精品解析：辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性学情反馈数学试题

2025－2026学年度第二学期阶段性学情反馈 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 学校：大连市第四十八中学 姓名：_________ 考号：_________ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定位置上，并认真核对条形码上的相关信息，确认无误后，将条形码粘贴在答题卡指定位置上． 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按对应题号用2B铅笔规范填涂方框，如需修改，请用橡皮擦除干净，不要留有痕迹． （2）非选择题部分请用0.5毫米黑色签字笔在对应区域作答． （3）请勿折叠答题卡.答题时保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共6页，如有缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质和基本量计算. 【详解】设等差数列的公差为. 由等差数列性质：， 已知，则，得， 已知，由， 代入得：，解得， ， 综上，. 故选：C 2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 3. 已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将数列的前4项依次代入选项验证即可. 【详解】数列的前4项：，，，. 选项A：，，排除； 选项B：，，，，均符合； 选项C：，，排除； 选项D：，，排除. 故选：B. 4. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 5. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个取值所对应的概率，再求方差. 【详解】由题可设，则，， 所以，解得. 所以. 6. 一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 7. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 8. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据，确定数列的正负项，可得当取得最小值时. 【详解】令，则，解得， 所以，，，当时，， 所以当取得最小值时. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量、满足，则 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若某地区狗的寿命超过15岁的概率为，超过20岁的概率为，那么该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为 D. 在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中） 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项A，由，可知，所以A正确； 对于选项B，回归直线方程为，当时，， 所以，即， 去除一个异常点后，，可得新的均值为， 即新的回归直线必过点，所以B正确； 对于选项C，设事件为“狗的寿命超过15岁”，则，设事件为“狗的寿命超过20岁”，则，则， 则该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率，即，所以选项C正确； 对于选项D，若每一个数据均变为原来的3倍， 则 所以选项D错误. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 成立的最大正整数的值为15 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质可得，进而求得，再结合等差数列前项和公式及性质逐一判断. 【详解】在等差数列中，由，得， 则，即，因此， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，等差数列是首项为正，公差为负的递减等差数列， 且是开口向下的二次函数，无最小值，C错误； 对于D，由选项C知，，当时，，当时，， 因此成立的最大正整数的值为15，D正确. 故选：AD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程，则变量与负相关 B. 在分类变量的列联表中，越小，与有关的可能性越大 C. 若数列的通项公式为，当时，数列前项积取得最大值 D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用经验回归方程的性质可判断A；根据列联表的性质可判断B；求出，再根据时，，可判断C；根据非线性方程与线性方程的转化可判断D. 【详解】对于A，回归方程为，因为，所以变量与负相关，故A正确； 对于B，分类变量的列联表中，越小，说明两个变量之间的关系越弱，越大，说明两个变量之间的关系越强，故B错误； 对于C，，，，，， ，当时，，即当时，， 所以或时，数列前项积取得最大值，故C正确； 对于D，依题意，， 又，所以且，即， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】若，则，，利用这些公式求解. 【详解】，， ，，，或， 当时，， 当时，， 综上可知，或. 故答案为：或. 13. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 所以，解得，即经验回归方程为， 又因为，， 所以，解得， 故答案为： 14. 已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由单调递减数列的定义结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为，且为递减数列， 所以，即， 所以，故，因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 【答案】（1），与成正相关，有较强的相关性； （2），1.1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表求出相关系数，进而推断相关程度. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差. 【小问1详解】 由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数， 与成正相关，有较强的相关性. 【小问2详解】 由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民的身体活力指数残差为. 17. 在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式; (2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和. 【小问1详解】 由于是等差数列,设公差为, 当选①②时:,解得, 所以的通项公式. 选①③时:,解得, 所以的通项公式. 选②③时:,解得, 所以的通项公式. 【小问2详解】 由(1)知,, 所以, 所以 . 18. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 【小问2详解】 （i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. （1）已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）不相互独立，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算能求出至少收到一次0的概率； （ii）利用相互独立事件的定义判断并证明； （2）由两个事件的概率列不等式，能求出的取值范围． 【小问1详解】 （i）记事件为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为． （ii）证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”， 则， ， ， ， 事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立． 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”， ，， 根据题意得，， ，，， 解得， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期阶段性学情反馈 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 学校：大连市第四十八中学 姓名：_________ 考号：_________ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定位置上，并认真核对条形码上的相关信息，确认无误后，将条形码粘贴在答题卡指定位置上． 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按对应题号用2B铅笔规范填涂方框，如需修改，请用橡皮擦除干净，不要留有痕迹． （2）非选择题部分请用0.5毫米黑色签字笔在对应区域作答． （3）请勿折叠答题卡.答题时保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共6页，如有缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 3. 已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展应用培训活动.现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为，若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（ ） A. B. C. D. 7. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 8. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量、满足，则 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若某地区狗的寿命超过15岁的概率为，超过20岁的概率为，那么该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为 D. 在22列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍（，其中） 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 成立的最大正整数的值为15 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程，则变量与负相关 B. 在分类变量的列联表中，越小，与有关的可能性越大 C. 若数列的通项公式为，当时，数列前项积取得最大值 D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则__________. 13. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 14. 已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 17. 在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 18. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. （1）已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $