专题22.1 函数的概念（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题22.1 函数的概念 教学目标 1. 掌握常量与变量的概念并能够熟练并准确判断； 2. 掌握函数的概念，能够熟练的判断函数关系以及求相应的自变量的取值范围及其函数值。的 教学重难点 1. 重点 （1）变量与常量； （2）函数的定义及自变量的取值范围与函数值。 2. 难点 （1）判断函数关系； （2）求函数的自变量的取值范围与相应的函数值。 知识点01 变量与常量 1. 变量： 在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2. 常量： 在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【即学即练1】 1．我国某高铁的平均速度是300千米/时，则该高铁行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是s＝300t．在高铁运行的过程中，变量是（　　） A．速度、路程 B．速度、时间 C．路程、时间 D．速度、路程和时间 【答案】C 【解答】解：我国某高铁的平均速度是300千米/时，则该高铁行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是s＝300t．在高铁运行的过程中，变量是路程、时间， 故选：C． 【即学即练2】 2．小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以10km/h的速度匀速骑行，用时x小时骑行y千米．下列说法正确的是（　　） A．10和x是常量，y是变量 B．10是常量，x和y是变量 C．10和y是常量，x是变量 D．以上说法均错误 【答案】B 【解答】解：根据题意，可知10是常量，x和y是变量． 故选：B． 知识点02 函数的定义 1. 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 【即学即练1】 3．下列不一定是函数关系的是（　　） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【解答】解：A、正方形周长C与边长a的关系为C＝4a，对于每个a，C唯一确定，是函数关系，符合题意； B、在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为l＝l0+km（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系，符合题意； C、匀速行驶时，路程s与时间t的关系为s＝vt（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系，符合题意； D、数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，不一定是函数关系，符合题意． 故选：D． 【即学即练2】 4．下列表示y与x的关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x+1 D．y＝|x| 【答案】B 【解答】解：对于选项A， 在y＝x中，当x每给出一个值，y都有唯一一个确定的值和x对应， ∴y是x的函数， 故选项A不符合题意； 对于选项B， 在y＝±x中，当x每给出一个值，y都有两个个确定的值和x对应， 例如：当x＝2时，y＝±2， ∴y不是x的函数， 故选项B符合题意； 对于选项C， 在y＝﹣x+1中，当x每给出一个值，y都有唯一一个确定的值和x对应， ∴y是x的函数， 故选项C不符合题意； 对于选项D， 在y＝|x|中，当x每给出一个值，y都有唯一一个确定的值和x对应， ∴y是x的函数， 故选项D不符合题意， 故选：B． 知识点03 自变量的取值范围 1. 自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2. 常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3. 在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 【即学即练1】 5．下列y关于x的函数中，定义域为一切实数的是（　　） A．y＝x﹣3 B． C． D．y＝（x﹣3）0 【答案】A 【解答】解：A、定义域为一切实数，符合题意； B、定义域为x﹣3≥0，即x≥3，不符合题意； C、定义域为x﹣3≠0，即x≠3，不符合题意； D、定义域为x﹣3≠0，即x≠3，不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】 6．函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．全体实数 【答案】B 【解答】解：由题意得，x﹣2≠0， 解得x≠2． 故选：B． 【即学即练3】 7．在函数中，自变量x的取值可能是（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8 【答案】A 【解答】解：由题意得：x+1≥0， 解得：x≥﹣1， 则四个选项中，自变量x的取值可能是0， 故选：A． 【即学即练4】 8．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥1 C．x≥1且x≠2 D．x为任何实数 【答案】C 【解答】解：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 【即学即练5】 9．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≤5 C．3＜x≤5 D．x≥3 【答案】C 【解答】解：根据题意x﹣3＞0且5﹣x≥0， 解得3＜x≤5． 故选：C． 【即学即练6】 10．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且x≠1 C． D．且x≠1 【答案】C 【解答】解：函数的自变量x的取值范围是， 解得：， 故选：C． 知识点04 函数解析式及函数值 1. 函数解析式： 用关于 自变量 的数学表达式表示 函数 与 自变量 之间的关系，是描述函数的常用方法。