期中考前满分冲刺之基础常考题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、普查与抽样调查(选、填) 1．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（    ） A．调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度 B．调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 C．了解我国中学生的视力情况 D．了解某品牌灯泡使用寿命 【答案】B 【分析】根据调查对象的性质、范围及实际需求，判断应选择全面调查还是抽样调查即可得到答案． 【详解】解：A．国庆假期游客数量多，范围广，不需要对每一名游客调查，因此适宜抽样调查，不符合题意； B．飞船重要零部件的质量直接影响飞行安全，每一个零部件都必须检查，不能出错，因此最适宜采用全面调查方式，符合题意； C．我国中学生总数大，范围广，适宜抽样调查，不符合题意； D．测试灯泡使用寿命的过程具有破坏性，无法对所有灯泡进行测试，适宜抽样调查，不符合题意． 2．在下列调查中，最适合采用抽样调查的是（    ） A．了解重庆园博园春节期间的游客量 B．了解捷龙三号运载火箭的设备零件的质量情况 C．了解八年级某班学生的近视情况 D．了解一捆百元钞票中的假钞情况 【答案】A 【详解】解：选项A中重庆园博园春节期间游客量较大，调查范围广，适合抽样调查； 选项B中运载火箭零件质量对安全性要求极高，需要逐一检查，适合普查； 选项C中调查一个班级学生的近视情况，调查范围小，适合普查； 选项D中假钞调查需要逐张确认，适合普查． 3．下列调查中，适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．检测一批新能源汽车电池的使用寿命 B．检查九年级一班学生的寒假作业完成情况 C．调查山西电视台某节目的收视率 D．了解全国中学生对“中国天眼”的认知程度 【答案】B 【分析】当调查范围小，调查对象数量少，且调查不具有破坏性时适合用普查，反之适合抽样调查. 【详解】解：选项A检测电池使用寿命具有破坏性，选项C调查节目收视率范围大，选项D了解全国中学生认知程度范围大，均适合抽样调查，选项B中九年级一班学生数量少，调查范围小，适合全面调查（普查）. 4．要调查乘坐飞机的旅客是否带了违禁物品，你认为适合采用的调查是______． 【答案】全面调查 【分析】该调查事关航空安全，要求结果准确，必须对每一名旅客进行检查，因此适合采用全面调查． 【详解】解：根据调查方式的选择原则，当调查对结果准确性要求高，且需要对每个调查对象逐一检查时，采用全面调查， 本题调查关乎航空公共安全，对结果准确性要求高，需要检查每一名乘坐飞机的旅客，因此适合采用全面调查． 5．为了解全国中学生视力状况，你认为应采用调查的方式是__．（请在“普查”或“抽样调查”中选一个） 【答案】抽样调查 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此可解答． 【详解】解：为了解全国中学生的视力情况，全国中学生人数众多，依此应用抽样调查． 6．“白色污染”是人们对塑料垃圾污染环境的一种形象称谓，这是导致环境污染的一大根源．为了解我市居民家庭在一年内丢弃废塑料袋个数的大致情况，你认为可采用______合适 （填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【详解】解：当调查对象数量庞大，普查工作量大，成本过高时，适合选择抽样调查．本次调查的对象为我市全体居民家庭，调查对象数量庞大，开展普查的成本与工作量过高，因此选择抽样调查更合适． 类型二、总体、个体、样本、样本容量(选、填) 1．磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（   ） A．该调查方式是全面调查 B．样本容量是 C．名游客是总体的一个样本 D．名游客是总体 【答案】B 【分析】根据全面调查、总体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项正误． 【详解】解：该调查仅从全体游客中抽取部分游客进行调查，没有调查所有对象， 该调查方式是抽样调查，A错误； 样本容量是样本中包含的个体数目，本题抽取了名游客， 样本容量是，B正确； 为了了解游客对特色小吃的喜爱程度， 总体是名游客对特色小吃的喜爱程度，样本是抽取的名游客对特色小吃的喜爱程度，不是游客本身，C、D错误． 2．双减”政策下，为了解东昌中学七年级880名学生的睡眠时间，现从中抽取50名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（　　） A．50是样本容量 B．880名学生是总体 C．50名学生是抽取的一个样本 D．抽取的每一名学生是个体 【答案】A 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：样本容量是样本中包含的个体数目，本题样本容量为50，故A选项正确； 本题研究的对象是学生的睡眠时间，不是学生本身， 总体是东昌中学七年级880名学生的睡眠时间，故B选项错误； 样本是抽取的50名学生的睡眠时间，故C选项错误. 个体是每名学生的睡眠时间，不是每一名学生，故D选项错误． 3．某校为了了解初三600名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行视力筛查．下列说法正确的是（   ） A．每名学生是个体 B．样本容量是50名学生 C．50名学生的视力情况是抽取的一个样本 D．600是总体 【答案】C 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：本次调查研究对象是该校初三学生的视力情况，根据定义判断如下： ∵ A选项中，每名学生的视力情况才是个体，不是每名学生，∴A错误； ∵ B选项中，样本容量是样本中包含的个体数目，为数字50，不能带单位描述，∴ B错误； ∵ C选项中，50名学生的视力情况是抽取的一个样本，符合样本的定义，∴ C正确； ∵ D选项中，总体是该校初三600名学生的视力情况，600不是总体，∴ D错误． 4．为了解某市80000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为_________． 【答案】2000 【分析】抽查的2000名学生的体重是样本，样本容量是2000． 【详解】解：∵本次调查中抽查的样本是2000名学生的体重， ∴样本容量为2000． 5．某中学为了解本校八年级学生一周中玩手机所占用的时间，小亮利用放学时间在校门口随机调查了60名八年级的同学，则此次抽样调查的总体为_____ ． 【答案】 该中学全体八年级学生一周中玩手机所占用的时间 【详解】解：总体是指所要考察对象的全体，本题的考察对象是该中学八年级学生一周中玩手机所占用的时间，因此此次抽样调查的总体为该中学全体八年级学生一周中玩手机所占用的时间． 6．为了解全区近7000名学年八年级学生的数学学习水平情况，随机抽查500名学生的网上答案统计分析，在这个问题中样本容量是________． 【答案】500 【分析】本题为统计基础概念题，解题思路为：明确总体、个体、样本、样本容量的定义，根据题目中抽查500名学生的条件，直接确定样本容量的数值． 【详解】解：根据样本容量的定义，本题中抽查的学生数量为500， 故样本容量为． 类型三、频数与频率(选、填) 1．调查50名学生的年龄，整理数据时，这些学生的年龄落在五个小组中，第一、二、三、五组数据个数分别是2，8，15，5，则第四组的频数是（   ） A．20 B．30 C．0.4 D．0.6 【答案】A 【分析】频数分布中，所有组的频数之和等于数据总数。已知总人数为，只需用总数减去其他四组的频数，即可求出第四组的频数． 【详解】解：题目中总共有名学生，第一、二、三、五组的频数分别为、、、． 四组的频数之和：． 第四组的频数总数其他四组频数之和，即：． 故选：A． 【点睛】本题考查了频数的概念和频数分布的基本性质，解题关键是理解“所有组的频数之和等于数据总数”这一核心关系． 2．南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（   ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【答案】B 【分析】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率=频数÷总数是解答此题的关键． 根据频率的定义作答． 【详解】解：在8个数字中，1出现了2次，则数字1出现的频率是． 故选：B． 3．将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一组的频数为6，第二组与第五组的频数和为20，第三组的频率为，则第四组的频率为（   ） A． B．14 C． D．50 【答案】C 【分析】本题考查了根据数据描述求频率，先求出第一组的频率，第二组与第五组的频率和，再列式计算，求出第四组的频率，即可作答． 【详解】解：∵第一组的频数为6，第二组与第五组的频数和为20， ∴， ∵第三组的频率为， ∴， 即第四组的频率为， 故选：C． 4．抛硬币100次，正面朝上的次数为52次，则正面朝上的频率为______． 【答案】 【分析】利用频率等于频数除以试验总次数列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，试验总次数为，正面朝上的频数为，则正面朝上的频率为． 5．已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频数为__________． 【答案】8 【分析】根据频率与频数的关系求出第五组的频数，再利用各组频数之和等于样本容量，计算得到第六组的频数． 【详解】解：由题意可知，样本容量为， 因为第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6， 所以其和为：， 又因为第五组的频率是， 所以第五组的频数为：， 因此第六组的频数为：． 6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数最有可能是______个． 【答案】 【分析】根据摸到红色球和黑色球的频率稳定值，计算得到摸到白色球的频率，结合总球数求出白色球的个数． 【详解】解：根据概率是频率的稳定值，可得： 摸到白色球的频率为：， ∴白色球的个数为 ． 类型四、确定事件与随机事件(选、填) 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．明天是晴天，是随机事件，不符合题意； B．车辆随机到达路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C．生肖共有12种，因此13个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件，符合题意； D．任意买一张电影票座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意． 2．成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．不期而遇 D．叶落归根 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：在一定条件下，必然发生的事件是必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件， 、水中捞月一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； 、 瓮中捉鳖一定会发生，是必然事件，不符合题意； 、不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意； 、 叶落归根一定会发生，是必然事件，不符合题意． 3．下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 4．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）． 【答案】 ①③ 【分析】根据必然事件、随机事件的定义，对每个事件逐一判断，即可得出结论． 【详解】解：①水涨船高（船在水中能自由浮动），是一定发生的事件，属于必然事件； ②购买1张彩票，中奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； ③一年最多有366天，因此367人中至少有2人的生日在同一天，是一定发生的事件，属于必然事件； ④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件． 5．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 6．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 类型五、可能性大小(选、填) 1．下列事例中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．枯木生花 C．水中捞月 D．夕阳西下 【答案】C 【分析】本题考查对成语含义的理解及事件可能性的判断． 瓜熟蒂落和夕阳西下是自然规律，可能性高；枯木生花是随机事件，但水中捞月直接表示不可能，因此可能性最小． 【详解】解： A、瓜熟蒂落是必然事件，可能性大，不符合题意； B、枯木生花是随机事件，发生的可能性极小，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，可能性为零，符合题意； D、夕阳西下是必然事件，可能性大，不符合题意； 通过比较可得：可能性最小的是C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了事件的分类及区别，解决本题的关键是熟练掌握概念以及对成语含义的理解． 2．一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类以及判断事件发生的可能性大小．熟练掌握事件的分类是解题的关键．根据事件的分类以及事件发生的可能性大小逐一进行判断即可． 【详解】解：A，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到红球，故不符合题意； B，因为盒子内装有个红球，个白球，不一定摸到白球，故不符合题意； C，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故符合题意； D，因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，故不符合题意； 故选：C． 3．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 4．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据从中任意摸出1个球，摸出白球比黑球的可能性大，可得答案． 【详解】解：∵任意摸一个球，若摸出白球比黑球的可能性大， ∴袋中白球数＞黑球数． 故答案为：＞． 5．如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“3”所在区域的可能性________指针指向标有“4”所在区域的可能性．（填“大于”、“等于”或“小于”） 【答案】大于 【分析】先确定出转盘上3和4的个数，继而根据事件发生可能性的大小即可得． 【详解】解：∵扇形区域中有个，个4， ∴当转盘停止转动时，指针指向标有“3”所在区域的可能性大于指针指向标有“4”所在区域的可能性． 6．甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查的是概率的意义，理解概率的取值范围与事件发生可能性的对应关系是解题的关键．根据概率的取值意义：概率越接近，事件发生的可能性越大；概率等于则事件必然发生，进而判断出概率为的事件“发生的可能性很大，但不一定发生”． 【详解】解：甲事件发生的概率为，远小于，发生的可能性很小； 乙事件发生的概率为，接近，发生的可能性很大，但概率小于，因此不一定发生； 丙事件发生的概率为，表示一定发生，不符合“不一定发生”的描述． 故答案为：乙． 类型六、平行四边形的性质(选、填) 1．在中，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，计算求解即可． 【详解】∵在中，， ∴， ∵平行四边形邻角互补，与是邻角， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，的对角线相交于点，且，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【分析】直接利用平行四边形的性质得出，再求出，得出，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ， ， 即 的周长为：． 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，勾股定理． 根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若以、为邻边作，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，，线段可以看作由线段平移得到的线段，根据、点的坐标确定平移方式，再由点，根据平移方式得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴线段可以看作由线段平移得到的线段， ∵， ∴线段向右平移一个单位，向上平移三个单位得到线段， ∵， ∴，即． 5．如图，在平行四边形中，过点B作交延长线于点E，若，则的度数为_______． 【答案】/47度 【分析】利用平行四边形对角相等的性质求出的度数，再结合垂直定义在直角三角形中利用两锐角互余求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【答案】 【分析】由题意得到的中点为平行四边形的对角线的交点，求出交点坐标，再根据直线将的面积分成相等的两部分，得到直线经过点，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴的中点为平行四边形的对角线的交点， ∵， ∴平行四边形的对角线的交点坐标为， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 类型七、添加条件证(特殊)平行四边形(选、填) 1．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 2．如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 3．如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 4．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形． 【详解】解：条件是：， 理由如下：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 5．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 6．如图，在中，对角线，相交于点，．不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查了正方形的判定．已知四边形是平行四边形且，根据已知条件判断四边形是菱形，再结合正方形的判定定理添加合适的条件． 【详解】因为四边形是平行四边形，，所以四边形是菱形， 由于正方形是特殊的菱形，当菱形满足有一个角是直角或对角线相等时，菱形即为正方形， 故添加的条件是：， 故答案为：（答案不唯一，正确即可）． 类型八、分解因式(选、填、解) 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误． 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 2．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 3．分解因式：___________ 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用平方差公式因式分解． 【详解】解： ． 4．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再通过平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 5．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）将原式变形为平方差形式，用平方差公式分解后，再用完全平方公式因式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 6．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 类型九、证明(特殊)平行四边形(解) 1．如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先根据证明，得，从而得，结合根据对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 2．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得证； （2）先证明，再结合即可得证． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，， ， ，， ， ， ． （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形． 3．如图，菱形的对角线相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，过点作的垂线交于点，连接．求菱形的面积． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得 、 ，证明 得出，，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作的垂线交于点，连接．点G在的垂直平分线上，，，由（1）得，则，，，，根据计算即可． 【详解】（1）解：是菱形， ∴,, 是的中点，则 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （2）解：过点作的垂线交于点，连接． ∵，，， ∴点G在的垂直平分线上，，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，可利用证明； （2）先证明四边形是平行四边形，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 又， ， ∴四边形是菱形． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 6．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析；③ 【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明； （2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形； ②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明； ③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴四边形为正方形； ②证明：延长交于点K， ∵四边形为正方形， ∴． 又∵四边形为正方形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③解：取中点O，连接， ∵ ∴ 延长交于P， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 类型十、统计综合(解) 1．马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)抽取的学生共有_____________人，请补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？ 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)人 【分析】（）根据创意融合类的人数和占比求出抽样总人数，再用总人数减去其余三类的人数，算出语言类人数并补全条形统计图； （）先计算戏曲类人数占抽样总人数的比例，再用乘以该比例，求出戏曲对应的扇形圆心角度数； （）先算出样本中创意融合类与语言类的总人数及占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校选择这两类节目的总人数． 【详解】（1）解：∵创意融合类有人，占总人数的， ∴总抽取人数为：； 语言类人数总人数歌舞人数戏曲人数创意融合人数， 即：， 补全条形图：语言类对应条形高度为，如图所示： （2）解：扇形圆心角戏曲人数占比，即： ， 答：“戏曲”对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：样本中创意融合语言类的总人数为：，占比为， 因此估计全校人中选择创意融合类和语言类节目的总人数为： 人， 答：估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有人． 2．某学校开展了读书活动，涉及文学、科学、体育、艺术等分类，随机调查了一部分学生喜爱阅读的书籍类别的个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为________，图①中m的值为________； (2)求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数； (3)若该校有2000名学生，试估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为多少？ 【答案】(1)16，12.5 (2)平均数为2.125，众数为2，中位数为2 (3)估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为625 【分析】（1）利用1类的人数除以1类所占的百分比，即可求得调查的学生人数；利用1减去其他类所占的百分比即可求得m的值； （2）根据平均数、众数、中位数的定义求解即可； （3）利用该校学生总人数乘以样本中喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数所占百分比，即可求解． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ， ∴； （2）解：， ∴这组数据的平均数为； ∵在这组数据中，2出现了6次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2； ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数为2和2，有， ∴这组数据的中位数为2； （3）解：在所抽取的样本中，该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数占， 估计该校2000名学生中，学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数有． 答：估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为625． 3．4月23日是“世界读书日”，某校校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍．为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间x（单位：分），把读书时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 组别 时间分 频数 A组 a B组 8 C组 12 D组 14 (1)一共抽取了________名学生的读书时间，表中________． (2)补全频数分布直方图． (3)扇形统计图中B组对应的圆心角度数为________． (4)张亮同学周末两天读书时间为89分钟，他说：“比我周末两天读书时间多的人还有，我要继续努力．”他的说法正确吗？请说明理由． (5)若该校共有1200名学生，阅读时间在120分钟以上（包括120分钟）的学生为“阅读小达人”，求所抽取学生中的“阅读小达人”占所抽取学生的百分比并估计该校“阅读小达人”的人数． 【答案】(1)40；6 (2)图见解析 (3) (4)说法不正确，理由见解析 (5)；420人 【分析】（1）由题意可得，D组频数为14，占总人数的，进而即可求解总抽取人数，最后即可求出a的值； （2）根据题意进行补全即可； （3）由B组对应的人数占比乘以即可； （4）先求出读书时间超过89分钟的人数占比，再与题目进行比较即可； （5）先求出“阅读小达人”的人数占比，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由统计表和扇形统计图可得，D组频数为14，占总人数的， ∴总抽取人数为：（人）， ∴A组频数：； （2）解：由题意得，补全频数分布直方图如下： （3）解：由题意得，B组对应的圆心角度数为； （4）解：说法不正确，理由如下： ∵总人数为40名，读书时间超过89分钟的是C组（）和D组（）， ∴其总人数为（人）， ∴其占比为， ∵，， ∴张亮的说法错误； （5）解：由题意得，抽取学生中“阅读小达人”（，即D组）的占比为：， ∴全校1200名学生中“阅读小达人”的人数估计为：（人）． 4．根据2026年长沙体育中考详细方案，2026年体育满分从40分增加到50分，测试项目保持不变，且拟于2028年在传统三大球（篮球、足球、排球）的基础上新增乒乓球和羽毛球．为了解某地区七年级学生对这五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），收集数据，并将调查得到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 运动项目 人数 羽毛球 40 乒乓球 100 篮球 足球 排球 30 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)计算出表中的值； (2)求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数： (3)若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？ 【答案】(1)， (2) (3)该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生约有1600人 【分析】（1）根据乒乓球的人数与百分比得到样本容量，再算各项人数即可； （2）由圆心角度数的计算方法求解即可； （3）根据样本估算总体数量即可． 【详解】（1）解：喜爱乒乓球的有100人，百分比为， ∴（人）， ∴（人）， 则（人）； （2）解：； （3）解：（人）， ∴该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生约有1600人． 5．中国的航天事业迅速发展，某中学为调查八年级学生对航天知识的了解情况，随机选取该年级部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题： 类别 调查结果 频数（人） A 非常了解 m B 比较了解 24 C 基本了解 n D 不太了解 5 (1)被调查的学生人数是 人； (2) ， ； (3)在扇形统计图中，选择“不太了解”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 ； (4)若该校八年级共有800名学生，根据调查结果，估计该校八年级学生中对航天知识“非常了解”的学生约有多少人？ 【答案】(1)50 (2)10，11； (3)； (4)八年级学生中“非常了解”的约有160人． 【分析】（1）根据B类“比较了解”的频数为24，对应扇形占比，求出总人数； （2）根据C类对应占比可求出，根据总人数减去其余三类频数可求出； （3）D类共5人，占总人数的，再，即可求解； （4）根据样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：被调查的学生人数是 人． （2）解：； ∴． （3）解：选择“不太了解”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 ． （4）解：样本中“非常了解”的占比为​， 因此该校八年级学生中对航天知识“非常了解”的学生约有： 人， 答：估计该校八年级对航天知识“非常了解”的学生约有人． 6．某校为进一步做好课后延时服务，让“双减”政策落地生“花”，采取电子问卷的方式随机调查了部分学生对课后延时服务的满意程度，所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： 问卷的内容为：你对课后延时服务满意吗？（仅选一项） A．非常满意    B．满意     C．一般      D．不满意 (1)这次活动共调查了_____人． (2)请补全条形统计图． (3)在扇形统计图中，求B对应的圆心角的度数． (4)根据调查结果，估计该校2000名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有多少人？ 【答案】(1)200 (2)补全条形图见解析 (3)对应的圆心角的度数为 (4)估计该校2000名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有1200人 【分析】（1）用A等级的人数除以对应的百分比即可； （2）计算出C等级人数，补全条形图即可； （3）用乘B等级的占比即可； （4）用2000乘学生中对课后延时服务满意及非常满意的占比即可． 【详解】（1）解：该校抽样调查的学生人数为（人）； （2）解：C等级人数为（人）， 补全条形图如下： （3）解：B等级对应的圆心角的度数为：； （4）解：（人）， 答：根据调查结果，估计该校2000名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有1200人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、普查与抽样调查(选、填) 1．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（    ） A．调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度 B．调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 C．了解我国中学生的视力情况 D．了解某品牌灯泡使用寿命 2．在下列调查中，最适合采用抽样调查的是（    ） A．了解重庆园博园春节期间的游客量 B．了解捷龙三号运载火箭的设备零件的质量情况 C．了解八年级某班学生的近视情况 D．了解一捆百元钞票中的假钞情况 3．下列调查中，适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．检测一批新能源汽车电池的使用寿命 B．检查九年级一班学生的寒假作业完成情况 C．调查山西电视台某节目的收视率 D．了解全国中学生对“中国天眼”的认知程度 4．要调查乘坐飞机的旅客是否带了违禁物品，你认为适合采用的调查是______． 5．为了解全国中学生视力状况，你认为应采用调查的方式是__．（请在“普查”或“抽样调查”中选一个） 6．“白色污染”是人们对塑料垃圾污染环境的一种形象称谓，这是导致环境污染的一大根源．为了解我市居民家庭在一年内丢弃废塑料袋个数的大致情况，你认为可采用______合适 （填“普查”或“抽样调查”）． 类型二、总体、个体、样本、样本容量(选、填) 1．磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（   ） A．该调查方式是全面调查 B．样本容量是 C．名游客是总体的一个样本 D．名游客是总体 2．双减”政策下，为了解东昌中学七年级880名学生的睡眠时间，现从中抽取50名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（　　） A．50是样本容量 B．880名学生是总体 C．50名学生是抽取的一个样本 D．抽取的每一名学生是个体 3．某校为了了解初三600名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行视力筛查．下列说法正确的是（   ） A．每名学生是个体 B．样本容量是50名学生 C．50名学生的视力情况是抽取的一个样本 D．600是总体 4．为了解某市80000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为_________． 5．某中学为了解本校八年级学生一周中玩手机所占用的时间，小亮利用放学时间在校门口随机调查了60名八年级的同学，则此次抽样调查的总体为_____ ． 6．为了解全区近7000名学年八年级学生的数学学习水平情况，随机抽查500名学生的网上答案统计分析，在这个问题中样本容量是________． 类型三、频数与频率(选、填) 1．调查50名学生的年龄，整理数据时，这些学生的年龄落在五个小组中，第一、二、三、五组数据个数分别是2，8，15，5，则第四组的频数是（   ） A．20 B．30 C．0.4 D．0.6 2．南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频率为（   ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 3．将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一组的频数为6，第二组与第五组的频数和为20，第三组的频率为，则第四组的频率为（   ） A． B．14 C． D．50 4．抛硬币100次，正面朝上的次数为52次，则正面朝上的频率为______． 5．已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频数为__________． 6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数最有可能是______个． 类型四、确定事件与随机事件(选、填) 1．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．明天一定是晴天 B．车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C．13个人中至少有两个人生肖相同 D．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 2．成语以简洁凝练的形式，承载着深厚的历史文化内涵，是汉语的精华和中华文化的瑰宝．下列成语描述的事件是随机事件的是（   ） A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．不期而遇 D．叶落归根 3．下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）． 5．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 6．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 类型五、可能性大小(选、填) 1．下列事例中，可能性最小的是（    ） A．瓜熟蒂落 B．枯木生花 C．水中捞月 D．夕阳西下 2．一个不透明的盒子内装有个红球，个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是（   ）． A．一定摸到红球 B．一定摸到白球 C．摸到白球比摸到红球的可能性大 D．摸到红球比摸到白球的可能性大 3．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 4．一个不透明的袋子中装有白球与黑球，它们除颜色外均相同，现任意摸一个球，如果摸出白球比黑球的可能性大，则袋中白球数____黑球数．（填“＞”“＜”或“＝”） 5．如图，一个圆形转盘被等分成八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有“3”所在区域的可能性________指针指向标有“4”所在区域的可能性．（填“大于”、“等于”或“小于”） 6．甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 类型六、平行四边形的性质(选、填) 1．在中，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线相交于点，且，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．11 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，若以、为邻边作，则点的坐标为___________． 5．如图，在平行四边形中，过点B作交延长线于点E，若，则的度数为_______． 6．如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 类型七、添加条件证(特殊)平行四边形(选、填) 1．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 2．如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______． 5．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 6．如图，在中，对角线，相交于点，．不增添辅助线的情况下，添加一个条件，使得四边形为正方形，你添加的是______．（写出一个即可） 类型八、分解因式(选、填、解) 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．分解因式：___________ 4．因式分解：____________． 5．因式分解： (1)； (2)； (3)． 6．因式分解 (1) (2) 类型九、证明(特殊)平行四边形(解) 1．如图， 在四边形中， ，是边的中点，连接并延长，交延长线于点 ．若，求证：四边形 是平行四边形． 2．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 3．如图，菱形的对角线相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，过点作的垂线交于点，连接．求菱形的面积． 4．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 6．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点E作分别交于点H，N． ①求证：四边形为正方形； ②求证：； ③若，请直接写出的取值范围． 类型十、统计综合(解) 1．马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)抽取的学生共有_____________人，请补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？ 2．某学校开展了读书活动，涉及文学、科学、体育、艺术等分类，随机调查了一部分学生喜爱阅读的书籍类别的个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为________，图①中m的值为________； (2)求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数； (3)若该校有2000名学生，试估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为多少？ 3．4月23日是“世界读书日”，某校校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍．为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间x（单位：分），把读书时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 组别 时间分 频数 A组 a B组 8 C组 12 D组 14 (1)一共抽取了________名学生的读书时间，表中________． (2)补全频数分布直方图． (3)扇形统计图中B组对应的圆心角度数为________． (4)张亮同学周末两天读书时间为89分钟，他说：“比我周末两天读书时间多的人还有，我要继续努力．”他的说法正确吗？请说明理由． (5)若该校共有1200名学生，阅读时间在120分钟以上（包括120分钟）的学生为“阅读小达人”，求所抽取学生中的“阅读小达人”占所抽取学生的百分比并估计该校“阅读小达人”的人数． 4．根据2026年长沙体育中考详细方案，2026年体育满分从40分增加到50分，测试项目保持不变，且拟于2028年在传统三大球（篮球、足球、排球）的基础上新增乒乓球和羽毛球．为了解某地区七年级学生对这五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），收集数据，并将调查得到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 运动项目 人数 羽毛球 40 乒乓球 100 篮球 足球 排球 30 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)计算出表中的值； (2)求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数： (3)若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？ 5．中国的航天事业迅速发展，某中学为调查八年级学生对航天知识的了解情况，随机选取该年级部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题： 类别 调查结果 频数（人） A 非常了解 m B 比较了解 24 C 基本了解 n D 不太了解 5 (1)被调查的学生人数是 人； (2) ， ； (3)在扇形统计图中，选择“不太了解”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 ； (4)若该校八年级共有800名学生，根据调查结果，估计该校八年级学生中对航天知识“非常了解”的学生约有多少人？ 6．某校为进一步做好课后延时服务，让“双减”政策落地生“花”，采取电子问卷的方式随机调查了部分学生对课后延时服务的满意程度，所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： 问卷的内容为：你对课后延时服务满意吗？（仅选一项） A．非常满意    B．满意     C．一般      D．不满意 (1)这次活动共调查了_____人． (2)请补全条形统计图． (3)在扇形统计图中，求B对应的圆心角的度数． (4)根据调查结果，估计该校2000名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有多少人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $