精品解析：江苏省白蒲高级中学2025-2026学年下学期高一年级第一次调研考试数学试题

2025级高一年级第一次调研考试数学试题 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求． 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 4. 若，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的两角差公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以，所以． 故选：C． 5. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理可得： ， 所以， 所以， 故选：C 6. ，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.4小时 D. 0.5小时 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，即，根据，得到，即. 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 8. 在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值. 【详解】由正弦定理可得，由余弦定理可得， 故 . 二、多项选择题 9. 已知是复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，若，则，而，成立，故A正确. 对于选项B，设，则，那么，且，所以，故B正确. 对于选项C，举反例：，模都是1，但，故C错误. 对于选项D，设，且，则.若，则无定义，题目隐含，故D正确. 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理求，根据正弦函数性质，结合大边对大角判断判断A选项；利用正弦函数的单调性与诱导公式判断的大小判断B选项；利用正弦函数的单调性与对称性确定的关系判断C选项；根据三角形性质可得，结合大边对大角可得为钝角，根据余弦定理列方程求的范围判断D选项. 【详解】对于A选项，， 根据正弦定理， ，，， 所以有两解，所以有两解，故A正确； 对于B选项，若为锐角三角形，则，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，则，B正确； 对于C选项，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾. 综上所述，为等腰或直角三角形，C错误； 对于D选项，因为为的三边，所以，故， 当时，最大边为，钝角三角形中最大角为钝角， 由余弦定理， 所以， 化简得，解得，结合可得，D正确. 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A和B，方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C，利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D. 【详解】由题， A，由，令， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； B，，所以函数的图象不关于直线对称，B错误； C，关于x的方程在上实数根的情况转化为，与的交点个数， 作出在上的简图如下， 则有两个不相等的实数根时，故，C正确； D， ， 因为，当时取最大值为，故D正确. 三、填空题 12. 已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据纯虚数概念求解即可． 【详解】， 若为纯虚数，则，解得． 故答案为：． 13. 的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】 . 14. 已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出，最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径即可. 【详解】在中，，则， ， ，同理求得， ， 设外接圆的半径为R，则， 故由的面积为1，得， 即，解得. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角C； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将角化为边整理可得，再利用余弦定理可得的值； （2）由余弦定理可求出的值，由三角形面积公式即可求得结果. 【小问1详解】 在中，由，得， 得，即， 所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由，所以， 即， 即，则， 所以. 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点． （1）若点，求的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义求出，再将，利用两角和额余弦公式进行求解即可； （2）将，从而利用两角和的正弦公式进行求解即可． 【小问1详解】 因为是锐角，且在单位圆上， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 且， 所以，可得，且， 所以 ． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，，求AB边上中线的长. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【小问1详解】 在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. 【小问2详解】 由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 18. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． （1）若，求线段的长度； （2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【小问1详解】 因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. 【小问2详解】 设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 19. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； 【小问3详解】 由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级第一次调研考试数学试题 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求． 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 6. ，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.4小时 D. 0.5小时 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在非直角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、多项选择题 9. 已知是复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若是锐角三角形，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 11. 函数，下列结论正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，则 D. 函数的最大值为 三、填空题 12. 已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数_________． 13. 的值为______． 14. 已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角C； （2）若，求的面积． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点． （1）若点，求的值； （2）若，求． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，，求AB边上中线的长. 18. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． （1）若，求线段的长度； （2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 19. 在中，内角的对边分别为，满足． （1）证明：； （2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $