精品解析：黑龙江鸡西市第一中学校等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟测试数学试题

2025—2026学年度第二学期第一次模拟测试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，，，发现两位数“”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于 的分式方程的解为正实数，则实数 的取值范围是　　 A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入两种不同型号的包装盒中，种包装盒每盒可装个粽子， 种包装盒每盒可装个粽子，若将生产的个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与 边交于点D，与边交于点F，与 交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C´处，并且C´D∥BC，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形 中，点E从点B出发，沿边 方向向终点C运动，交 于点F，以为邻边构造平行四边形，连接，则下列结论：①；②；③点E在运动过程中，；④；⑤的度数始终保持不变．其中正确的结论是（    ） A. ①②③④⑤ B. ①②③④ C. ②④⑤ D. ①②③⑤ 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 黑龙江省森林面积为20.12万平方公里，20.12万用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 13. 如图，已知四边形 ，对角线和 相交于 ，已知，则添加一个条件_____可得出四边形 是平行四边形． 14. 李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为______． 15. 若不等式组无解，则 的取值范围为______． 16. 如图，在 中，直径于点E，，，则弦的长为______． 17. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 19. 在矩形 中，，E是 的中点，在直线 上或 边上有一点F，使是直角三角形，则 的长为________． 20. 如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△On﹣1BAn，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△On﹣1OnAn﹣1的面积为Sn，则Sn＝__．（n≥2，且n为整数） 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1， 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出 关于x轴对称的； （2）将绕O点逆时针旋转 ，画出旋转后的． （3）在（2）的条件下，求点旋转到所经过的路径长？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 ，与 轴交于， 两点（点在点 的左侧），其中点，． （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． （2）线段上有一动点 ，连接，当的值最小时，请直接写出此时点 的坐标和的最小值． 24. 为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请解答下列问题： （1）这次被抽查的学生有多少人？ （2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是______； （3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？ 25. 在一条直线上的甲、乙两地相距240km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离与两车行驶时间之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求慢车停车之后再次行驶时，与甲地的距离与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）直接写出两车出发多长时间后，相距60km？ 26. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为 中点，绕点D旋转，连接．在旋转过程中，易证（不需要证明）． （1）当点在内且三点共线时，如图2，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （2）当点在外且三点共线时，如图3，猜想之间的数量关系，直接写出结论，不需要证明． 27. 某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，用3000元购进A商品和用1800元购进B商品的数量相同，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元． （1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点，交轴于点 ， ，的长是一元二次方程的两个实数根，点 关于原点的对称点为点 ，过点 作直线 的垂线交 于点 ，交 轴于点 ． （1）求直线 的解析式． （2）点 的坐标为，设的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围． （3）若点在直线 上， 为坐标平面内任意一点，是否存在以 、 、、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第一次模拟测试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B，等式不恒成立，错误； 对选项C： ，C正确； 对选项D： ，错误． 2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下： 有（个）， 故选：B． 4. 某班级对五名“五星少年”候选人的投票进行统计：，，， ，发现两位数“ ”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（    ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义． 【详解】解：无论 为何值，这组数据的中位数均为，不受影响， 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，， ， 中位数为； 当时，数列从小到大排列顺序为： ，，，， 中位数为． 故选： 5. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年累计三年共投入研发资金364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 6. 关于 的分式方程的解为正实数，则实数 的取值范围是　　 A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可． 【详解】， 去分母，得 x+m-2m=3（x-2）， 解得x=， ∵关于x的分式方程的解为正实数， ∴x-2≠0，x＞0． 即≠2，＞0， 解得m≠2且m＜6， 故选D． 点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m的式子表示x解分式方程，构造不等式组是解题关键． 7. 端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入两种不同型号的包装盒中， 种包装盒每盒可装个粽子， 种包装盒每盒可装 个粽子，若将生产的个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设 种包装盒每盒有 个， 种包装盒每盒有 个，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，设 种包装盒每盒有 个， 种包装盒每盒有 个，均为正整数， ∴， ∴解得，，，， ∴共有四种方法，最少需要两种包装盒共， 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目数量关系，掌握二元一次方程组的求根方法是解题的关键． 8. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与 边交于点D，与 边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 过点E作 ，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值． 【详解】过点E作 ，则， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 即，解得： 故选D 9. 