等号左边是自变量的函数，等号右边是关于自变量的代数式以及自变量的取值范围。 优点：能准确地反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2. 函数值： 在一个函数中，如果在自变量的取值范围内存在自变量时对应的函数值，则就是自变量为时的 函数值 。 【即学即练1】 11．为丰富课余体育活动，某校用5000元购买了某品牌足球y个，已知该品牌足球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝5000x B． C． D．y＝5000+x 【答案】B 【解答】解：根据题意得：y，∴y与x的函数关系式为y，故选：B． 【即学即练2】 12．某款共享充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按0.5元计费；30分钟后，超过部分按每分钟0.2元计费．设租用该款共享充电宝的时间为t（t＞30）分钟，则总费用y与时间t的关系式是y＝0.2t+9　 ． 【答案】y＝0.2t+9． 【解答】解：根据租金规则，前30分钟费用固定，为0.5×30＝15（元）， 超过部分按不同费率计算，超过部分时间为（t﹣30）分钟，费用为0.2×（t﹣30）＝0.2（t﹣30）元， 因此总费用y与时间t的关系式是y＝15+0.2（t﹣30）＝0.2t+9． 故答案为：y＝0.2t+9． 【即学即练3】 13．变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：在中，当x＝2时，， 故选：C． 【即学即练4】 14．已知f（x）＝x2﹣1，那么　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：已知f（x）＝x2﹣1， 由函数定义，． 故答案为：5． 题型01 判断关系中的常量与变量 【典例1】下列选项中，属于定量数据的是（　　） A．某市所有教师的学历 B．某班学生上学的交通方式 C．牛肉中蛋白质的含量 D．某小区居民的垃圾分类情况 【答案】C 【解答】解：A．某市所有教师的学历，是定性数据，故本选项不符合题意； B．某班学生上学的交通方式，是定性数据，故本选项不符合题意； C．牛肉中蛋白质的含量，是定量数据，故本选项符合题意； D．某小区居民的垃圾分类情况，是定性数据，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，冰的厚度随时间的变化而变化， 因此时间，冰的厚度是变量． 故选：D． 【变式2】球的体积是V，球的半径为R，则，在这个公式中，变量是（　　） A．V，π，R B．π和R C．V和R D．V和π 【答案】C 【解答】解：∵π是常量， ∴球的体积V随球的半径R的变化而变化， ∴V和R是变量， 故选：C． 【变式3】新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．新能源车 B．温度 C．电池 D．续航里程 【答案】B 【解答】解：新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少，在这个变化过程中，自变量是温度， 故选：B． 题型02 判断关系是否为函数关系 【典例1】下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（　　） A．三角形的一个外角度数x度和与它相邻的内角度数y度的关系 B．树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米，x与y的关系 C．正方形的面积y（平方厘米）和它的边长x（厘米）的关系 D．一个正数x的平方根是y，y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系 【答案】D 【解答】解：A．y＝180°﹣x，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，故A不符合题意； B．y＝60+3x，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，故B不符合题意； C．y＝x2，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，故C不符合题意； D．y＝±，对于x的每一个值，y都有两个的值与它对应，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（　　） A．y：正方形的面积；x：这个正方形的周长 B．y：一个正数的算术平方根；x：这个正数 C．y：圆的面积；x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根；x：这个正数 【答案】D 【解答】解：A、y＝（x）2x2，y是x的函数，故A不符合题意； B、y，y是x的函数，故B不符合题意； C、y＝π（x）2πx2，y是x的函数，故C不符合题意； D、y＝±，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】下列解析式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．|y|＝x D．y＝|x| 【答案】C 【解答】解：根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，则： A、y＝2x，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，不符合题意； B、y＝x2，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，不符合题意； C、|y|＝x，当x＝1时，y＝±1，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，符合题意； D、y＝|x|，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 【变式3】有下列5个等式：①y＝3x+1；②y2＝x2﹣1；③y＝±x；④|y|＝3x2+1；⑤（x≥0）．其中表示y是x的函数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：①在y＝3x+1中，对于每一个x，都有唯一y值，选项式子是函数，符合题意； ②在y2＝x2﹣1中，对于某些x（如x＝2），y有两个值（），选项式子不是函数，不符合题意； ③y＝±x中，对于每一个x，y有两个可能值（x或﹣x），选项式子不是函数，不符合题意； ④在|y|＝3x2+1中，对于每一个x，|y|唯一，但y有两个值（正负），选项式子不是函数，不符合题意； ⑤在中，对于x≥0，y有唯一值（算术平方根），选项式子是函数，符合题意． 故选：A． 题型03 求函数的自变量取值范围 【典例1】函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 【答案】D 【解答】解：已知函数， 则x+1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥﹣1且x≠2， 故选：D． 【变式1】函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2且 B．x≤2且 C．x≤2 D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知x≥﹣2； ∵分母1﹣2x≠0， ∴； 故选：A． 【变式2】函数中自变量x的取值范围是　且x≠0　 ． 【答案】且x≠0． 【解答】解：对于函数，要使函数有意义， 需满足以下条件：分式的分母不能为零，即x≠0， 二次根式的被开方数2x+1≥0， 解得． 故函数中自变量x的取值范围是且x≠0， 故答案为：且x≠0． 【变式3】函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤4 B．x＜4 C．x＜4且x≠﹣1 D．x≤4且x≠﹣1 【答案】C 【解答】解：∵函数中， ∴， 解得x＜4且x≠﹣1． 故选C． 题型04 求简单的函数解析式 【典例1】设地面气温是2℃，如果高度每升高1km，气温下降6℃，那么气温t（℃）与高度h（km）之间的函数表达式是（　　） A．t＝2﹣6h B．t＝2+6h C．t＝6h﹣2 D．t＝﹣6h﹣2 【答案】A 【解答】解：∵当高度h＝0km时，气温t＝2℃；高度每增加1km，气温下降6℃， ∴函数表达式是t＝2﹣6h， 故选：A． 【变式1】为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用200元钱去买单价为5元的某种笔记本，他买完这种笔记本之后剩余的钱数y（元）与购买的数量x（本）之间的关系式是 y＝200﹣5x ． 【答案】y＝200﹣5x． 【解答】解：根据题意，得y＝200﹣5x， ∴剩余的钱数y（元）与购买的数量x（本）之间的关系式是y＝200﹣5x． 故答案为：y＝200﹣5x． 【变式2】用一根绳子围成一个长方形，其中一边长为xm，且长方形的周长为10m．若长方形的另一边长为ym．用式子表示y与x的关系为y＝5﹣x ． 【答案】y＝5﹣x． 【解答】解：由题意得，2（x+y）＝10， 即y＝5﹣x， 故答案为：y＝5﹣x． 【变式3】某链条每节长为3.7cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm，按照这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y与x的关系式是（　　） A．y＝2.5x B．y＝3.7x C．y＝2.5x+1.2 D．y＝2.5x﹣1.2 【答案】C 【解答】解：y＝1.2+（3.7﹣1.2）x＝1.2+2.5x， 故选：C． 题型05 求自变量的函数值 【典例1】已知二次函数y＝（x﹣1）（x+1），当时，y的值为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据平方差公式，得y＝x2﹣1， 当时，， 故答案为：6． 【变式1】已知函数f（x）＝2x2+x﹣1，那么f（2）＝ 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：f（2）＝2×22+2﹣1＝9． 故答案为：9． 【变式2】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解答】解：根据流程图与有理数运算可得： 若输入的x的值为4时，输出的y的值为5， 则2×4+b＝5，解得b＝﹣3， ∵1＜3， ∴输出的数是﹣3×1+3＝0， 故选：A． 1．圆周长C与半径r的关系式为C＝2πr，则下列判断正确的是（　　） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 【答案】C 【解答】解：A、2是常量，故A不符合题意； B、π是常量，故B不符合题意； C、r是变量，正确，故C符合题意； D、C是变量，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．|y|＝x D．y＝|x| 【答案】C 【解答】解：根据函数的定义逐项分析判断如下： A、y＝2x，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，不符合题意； B、y＝x2，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，不符合题意； C、|y|＝x，当x＝1时，y＝±1，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，符合题意； D、y＝|x|，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，不符合题意； 故选：C． 3．下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（　　） A．y＝2x﹣2 B．y C．y＝x2 D．y＝x+1 【答案】C 【解答】解：A、当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0，故A不符合题意； B、当x＝1时，y2，故B不符合题意； C、当x＝1时，y＝12＝1，故C符合题意； D、当x＝1时，y＝1+1＝2，故D不符合题意； 故选：C． 4．下列函数中，自变量的取值范围为x＞5的是（　　） A．y＝x﹣5 B．y C．y D．y 【答案】D 【解答】解：A、y＝x﹣5，自变量的取值范围为全体实数，不符合题意； B、y，自变量的取值范围为x≠5，不符合题意； C、y，自变量的取值范围为x≥5，不符合题意； D、y，自变量的取值范围为x＞5，符合题意； 故选：D． 5．若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 【答案】A 【解答】解：A、将x+1代入函数y＝﹣2x+10得：y＝﹣2（x+1）+10＝﹣2x+8，即函数值减少2，符合题意； B、将x+1代入函数y＝2x得：y＝2（x+1）＝2x+2，即函数值增加2，不符合题意； C、将x+1代入函数y＝﹣x+2得：y＝﹣（x+1）+2＝﹣x+1，即函数值减少1，不符合题意； D、将x+1代入函数y＝﹣2x2得：y＝﹣2（x+1）2＝﹣2x2﹣4x﹣2，即函数值的变化量为﹣4x﹣2，不符合题意． 故选：A． 6．如图，用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形ABCD．下面的量是常量的是（　　） A．∠ABC的度数 B．对角线AC的长度 C．四边形ABCD的面积 D．四边形ABCD的周长 【答案】D 【解答】解：∠ABC的度数逐渐增大， ∴∠ABC的度数是变量， ∴A不符合题意； 对角线AC的长度逐渐增大， ∴对角线AC的长度是变量， ∴B不符合题意； ∵平行线AB与CD之间的距离逐渐减小，AB长度不变， ∴四边形ABCD的面积逐渐减小， ∴四边形ABCD的面积是变量， ∴C不符合题意； ∵在向右扭动的过程中，四边形ABCD的四条边长始终不变， ∴四边形ABCD的周长不变，是常量， ∴D符合题意． 故选：D． 7．在函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x≥0且x≠3 D．0≤x≤3 【答案】C 【解答】解：由题意得：x≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥0且x≠3， 故选：C． 8．执行如图所示的程序框图，所得y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x﹣18 B．y＝﹣3x﹣6 C． D． 【答案】B 【解答】解：执行如图所示的程序框图，所得y与x之间的函数关系式， 输入x后第一步取x的相反数得到﹣x，在此基础上“×3”得到﹣3x，在此基础上“﹣6”得到﹣3x﹣6，因此输出的y应为﹣3x﹣6． ∴y＝﹣3x﹣6． 故选：B． 9．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：∵02， ∴y＝x2． 当x时，y＝（）2． 故选：B． 10．如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段AB上（不包括端点），过点P作PD⊥x轴于D，PE⊥y轴于E，四边形PDOE的周长为8，则直线l的函数表达式是（　　） A．y＝﹣x+8 B．y＝x+8 C．y＝﹣x+4 D．y＝x+4 【答案】C 【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E， 设P点坐标为（x，y），则PD＝y，PE＝x，根据题意得： 2（x+y）＝8， ∴x+y＝4， 即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4， 故选：C． 11．下列数据： ①10月1日某部电影的票房； ②今天烟台开发区的空气质量； ③你每天参加体育活动的时间； ④你早餐是否有喝牛奶的习惯， 是定量数据的有　①③　 ． 【答案】①③． 【解答】解：∵10月1日某部电影的票房是定量数据， ∴今天烟台开发区的空气质量是定性数据， 你每天参加体育活动的时间是定量数据， 你早餐是否有喝牛奶的习惯是定性数据， ∴以上数据中是定量数据的是①③， 故答案为：①③． 12．在函数中，自变量x的取值范围是x＞﹣2且x≠3　 ． 【答案】x＞﹣2且x≠3 【解答】解：由题意得：x+2＞0且x﹣3≠0， 解得：x＞﹣2且x≠3， 故答案为：x＞﹣2且x≠3． 13．一个边长为5厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，正方形的面积随之增加y平方厘米，那么y与x的函数关系式是y＝x2+10x ． 【答案】y＝x2+10x． 【解答】解：原边长为5厘米的正方形面积为：5×5＝25（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：（x+5）， 则面积为：（x+5）2平方厘米， ∴正方形的面积随之增加y平方厘米，那么y与x的函数关系式是y＝（x+5）2﹣25＝x2+10x． 故答案为：y＝x2+10x． 14．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，则y与x间的关系式是y＝25x+75（x＞3）　 ． 【答案】y＝25x+75（x＞3）． 【解答】解：y＝50×3+50×50%（x﹣3）＝150+25x﹣75＝25x+75（x＞3）， 即若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，y与x间的关系式是y＝25x+75（x＞3）． 故答案为：y＝25x+75（x＞3）． 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一点，设BP长为x且0≤x＜8，△APC的面积为S． （1）求S与x之间的函数解析式，S＝24﹣3x ； （2）当△APC的面积为18时，则BP的长为　2　 ． 【答案】（1）S＝24﹣3x； （2）2． 【解答】解：（1）PC＝8﹣x，由三角形面积公式可得： ， 故答案为：S＝24﹣3x； （2）由条件可知S＝24﹣3x＝18， 解得：x＝2，即BP＝2， 故答案为：2． 16．指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，户月用水量为xt，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元． （3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π． （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本． 【答案】（1）用水量xt和水费y元是变量，自来水价为4元/t为常量； （2）手机通话时间为tmin和话费卡中的余额为w元是变量，手机通话费为0.2元/min为常量； （3）半径为r，圆周长为C为变量，圆周率π为常量； （4）第一个抽屉放入的书本数x本，第二个抽屉放入书本数y本四变量，书本总数10本是常量． 【解答】解：（1）依题意得：y＝4x， ∴用水量xt和水费y元是变量，自来水价为4元/t为常量； （2）依题意得：w＝30﹣0.2t， ∴手机通话时间为tmin和话费卡中的余额为w元是变量，手机通话费为0.2元/min为常量； （3）依题意得：C＝πr， ∴半径为r，圆周长为C为变量，圆周率π为常量； （4）依题意得：y＝10﹣x， ∴第一个抽屉放入的书本数x本，第二个抽屉放入书本数y本四变量，书本总数10本是常量． 17．分别对①y＝3x﹣5；②y；③y的各函数解析式进行讨论： （1）自变量x在什么范围内取值时函数解析式有意义？ （2）当x＝5时对应的函数值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①y＝3x﹣5，自变量x的取值范围是全体实数； ②y，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1； ③y，自变量x的取值范围是x﹣1≥0，即x≥1； （2）当x＝5时，①y＝3x﹣5＝3×5﹣5＝10； ②y； ③y2． 18．已知矩形周长为12cm，设这个矩形的一边长为xcm，面积为Scm2． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当S＝8cm2时，求x的值． 【答案】（1）S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，0＜x＜6； （2）4或2． 【解答】解：（1）由条件可知矩形另一边长为， ∴S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x， ∵， ∴0＜x＜6； （2）当S＝﹣x2+6x＝8时，解得x1＝4，x2＝2； 故x的值为4或2． 19．由S市寄往G市的包裹，邮寄标准是3元/千克，另外，每件收取挂号费2元． （1）写出邮寄总费用y（元）与包裹质量x（千克）之间的函数关系式； （2）如果邮寄包裹的质量为7.8千克，试求邮寄的总费用为多少元； （3）如果邮寄包裹的总费用为30.8元，试求他邮寄包裹的质量为多少千克． 【答案】（1）y＝3x+2； （2）如果邮寄包裹的质量为7.8千克，邮寄的总费用为25.4元； （3）如果邮寄包裹的总费用为30.8元，邮寄包裹的质量为9.6千克． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝3x+2； （2）当x＝7.8时，y＝3×7.8+2＝25.4； ∴总费用为25.4元； （3）当y＝30.8时，30.8＝3x+2，x＝9.6； ∴邮寄包裹的质量为9.6千克． 20．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW•h） 单价/[元/（kW•h）] 第一档 0＜x≤170 0.5 第二档 170＜x≤260 0.6 第三档 x＞260 0.8 （1）当170＜x≤260时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）小明家10月用电量是180kW•h，求小明家10月的电费； （3）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【答案】（1）y＝0.6x﹣17； （2）91元； （3）240kW•h． 【解答】解：（1）由题意得，当170＜x≤260时，y＝0.5×170+0.6（x﹣170）＝0.6x﹣17， （2）把x＝180，代入y＝0.6x﹣17＝0.6×180﹣17＝91（元）， 答：小明家10月用电量是180kW•h，其应交电费91元； （3）∵170×0.5+0.6×（260﹣170）＝85+54＝139＞127， ∴170＜x≤260， 设用电量为x kW•h，由题意得， 170×0.5+0.6×（x﹣170）＝127， 解得x＝240， 答：某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW•h． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.1 函数的概念 教学目标 1. 掌握常量与变量的概念并能够熟练并准确判断； 2. 掌握函数的概念，能够熟练的判断函数关系以及求相应的自变量的取值范围及其函数值。的 教学重难点 1. 重点 （1）变量与常量； （2）函数的定义及自变量的取值范围与函数值。 2. 难点 （1）判断函数关系； （2）求函数的自变量的取值范围与相应的函数值。 知识点01 变量与常量 1. 变量： 在一个变化过程中，数值 的量称为变量。 2. 常量： 在一个变化过程中，数值 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 【即学即练1】 1．我国某高铁的平均速度是300千米/时，则该高铁行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是s＝300t．在高铁运行的过程中，变量是（　　） A．速度、路程 B．速度、时间 C．路程、时间 D．速度、路程和时间 【即学即练2】 2．小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以10km/h的速度匀速骑行，用时x小时骑行y千米．下列说法正确的是（　　） A．10和x是常量，y是变量 B．10是常量，x和y是变量 C．10和y是常量，x是变量 D．以上说法均错误 知识点02 函数的定义 1. 函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 的值与之对应，那么我们就说是 ，是的 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 【即学即练1】 3．下列不一定是函数关系的是（　　） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【即学即练2】 4．下列表示y与x的关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝x B．y＝±x C．y＝﹣x+1 D．y＝|x| 知识点03 自变量的取值范围 1. 自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2. 常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 。 3. 在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 【即学即练1】 5．下列y关于x的函数中，定义域为一切实数的是（　　） A．y＝x﹣3 B． C． D．y＝（x﹣3）0 【即学即练2】 6．函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．全体实数 【即学即练3】 7．在函数中，自变量x的取值可能是（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8 【即学即练4】 8．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥1 C．x≥1且x≠2 D．x为任何实数 【即学即练5】 9．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≤5 C．3＜x≤5 D．x≥3 【即学即练6】 10．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B．且x≠1 C． D．且x≠1 知识点04 函数解析式及函数值 1. 函数解析式： 用关于 的数学表达式表示 与 之间的关系，是描述函数的常用方法。等号左边是自变量的函数，等号右边是关于自变量的代数式以及自变量的取值范围。 优点：能准确地反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2. 函数值： 在一个函数中，如果在自变量的取值范围内存在自变量时对应的函数值，则就是自变量为时的 。 【即学即练1】 11．为丰富课余体育活动，某校用5000元购买了某品牌足球y个，已知该品牌足球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝5000x B． C． D．y＝5000+x 【即学即练2】 12．某款共享充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按0.5元计费；30分钟后，超过部分按每分钟0.2元计费．设租用该款共享充电宝的时间为t（t＞30）分钟，则总费用y与时间t的关系式是 　 ． 【即学即练3】 13．变量y与x之间的关系式是，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【即学即练4】 14．已知f（x）＝x2﹣1，那么　 　 ． 题型01 判断关系中的常量与变量 【典例1】下列选项中，属于定量数据的是（　　） A．某市所有教师的学历 B．某班学生上学的交通方式 C．牛肉中蛋白质的含量 D．某小区居民的垃圾分类情况 【变式1】“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（　　） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【变式2】球的体积是V，球的半径为R，则，在这个公式中，变量是（　　） A．V，π，R B．π和R C．V和R D．V和π 【变式3】新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少，在这个变化过程中，自变量是（　　） A．新能源车 B．温度 C．电池 D．续航里程 题型02 判断关系是否为函数关系 【典例1】下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（　　） A．三角形的一个外角度数x度和与它相邻的内角度数y度的关系 B．树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米，x与y的关系 C．正方形的面积y（平方厘米）和它的边长x（厘米）的关系 D．一个正数x的平方根是y，y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系 【变式1】下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（　　） A．y：正方形的面积；x：这个正方形的周长 B．y：一个正数的算术平方根；x：这个正数 C．y：圆的面积；x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根；x：这个正数 【变式2】下列解析式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．|y|＝x D．y＝|x| 【变式3】有下列5个等式：①y＝3x+1；②y2＝x2﹣1；③y＝±x；④|y|＝3x2+1；⑤（x≥0）．其中表示y是x的函数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型03 求函数的自变量取值范围 【典例1】函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2 【变式1】函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣2且 B．x≤2且 C．x≤2 D． 【变式2】函数中自变量x的取值范围是 　 ． 【变式3】函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤4 B．x＜4 C．x＜4且x≠﹣1 D．x≤4且x≠﹣1 题型04 求简单的函数解析式 【典例1】设地面气温是2℃，如果高度每升高1km，气温下降6℃，那么气温t（℃）与高度h（km）之间的函数表达式是（　　） A．t＝2﹣6h B．t＝2+6h C．t＝6h﹣2 D．t＝﹣6h﹣2 【变式1】为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师准备用200元钱去买单价为5元的某种笔记本，他买完这种笔记本之后剩余的钱数y（元）与购买的数量x（本）之间的关系式是 ． 【变式2】用一根绳子围成一个长方形，其中一边长为xm，且长方形的周长为10m．若长方形的另一边长为ym．用式子表示y与x的关系为 ． 【变式3】某链条每节长为3.7cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm，按照这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y与x的关系式是（　　） A．y＝2.5x B．y＝3.7x C．y＝2.5x+1.2 D．y＝2.5x﹣1.2 题型05 求自变量的函数值 【典例1】已知二次函数y＝（x﹣1）（x+1），当时，y的值为 　 　 ． 【变式1】已知函数f（x）＝2x2+x﹣1，那么f（2）＝ 　 　 ． 【变式2】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣3 D．3 1．圆周长C与半径r的关系式为C＝2πr，则下列判断正确的是（　　） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 2．下列关系式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2 C．|y|＝x D．y＝|x| 3．下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（　　） A．y＝2x﹣2 B．y C．y＝x2 D．y＝x+1 4．下列函数中，自变量的取值范围为x＞5的是（　　） A．y＝x﹣5 B．y C．y D．y 5．若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 6．如图，用钉子将四根木条钉成正方形框，并向右扭动得到四边形ABCD．下面的量是常量的是（　　） A．∠ABC的度数 B．对角线AC的长度 C．四边形ABCD的面积 D．四边形ABCD的周长 7．在函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x≥0且x≠3 D．0≤x≤3 8．执行如图所示的程序框图，所得y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x﹣18 B．y＝﹣3x﹣6 C． D． 9．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为（　　） A． B． C．1 D． 10．如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，P在线段AB上（不包括端点），过点P作PD⊥x轴于D，PE⊥y轴于E，四边形PDOE的周长为8，则直线l的函数表达式是（　　） A．y＝﹣x+8 B．y＝x+8 C．y＝﹣x+4 D．y＝x+4 11．下列数据： ①10月1日某部电影的票房； ②今天烟台开发区的空气质量； ③你每天参加体育活动的时间； ④你早餐是否有喝牛奶的习惯， 是定量数据的有　 　 ． 12．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 13．一个边长为5厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，正方形的面积随之增加y平方厘米，那么y与x的函数关系式是 ． 14．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，则y与x间的关系式是 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一点，设BP长为x且0≤x＜8，△APC的面积为S． （1）求S与x之间的函数解析式， ； （2）当△APC的面积为18时，则BP的长为　 　 ． 16．指出下列问题中的变量和常量： （1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，户月用水量为xt，月应交水费为y元．（2）某地手机通话费为0.2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元． （3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π． （4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本． 17．分别对①y＝3x﹣5；②y；③y的各函数解析式进行讨论： （1）自变量x在什么范围内取值时函数解析式有意义？ （2）当x＝5时对应的函数值是多少？ 18．已知矩形周长为12cm，设这个矩形的一边长为xcm，面积为Scm2． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当S＝8cm2时，求x的值． 19．由S市寄往G市的包裹，邮寄标准是3元/千克，另外，每件收取挂号费2元． （1）写出邮寄总费用y（元）与包裹质量x（千克）之间的函数关系式； （2）如果邮寄包裹的质量为7.8千克，试求邮寄的总费用为多少元； （3）如果邮寄包裹的总费用为30.8元，试求他邮寄包裹的质量为多少千克． 20．某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW•h） 单价/[元/（kW•h）] 第一档 0＜x≤170 0.5 第二档 170＜x≤260 0.6 第三档 x＞260 0.8 （1）当170＜x≤260时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）小明家10月用电量是180kW•h，求小明家10月的电费； （3）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $