期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、四边形的正确结论(选、填) 1．如图，在菱形中，，，E是边上一点（不与点A，B重合），作交于点F，且，连接．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：连接，是等边三角形； 结论Ⅱ：的周长的最小值是3 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；连接，由菱形的性质可得，，则可证明是等边三角形，故结论Ⅰ正确；由等边三角形的性质得到，证明，得到，则是等边三角形，则的周长，当时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时，则的周长的最小值为，故结论Ⅱ错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论Ⅰ正确； ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，有最小值，即此时的周长有最小值， 当时，， ∴， ∴的周长的最小值为，故结论Ⅱ错误， 故选：A． 2．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下面四个结论： ①平分；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】设正方形边长为，先根据中点和线段比例求出各线段长度，再用勾股定理算出；接着通过延长构造全等三角形，证明平分，验证结论①；再代入勾股定理验证，确认结论②；然后计算与的长度，判断二者不相等，结论③错误；最后计算并与比较，验证结论④成立，最终得出正确结论为①②④． 【详解】解：设正方形边长为， ∵是中点，， ∴，，，， 由勾股定理得：， ， ，即， 延长交的延长线于点， ∵是中点，平行， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴平分，①正确； 结论②， 即：，符合勾股定理，②正确； 结论③， ，，显然不相等，③错误； 结论④， ，等式成立，④正确； 综上，正确结论为． 3．如图，在正方形中，E是边的中点，P是边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值； ④点Q到直线，的距离相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，分别取、的中点、，连接、、、，先证明四边形是矩形， 、、都是等腰直角三角形，再结合旋转证明，得到，即，则点在直线上运动，据此逐个结论判断即可． 【详解】解：分别取、的中点、，连接、、、， ∵正方形， ∴，，，， ∵E是边的中点，、的中点、， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴，， ∴，， ∵以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ①∵， ∴，故①说法正确； ②当在右边时，如图， 此时，， ∴，故②说法错误； ③∵点在直线上运动， ∴当在点时，D，Q两点间距离取最小值，C，Q两点间距离取最小值，而，即D，Q两点间距离的最小值等于C，Q两点间距离的最小值；故③说法错误； ④∵点在直线上运动，， ∴点Q到直线，的距离相等；故④说法正确； 综上所述，所有正确结论的序号是①④， 故选：B． 4．如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是______．（把正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据平行线及等腰三角形的性质即得答案； 对于②，根据垂直的性质、三角形内角和等于及平行线的性质，即可得到答案； 对于③，通过举反例，即可判断结论错误； 对于④，根据等腰三角形三线合一性质及线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即平分， 所以①正确； 设与相交于点G，如图， ， ， ， ， ， ， 即平分， 所以②正确； 取，则， ， ， ， ， ， 所以③错误； ，， ， ， 所以④正确； 所以正确结论为①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，举反例等知识及方法，熟练掌握相关性质及方法是解答本题的关键． 5．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．有以下结论：①；②；③；④；⑤图中与相等的角有个．其中，正确结论的序号是______（把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②④ 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据角的和差关系求得；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；求出，由即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵，， 设， 则， 中，， 解得， 则， ∴， ∴②正确； 由②可知，在中，， 则， 由图可知：与是同高， 所以它们的面积比会等于底边之比，即， ∴， ∴③错误； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ； ∴④正确； 与相等的角有， 由可得， ∴⑤错误； 正确结论是①②④， 故答案为①②④． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，正方形的性质，勾股定理，三角形全等，掌握正方形的性质是解题的关键． 6．如图，是边长为4的正方形的对角线，分别在上，平分，是上的动点，于，若，则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）①垂直平分；②的最小值为；③的面积为；④． 【答案】①③④ 【分析】先由正方形的性质以及平分，得，证明，即，根据三角形内角和得．则，垂直平分，则点G关于对称的点为点A，连接，此时，即的最小值为，证明为等腰直角三角形，运用勾股定理列式得，根据三角形的面积公式列式计算即可得，运用勾股定理得，证明，根据等面积法进行列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是边长为4的正方形的对角线， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点N， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， 故①符合题意； ∵垂直平分， ∴则点G关于对称的点为点A， 连接， 此时， 当三点共线时，的值最小， 即的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴的最小值为； 故②不符合题意； ∵当时，则 ∵ ∴ 故③符合题意； ∵， ∴设 则， 在中， 则 连接 ∵垂直平分， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故④符合题意． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的有关计算，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型二、四边形的最值问题(选、填) 1．如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【答案】C 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，根据垂线段最短得到当时，最短，进而求出的最小值，根据F为中点，得到，进而求出的最小值，取的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，进而得到三点共线，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，进而得到当点在上时， 的值最小为的长，进而求出的最小值，利用的最小值加上的长即为周长的最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，的值最小， 在中，， ∴， 故的最小值为；故A选项错误； ∵为的中点， ∴， ∴的最小值为；故B选项错误； 取的中点，的中点，连接， 则：， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则：，垂直平分， ∴当点在上时， 的值最小为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为；故C选项正确； ∵的周长， ∴的周长最小值为；故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，利用轴对称解决线段和，周长最小问题，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键． 2．如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 4．如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为_____，线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】求的最小值：利用轴对称的性质，作点关于的对称点，将转化为，再根据两点之间线段最短，求出的长度即为最小值．求 的最小值：通过作辅助线构造矩形和全等三角形，确定点的运动轨迹是一条垂直于的直线，再根据垂线段最短，求出点到该直线的距离即为最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，连接、、，过作，交延长线于， ∵点与关于对称， ∴，，． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． 在中， ， ∵， ∴的最小值为． 过作于，过作于． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴，． ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴(AAS)． ∴， ∴即点在过点且垂直于的直线上， 当时，取最小值． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握轴对称求最短路径和确定动点轨迹的方法是解题的关键． 5．如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形是矩形，得到，然后根据，得到当三点共线时，最小，此时，为点E到距离，从而求得答案； （2）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，先证明，得到，然后根据勾股定理，求得，然后利用，求得答案． 【详解】解：（1）取的中点，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是的中点，是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时，为点E到距离， 点E到距离的最小值为； 故答案为：； （2）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， ，， ， ， 正方形中，，是边的中点， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当共线时，等号成立， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】（1）在上截取，如图1，先根据菱形的性质得到，，则，再证明得到，利用两点之间线段最短得到（当且仅当A、M、E共线时取等号），据此求解即可； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到，所以，根据垂线段最短可得到的最小值为的长，然后由（1）得到即可． 【详解】解：（1）在上截取，如图1， ∵四边形是边长为8的菱形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、M、E共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 即最小值为的长， 过A点作于H点，如图1， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 故答案为：； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， 即的最小值为的长， 由（1）得到， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理． 类型三、四边形与函数图象结合问题(选、填) 1．如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到与的函数关系式是解决问题的关键． 根据题意，分点在上和点在上，作出图形，运用含的直角三角形性质求出长度，由三角形面积公式表示出与的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】解：当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， ， 在中，， 设的面积为， ， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为轴，符合要求的是B选项中的图； 当点在上时，如图所示： 在矩形中，，则， 设的面积为， ， ， 在中，，，则， 则，， 是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为，符合要求的是B选项中的图； 综上所述，能表示与的函数关系的图象大致是， ， 故选：B． 2．如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 【答案】D 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时（秒）， ∴， ∴点Q的运动速度为每秒（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时，此时， ∴边上的高为， ∴， 当点Q与点C重合时，的面积最大，此时，， ∴，， 当时， 当时，， ∴曲线段是函数的图象的一部分． 3．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发沿着AB运动至点B，再沿BC运动至点C，设点P的运动路程为x，，y关于x的函数图象，如图2，其中点M为图象的最低点，点N为两段曲线的公共点，则点N的纵坐标为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查动点的函数图象，菱形的性质，勾股定理等．由题意得，当时，对应图象上M点，根据勾股定理及求出，点P与点B重合时，对应图象上N点，则点N的纵坐标为 ． 【详解】解：由题意得，当时，对应图象上M点， ，， ， ， 设，则， ， 菱形中，， ， ， 整理得， 解得， 即， 点P与点B重合时，对应图象上N点， 点N的纵坐标为: ， 故选：A． 4．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为_____． 【答案】或 【分析】结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到或时，函数图象位于低点，利用面积法求出的长，从而可求出点的运动路程． 【详解】解：由图象可得：当时，， 当点运动到点时，， 菱形， ， ， ， 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， ∵ ∴ 解得：， ∴； 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， 同理可得， ∴， ∴． 综上，函数图象位于低点时，对应的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，动点函数的图象，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，从函数的图象获取信息是解题的关键． 5．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 【答案】 4 16 【分析】连接，，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 6．如图1，在中，，，于点，边沿从顶点出发，向点平移得到，连接，，设，，关于的函数图象如图2，图象过点，则图象最低点的横坐标是__．    【答案】 【分析】连接，易得四边形是平行四边形，延长到，使，连接，可得，则，所以，则图象最低点即的最小值，即当三点共线时，取最小值，再进行分析可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 延长到，使，连接， 于点 点D是的中点， ∴， ∴图象最低点即的最小值，即当三点共线时，取最小值． 连接，延长交于点， 点H是中点， 设则 点B是中点， 当时， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，通过分析动点位置结合函数图象推出的长再通过构造三角形全等找到最小值是解决本题的关键． 类型四、一次函数中的(特殊)平行四边形(选、填、解) 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作轴于．只要证明，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积， 故选：C． 2．如图， 在平面直角坐标系中， 矩形的边，， 直线经过B、D两点．将直线平移，当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图像的平移、矩形的性质等知识，准确找到直线与矩形有公共点的两个临界点A与C是解此题的关键． 先利用矩形性质得点C、D坐标，用待定系数法求出k的值，再分别把A、C两点坐标代入中，求得b的值即可得到答案． 【详解】解：∵矩形的边， ∴， ∵， ∴点， 当直线经过B、D两点时， ∴， 解得：， ∴平移后的直线的解析式为， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是． 故选：C． 3．如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 4．如图，含角的菱形，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，和点，分别在直线和轴上．已知，，根据所给图形，可以依次求出点，则图中点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵含角的菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 同理可得出：，则， 则点的坐标是：， ∴点的坐标是：． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，分别交坐标轴于点，，，． (1)求直线的解析表达式； (2)如图，点是直线上的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)直线上有一点，在平面直角坐标系内找一点，使得以为一边，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点或 (3)或或 【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式即可求得的值，从而确定点是坐标，再将点的坐标代入，即可求得值，进而求解； （2）首先得到直线的解析式，然后得到点的坐标，根据的面积，进行求解即可； （3）设点的坐标为，根据点、的坐标，得到，然后分①当是边时和②当是对角线时，则的中点，即为的中点，且轴，进而求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入并解得：， 故点， 将点的坐标代入，得， 解得：， ∴，； ∴直线的表达式为：； （2）解：由得直线的表达式为：， 则点， ∴的面积， 解得：或， 故点或； （3）解：设点的坐标为， ∵， ∴当时，， ∴， ∵ ∴， 当是边时， 当点在点的上方时，则，即， 解得， 则点的坐标为或； 点在点的正下方个单位， 则点或； 当为对角线时，则的中点坐标为， ∴点纵坐标为，即：， ∴， ∴， ∵的中点也为， ∴； 综上，点或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、待定系数法，菱形的性质，等知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求出点M的坐标； (2)若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，的面积是S，求S与x之间的函数关系式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，三点的坐标分别是、、 【分析】（1）将两个解析式组成方程组可求点 M 的坐标； （2）分点P在射线MD上，当P在MD 的延长线上两种情况讨论，可求 S 与 x之间的函数关系式； （3）根据平行四边形的性质，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，过点O作线段AB的平行线，相交于点P1、P2、P3，分情况讨论,可得答案． 【详解】（1）解：∵直线AB与CD相交于M， ∴ ①－②可得：， ∴， 把代入②可得：， ∴M坐标为； （2）∵函数，当x=0时，y=4，即B(0，4)， 函数，当x=0时，y=−1，即D(0，−1)， ∴，， ∴， ∴S△BDM=×5×5=， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点P在线段MD上，即时， ∴S△BDP=×5⋅(−x)=−x， ∴， ②如图，当点P在射线MD上，且位于点D右侧，即， ∴S△BDP=×5x=x， ∴， 综上，； （3）如下图，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，过点O作线段AB的平行线，相交于点P1、P2、P3， ∵函数，当y=0时，x=-6，即A(-6，0)， ∴A(-6，0)， ∵四边形AOBP1是平行四边形， ∴AO= BP1，OB=A P1， ∵A(-6，0)，B(0，4)， ∴P1（-6，4）； 同理P2（-6，-4），P3（6，4）， ∴平面直角坐标系内存在点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，三点的坐标分别是（-6，4），（-6，-4），（6，4）． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，平行四边形的性质，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 类型五、(特殊)平行四边形的动点求t(选、填、解) 1．如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时， 或．其中结论错误的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， ∵， ∴ 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即， 解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即， 解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时， 或， 故③错误，④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 2．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 3．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为__________； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为__________． 【答案】 或4 或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）由题意知，，当点P和点Q第一次相遇时，，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可； （2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ①当点P和点Q第一次相遇时，，即， 解得； ②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C， 此时， 即当点P和点Q相遇时，t的值为或4； 故答案为：或4； （2）如图， 矩形的面积为， ∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是， 当，即点P，Q相遇前， ， 则， 解得； 当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得． 综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的． 故答案为：或． 4．如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为_______________时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 分两种情况：①当点在点的上方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点在点的下方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图1所示： ， ， ， ，即， ， ， ， ； 分两种情况： ①当点在点的上方时，如图2所示： 由题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； ②当点在点的下方时，如图3所示： 根据题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为：或． 5．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①要证四边形是平行四边形，根据矩形性质得出边和角的关系，结合中点条件得到线段相等，再利用全等三角形证明一组对边平行且相等 ．②平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分、运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解． （2）（2）菱形需对角线垂直且平分，先由菱形性质推出四边形是菱形，设未知数，利用勾股定理求出相关线段长度，进而得出运动时间． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵、分别是、中点 ∴，，则 由于、速度均为，运动时间，则， ∴ 在和中 ∴ ∴，，则 ∴四边形是平行四边形； ②解：连接， ∵四边形是矩形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①、未相遇前，，则 解得； ②、相遇后， 解得， 综上，当或时，四边形是矩形． （2）解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质，结合图形分情况分析，运用勾股定理等建立方程是解题的关键． 6．如图，在中，，，．点是边的中点，动点从点出发，沿折线向点运动．在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度．当点不与点重合时，连结，以、为邻边作．设点运动的时间为秒 (1)线段的长为__________； (2)用含有的代数式表示线段的长； (3)当是菱形时，求的值； (4)当点落在的高上时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3)​或​ (4)，​或 【分析】​（1）直接应用勾股定理求解直角三角形的边长． （2）分点P在上、点P在上两种情况，分别画出图形，用t分别表示出、，再根据菱形的性质得到关于t的方程求解； （3）分P分别落在三边上的高线上时，利用三角函数列出关于t的方程求解即可； （4）明确三角形高的三种情况，利用点坐标代入直线方程求解，注意验证点是否在线段上． 【详解】（1）解：∵在中，， ∵在中，， ∴． ∴， 故答案为：8． （2）解：由题意，∵，点P在上的速度为每秒4单位， ∴走完需秒； ∵在上的速度为每秒3单位，， ∴走完需秒． 当时，点P在上，， 则． 当时，点P在上，运动时间从C点起为秒， 则． 综上，．​ （3）解：当P在上时，如图， 作于点E， 则， ∴， ∵，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴； 当P在上时，如图， ∵P在上的速度为每秒3个单位长度，， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当是菱形时，t的值为或； （4）解：当Q落在上时，， ∵， ∴是矩形， ∴， 又是的中点，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 当Q落在时，如图，为斜边上的高，， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当Q落在边上时，如图， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 综上所述，t的值为1或或3． 【点睛】本题考查了列代数式，中点坐标，求一次函数解析式，与三角形的高有关的计算问题，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是利用坐标法将几何问题代数化，并注意分类讨论思想的应用．在动点问题中，根据点的运动路径分段处理是常见策略． 类型六、十字相乘法与分组分解法(解) 1．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 2．阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， （2）解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 3．阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）根据十字相乘的方法把分成两个整数的积，再求这两个整数的和即可； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】（1）解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2）解： ， ； （3）解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 4．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 5．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将原式分为与，然后根据平方差公式和提公因式法分解因式； （2）先将原式因式分解为，然后根据a，b，c为三角形的三条边，均为正数，判断出，根据等腰三角形的定义判定出三角形的形状． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ∵a，b，c均为正数， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形． 6．我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 类型七、因式分解的综合应用(解) 1．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)k所有可能的取值为7或8或13． 【详解】（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 2．把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． (1)代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． (2)已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1)大；；7 (2) 【分析】（1）提取负号后配方，将代数式转化为“负的完全平方加常数”的形式，根据完全平方的非负性判断代数式的最值，进而求出对应的值； （2）先通过配方将等式转化为两个完全平方和为0的形式，利用非负性求出、的长度，再结合“是最长边”和三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， 代数式的最大值是，此时． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ，， 解得，． ∴， 又是中最长的边， ， 的取值范围是． 3．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 4．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 5．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设，则，比较系数得， 解得． 解法二：设，由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有因式和，求的值； (2)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （2）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得 ， 解得． （2）解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 6．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则必为的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方式，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法； （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为：； （3）解：根据题意得， ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 类型八、正方形的十字与半角模型(解) 1．