期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、阴影面积问题(选、填、解) 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确． 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 2．把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，可以把两块阴影部分合并后计算面积，然后比较和的大小．此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则解本题的关键． 【详解】解：设底面的矩形的长为，宽为，矩形卡片，，的长为，宽为， 由图1，得， 由图2，得， 则． 故选：B． 3．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为__________ 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的混合运算． 利用面积的和与差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，正确表示出，的面积是解题的关键．根据已知并结合图形先求出阴影的面积和阴影的面积，然后再求出阴影的面积阴影的面积，从而根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 阴影的面积， 阴影的面积， 阴影的面积阴影的面积， 阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化， ， ， 故答案为：． 5．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 6．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 类型二、字母中的数量关系(选、填、解) 1．已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是将所有已知等式统一化为底数为3的幂．先将和化为以3为底的幂，再利用建立等式，最后根据指数相等得到关系． 【详解】解：， ， 又, 且， ， 即， 且， ， 故选：． 2．，是正整数，若，则，的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，将整理得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：B． 3．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ． 即． 5．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 6．综合与实践 提出问题： 如图，在长方形中，，点在上，点在上．，，，且．求a、b、c之间的数量关系．    探究问题： 某校数学社团成员在探究a、b、c之间的数量关系时，利用学习多项式乘以多项式中积累的方法发现可以利用长方形的面积来探究a、b、c之间的数量关系．长方形的面积S可以用两种不同的方法表示：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形看成是由，， ，组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空： 方法一：___________． 方法二，． 问题解决： （1）由于方法一和方法二表示的都是长方形的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）． （2）请直接运用（1）中的结论，求当，时S的值． 【答案】；（1）；（2）28 【分析】根据长方形的面积公式可求解； （1）根据长方形的面积个三角形的面积和列式化简即可求解； （2）将，的值代入计算可求解的值，进而可求解值． 【详解】解：． 故答案为：； （1）由题意得：， ， ； （2），且，， ， ， ． 答：的值为28． 【点睛】本题主要考查了整式的运算与图形的关联，注意数形结合． 类型三、杨辉三角(选、填、解) 1．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 2．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数……当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（　　）个 ①的展开式中的系数是： ②的展开式中系数最大的项为； ③能被24整除 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据规律分析解答即可． 本题主要考查多项式乘多项式、规律，找到规律是解题的关键． 【详解】①解：根据题意，得， ， 令， 得故的系数是， 故①错误； ②解：根据题意，得 令替换b，得 故的展开式中系数最大的项为； 故② 正确； ③解： ， 由，得 ， 故 故能被24整除 故③正确； 故选：C 3．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中各项的系数和为___________． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘法的规律．根据题目的规律得到的展开式中各项的系数和即为当时，的值，即可得到答案． 【详解】解：当时， 即的展开式中各项的系数和为， 故答案为： 4．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 5．【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 6．阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】(1) (2)， (3)64 (4)见解析 【分析】本题考查整式乘法的应用以及杨辉三角，能够通过杨辉三角得到规律是解题关键； （1）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； （4）令和令代入（1）中展开式，求出的展开式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． （2）解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． （3）解：通过规律可知， 令得到， ∴． （4）解：当时，， 当时，， 得：， ∴， ∵为整数， ∴能被整除， 故能被50整除． 类型四、最值问题(选、填、解) 1．如图，点P位于内部，点M和N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：分别作点P关于、的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接，、，、 点P关于的对称点为C， ，， 点P关于的对称点为D， ，，， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为． 故选：C ． 2．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小，根据三角形的面积公式求出的长度，即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小， 在中，，，，， ， ， 解得：， 的最小值是． 故选：A． 3．如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 5． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 6．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 类型五、三角板旋转后平行求t问题(选、填、解) 1．如图，一副直角三角板按图1所示的方式摆放（它们的直角顶点重合），现将含30°角的三角板ABC固定不动，将含45°角的三角板ADE绕直角顶点A以每秒10°的速度顺时针转动一周（如图2），设运动时间为t秒，若三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行，则t等于（    ）秒 A．6或18 B．12或18 C．6或24 D．12或24 【答案】C 【分析】根据三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行，画出相应的图形，解得旋转角的度数，再根据旋转的速度即可求得时间． 【详解】解：如图，当AE//BC时， 旋转角为： 如图，继续旋转可得AE//BC， 此时的旋转角为 综上所述，当三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行时，t=6或24 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（    ） A．15°或45° B．15°或45°或90° C．45°或90°或135° D．15°或45°或90°或135° 【答案】D 【分析】分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解． 【详解】解：设旋转的度数为α， 若DE∥AB，则∠E=∠ABE=90°， ∴α=90°-30°-45°=15°， 若BE∥AC，则∠ABE=180°-∠A=120°， ∴α=120°-30°-45°=45°， 若BD∥AC，则∠ACB=∠CBD=90°， ∴α=90°， 当点C，点B，点E共线时， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴AC∥DE， ∴α=180°-45°=135°， 综上三角板DEF旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°． 故选：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 3．如图1．和中，，，，与重叠．若绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转不停．在旋转过程中．若和中有一组边平行，则称之为一次“边平行”，当旋转到______秒时，第三次边平行；当旋转到______秒时，第2022次边平行．    【答案】 【分析】画出第三次平行的图像，得到三次平行时，计算出绕点O旋转，即可求得时间；由同一种边平行之间相差180度可得绕点O旋转一周有6次边平行出现，再求出绕点O按每秒旋转一周所用时间及2022次边平行需要转几周，进行求解即可． 【详解】解：第三次边平行时，如下图所示，此时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时绕点O旋转， ∴旋转时间为：秒； 由图2得，第一次平行时，即， ∵， ∴， ∴, 故第一次平行时，绕点O旋转； 当旋转角度大于时， 时，， 由此可得，绕点O旋转一周有6次边平行出现， ∵绕点O按每秒旋转一周所用时间为秒， ∵周， ∴秒， 故答案为：，秒． 【点睛】本题考查旋转的性质、平行直线的性质和直角三角形的性质，解题的关键是找出绕点O旋转一周有6次边平行出现． 4．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】或或 【详解】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：分三种情况： ①当时，如图： ∴， ∴， ∴． ②当时， ∴， ∴， ∴． ③当时，过点C作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当旋转时间或或秒时， 三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：或或． 5．已知一副三角板按图1所示摆放，．，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧，保持不动．      (1)在图1中，_________； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则_________； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数； (4)将绕点逆时针方向旋转时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出的所有值． 【答案】(1)150 (2)30 (3)30 (4)，45，90，135 【分析】本题主要考查角之间的和差关系，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解； （2）分别表示出和即可求解； （3）设旋转角度，平分时，，据此列方程，即可求解； （4）分情况讨论：当时；当时；当时；当时，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， （3）解：设旋转角，如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴旋转角的度数是； （4）解：当时，如图， ∴， ∴， ∴； 当时，设与相交于E，如图， ∴， 又， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴； 综上，，45，90，135． 6．如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置，，，，，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线．    (1)对于图1，固定三角形的位置不变，将三角形绕点A按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次垂直，如图2所示，此时的度数是______； (2)若直线，固定三角形的位置不变，将图1中的三角形沿方向平移，使得点C正好落在直线上，再将三角形绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边与边相交于点G，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由； ②固定三角形的位置不变，将三角形绕点C按逆时针方向以每秒的速度旋转，至与直线首次重合时停止运动．设旋转时间为t． 问：当t为何值时，线段与三角形的一条边平行（选择你喜欢的一条边探究，如果符合条件的t不存在，只要理由充分，也可得分） 【答案】(1) (2)①是；；②当t为3秒或5秒或9秒时，线段与三角形的一条边平行 【分析】（1）根据，得出，根据，，得出，根据旋转得出． （2）①过点G作，证明，得出，，求出即可； ②分三种情况进行讨论，当旋转到的位置，且时，当旋转到的位置，且时，当旋转到的位置，且时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 根据旋转可知，． 故答案为：．    （2）解：①是；； 过点G作，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； ②当旋转到的位置，且时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时C、，E在同一直线上， ∴旋转角为：， ∴（秒）； 当旋转到的位置，且时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 当旋转到的位置，且时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上分析可知，当t为3秒或5秒或9秒时，线段与三角形的一条边平行． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 类型六、二元一次方程组的整数解—选考(选、填、解) 1．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 2．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，涉及解二元一次方程组，先由加减消元法解得，，再由题意，分类讨论即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②①得，解得； 将代入①得； 若关于的方程组的解为整数， 当取时满足题意， 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 当，解得，则，符合题意； 满足条件的所有整数的值的和为， 故选：C． 3．已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 【答案】 【分析】先用加减消元法消去y，将x表示为含m的分式，再根据x为整数得出分母是22的因数．逐一验证确定m的值，若m的值是整数，则代入检验y是否为整数． 【详解】解： 将②得，③ ①+③，得， ， 为整数， 是22的因数， 22的因数为， 当时，代入②得解得为整数，符合； 当时（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，，代入②得不是整数，舍去； 当时，（舍去）． 故答案为：． 4．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 5．已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 6．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 类型七、整除问题(解) 1．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键． （1）先计算得到，再把代入即可求解； （2）先根据得到， 再计算得到变形为，即可证明的值能被8整除． 【详解】（1）解： ， 当时，； （2）解：， ， ， ， ． 当时，且x、y是整数，的值能被8整除． 2．观察：． 嘉嘉发现规律：比任意一个奇数大4的数与此奇数的平方差能被4整除． 验证： （1）的结果是4的_____倍． （2）设奇数为，试说明比大4的数与的平方差能被4整除． 延伸： （3）试猜想比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能否被8整除？请说明理由． 【答案】（1）14；（2）证明过程见解析；（3）能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得比奇数大4的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大4的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ； 故答案是：． （2）比奇数大4的数为， ． 为整数， 能被4整除． （3）能． 理由：设这个数为，则比大4的数为， ， 能被8整除， 比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能被8整除． 3．将能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P，到点P距离为1的点对应的数分别记为a，b．定义：若，则称m为“隔一三倍数”．例如：若P所表示的数为3，则，，那么；若P所表示的数为12，则，，那么，所以12，147是“隔一三倍数”． (1)若点P所表示的数为6，则______，______，______； (2)试说明所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 【答案】(1)5；7；39 (2)见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，完全平方公式，平方差公式． （1）根据数轴上两点间的距离得到，，代入计算即可； （2）设点P表示的数为（k为正整数），根据数轴上两点间的距离得到，，代入，结合乘法公式求出，可知所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 【详解】（1）解：点P所表示的数为6， 则到点P距离为1的点对应的数分别是，， 即，， ∴ ， 故答案为：5，7，39； （2）解：∵能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P， ∴设点P表示的数为（k为正整数）， 则到点P距离为1的点对应的数分别是，， 即，， ∴ ， ∴所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 4．【发现】；… 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【应用】 （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为（k为整数），试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 【延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，是一个大于且小于的质数，且（m，n，t为正整数），则的值为______． 【答案】（1）19；（2）见解析；（3）1 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）计算出的结果，即可； （2）根据“比大3的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算得到，然后求出，然后得到且是质数，或13或17或19或23，然后根据，m，n为正整数求出，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 即的结果是3的倍； （2）解：偶数为，比大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除， ∴比大3的数与的平方差能被3整除； （3）设这个数为，比大3的数为， ∴ ∵比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t， ∴ ∴ ∵是一个大于且小于的质数， ∴且是质数 ∴或13或17或19或23 ∵，m，n为正整数 ∴， ∴． 5．已知多项式，，为任意有理数． (1)问的值能否等于4，说明理由； (2)当是整数时，判断的值能否被8整除． 【答案】(1)不可能等于4，理由见解析 (2)能被8整除 【分析】本题考查了乘法公式，解决本题的关键是将A、B代入要求的式子中计算． （1）因为，，所以，据此求出的值不可能等于4； （2）因为，，所以，当t是整数时，能被8整除，据此证明． 【详解】（1）解：， 因为为任意有理数， 所以，所以， 即， 所以的值不可能等于4； （2）解：， 当是整数时，能被8整除， 即一定能被8整除． 6．我们知道，因为，所以整数6能被因数2或3整除；同样，，那么我们称：整式能被因式x或整除． (1)多项式能被_______整除（填写含x的整式，原式除外） (2)阅读问题的解答过程：若多项式能被整除，求常数a的值． 解法如下：二次三项式中最高次项是，已知因式中最高次项是x 又 另一因式的最高次项应为，该因式最高次也是1，即此另一因式是一次二项式 因此，可设另一因式为（其中m是常数项） 即得， 可得．． 仿照以上解题方法，解决以下问题： 已知多项式能被整除，求常数p的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用完全平方公式即可求解； （2）判断出另一因式为二次三项式，设另一因式为，利用多项式乘多项式法则去括号，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式能被整除， 故答案为：； （2）解：∵多项式的最高次项是，且能被整除， ∴另一因式为二次三项式， 设另一因式为（其中m、n是常数项）， ∴， 即， 即， ∴，，， 解得，． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，掌握乘法公式以及多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 类型八、平方差公式与完全平方公式的应用(解) 1．数学中有很多等式可以利用图形的面积来表示，请根据以下图形，解决问题． (1)观察图1，请你写出，，之间的关系 ； (2)利用图2，解决问题：已知，求的值； (3)利用以上结论，解决问题：若，求的值． 【答案】(1) (2)18 (3)37 【分析】（1）观察图形并根据面积关系即可解答； （2）由图2可得，再代入相关数据即可解答； （3）设，则、，由以及，从而得到，最后代入相关数据即可解答． 【详解】（1）解：由图1可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积比小正方形的面积多4个面积为的矩形，即． （2）解：由图2可知：， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ， ∴， ． 【点睛】掌握数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． 2．解答： (1)【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）直接利用题目给出的完全平方公式变形，代入已知数值计算； （2）通过换元法将两个整式设为整体，结合完全平方公式的变形公式求解； （3）通过平移阴影部分的边，发现花圃总周长与长方形周长的关系，结合长与宽的差求出长和宽，进而计算面积． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴． （2）解：设，， 则，，． ∵， ∴， 即． （3）解：设，． 根据题意，得，，， ∴，． ∵长方形和长方形(阴影部分)的总周长为， ∴．即． ∵， ∴，解得． 答：长方形空地的面积为． 3．问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 4．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 5．借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义、代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式的变形及几何图形面积的转化是解题的关键． （1）通过大正方形面积的两种表示方法推导完全平方公式相关关系式． （2）解题关键在于设元，将几何条件转化为关于a、b的方程，并利用公式整体求出的值，最后代入面积公式求得结果． 【详解】（1）解：利用图形可以推导出的关系式为，图1：； 图2：. 故答案为：， （2）解：设，，则， ， ， ， ， ，， ． 6．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 类型九、规律问题(解) 1．填空： ； ； ； (1)______； (2)猜想：______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算（结果用幂的形式表示）： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据题干中的等式即可得出答案； （2）根据已知等式总结规律即可； （3）①将原式变形后利用所得规律计算即可； ②将原式变形后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）由题干中的等式可得． （2）由已知等式可得（其中为正整数，且）． （3）①， 结合（2）的结论，可得， 故． ②， 结合（2）的结论，可得， 故 ； 即． 2．在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）仿照题干计算即可； （2）根据（1）作答即可； （3）将化为，根据（2）的规律计算即可； （4）根据（1）求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 （3）解： （4）解：由（1）知 ∵ ∴ 即 ∴ 当时， 当时， 3．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)___________； (2)___________； (3)___________；… (4)由此我们可以得到___________； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： (5)； (6)； (7)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)1 【分析】（1 ）（2 ）（3 ）根据多项式乘多项式直接计算即可； （4 ）根据计算规律可直接得出结果； （5 ）（6 ）将原式变形，然后利用（4 ）中规律求解即可； （7 ）利用（3 ）可得，即，再根据指数幂的运算求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由此我们可以得到； （5）解：； （6）解： ； （7）解：， ， 解得， ∴． 4．根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）根据乘法公式进行计算即可； （2）根据乘法公式进行证明即可； （3）令，由上述规律可得：，即可得到答案； （4）分别求出和，两式相减即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：；；；； （2）证明：设， 则， 展开，，， 两式相加得：， 即； （3）解：令， 由上述规律可得：， 故 （4）解：令， ， ， 而， ， ． 5．综合与探究 【问题背景】有一种可用手掌计算之间的整数相乘的方法．例如：计算时，按图1摆放双手并标记数字．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，左手有2个手指，右手有3个手指；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即． (1)【类比学习】计算时，按上述方法，可得 ． (2)【归纳总结】设a，b分别为之间的任意整数．在计算时，若a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指，虚线下方双手共有 个手指，按上述方法，可得 用含a，b的代数式表示，不用化简． (3)【探究提升】若将a，b变为之间的任意整数也满足类似的算法，根据如图2所示的标记数字，也可按相同方法画出虚线．在虚线的上方，如果左、右手分别有m，n个手指．那么 _____．（用含m，n的代数式表示，不用化简） 【答案】(1)； (2)；；； (3) 【分析】此题考查了整式的加减法以及多项式乘多项式的应用、列代数式等知识． （1）根据题中的算法即可得到答案； （2）根据题中的算法得到规律即可； （3）根据计算之间整数相乘的手指算法即可得到答案． 【详解】（1）解：计算时，按上述方法，算法为：； 故答案为：；． （2）解：设分别为中的任一整数．在计算时，在左手，在右手， 则虚线上方左手有个手指，右手有个手指； 虚线下方双手共有个手指． 则算法为：（用含的代数式表示）． 故答案为：；；；． （3）解：由题意可得，若在虚线的上方，左、右手分别有和个手指． 则算法为：， 故答案为：． 6．阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 【答案】(1)，26 (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据给定的方法计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的系数即可． 【详解】（1）解：根据题意，一次项系数为， 二次项系数为， 故答案为：，26； （2）解：根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）解：， ∴，，，． 类型十、新定义问题一选考：含二元一次方程组(解) 1．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3， (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 2．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 3．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)以下说法正确的是____________：（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (2)如图2，已知，射线是的“巧分线”，且．求作的巧分线（不与重合），并直接用含a的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）． 【答案】(1)①③ (2)图见解析, 或 【分析】本题考查角的”巧分线”的定义及应用，角度的和差计算，角平分线的定义，以及尺规作角平分线，解题的关键是紧扣”巧分线”的定义（一个角的度数是另一个角的两倍）分析角之间的关系． （1）结合”巧分线”和角平分线的定义，逐一分析选项； （2）根据”巧分线”的定义分两种情况画出射线，并根据角的和差计算推导的表达式． 【详解】（1）解：①角的平分线会将角分成两个相等的角，此时“一个角（原角）是另一个角（平分后的角）的两倍”，符合“巧分线”定义，故①正确； ②“巧分线”只需满足一个角是另一个角的两倍，不一定平分角（如被分成和），故②错误； ③一个角的“巧分线”可能有多种分法（如的角可以分成和，或和），个数不唯一，故③正确． 故答案为：①③； （2）解：分两种情况： ①如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵ ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∴， ∴； ②如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵ ∴， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 4．定义：若已知两个角满足：，则称互为“差余角”（） ． (1)若与互为“差余角”，当时， °； (2)如图，，射线从开始绕点 O 顺时针旋转，速度为5度/秒，同时，射线从开始绕点 O 逆时针旋转，速度为3度/秒，当与重合时，与同时停止运动．设运动时间为t秒（）． ①当时，与 互为“差余角”（填“是”或“不是”）； ②若与互为“差余角”，求t的值； ③能否既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”，如果可以，求出t的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)①不是；②的值为或或；③不可以，不存在使得既与互为差余角又与互为差余角 【分析】本题主要考查绝对值、余角和补角的知识点．解题的关键是根据的取值情况进行分析，利用题目中的差余角定义进行求解． （1）根据题目中差余角的定义得且，得出的度数． （2）①先求当时和的度数，再将和代入差余角的定义进行验证； ②分两种情况讨论：当射线、相遇前，，当射线与相遇后，，分别求的值即可； ③由②可得当与互为差余角，的值为或或，分别验证当的值为或或时，是否与互为差余角． 【详解】（1）解：且， 当时，， 则． 故答案为：150； （2）解：①当时，，，， ， 所以与 不是互为差余角． 故答案为：不是； ②由题可知，，， 当、重合时，， 当到达时，， 当与互为“差余角”时： 当射线、相遇前，即时， ， ， 解得或； 当射线与相遇后，即时， ， ， 解得或（舍， 综上所述：的值为或或； ③由②得，当与互为差余角时，的值为或或． 当时，，，． 当时，，，． 当时，，，． 综上所述，当或或时，均不等于， 所以不存在使得既与互为差余角，同时又与互为差余角． 故不可以，不存在使得既与互为差余角，同时又与互为差余角． 5．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 6．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题考查了平行线的性质、新定义“系数补角”的理解与应用，利用平行线转化角的关系、结合新定义建立方程是解题的关键． （1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】解：（1）设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是， 故答案为：； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、阴影面积问题(选、填、解) 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 2．把三张大小相同的矩形卡片A，B，C叠放在一个底面为矩形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为；若按图2摆放时，阴影部分的面积为，则（　　） A． B． C． D．无法确定 3．在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为__________ 4．