6.3.2-3 平面向量基本定理及坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 要点整合夯基础 课堂达标练经典 课时作业 典例讲解破题型 核心素养培优 [课标解读]1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加减运算． [素养目标] 水平一：1.掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义．(数学抽象)2.了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系，会用坐标表示平面向量的加、减运算．(数学抽象、数学运算) 水平二：掌握平面向量坐标运算的方法，并能灵活运用．(逻辑推理、数学运算) 知识点一　向量的正交分解及坐标表示 [填一填] 1．向量的正交分解 把一个向量分解为 的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 两个互相垂直 (x，y) (x，y) 3．向量与坐标的关系 设eq \o(OA,\s\up13(→))＝xi＋yj，则向量eq \o(OA,\s\up13(→))的坐标 就是终点A的坐标；反过来，终点A的 (x，y)就是向量eq \o(OA,\s\up13(→))的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是 的． (x，y) 坐标 一一对应 [答一答] 1．特别地，i，j，0的坐标分别是什么？ 2．正交分解与平面向量基本定理有何联系？ 提示：i＝(1,0), j＝(0,1)，0＝(0,0)． 提示：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(作为基底的两个向量互相垂直时)． (x2，y2) (x2－x1，y2－y1) 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 [填一填] 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a＋b＝ ，a－b＝ ，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (2)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则eq \o(OA,\s\up13(→))＝ ，eq \o(OB,\s\up13(→))＝ ，eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝ ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x1，y1) [答一答] 3．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 4．“若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up13(→))＝(x1－x2，y1－y2)”对吗？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 提示：不对，应该用终点坐标减去始点坐标． 类型一　平面向量的坐标表示 [例1]　(1)在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的坐标为(　　) A．(2eq \r(3)，2) B．(2，－2eq \r(3)) C．(－2,2eq \r(3)) D．(2eq \r(3)，－2) D (2)在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c| ＝4，向量a，b，c的坐标分别为_________，____________，____________. [分析]　构造直角三角形求坐标． (eq \r(2)，eq \r(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) (2eq \r(3)，－2) [解析]　(1)x＝|a|·cos(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)， y＝|a|·sin(－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2. (2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)． a1＝|a|cos45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)， a2＝|a|sin45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)， b1＝|b|cos120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)， b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)， c1＝|c|cos(－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)， c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2. ∴a＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)． 求向量坐标的方法 1．平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． 2．求差法：先求出这个向量的始点，终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． [变式训练1]　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(BD,\s\up13(→))的坐标． 解：如图，正三角形ABC的边长为2， 则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)， 所以C(1，eq \r(3))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))， 所以eq \o(AB,\s\up13(→))＝(2,0)，eq \o(AC,\s\up13(→))＝(1，eq \r(3))， eq \o(BC,\s\up13(→))＝(1－2，eq \r(3)－0)＝(－1，eq \r(3))， eq \o(BD,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))). 类型二　平面向量加、减运算的坐标运算 [例2]　已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→))的坐标为________． [分析]　结合题意，建立平面直角坐标系求出eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))的坐标表示进行运算． (2,0) [解析]　根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以eq \o(AB,\s\up13(→))＝(1,0)，eq \o(BC,\s\up13(→))＝(0,1)，eq \o(AC,\s\up13(→))＝(1,1)，所以eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(BC,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→))＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)． 关于向量加减的坐标运算思路 (1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． (3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． [变式训练2]　(1)已知向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则a＋b等于(　　) A．(3,1)　 B．(3,3) C．(0，－2) D．(2,2) A 解析：∵a＝(3,2)，b＝(0，－1)， ∴a＋b＝(3,1)． (2)已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标． 解：设顶点D的坐标为(x，y)， 在▱ABCD中，eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(BC,\s\up13(→))， 又eq \o(AD,\s\up13(→))＝(x＋2，y－1)，eq \o(BC,\s\up13(→))＝(4,1)， ∴(x＋2，y－1)＝(4,1)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2＝4，,y－1＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，)) ∴顶点D的坐标为(2,2)． 类型三　向量加减坐标运算的应用 [例3]　已知在平行四边形ABCD中，eq \o(AD,\s\up13(→))＝(3,7)，eq \o(AB,\s\up13(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \o(CO,\s\up13(→))的坐标为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) [分析]　利用向量加法运算求出eq \o(AC,\s\up13(→))；结合O为AC中点求出eq \o(CO,\s\up13(→)). C [解析]　因为在平行四边形ABCD中，eq \o(AD,\s\up13(→))＝(3,7)，eq \o(AB,\s\up13(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O， 所以eq \o(CO,\s\up13(→))＝－eq \o(AO,\s\up13(→))＝－eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)). 向量加、减坐标运算的应用 (1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则． [变式训练3]　已知eq \o(AB,\s\up13(→))＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为(　　) A．(1,8) B．(－1,8) C．(3,2) D．(－3,2) B 解析：设B(x，y)，则eq \o(AB,\s\up13(→))＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，解得x＝－1，y＝8，故选B. 1．已知eq \o(MN,\s\up13(→))＝(2,3)，则点N位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 D 解析：因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定． 2．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　) A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0) C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0) C 解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1，3)． 3．向量eq \o(OA,\s\up13(→))＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是(　　) A．x>0 B．x<1 C．x<0或x>1 D．0<x<1 D 解析：由A点在第四象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1<0，))解得0<x<1. 4．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与eq \o(AB,\s\up13(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝ . 1 解析：∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，eq \o(AB,\s\up13(→))＝a， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，))解得x＝1. 5．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°. (1)求向量eq \o(OA,\s\up13(→))的坐标． (2)若B(eq \r(3)，－1)，求eq \o(BA,\s\up13(→))的坐标． 解：(1)设点A(x，y)，则x＝4eq \r(3)cos60°＝2eq \r(3)， y＝4eq \r(3)sin60°＝6，即A(2 eq \r(3)，6)，eq \o(OA,\s\up13(→))＝(2eq \r(3)，6)． (2)eq \o(BA,\s\up13(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7)． ——本课须掌握的三大问题 1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示． 2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同. 当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同． 3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误． $