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【分析】（1），由折叠得到，，，从而推出，，，，得到，推出点三点共线，即可说明； （2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转可得，，得到，，，，推出，证得，得到，再利用勾股定理即可说明； （3）将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点，得到，，，，，，从而可得，，可证明四边形是正方形，设，则，，，利用勾股定理，可得到，解得，（舍去），得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 2．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 3．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【答案】(1)，见解析； (2)①； ②平移的距离是或． 【分析】根据矩形、正方形、菱形的性质，勾股定理解三角形，平移的性质求解即可，关键是进行分情况分析． （1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 4．菱形中，，为边，上的点，，相交于点． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论； (3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）由菱形中可得菱形是正方形，根据正方形性质得，，由，得到，所以，即证得，即可证得； （）过作交的延长线于，过作于，根据菱形的面积证得，推出，得到，由，推出； （）连接，过作交于，交于，连接，由（）的条件可得，，又为的中点，即垂直平分，即有且，利用四边形是矩形，证得，推出，根据三角形内角和求出，用分别表示这两个角求出，得到，由此得到，再根据正方形的性质求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）四边形是菱形，， 菱形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：； 证明如下： 过作交的延长线于，过作于，如图， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，过作交于，交于，连接，如图， 由（1）知， 又为的中点， 是的垂直平分线， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，垂直平分线的定义和性质，掌握知识点的应用及正确引出辅助线是解题的关键． 5．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 6．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①求证：； ②若，则正方形的周长为_________； 【数学理解】（2）如图2，正方形的边长为4，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则的长为__________； 【拓展研究】（3）如图3，正方形的边长为4，点是边上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则长的最小值为___________． 【答案】（1）①见解析；②60；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质． （1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）在上截取，连接，证明，得到，利用勾股定理求解即可； （3）在上截取，连接，同（2）证明，得到，得到点在射线上，则当时，长取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2）在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）在上截取，连接， 同（2），同理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上， ∴当时，长取得最小值，此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 类型九、四边形的新定义问题(解) 1．探究与实践.【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)【问题解决】写出一个你知道的对直四边形： ． (2)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． (3)如图2、3在方格纸中，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．（提示：先用铅笔直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (4)【拓展探究】 如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【答案】(1)长方形（矩形）或正方形 (2) (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等内容，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据定义直接得解； （2）连接，在中求出，进而在中求出； （3）依据题意画图即可； （4）由题易得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可知长方形（矩形）或正方形符合题意， 故答案为：长方形（矩形）或正方形； （2）解：如图，连接， 在中，， 在中，， 故答案为：． （3）解：如图所示，画两个不全等的即可； （4）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵点E是的中点，， ∴，． ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； ∴四边形是对直四边形． 2．在平面直角坐标系中，如果一次函数直线l与某个图形G有且只有一个交点，则定义该函数为图形G的“函数”． 例如：如图1，点，点，一次函数与线段交于点，则该函数是线段的“函数”． (1)如图2，在矩形中，点，点，若一次函数是矩形的“函数”，则_______； (2)如图3，在菱形中，点，点，点B在y轴上，一次函数是菱形的“函数”． ①求点D的坐标；②求k的值． (3)如图4，点B与点C是直线上的两点，点B的横坐标为，点C的横坐标为；点A在的上方，将正方形的边，，（含端点）所组成的图形定义为G（其中点A的横坐标为m），若直线是图形G的“函数”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①点D的坐标为；②的值为 (3)或 【分析】（1）根据“函数”的定义可得一次函数必经过点B或点D，据此求解即可； （2）①先根据点为，求得，再根据求得点的坐标为，最后根据点为的中点，且，求解即可； ②根据“函数”的定义可得一次函数必过点D，据此求解即可； （3）根据直线是图形G的“函数”，可得直线与正方形的边，，（含端点）只有一个交点，再根据数形结合分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，点，点， ∴，， ∵一次函数是矩形的“函数”， ∴一次函数必经过点B或点D， 当一次函数过点时， ，解得， 当一次函数过点时， ，解得， ∴或； （2）解：①如图所示，连接，相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，点为，的中点， ∵点，点， ∴点的坐标为，即， ∵点在y轴上， ∴设点的坐标为， ∴， ， ∴， ∴， 即， 化简得，解得， ∴点的坐标为， 又∵点为的中点，且， 设点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为； ②∵一次函数是菱形的“函数”， ∴一次函数经过点D符合题意， 把代入得，， 解得，， ∴的值为； （3）解：∵点B与点C是直线上的两点，点B的横坐标为，点C的横坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵直线是图形G的“函数”， ∴从图形可以看出当直线过点C或在线段之间时，直线是图形G的“函数”， ∴当过点时，，解得：，（不符题意，舍去）； 当过点时，即，解得：，（不符题意，舍去）； ∴； 当过点时，即，解得：，（不符题意，舍去）； 综上可知，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，“函数”的定义，菱形及正方形的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题，理解题意是解题的关键． 3．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明、、三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明、、三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是； （2）解：如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， （负值舍去）； 故答案为：4． （3）解：，   将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 则四边形面积的最大值为． 4．【定义新知】 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形中，对角线与垂直且相等，点E，F，G，H分别为边的中点，则四边形为“中方四边形”． 【概念理解】 （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】 （2）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．连接，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“中点四边形”的定义分别判断出各选项的“中点四边形”即可求解；（2）设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接，连接交于P，连接交于K，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，最后证四边形是正方形即可；（3）记的中点分别为E、F，连接，根据题意可得，，据此即可求解； 【详解】（1）解：平行四边形的“中点四边形”为平行四边形； 矩形的“中点四边形”为菱形； 菱形的“中点四边形”为矩形； 正方形的“中点四边形”为正方形； 故选：D． （2）证明：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴四边形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （3）解：（其他形式正确均可）．理由如下： 如图，记的中点分别为E、F，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形及特殊的平行四边形的判定与性质、中位线定理等知识点，熟记相关判定定理及性质定理的内容是解题关键． 5．阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)C，D (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查菱形及正方的性质，勾股定理解三角形，作垂线及线段，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据菱形和正方形的性质即可得出结果； （2）结合图形，利用勾股定理即可证明； （3）利用垂线的作法及作一条线段等于已知线段即可． 【详解】（1）解：因为菱形和正方形的对角线互相垂直，所以菱形和正方形一定是垂中四边形， 故选：C、D； （2）在中， 在中，． 在中，． 在中，． ∴，． ∴． （3）如图所示，四边形即为所求． 6．如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)作图见解析，点E的坐标为 (3)点F的坐标为或或． 【分析】（1）根据旋转的性质，以及转角三角形的定义进行判断作答即可； （2）如图②，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，即可，由题意知，，由勾股定理得，则，进而可得点坐标； （3）由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解：①当在上，由题意知，当与重合时，此时面积最大；②当在上，由（2）可知，当与重合时，此时面积最大；③当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；④当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；然后分别求解各情况下的坐标，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）解：如图②；    由题意知，， 由勾股定理得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解： ①当在上， 由题意知，当与重合时，，，此时最大面积为，； ②当在上， 由（2）可知，当与重合时，此时最大面积为，； ③当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； ④当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； 综上所述，最大为3，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键在于正确的理解题意并分类讨论． 类型十、无刻度尺作图(解) 1．如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在上作出点E，使； (2)在图2中，在的延长线上作出点F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）连接交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，可得四边形是平行四边形，则； （2）在（1）的基础上连接交于点，连接并延长交于点，由互相垂直平分得，得，根据证明得，再证明，可证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所作． 2．已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，当时，作的中线； (2)如图2，当是的中点时，作的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形的中线等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接相交于点D，连接交于E，即是的中线； （2）如图：连接相交于点G，连接交于F，即是的中线； 【详解】（1）解：如图：即为所求． 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线为的垂直平分线，即是的中线． （2）解：如图：即为所求． ， 证明：如图：设与相交于H， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵是的中点， ∴是的中线， 由三角形三条中线在三角形内相交于一点，即是的中线． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图（1）中作出函数的图像； (2)在图（2）中，将（1）中所作图像向上平移个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先说明点A、点C函数的图像上，连接即可完成作图； （2）先说明过点，进而确定平移后的图像经过，然后结合图形和矩形的性质确定点F、G，然后连线即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴当时，；当时，， ∴点，点在函数的图像上， ∴如图(1)：直线即为所求． （2）解：∵函数， ∴， ∴将（1）中所作图像向上平移个单位长度后的函数图像过， ∵如图(2)：， ∴，即， 如图(2)：连接， 由矩形的性质可得， ∵， ∴，即， ∴如图(2)：直线即为所求． 4．如图，在平行四边形中，，且，点为的中点，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出的中点； (2)在图2中，作一个以为对角线的正方形； (3)在图3中，作一个以为对角线的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了限定工具作图，熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的判定是解题的关键． （1）连接，交于点，连接并延长交于点，此时点即为所求。由平行四边形对角线互相平分可以知道点是的中点，所以是的中位线，由此可证明点即为的中点； （2）连接并延长交延长线于，连接，四边形即为所求的正方形；由作法和已知容易证明，进而可得四边形是平行四边形，再由，且，可得平行四边形既是矩形也是菱形，所以四边形是正方形； （3）连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于，连接、，四边形即为所求的正方形．由平行四边形性质可知是的中点，由点为的中点，可知，，由三角形中线相交于一点可知是的中线，，由此证明四边形是平行四边形，也是矩形和菱形． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图，四边形即为所求的正方形； （3）解：四边形即为所求的正方形． 5．如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接交于点，连接并延长，交于点即可； （2）结合菱形的性质、全等三角形的判定与性质，连接，相交于点，交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接，，即可． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所作． （2）解：如图②，即为所作． 【点睛】本题考查无刻度的直尺作图、菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 6．如图，中，边的垂直平分线交于点E，交于点D，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在边作一点F，使； (2)在图2中，将向方向平移得到，点A的对应点为E，作矩形，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、三角形的中位线、重心、平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、交于点，连接并延长交于，连接； （2）设和交于点，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，延长交延长线于点． 【详解】（1）解：如图： 作法及理由：由题意知，点、分别是、的中点， 连接、交于点，则点为的重心； 连接并延长交于，则点为的中点； 连接，则为的中位线，且； ∴即为所求； （2）解：如图： 作法及理由：设和交于点，由平移的性质知，，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形，， ∴为的中点； 连接、交于点，连接并延长交于点， 由（1）可知为的中点，为的中位线， ∴，； 连接并延长交于点，延长交延长线于点， 由可知，， 在四边形中，， ∴四边形为矩形， 同理可证四边形、四边形为矩形； ； ∴矩形即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、四边形的正确结论(选、填) 1．如图，在菱形中，，，E是边上一点（不与点A，B重合），作交于点F，且，连接．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：连接，是等边三角形； 结论Ⅱ：的周长的最小值是3 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 2．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下面四个结论： ①平分；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．如图，在正方形中，E是边的中点，P是边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段逆时针旋转，得到线段．给出下面四个结论： ①； ②； ③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值； ④点Q到直线，的距离相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是______．（把正确结论的序号都填上） 5．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．有以下结论：①；②；③；④；⑤图中与相等的角有个．其中，正确结论的序号是______（把正确结论的序号都填上）． 6．如图，是边长为4的正方形的对角线，分别在上，平分，是上的动点，于，若，则下列结论正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）①垂直平分；②的最小值为；③的面积为；④． 类型二、四边形的最值问题(选、填) 1．如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 2．如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 3．如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 4．如图，已知线段，于点，于点，，，点为线段上的动点，以为边在直线右侧作等腰直角三角形，，连接，，则的最小值为_____，线段的最小值为_____． 5．如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 6．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 类型三、四边形与函数图象结合问题(选、填) 1．如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 3．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发沿着AB运动至点B，再沿BC运动至点C，设点P的运动路程为x，，y关于x的函数图象，如图2，其中点M为图象的最低点，点N为两段曲线的公共点，则点N的纵坐标为（   ） A． B． C． D．5 4．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为_____． 5．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则菱形的边长为__________的值为__________． 6．如图1，在中，，，于点，边沿从顶点出发，向点平移得到，连接，，设，，关于的函数图象如图2，图象过点，则图象最低点的横坐标是__．    类型四、一次函数中的(特殊)平行四边形(选、填、解) 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A．13 B．28 C．34 D．36 2．如图， 在平面直角坐标系中， 矩形的边，， 直线经过B、D两点．将直线平移，当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 4．如图，含角的菱形，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，和点，分别在直线和轴上．已知，，根据所给图形，可以依次求出点，则图中点的坐标是_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，分别交坐标轴于点，，，． (1)求直线的解析表达式； (2)如图，点是直线上的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)直线上有一点，在平面直角坐标系内找一点，使得以为一边，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求出点M的坐标； (2)若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，的面积是S，求S与x之间的函数关系式； (3)平面直角坐标系内是否存在点P，使以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、(特殊)平行四边形的动点求t(选、填、解) 1．如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时， 或．其中结论错误的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 3．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为__________； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为__________． 4．如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为_______________时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 5．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）秒． (1)若、分别是、的中点． ①求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形（）； ②当t为何值时？以、、、为顶点的四边形是矩形； (2)若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当t为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值． 6．如图，在中，，，．点是边的中点，动点从点出发，沿折线向点运动．在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒3个单位长度．当点不与点重合时，连结，以、为邻边作．设点运动的时间为秒 (1)线段的长为__________； (2)用含有的代数式表示线段的长； (3)当是菱形时，求的值； (4)当点落在的高上时，直接写出的值． 类型六、十字相乘法与分组分解法(解) 1．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 2．阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 3．阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 4．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 5．【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 6．我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 类型七、因式分解的综合应用(解) 1．数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻2边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 2．把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． (1)代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． (2)已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 3．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 4．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 5．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设，则，比较系数得， 解得． 解法二：设，由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有因式和，求的值； (2)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 6．小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则必为的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 类型八、正方形的十字与半角模型(解) 1．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 2．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 3．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 4．菱形中，，为边，上的点，，相交于点． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论； (3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值． 5．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 6．图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①求证：； ②若，则正方形的周长为_________； 【数学理解】（2）如图2，正方形的边长为4，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则的长为__________； 【拓展研究】（3）如图3，正方形的边长为4，点是边上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，则长的最小值为___________． 类型九、四边形的新定义问题(解) 1．探究与实践.【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)【问题解决】写出一个你知道的对直四边形： ． (2)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． (3)如图2、3在方格纸中，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．（提示：先用铅笔直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (4)【拓展探究】 如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 2．在平面直角坐标系中，如果一次函数直线l与某个图形G有且只有一个交点，则定义该函数为图形G的“函数”． 例如：如图1，点，点，一次函数与线段交于点，则该函数是线段的“函数”． (1)如图2，在矩形中，点，点，若一次函数是矩形的“函数”，则_______； (2)如图3，在菱形中，点，点，点B在y轴上，一次函数是菱形的“函数”． ①求点D的坐标；②求k的值． (3)如图4，点B与点C是直线上的两点，点B的横坐标为，点C的横坐标为；点A在的上方，将正方形的边，，（含端点）所组成的图形定义为G（其中点A的横坐标为m），若直线是图形G的“函数”，直接写出m的取值范围． 3．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 4．【定义新知】 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形中，对角线与垂直且相等，点E，F，G，H分别为边的中点，则四边形为“中方四边形”． 【概念理解】 （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】 （2）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．连接，试探索与的数量关系，并说明理由． 5．阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： (1)根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形        B．矩形            C．菱形            D．正方形 (2)请你补全性质2的证明过程． (3)如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 6．如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 类型十、无刻度尺作图(解) 1．如图，在正方形中，点M为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在上作出点E，使； (2)在图2中，在的延长线上作出点F，使． 2．已知和都为等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，当时，作的中线； (2)如图2，当是的中点时，作的中线． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图（1）中作出函数的图像； (2)在图（2）中，将（1）中所作图像向上平移个单位长度． 4．如图，在平行四边形中，，且，点为的中点，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出的中点； (2)在图2中，作一个以为对角线的正方形； (3)在图3中，作一个以为对角线的正方形． 5．如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使． (2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形． 6．如图，中，边的垂直平分线交于点E，交于点D，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在边作一点F，使； (2)在图2中，将向方向平移得到，点A的对应点为E，作矩形，使． 1 学科网（北京）股份有限公司 $