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为______． 5．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 6．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 类型二、字母中的数量关系(选、填、解) 1．已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．，是正整数，若，则，的数量关系是（   ） A． B． C． D． 3．若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 4．已知，若正方形的边长为，其面积记为，长方形的长为，宽为，其面积记为，用等式表示与的数量关系为___________． 5．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 6．综合与实践 提出问题： 如图，在长方形中，，点在上，点在上．，，，且．求a、b、c之间的数量关系．    探究问题： 某校数学社团成员在探究a、b、c之间的数量关系时，利用学习多项式乘以多项式中积累的方法发现可以利用长方形的面积来探究a、b、c之间的数量关系．长方形的面积S可以用两种不同的方法表示：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形看成是由，， ，组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．请根据以上材料，填空： 方法一：___________． 方法二，． 问题解决： （1）由于方法一和方法二表示的都是长方形的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）． （2）请直接运用（1）中的结论，求当，时S的值． 类型三、杨辉三角(选、填、解) 1．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数……当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（　　）个 ①的展开式中的系数是： ②的展开式中系数最大的项为； ③能被24整除 A．0 B．1 C．2 D．3 3．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中各项的系数和为___________． 4．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为__________． 5．【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 6．阅读材料：人教版八年级上册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 类型四、最值问题(选、填、解) 1．如图，点P位于内部，点M和N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是______． 4．如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 5． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 6．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 类型五、三角板旋转后平行求t问题(选、填、解) 1．如图，一副直角三角板按图1所示的方式摆放（它们的直角顶点重合），现将含30°角的三角板ABC固定不动，将含45°角的三角板ADE绕直角顶点A以每秒10°的速度顺时针转动一周（如图2），设运动时间为t秒，若三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行，则t等于（    ）秒 A．6或18 B．12或18 C．6或24 D．12或24 2．小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（    ） A．15°或45° B．15°或45°或90° C．45°或90°或135° D．15°或45°或90°或135° 3．如图1．和中，，，，与重叠．若绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转不停．在旋转过程中．若和中有一组边平行，则称之为一次“边平行”，当旋转到______秒时，第三次边平行；当旋转到______秒时，第2022次边平行．    4．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 5．已知一副三角板按图1所示摆放，．，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧，保持不动．      (1)在图1中，_________； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则_________； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数； (4)将绕点逆时针方向旋转时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出的所有值． 6．如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置，，，，，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线．    (1)对于图1，固定三角形的位置不变，将三角形绕点A按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次垂直，如图2所示，此时的度数是______； (2)若直线，固定三角形的位置不变，将图1中的三角形沿方向平移，使得点C正好落在直线上，再将三角形绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边与边相交于点G，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由； ②固定三角形的位置不变，将三角形绕点C按逆时针方向以每秒的速度旋转，至与直线首次重合时停止运动．设旋转时间为t． 问：当t为何值时，线段与三角形的一条边平行（选择你喜欢的一条边探究，如果符合条件的t不存在，只要理由充分，也可得分） 类型六、二元一次方程组的整数解—选考(选、填、解) 1．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 2．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 4．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为______． 5．已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 6．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 类型七、整除问题(解) 1．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除． 2．观察：． 嘉嘉发现规律：比任意一个奇数大4的数与此奇数的平方差能被4整除． 验证： （1）的结果是4的_____倍． （2）设奇数为，试说明比大4的数与的平方差能被4整除． 延伸： （3）试猜想比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能否被8整除？请说明理由． 3．将能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P，到点P距离为1的点对应的数分别记为a，b．定义：若，则称m为“隔一三倍数”．例如：若P所表示的数为3，则，，那么；若P所表示的数为12，则，，那么，所以12，147是“隔一三倍数”． (1)若点P所表示的数为6，则______，______，______； (2)试说明所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 4．【发现】；… 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【应用】 （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为（k为整数），试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 【延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，是一个大于且小于的质数，且（m，n，t为正整数），则的值为______． 5．已知多项式，，为任意有理数． (1)问的值能否等于4，说明理由； (2)当是整数时，判断的值能否被8整除． 6．我们知道，因为，所以整数6能被因数2或3整除；同样，，那么我们称：整式能被因式x或整除． (1)多项式能被_______整除（填写含x的整式，原式除外） (2)阅读问题的解答过程：若多项式能被整除，求常数a的值． 解法如下：二次三项式中最高次项是，已知因式中最高次项是x 又 另一因式的最高次项应为，该因式最高次也是1，即此另一因式是一次二项式 因此，可设另一因式为（其中m是常数项） 即得， 可得．． 仿照以上解题方法，解决以下问题： 已知多项式能被整除，求常数p的值． 类型八、平方差公式与完全平方公式的应用(解) 1．数学中有很多等式可以利用图形的面积来表示，请根据以下图形，解决问题． (1)观察图1，请你写出，，之间的关系 ； (2)利用图2，解决问题：已知，求的值； (3)利用以上结论，解决问题：若，求的值． 2．解答： (1)【阅读材料】 数学课上，有这样一道题；已知，，求的值． 某数学学习小组发现：可以在不求，的值的情况下，求出的值．方法如下：因为，，所以，即，则______； (2)若满足，求的值； (3)【问题解决】 如图，某校有一块长方形空地，长比宽长，为创办文明校园，美化校园环境，该校计划要在长方形空地中划出长方形和长方形，两个长方形的重合部分刚好建一个长为，宽为的喷泉水池，并将长方形和长方形(阴影部分)区域建成花圃，且花圃总周长为，求长方形空地的面积． 3．问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 4．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 5．借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常用方法． (1)【观察发现】图1是用边长为、的四个长方形拼成的一个大正方形，图2是用边长为、、的三个正方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形，边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的关系式为：图1：___________，图2：_________． (2)【解决问题】如图3，在线段上取一点，在同侧分别以、为边作正方形和正方形，分别连接、、、，若的面积为3，，求阴影部分的面积的和． 6．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 类型九、规律问题(解) 1．填空： ； ； ； (1)______； (2)猜想：______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算（结果用幂的形式表示）： ①； ②． 2．在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 3．你能求的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值： (1)___________； (2)___________； (3)___________；… (4)由此我们可以得到___________； 请你利用上面的结论，完成下面三题的计算： (5)； (6)； (7)若，求的值． 4．根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 5．综合与探究 【问题背景】有一种可用手掌计算之间的整数相乘的方法．例如：计算时，按图1摆放双手并标记数字．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，左手有2个手指，右手有3个手指；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即． (1)【类比学习】计算时，按上述方法，可得 ． (2)【归纳总结】设a，b分别为之间的任意整数．在计算时，若a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指，虚线下方双手共有 个手指，按上述方法，可得 用含a，b的代数式表示，不用化简． (3)【探究提升】若将a，b变为之间的任意整数也满足类似的算法，根据如图2所示的标记数字，也可按相同方法画出虚线．在虚线的上方，如果左、右手分别有m，n个手指．那么 _____．（用含m，n的代数式表示，不用化简） 6．阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 类型十、新定义问题一选考：含二元一次方程组(解) 1．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 2．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 3．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)以下说法正确的是____________：（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (2)如图2，已知，射线是的“巧分线”，且．求作的巧分线（不与重合），并直接用含a的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）． 4．定义：若已知两个角满足：，则称互为“差余角”（） ． (1)若与互为“差余角”，当时， °； (2)如图，，射线从开始绕点 O 顺时针旋转，速度为5度/秒，同时，射线从开始绕点 O 逆时针旋转，速度为3度/秒，当与重合时，与同时停止运动．设运动时间为t秒（）． ①当时，与 互为“差余角”（填“是”或“不是”）； ②若与互为“差余角”，求t的值； ③能否既与互为“差余角”，同时又与互为“差余角”，如果可以，求出t的值；如果不可以，请说明理由． 5．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 6．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $