精品解析：新疆乌鲁木齐市实验学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年第二学期乌鲁木齐市实验学校第一次月考高一数学问卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 2. 已知向量和满足与夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（ ） A. B. 5N C. D. 4. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一年级学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 6. 已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 已知 把向量的起点移到同一个点，设 以,为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量是 D. 平行四边形的面积为 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则_______，的面积=_______． 13. 已知复数，则的虚部为__________． 14. 如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知i是虚数单位，复数． （1）若z为纯虚数，求实数a的值； （2）若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模． 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B大小； （2）若，求的面积． 18. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 19. 平面向量是数学中一个非常重要概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: （1）若，求向量的坐标; （2）用向量法证明余弦定理; （3）如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期乌鲁木齐市实验学校第一次月考高一数学问卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 第一部分(选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ）三点共线 A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 2. 已知向量和满足与的夹角为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法即可求解. 【详解】由题意，. 故选：D. 3. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（ ） A. B. 5N C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 4. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 5. 某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解. 【详解】，， ，则， 在中，， ，即. 所以该雕像的高度约为4m. 故选：A. 6. 已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解. 【详解】 由向量的减法得：，则，， 设，则，， 由，得，解得， 所以. 故选：A. 7. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：利用正弦定理判断；对于B：由正弦定理判断；选项C：两边之和大于第三边判断；选项D：由正弦定理判断； 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 8. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故复数的虚部为，B错误； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，故和均为方程的根， 故， 所以， 故，，，D正确. 故选：ACD 10. 已知 把向量的起点移到同一个点，设 以,为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量是 D. 平行四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模的坐标运公式计算可判断A；根据向量夹角的余弦值计算公式计算可判断B；根据投影向量计算公式计算可判断C；根据平行四边形面积计算公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，在上的投影向量是，故C错误； 对于D，因为， 所以平行四边形的面积为，故D正确． 故选：ABD. 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D. 【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则， 又由正弦定理可得，故A说法正确； 选项B，若，则由正弦定理边化角可得， 即，所以或，整理得或， 所以等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为，所以由正弦定理可得， 所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确； 选项D，若，则由正弦定理角化边可得， 所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误； 故选：BD 第二部分(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则_______，的面积=_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】应用余弦定理和三角形面积公式求边长和三角形面积即可. 【详解】由已知及余弦定理有， 由三角形面积公式知，的面积等于． 故答案为：， 13. 已知复数，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的概念即可求解； 【详解】， 所以， 所以的虚部为， 故答案为： 14. 如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 【详解】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知i是虚数单位，复数． （1）若z为纯虚数，求实数a的值； （2）若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念计算即可； （2）利用复数的几何意义计算即可. 【小问1详解】 ∵是纯虚数， ∴，解得； 【小问2详解】 易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上， 得，即，得． ∴．则． 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，则，解得， 故，. 【小问2详解】 因为，所以，则，. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则，解得，即， 故. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解； （2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 因为，则，所以， 因为，所以. （2）因为，， 由余弦定理可得，整理得， 又，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，利用基底表示，再利用数量积的运算律求出长. （2）利用数量积及模求出向量的夹角的余弦值. （3）利用数量积的运算律，结合已知建立等式即可. 【小问1详解】 在中，令，，则； ，，， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 因此， 又， ， . 【小问3详解】 ， ， 则， 即， ，化简得：， 所以. 19. 平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: （1）若，求向量的坐标; （2）用向量法证明余弦定理; （3）如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）若，由公式求向量的坐标； （2）用向量法证明余弦定理； （3）设，有，利用旋转求出，得两点坐标，可求中点坐标. 【小问1详解】 ，则， . 【小问2详解】 设，， ， 所以， 同理可得， 【小问3详解】 设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$