第二十一章 四边形 单元测试-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第二十一章 四边形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 3．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 6．如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．命题“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的逆命题是________命题（“真”或“假”）． 12．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 13．学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是_____． 14．平行四边形的周长为16，一边长为4，则另一条邻边长为________． 15．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 16．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 17．如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 20．（8分）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 21．（8分）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 22．（8分）如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 23．（8分）如图所示，在四边形中，对角线、交于点，，，且，过点C作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长度． 24．（8分）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 25．（9分）如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 26．（11分）阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．    【观察发现】： (1)如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： (2)如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： (3)如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： (4)如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性求解即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性 A、图形中间部分是一个四边形，不具有稳定性，符合题意； B、图形被分割成了三个三角形，具有稳定性，不符合题意； C、图形被对角线分割成了两个三角形，具有稳定性，不符合题意； D、图形本身就是一个三角形，具有稳定性，不符合题意． 2．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】B 【分析】利用n边形内角和公式列方程求解边数即可，n边形内角和公式为． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得方程，， 解得， ∴这个多边形是五边形． 3．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形对角相等，即， ∵， ∴． 4．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为，， ∴， ∵，点为的中点， ∴． 5．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 6．如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，三角形的中位线定理，得到，即可得出结果. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴. 8．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据折叠以及矩形的性质得到，设，则，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由折叠得， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ． 9．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵点在上， ∴， 故选：D． 10．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】要解决的最小值问题，需通过线段平移将分散的线段和转化为共线形式，再结合“两点之间线段最短”与勾股定理求解．利用的垂直关系和平移性质构造直角三角形，将的和转化为直角三角形斜边的长度，进而确定最小值． 【详解】解：如图，将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段． ，；，． ，且， ，即． ∵，， ． 在中，根据勾股定理： 由，可得． ∵． 的最小值为的长度，即． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．命题“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的逆命题是________命题（“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据矩形的性质判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的逆命题是“矩形的对角线互相平分且相等”．由矩形的性质可知，该命题成立，因此是真命题． 12．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和都等于即可求解． 【详解】解：五边形的外角和为． 13．学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是_____． 【答案】20 【分析】根据三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 14．平行四边形的周长为16，一边长为4，则另一条邻边长为________． 【答案】 4 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，可得平行四边形两邻边的长度和为周长的一半，结合已知边长即可求解另一邻边长． 【详解】解：∵平行四边形的周长为16，一边长为4， ∴另一条邻边长为． 15．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 【答案】九/9 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得： ， 解得； 故这个多边形是九边形． 16．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得． 17．如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】4或6 【分析】设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，，根据平行四边形的性质，可得或，列方程并解方程即可求出t值． 【详解】解：设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：， ∵直线将四边形截出一个平行四边形，， ∴或， ∴ 或 解得或， 即4或后直线将四边形截出一个平行四边形． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 【答案】 或 或 【分析】先求出，，然后根据题意分情况讨论：当时，当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴． ∵D是OA的中点， ∴． 过作于，则 ①当时，如图1所示： 由勾股定理得：， ； ②当时，如图1所示： 由勾股定理得：, ∴，这与矛盾，此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为 或 或． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法以及外角和是列方程求解即可； （2）根据正六边形内角的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得；（3分） （2）解：这个正六边形的每个内角的度数为．（6分） 20．（8分）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，由已知得到，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】证明：是平行四边形， ，， ∴,（4分） 又， ∴，即， 四边形是平行四边形．（8分） 21．（8分）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形.（4分） ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形.（8分） 22．（8分）如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线和中线即可求解； （2）证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在中，M，N分别为，的中点， ∴,, 在中， 点是的中点， ， , ∴（4分） （2）解：∵,平分, , 由（1）可知，, ∴, ∵, , , ∴, ．（8分） 23．（8分）如图所示，在四边形中，对角线、交于点，，，且，过点C作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，进一步得，通过推导角之间的关系得出，即可得证； （2）先过点B作，垂足为点，再利用菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得出，的长，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 平行四边形是菱形．（4分） （2）解：如图，过点B作，垂足为点， 又， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，， ，四边形为平行四边形， ． ，， ． 在中，， ． ， ， ， ．（8分） 24．（8分）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （4分） （2）解：点即为所求， （8分） 25．（9分）如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，得出，，即可得出结论； （2）证明，得出，然后得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴四边形是正方形；（4分） （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，      在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ．（9分） 26．（11分）阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．    【观察发现】： (1)如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： (2)如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： (3)如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： (4)如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用勾股定理证明即可； （2）连接，利用（1）中结论结合中线的性质计算即可； （3）连接、，设与相交于点，证明， 得，然后证明，得，求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半即可解决问题； （4）连接，交于，与交于点，设与的交点为， 由四边形是平行四边形，得到，根据点、、分别是，，的中点，得到，， 证出四边形是平行四边形，再证明， 证得，推出，分别是的中线， 由（2）的结论即可得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，，，， ，， ； （2分） （2）解：如图，连接，    ，是的中线， ，，是的中位线， ， ， 由（1）可知， ， ，即， ， ， ； （5分） （3）解：如图，连接、，设与相交于点，    四边形和四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ，点是中点， ； （8分） （4）解：如图，连接、交于，与交于点，设与的交点为，    点、分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 点、分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ．（11分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二十一章 四边形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 3．平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 6．如图，小逸同学将正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（   ） A．7 B．5 C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．命题“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的逆命题是________命题（“真”或“假”）． 12．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 13．学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的五一劳动节系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，调查组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是_____． 14．平行四边形的周长为16，一边长为4，则另一条邻边长为________． 15．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 16．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 17．如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 20．（8分）如图，E，F分别是平行四边形的边、边上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形． 21．（8分）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 22．（8分）如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)，平分，，求的长． 23．（8分）如图所示，在四边形中，对角线、交于点，，，且，过点C作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长度． 24．（8分）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 25．（9分）如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 26．（11分）阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．    【观察发现】： (1)如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： (2)如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： (3)如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： (4)如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二十一章四边形单元测试 总分：120分（参考答案） 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 3 6 > 8 9 10 A & 0 B B D 二、 填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 11.真 12.360 13.20 14.4 15.九/9 17.4或6 18.(3,4)或(2,4)或(8,4) 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19.(6分) 【答案】(1)n=6 (2)120° 【分析】(1)根据多边形内角和的计算方法以及外角和是360°列方程求解即可； (2)根据正六边形内角的计算方法进行计算即可· 【详解】(1)解：由题意得，(n-2x180°=360°×2， 解得n=6;(3分》 (2)解：这个正六边形的每个内角的度数为6-2×180 =120.(6分) 6 20.(8分) 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC,由已知得到ED=BF,根据平行四边形的判定 即可得到结论， 【详解】证明：：ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC, ED∥BF,(4分) 又：AE=CF, ∴AD-AE=BC-CF,即ED=BF, 1/9 :四边形BFDE是平行四边形.(8分) 21.(8分) 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形ABDE是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案 【详解】证明：：ABC与△DEC关于点C成中心对称， .AC=CD,BC=CE :四边形ABDE是平行四边形.(4分) DF=2AC =AC+CD=AD,AB=BF, BD⊥AF, 即LABD=90°， :.四边形ABDE是矩形.(8分) 22.(8分) 【答案】(1)见详解 (2)3√2 【分析】(1)根据中位线和中线即可求解； (2)证明∠BMN=90°，根据勾股定理即可求解. 【详解】(1)证明：在aCAD中，M,N分别为AC,CD的中点， :MN∥AD,MN=AD 在Rt△ABC中， 点M是AC的中点， MC. AC=AD, ∴MN=BM(4分) (2)解：∠BAD=60°，AC平分∠BAD, ∠BAC=∠DAC=30°， 由(1)可知，BM=4C=AM=MC, :∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， MN∥AD 2/9 ∠NMC=∠DAC=30°， :∠BMN=∠BMC+∠NMC=90° MN-BM-4C=3. :BN=3V2.(8分) 23.(8分) 【答案】(1)见解析 (24v5 5 【分析】(I)先得出四边形ABCD是平行四边形，进一步得AD∥BC,通过推导角之间的关系得出 BC=BA,即可得证； (2)先过点B作BF⊥AD,垂足为点F,再利用菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得出 AC,AD的长，最后利用菱形的面积公式即可解答. 【详解】(1)证明：：0A=0C,0B=0D, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, .∠DAO=∠BCO. ∠DAO=∠BA0, ∠BCO=∠BA0, ∴.BC=BA, :平行四边形ABCD是菱形.(4分) (2)解：如图，过点B作BF⊥AD,垂足为点F, E D A B 又：CE⊥AD, .BF∥CE. 由(1)可知，四边形ABCD是菱形， :4C10,AD∥8C,40=c0=4C,B0=D0-BD,40=cD=5, :∠C0D=90°，四边形CBFE为平行四边形， 3/9 :CE=BF. CD=5,BD=2, OD=BD =1 在Rt△CD0中，C0=VCD2-0D2=2, AC=20C=4. S菱形ABCD=)AC·BD=AD·BF, 2 1 ×4×2=5.BF, 2 ·BF=45 CE=BF= .(8分) 5 24.(8分) 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： (1)连接对角线AC和BD,交于点O,连接EO并延长交BC于点F,线段EF即为所求； (2)连接对角线EC和DF,交于点P,连接OP并延长交DC于点G,连接EG, 【详解】(1)解：线段EF即为所求， A E O 0.- (4分) B F 图① (2)解：点G即为所求， E D G (8分) B ☆ 图② 4/9 25.(9分) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据菱形的性质，得出LDBC=LACB,OB=OC,即可得出结论： (2)证明C0E≌DOF,得出∠ODF=∠OCE,然后得出∠FHC=90°，即可得出结论. 【详解】(1)证明：菱形ABCD, AD∥BC,0A=0C,0B=0D, ∠CAD=∠ACB, :∠CAD=∠DBC, :ZDBC ZACB, .0B=0C, ∴0A=0C=0B=0D即AC=BD, :.四边形ABCD是正方形；(4分) (2)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴0C=0D,∠D0F=∠E0C=90°， OD=OC 在ACOE和△DOF中{∠DOF=∠EOC OE=OF ∴.△C0E≌△D0F(SAS), :ZODF Z0CE :∠0DF+LOFD=∠ODF+∠HFC=90°， .∠OCE+∠HFC=90°， ∴.∠FHC=90°， DH⊥CE.(9分) 26.(11分) 【答案】(1)AB2+CD2=AD2+BC2 (2)V31 (3)14 2 (4)√29 5/9 【分析】(1)利用勾股定理证明即可； (2)连接DE,利用(1)中结论结合中线的性质计算即可： (3)连接AF、CE,设BC与AE相交于点M,证明△FBC≌△ABE(SAS),得∠BCF=∠BEA,然后证 明AE⊥CF,得AF2+CE2=AC2+EF2,求出EF,再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半即可解 决问题； (4)连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,由四边形ABCD是平行四边 形，得到ADII BC,根据点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点，得到BE⊥AC, AE=BF=CF=4D=3，证出四边形ABFE是平行四边形，再证明AEH≌：CFH(4S,证得 EH=FH,推出EP,AH分别是△AFE的中线，由(2)的结论即可得到结果。 【详解】(1)解：AB2+CD2=AD2+BC2,理由如下： :AC⊥BD, .AB2=042+0B2,AD2=042+OD2,BC2 OB2+0C2,CD2=OC2+OD2, .AB2+CD2=042+0B2+OC2+OD2,AD2+BC2=042+OD2+0B2+OC2, ..AB2+CD2=AD2+BC2;( (2)解：如图，连接DE, D :AD,CE是ABC的中线， :AE=4B,CD=BC,DE是ABC的中位线， 2 2 :D8=4C :AD⊥CE, :由(1)可知，AE2+CD2=DE2+AC2, gjgcj-g4oj+4c,平B+c-ac+c 4 4B+4c-4c, 4 4 .AB2=5AC2-BC2=5×42-72=31, 6/9 AB=V3I;(5分) (3)解：如图，连接AF、CE,设BC与AE相交于点M, G M D F E ·四边形BCDE和四边形BFGA是正方形， :BC=BE,FB=AB,∠ABF=∠CBE=90°， :LABF+LABC=∠CBE+∠ABC,即∠FBC=∠ABE, 在△FBC和△ABE中， FB=AB ∠FBC=∠ABE, BC=BE △FBC≌△ABE(SAS), :ZBCF ZBEA, :∠CBE=90°， .∠BEA+∠BME=90°， :∠BME=∠CMO, ∠BCF+∠CM0=90°， ∠C0M=90°， AE⊥CF, :AF2+CE2=AC2+EF2, :AC=√2，BC=BE=V5,AB=BF=5, AF=V2AB=V10,CE=√2BE=√6， .EF2=AF2+CE2-AC2=10+6-2=14, .EF=V14, :∠EOF=90°，点H是EF中点， 719 ∴OH=EF=4 (8分) 2 (4)解：如图，连接AC、EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P, A E D XH F :点E、G分别是AD,CD的中点， :,EG是△ADC的中位线， ..EGIAC, :BE⊥EG, BE⊥AC, :四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,BC=AD=6, :∠EAH=LFCH, :点E、F分别是AD,BC的中点， AE=AD,BF=CF=1BC, 2 24D=3, .AE=BF=CF= AE‖BF, ·四边形ABFE是平行四边形， :EF=AB=4,AP=PF, 在△AEH和△CFH中， ∠AHE=∠FHC ∠EAH=∠HCF, AE=CF ∴△AEH≌△CFH(AAS), :EH =FH, EP,AH分别是△AFE的中线， 由(2)的结论得：AF2+EF2=5AE2, .AF2=5×32-42=45-16=29, 8/9 6/6 (:I)·6个=P