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C´处，并且C´D∥BC，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8 ∴AC＝10 ∵DC’‖BC ∴AD/AC=DC’/BC ∵△CDE≌△C’DE ∴CD＝C’D ∴(AC-CD)/AC=CD/BC ∴（10－CD）/10=CD/8 解得CD＝40/9，所以选A． 10. 如图，在正方形 中，点E从点B出发，沿边 方向向终点C运动，交 于点F，以为邻边构造平行四边形，连接，则下列结论：①；②；③点E在运动过程中，；④；⑤的度数始终保持不变．其中正确的结论是（    ） A. ①②③④⑤ B. ①②③④ C. ②④⑤ D. ①②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交 的延长线于H，证明，得，可以判断①②正确；证明是等腰直角三角形，可以判断③④正确；根据题意，证明是的角平分线，可判断⑤错误． 【详解】解：作交 的延长线于H， 四边形 是正方形， ，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，由勾股定理得，， ， ，即，故③正确； ， ， ，故④正确； ， 是的角平分线， 点P的运动轨迹是的角平分线， ， 观察图象可得，当增加时，减小，故⑤错误， 正确的结论是①②③④， 故选：B． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 黑龙江省森林面积为20.12万平方公里，20.12万用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】x≥-3 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意得:x+3≥0． 解得x≥-3， 故答案为：x≥-3． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围及二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 13. 如图，已知四边形 ，对角线 和 相交于 ，已知，则添加一个条件_____可得出四边形 是平行四边形． 【答案】或或 或（添加一个即可） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握平行四边形的判定的方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴添加，则有四边形 是平行四边形； ∵， ∴添加，则有四边形 是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加 ， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； ∵， ∴， ∵， ∴添加， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； 故答案为：或或 或（添加一个即可）． 14. 李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题结合非遗项目，考查概率问题．先列出所有情况，再求出选择漆器和蜀锦的概率． 【详解】解：列出所有可能的选择情况，设5种非遗项目为：漆器、蜀锦、其他3种分别为，从5种中选2种，所有可能的组合有：、、、、、、、、、，共10种等可能的情况．恰好选择漆器和蜀锦的情况只有1种：， 恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为 符合条件的情况数总情况数 故答案为： 15. 若不等式组无解，则 的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式 得：， 解不等式 得：， 不等式组无解， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 16. 如图，在 中，直径 于点E，，，则弦 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设 的半径为 ，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ， 设 的半径为 ，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 17. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的有关计算．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 设圆心角的度数是，则， 解得：． 故侧面展开图的圆心角的度数是． 故答案是：． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 【答案】. 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AM=A'M=1，可得点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，由勾股定理可求MC的长，即可求A′C的最小值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝MD＝1 ∵将△AMN沿MN所在直线折叠， ∴AM＝A'M＝1 ∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上， ∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值， 的最小值 故答案为 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题关键在于利用折叠的性质得到AM=A'M=1. 19. 在矩形 中，，E是 的中点，在直线上或 边上有一点F，使 是直角三角形，则 的长为________． 【答案】6或或8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形 是矩形，得，，再结合 是直角三角形，进行分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在矩形 中，， ∴，， ∵E是 的中点， ∴， 如图所示： 当时， 则， ∴ 四边形是矩形， ∴； 如图所示： 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 则． 如图所示： 当时， ∵ 则 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：或或8， 故答案为：6或或8， 20. 如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△On﹣1BAn，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△On﹣1OnAn﹣1的面积为Sn，则Sn＝__．（n≥2，且n为整数） 【答案】. 【解析】 【分析】由题意：△△△，，△，相似比： ，探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】由题意：△△△，，△，相似比：， ，， ，，，， 故答案为． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于结合题意找到图形的规律. 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值、二次根式，根据分式加减和除法的运算法则，可化简代数式，根据特殊角的三角函数值，可求得 的数值． 【详解】 将代入原式，得 原式 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1， 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）作出 关于x轴对称的； （2）将绕O点逆时针旋转 ，画出旋转后的． （3）在（2）的条件下，求点旋转到所经过的路径长？ 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 如图，即为所求 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作旋转后图形，勾股定理，弧长公式，掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由网格可得：， ∵将绕O点逆时针旋转 ， ∴点旋转到所经过的路径长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），其中点，． （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． （2）线段 上有一动点 ，连接，当的值最小时，请直接写出此时点 的坐标和的最小值． 【答案】（1）解析式为，顶点坐标为 （2）点 坐标为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点 ， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点 ，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点 的坐标为时，的最小值． 24. 为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请解答下列问题： （1）这次被抽查的学生有多少人？ （2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是______； （3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？ 【答案】（1）这次被抽查的学生有60人 （2） 补全图形见图， 120° （3）200人 【解析】 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图可知，被抽查的学生人数=A类人数÷A类百分比 （2）用抽查的总人数减去其他项目的人数即可得到D类人数，B类活动圆心角度数=360°×B类所占的百分比． （3）用全校人数乘以热爱雪地足球的学生所占百分比即可求出全校最喜爱雪地足球的学生有多少人． 【小问1详解】 解：（人）． 答：这次被抽查的学生有60人． 【小问2详解】 解：60-(12+20+8+4)=16(人) 360°×=120°，B类活动扇形圆心角的度数是120°． 【小问3详解】 解：（人）． 答：全校最喜爱雪地足球的学生有200人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计，结合两个统计同，熟练的求出所需要的数据是解题的关键．圆心角的度数=360°×． 25. 在一条直线上的甲、乙两地相距240km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离与两车行驶时间之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求慢车停车之后再次行驶时，与甲地的距离与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）直接写出两车出发多长时间后，相距60km？ 【答案】（1）， （2） （3）或或5h 【解析】 【分析】（1）根据图象，找出对应的时间与路程求得答案即可； （2）由题意可以求出慢车的速度就可以求出点B的坐标，由待定系数法求出BF的解析式即可； （3）由待定系数法求出求出直线OD和DE的解析式，再由一次函数与一元一次方程的关系建立方程就可以求出结论． 【小问1详解】 解：∵快车从甲地驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地， ∴快车8小时行驶480千米， ∴快车在行驶过程中的速度为∶480÷8=60(千米/时)． ∵慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原速驶向甲地共用9小时， ∴慢车8小时行驶240千米， ∴慢车在行驶过程中的速度为∶240÷8=30(千米/时)； 【小问2详解】 解：如图，慢车从乙地驶向甲地，因故停车时距甲地210千米，所以慢车行驶了240-210=30（千米），故行驶时间为30÷30=1(小时)， ∴点B的坐标为(2，210) 设 ，代入点B(2，210)，F(9，0)，得 解得 ∴（2<x<9）． 【小问3详解】 解：设 ，代入点D(4，240)，F(8，0)，得 解得 ∴， 设 代入点D(4，240)，得： 240=4k ∴k=60 ∴直线OD的解析式为 由题意得： -30x+270-60x=±60 解得x=或x -60x+480-(-30x+270)=60， 解得x=5； 也就是当两车行驶小时或小时或5小时，两车相距60千米． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求得函数解析式，进一步利用行程问题的基本数量关系解决问题，正确识图，理清题意是解题的关键． 26. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1， 和均为等腰直角三角形，，点D为 中点，绕点D旋转，连接．在旋转过程中，易证（不需要证明）． （1）当点在 内且三点共线时，如图2，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （2）当点在 外且三点共线时，如图3，猜想之间的数量关系，直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1） ， 证明如下：如图所示，连接 ， 为等腰直角三角形，， ， ∵点D为 中点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，即， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理得到，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （2）证明，为等腰直角三角形，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 证明：如图所示，连接 ， 根据（1）中的证明可知，， ， 在和， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，即， ， ， ． 27. 某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，用3000元购进A商品和用1800元购进B商品的数量相同，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元． （1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）A：50元，B：30元； （2）第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件； （3）第三种，840元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可； （2）根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可； （3）根据函数的增减性求最值. 【小问1详解】 解：设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为（x+20）元， 由题意，得 = 解得x=30 经检验：x=30是方程的解，且符合题意 ∴A商品每件的进价为30+20=50元 答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元； 【小问2详解】 解：设A种商品的数量a件，B种商品的数量（40-a）件，由题意，得 解得13≤a≤16 ∵a为正整数 ∴a为14，15，16 ∴B种商品的数量为26，25，24 所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件； 【小问3详解】 解：令所获利润为W元，则 W=（45-30）（40-a）+（80-50）a ∴ ∵k=15＞0 W随a的增大而增大 ∴a=16时，即A购买16件，B购买24件利润最大 元 答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元. 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解，分式方程注意检验． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，，的长是一元二次方程的两个实数根，点 关于原点的对称点为点 ，过点 作直线 的垂线交 于点 ，交 轴于点 ． （1）求直线 的解析式． （2）点 的坐标为，设的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围． （3）若点 在直线 上， 为坐标平面内任意一点，是否存在以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）证明，得出，根据对称性求出，进而求出，待定系数法求出直线的解析式为．联立方程组求出点D的坐标，然后分；分别求出函数解析式即可； （3）分两种情况讨论： 为矩形的边和 为矩形的对角线，然后根据矩形的性质，求解即可． 【小问1详解】 解：解方程，得 ，． ， ，． ， 设直线 的解析式为． ．， 解得， 直线 的解析式为． 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ， 点 关于原点的对称点为点 ， ． ，． ． ． 同理可求：直线的解析式为． ，得， ． 当时，； 当时，． 综上所述，． 【小问3详解】 解：存在，求解如下： ①如图1：当 为矩形一边时，过 作交 于 ，分别过 、 作，相交于点 ， ， 点 的纵坐标为1，则有，解得： ， ，即点 的横坐标为1， ， 点 的纵坐标为， ； ②如图2：当 为矩形的对角线时，分别过 、 作，相交于点 ， 相互平分， 过点 作直线 的垂线交 于点 ，交 轴于点 ． 点 和点 重合， ， ， 点 关于原点的对称点为点 ， 点 、点 关于原点的对称， ． 综上，存在点 即或，使 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $