专题06 四边形性质、判定与几何综合专题（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

专题06 四边形性质、判定与几何综合专题 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（    ） A． B． C． D．8 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，点E是边的中点，将沿折叠得到，且点F在矩形内，将延长交边于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，，矩形绕点A旋转得矩形．点M为的中点，则在矩形旋转一周的过程中，的最大值为（    ） A．4.5 B．2.5 C．3 D．5 二、填空题 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，为轴上的一动点，，则的最小值是________． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则______． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，动点在边上，过点作于点，连接，取的中点，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为___________． 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________． 16．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形A中，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为________． 三、解答题 17．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 19．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有直线，与之间的距离为3，交于点，交于点．矩形，点在上且在点的上方，点在上且在点的左侧，，以点为旋转中心，顺时针旋转矩形，点旋转后的对应点分别为，旋转角为．直线、直线分别与直线相交于点． (1)若时， ①当点落在上时，求到的距离； ②当点落在上时，求到的距离； (2)在矩形旋转过程中，若时，请直接写出满足题意的的方程为___________． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且的面积为12，求正方形的周长． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)如图2，在△中，，高，，求的长度． 22．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)当C为中点，时，四边形是什么图形？请证明； (2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点 E顺时针旋转至 ，作射线交的延长线于点 G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，， E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形性质、判定与几何综合专题 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 连接，由矩形的性质得，利用中位线性质可得，根据勾股定理计算出，可得，利用线段和差求出长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵F是的中点， ∴OF是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小． 【详解】解：如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴此时，，的值最小． 则的最小值， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形按顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点．当点落在矩形对角线的延长线上时，的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，由矩形的性质得，则，由，求得，则，由旋转得，则，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 将矩形旋转得到矩形，点在的延长线上， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质．由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，点E是边的中点，将沿折叠得到，且点F在矩形内，将延长交边于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据中点和折叠的性质可证，然后可得，设，从而可得，从而可得，再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出，从而可得答案． 【详解】解：连接． ∵点E是边的中点， ∴． ∴将沿折叠后得到， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则 ∵， ∴， ∴． 在矩形中，， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题是一道综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，能够充分调动所学知识是解答本题的关键． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，，矩形绕点A旋转得矩形．点M为的中点，则在矩形旋转一周的过程中，的最大值为（    ） A．4.5 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，由三角形三边关系可求解，本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握旋转的性质是解题的关键 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形绕点A旋转得矩形 ∴，， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，掌握“连接三角形两边中点的线段是中位线”的判定方法是解题关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由中位线的判定与性质得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴． 故答案为：3． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．根据把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，， ，， 在中， ∵ ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，而， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，为轴上的一动点，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】连接，构造等边三角形，是等边三角形，此时点C与点F重合，确定点C的运动轨迹是直线，作点O关于直线的对称点G，连接交y轴于点H，当点C与点H重合时，取得最小值，此时最小值为的长度，根据勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，点，为轴上的一动点，， ∴，是等边三角形， 以为边构造等边三角形， 当点B运动到原点时，点C与点E重合； 作点A关于y轴的对称点F， ∴， ∴时， ∴是等边三角形， 此时点C与点F重合， ∴点C的运动轨迹是直线， 作点O关于直线的对称点G，连接交y轴于点H， ∴当点C与点H重合时，取得最小值，此时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的最小值， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．由正方形的性质、轴对称的性质以及折叠的性质可得、，进而得到；如图：过点B作于点M，由等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；然后证明是等腰直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为13， ∴， ∵点为点A关于的对称点， ∴， ∴， 如图：过点B作于点M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，动点在边上，过点作于点，连接，取的中点，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】先通过折叠构造对称点，利用平行四边形性质推出角度；再依据中位线定理，将最小值转化为最小值（时最小 ）；最后在含角的直角三角形中，结合勾股定理算出长度。 【详解】解：如图将沿对折至，延长交于点，连接．   ∵四边形为平行四边形．，，．   ， ． 又对折， ， ．   ．   又，对折线为，位于上， ，．   为中点， 又为中点， ，   当为最小值时，最小， 可知当时为最小值．   过点作交于点， ， ∵，． 在中 ．   此时与点重合， 即．   故的长为时，最小．   故答案为． 【点睛】本题考查平行四边形性质、折叠变换、三角形中位线定理及直角三角形性质，解题关键是通过折叠构造对称关系，结合中位线定理将最值转化为最值，再利用直角三角形求解。 14．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 设，则，根据勾股定理求出x的值，利用翻折的性质和勾股定理进行列式，代入数值计算计算，可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知：， ， ， ，， ，， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，是边的中点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，若，则的长等于__________． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键． 连接交于点，由折叠的性质可知，垂直平分，进而推出为的中位线，得到，设，利用勾股定理列方程，解得，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，为对称轴，点为对应点， 连接交于点， 由折叠的性质可知，垂直平分， ，点为的中点， 是边的中点， 为的中位线， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：4 16．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形A中，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． （1）根据题意作； （2）根据直角三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，再根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)72 (2)108 (3)48或144 【分析】（1）根据折叠得：，可得，根据矩形的面积即可解答； （2）如图2，连接，先证明，得，设，则，根据勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：①如图3，点G在点B的右侧，连接，先由勾股定理可得和的长，设，则，最后由勾股定理即可解答；②如图4，点G在点B的左侧，连接，同样的方法即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，    ∴， ∵点F落在边上， 由折叠得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的面积； 故答案为：72； （2）解：如图2，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积； （3）解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接，    ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 此时点G与C重合， ∴矩形的面积； ②如图4，点G在点B的左侧，连接，      同理， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形的面积 综上，矩形的面积是48或144． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，矩形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，有直线，与之间的距离为3，交于点，交于点．矩形，点在上且在点的上方，点在上且在点的左侧，，以点为旋转中心，顺时针旋转矩形，点旋转后的对应点分别为，旋转角为．直线、直线分别与直线相交于点． (1)若时， ①当点落在上时，求到的距离； ②当点落在上时，求到的距离； (2)在矩形旋转过程中，若时，请直接写出满足题意的的方程为___________． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①连接，过点作于点E，证明矩形为正方形，得出，证明为等腰直角三角形，求出即可； ②当点在点D左侧时，过点作于点F，交于点E，证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出即可得出答案，当点在点D右侧时，同理可以求出结果； （2）当时，，，此时点B在上，点A与点D重合；分两种情况：当点在上，且在点D左侧时，点P与点重合，当点在上，且在点D右侧时，点P与点重合，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①连接，过点作于点E，如图所示： 则， 当时，， ∴矩形为正方形， ∴， ∴当点落在上时，旋转角，， ∴此时点在上， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即点到直线距离为； ②当点在点D左侧时，过点作于点F，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴根据旋转可知：四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与之间的距离为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 即此时到的距离为； 当点在点D右侧时，过点作于点F，延长交于点E，如图所示： 同理可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， 即点到的距离为； 综上分析可知：点到的距离为：或； （2）解：当时，，， ∴此时点B在上，点A与点D重合； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P在直线上， ∴点与点P重合； 当点在上，且在点D左侧时，点P与点重合，如图所示： 根据矩形的性质可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，符合题意， 根据勾股定理得：， 即， ∴， 当点在上，且在点D右侧时，点P与点重合，如图所示： 根据矩形的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，符合题意， 根据勾股定理得：， 即， ∴； 综上分析可知：满足题意的的方程为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且的面积为12，求正方形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，三角形的面积和正方形的周长． （1）连接，根据正方形的性质得，，再由推出，再根据在四边形中，对角线互相垂直平分，判定四边形是菱形； （2）先由已知得，进而得，即可求出正方形的边长，进而可求正方形的周长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在四边形中，，，， 即在四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为12， ∴正方形的周长为． 21．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)如图2，在△中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键，利用翻折的性质构造正方形是解决问题的难点． （1）过点A作于点K，证明四边形是矩形得，根据角平分线性质得，，由此可依据“”判定和全等，则，继而得，同理证明和全等得，继而得，根据得，由此即可得出的度数； （2）由（1）可知，据此即可得出结论； （3）将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，设，则，根据翻折的性质证明四边形是正方形，则，，进而得，在中，由勾股定理可求出，继而可得出的长． 【详解】（1）解：过点A作于点K，如图1所示： ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：由（1）可知：， ∴； （3）解：将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，如图2所示： 设，则， 在中，，高， ∴， 由翻折的性质得：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 22．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)当C为中点，时，四边形是什么图形？请证明； (2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查斜边上的中线，平行四边形的性质，菱形的判定和矩形的判定，熟练相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，斜边上的中线，得到，即可得出结论； （2）当时，根据平行四边形的性质，结合，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ∵平行四边形， ∴， ∵连接并延长交的延长线于点F， ∴， ∵C为中点，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）当时，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知：四边形是平行四边形， ∵为的中点， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形． 23．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点 E顺时针旋转至 ，作射线交的延长线于点 G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，， E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ． 【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）①，理由见解析；② 【分析】（1）根据矩形全等，证，得到，即可求出的度数； （2）过点作交延长线于点，根据正方形和旋转的性质，易证，进而得出，分别证明和是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①过点作，交延长线于点，根据菱形和旋转的性质，易证，得到，，，再结合等腰三角形的性质，得出，从而得出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可得出结论； ②由垂线段最短可知，当，最小，过点作延长线于点，过点作于点，证明，得到，再根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求出的面积． 【详解】解：（1）矩形和矩形全等， ，，， ， ， ， ∴； （2）如图，过点作交延长线于点，   四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①，理由如下： 如图，过点作，交延长线于点，   四边形是菱形，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接， 由垂线段最短可知，当，最小， 由①可知，，，， 如图，过点作延长线于点，过点作于点，   ， ， ， 又， ， ， 四边形是菱形，，， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形等知识，正确作辅助线，根据模型延伸结论是解题关键． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质； （1）先证明，结合，从而可得结论； （2）由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，根据直角三角形直角边小于斜边（可取等）即可求解． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ∴的最大值为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $