则，由此解出，进而得，，据此可对选项C，D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为18，是对角线， ，，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，，， ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 同理：， ， ， ，， 故选项A，B均正确，不符合题意； 四边形是正方形， 设，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 同理：， ， ， ，， 故选项C正确，不符合题意；选项D不正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据,，，即可求得答案． 【详解】解： ∵正方形和正方形的边长分别为a、b， ∴， ∴ ， ∵． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握正方形边角性质，正方形面积公式，梯形面积公式，三角形面积公式． 5．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，不断激发人们的探究热情．如图是勾股定理的一种证明方法，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成大正方形，连接，．若正方形的面积为9，，则小正方形的面积为______． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键．令直角三角形的直角边，根据勾股定理求出，利用列方程求解即可． 【详解】解：令直角三角形的直角边， 正方形的面积为9, ， 在中，,, ， 在中，， 正方形中，，， 在中，， ， ， ， 解得，， 当时，小正方形的面积， 当时，不合题意，舍去， 小正方形的面积为5. 故答案为：5． 6．如图，在中，，分别以为边长向外侧作正方形，正方形，正方形，连接．若正方的面积为9，正方形的面积为16，则六边形的面积为______．    【答案】74 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由正方形面积计算公式和勾股定理得到，正方形的面积为25，；如图所示，过点E作交延长线于M，过点D作交延长线于N，证明，，则，，据此根据六边形面积等于三个正方形面积加上四个三角形面积求解即可． 【详解】解：∵正方的面积为9，正方形的面积为16， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即正方形的面积为25， ∴； 如图所示，过点E作交延长线于M，过点D作交延长线于N， 由正方形的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：．    类型五、中位线与斜中定理的性质求解(选、填、解) 1．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 2．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 3．如图，为的中位线，点在上，平分，若，，的长为______． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在正方形中，点是该正方形的中心，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，正方形的面积为，则的面积等于_____． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于G，过F作交延长线于H，即，由正方形的性质可得，点O在上且，，再运用三角形中位线可得、；易证四边形是矩形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于G，过F作交延长线于H，即 设正方形的边长为，则，，，即， ∵在正方形中，点是该正方形的中心， ∴，点O在上且，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为． 5．【三角形中位线定理】已知：在中，点D，E分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为，的中点，分别交，于点F，G，．求证：． 【答案】[三角形中位线定理]，；[应用]135；[拓展]见解析 【分析】[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，结合等腰三角形的判定和性质，平行线的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]解：，； 理由：∵点，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 故答案为：，； [应用]解：如图所示，连接， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展]证明：取的中点，连接、．如图： ∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．探究：【证法回顾】 (1)证明：三角形中位线定理． 已知：是的中位线，求证：． 证明：添加辅助线，如图，在中，延长（点分别是的中点）至点，使得，连接．请继续完成证明过程； 【问题解决】 (2)如图，在正方形中，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长； 【拓展研究】 (3)如图，在四边形中，，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）证明四边形是平行四边形即可求证； （）取的中点，连接，延长交于点，证明，得，，得到是中位线，再利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解； （）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，证明，得，，过点作，交的延长线于点，连接，由，可得，，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得，得到，即得到，最后利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （2）解：如图，取的中点，连接，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， 过点作，交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 类型六、由频率估计概率(选、填、解) 1．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000 【答案】B 【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动， 显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 2．某羽毛球生产厂的质检员对一批羽毛球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 抽取球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 42 81 164 410 820 优等品频率 则从这批产品中任意抽取一个羽毛球，估计抽到优等品的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可估计为事件发生的概率. 【详解】解：∵用频率估计概率时，试验次数越大，频率越接近真实概率. 观察表格数据可得，随着抽取球数不断增大，优等品的频率逐渐稳定在. ∴估计从这批产品中任意抽取一个羽毛球，抽到优等品的概率约为. 3．小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 【答案】 【分析】当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值，根据表格中频率的变化趋势即可求解. 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数不断增大，“两位玩家平局”的频率逐渐稳定在附近， 结果要求精确到， 因此用频率估计“两位玩家平局”的概率是． 4．某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可得，随着移植棵数逐渐增加，成活的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的原理，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为， 将精确到，结果为． 5．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 6．某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 【答案】(1)， (2)0.1 (3)这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元 【分析】（1）用频数11除以总数100即可求出频率m，用总数400乘以频率0.095即可求出频数n； （2）根据频率估计概率得0.1； （3）先用300除以概率0.1得到鱼塘中大约有3000条鱼，再列式即可求出总价值． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据频率估计概率得随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为0.1； （3）解：（条）， （元）． 答：这片鱼塘中的鱼的价值大约是135000元． 类型七、因式分解中的简算(选、填、解) 1．计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 2．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 4．已知，， ∴， 计算______． 【答案】145 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 5．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型八、特殊平行四边形的折叠问题(选、填、解) 1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 3．如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 连接，交于，设交于点，利用全等三角形的性质证明，再证明共线，求出，设，，利用勾股定理构建方程组求解即可． 【详解】解：连接，交于，设交于点，如图： ∵四边形是长方形纸片， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 根据勾股定理可得，， 可得： 故答案为： 4．如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 【答案】 【分析】由折叠性质得四边形为正方形，设，则，为中点，则．过点作于点，由等腰直角得，在中得，故，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由题意得，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 在中， ， ∵是的中点， ∴， 如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， 解得， 由题意得，， 在中， ， ∵，且， ∴， ∴． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合正方形、等腰直角三角形与勾股定理，通过设参数转化线段关系，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想． 5．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 【答案】(1) (2)，，；秒或秒或秒 【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解； （2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可； 分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变， 故再从图看出：，， ， 故答案为：，，； 如图，过作交于点， 由翻折得，， ，， ， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， 当点从运动到图为止时，， 在中，， ， ； 如图： 由翻折得， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， ， 综上所述，的值为秒或秒或秒， 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、．    【观察计算】 （1）在图1中，的值是_____． 【操作探究】 （2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； （3）如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； 【操作拓展】 （4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 【答案】（1）；（2）点在折痕上，见解析；（3），见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，得到，，，根据勾股定理，得到 ，结合，代入计算即可． （2）作于点M，则M是的中点，故直线是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点，而线段只有一个中点，H与M重合，是线段的垂直平分线．而是线段垂直平分，∴，是同一条直线，证明即可． （3）根据折叠的性质，正方形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，等量代换思想证明即可． （4）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，画图即可． 【详解】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，    得 ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）点在折痕上，理由如下：    证明如下：四边形是正方形，， 由图1中的折叠可知，，， ∴， ∴， 作于点M， 则M是的中点， 故直线是线段的垂直平分线． 由图2中的折叠可知：H是的中点， 而线段只有一个中点， ∴H与M重合， ∴是线段的垂直平分线． 而是线段垂直平分， ∴，是同一条直线， ∴在折痕上． （3），理由如下： 连接，    根据折叠的性质，得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与直线是重合的， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点Q，延长交于点K， 根据前面证明，得到，， ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）沿着折叠正方形，使得点C与点A重合，连接折痕，    则与的交点即为所求． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 类型九、先因式分解在求值(解) 1．（1）因式分解 （2）先因式分解再求值：已知，，求的值 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用完全平方公式进行因式分解即可解答； （2）先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式化简，再代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当，时，原式． 2．（1）因式分解：； （2）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ； 当，时，原式． 3．（1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 【答案】（1）；（2）； 96． 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）提出公因式，即可求解； （2）先利用提公因式法解答，再把代入，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 当时，原式． 4．把下列各题因式分解： (1)； (2)先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）用完全平方公式，进行因式分解； （2）用平方差公式，进行因式分解，再代入求值． 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，难度一般，仔细运算即可． 【详解】（1）解：； （2）， 当，时， ． 5．先因式分解，再求值：，其中． 【答案】因式分解结果为，求值结果为 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值；先通过提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再代入已知条件计算出最终结果． 【详解】解： 当，时， 6．先因式分解，再求值：，已知，． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法并正确进行因式分解是解题的关键． 先将原式提公因式进行因式分解，然后代入已知数值进行计算即可． 【详解】解：， ， ； 当，，原式． 类型十、特殊平行四边形的尺规作图(解) 1．如图，在平行四边形中，． (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 【答案】(1)图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义可推得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图：垂直平分． （2）解：，证明如下： 连接，如图： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故是等边三角形， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接CE． (1)尺规作图：在边上找一点，使得点到点，的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）作垂直平分线即可； （）连接，由矩形性质可得，，由勾股定理得，设，则，，再通过勾股定理得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∴． 3．如图，是矩形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若，，求的长． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线，矩形，勾股定理的运用 ，解题的关键是掌握垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理的运用，进行解题，即可． （1）根据垂直平分线的作图，即可； （2）根据垂直平分线的性质，得到，设，则，根据勾股定理，，求出，即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作； （2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 6．如图，． (1)求作：四边形，使得四边形是平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质作出的中点，连接并延长到点，使，连接，，则四边形即为所作； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形如图所示： ； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、梯形的性质求解(选、填) 1．如图，某花木场有一块等腰梯形的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 3．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 5．在梯形中，，，，，，则______． 6．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 类型二、矩形的性质求解(选、填) 1．如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（    ） A．7 B． C． D． 2．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形纸片中，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 6．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，则为______． 类型三、菱形的性质求解(选、填) 1．如图，菱形的对角线相交于点O，若，，则菱形的周长是（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 2．如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（   ） A．13 B．11 C．12 D．10 3．如图，菱形中，直线边，并从点出发向右平移，设直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系的图象如图所示，则菱形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的顶点、在直线上，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形交于点交直线于点，若，则的大小为_____． 5．如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________． 6．如图， 在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上， 与交于点P， 则的长是________． 类型四、正方形的性质求解(选、填) 1．如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．不能确定 2．已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长为18的正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在上，且四边形和均为正方形，记的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，的面积为，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 4．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为______． 5．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，不断激发人们的探究热情．如图是勾股定理的一种证明方法，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成大正方形，连接，．若正方形的面积为9，，则小正方形的面积为______． 6．如图，在中，，分别以为边长向外侧作正方形，正方形，正方形，连接．若正方的面积为9，正方形的面积为16，则六边形的面积为______．    类型五、中位线与斜中定理的性质求解(选、填、解) 1．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，为的中位线，点在上，平分，若，，的长为______． 4．如图，在正方形中，点是该正方形的中心，点，分别在边，上，点是的中点，连接，若，正方形的面积为，则的面积等于_____． 5．【三角形中位线定理】已知：在中，点D，E分别是边，的中点．直接写出和的关系为 ； 【应用】如图，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为 度； 【拓展】如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为，的中点，分别交，于点F，G，．求证：． 6．探究：【证法回顾】 (1)证明：三角形中位线定理． 已知：是的中位线，求证：． 证明：添加辅助线，如图，在中，延长（点分别是的中点）至点，使得，连接．请继续完成证明过程； 【问题解决】 (2)如图，在正方形中，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长； 【拓展研究】 (3)如图，在四边形中，，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长． 类型六、由频率估计概率(选、填、解) 1．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1000 2．某羽毛球生产厂的质检员对一批羽毛球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 抽取球数n 10 20 50 100 200 500 1000 优等品数m 7 16 42 81 164 410 820 优等品频率 则从这批产品中任意抽取一个羽毛球，估计抽到优等品的概率约为（    ） A． B． C． D． 3．小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 4．某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）． 5．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 6．某鱼塘主准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了300条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表： 每次打捞条数 50 100 150 200 300 400 500 打捞到带标记的鱼的条数 4 11 15 21 30 n 51 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.100 0.105 0.100 0.095 0.102 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计这条鱼带标记的概率为________（精确到0.1）； (3)若每条鱼价值大约为45元，则这片鱼塘中的鱼的价值大约是多少元？ 类型七、因式分解中的简算(选、填、解) 1．计算 等于（ ） A． B． C． D． 2．与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 4．已知，， ∴， 计算______． 5．利用因式分解计算： (1)； (2)． 6．用简便方法计算： (1)； (2)． 类型八、特殊平行四边形的折叠问题(选、填、解) 1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 2．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 3．如图，已知长方形纸片的长，宽，点均在上(在左侧)，先将纸片沿折叠，记点的对应点为，再将纸片沿折叠，使得的对应线段，连接，若折叠过程保持，分别在长方形的外部和内部，当时，的长为_____． 4．如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 5．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． (2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示． 图中 ， ，图中 ． 点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上． 6．【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、．    【观察计算】 （1）在图1中，的值是_____． 【操作探究】 （2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由； （3）如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明； 【操作拓展】 （4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由） 类型九、先因式分解在求值(解) 1．（1）因式分解 （2）先因式分解再求值：已知，，求的值 2．（1）因式分解：； （2）先因式分解，再求值：，其中，． 3．（1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 4．把下列各题因式分解： (1)； (2)先因式分解，再计算求值：，其中，． 5．先因式分解，再求值：，其中． 6．先因式分解，再求值：，已知，． 类型十、特殊平行四边形的尺规作图(解) 1．如图，在平行四边形中，． (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 2．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接CE． (1)尺规作图：在边上找一点，使得点到点，的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（）的条件下，连接，若，，求的长． 3．如图，是矩形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若，，求的长． 4．如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 5．如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 6．如图，． (1)求作：四边形，使得四边形是平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，若，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $