辽宁大连市某校2025-2026学年高二下学期4月学情诊断数学试卷

2025-2026学年度下学期4月学情反馈 高二年级数学学科试卷 时间：90分钟分值：100分 一、单选题（每题4分，共32分） 1.由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变 量x表示这6人中类产党员的人数，则武子警表示下列概率的是() A.P(X≤2) B.P(X=2) C.P(X≤3) D.P(X=3) 2.已知正项等比数列{am满足a3a17=16,若bm=log2an,则数列{bn的前19项和为() A.36 B.38 C.40 D.44 3.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱 中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则 取出的球是红球的概率为() A.目 B. 30 c.品 D.号 4.某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放 回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材'，用B表示事件“第二次取到乙级药材”， 则下列结论中正确的是() A.事件A,B互斥 B.P(B)= C.P(BIA)= D.事件A,B相互独立 5.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布N(100,102),从中 抽取一个同学的数学成绩X,记该同学的成绩为80<X≤100为事件A,记该同学的成绩为70< X≤90为事件B,则在A事件发生的条件下，B事件发生的概率P(B引A)为()（附参考数据： P(u-0<X≤u+0)=0.68,P(u-2o<X≤4+2o)=0.95,P(u-3o<X≤4+3o)= 0.99) A. B. c.号 D. 高二年级数学学科试卷第1页，共4页 6.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y(单位：百只)的数据，通过 相关理论进行分析，知可用回归模型y=el+at(a∈R)对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模 型，预测第7个月该物种的繁殖数量为() 第t个月 3 繁殖数量y e14 e2,2 e2.4 A.e4百只 B.e4.5百只 c.e5百只 D.e5.5百只 7.已知数列a,满足a-{十3，且a,提递增数列，则实数2的取值范围是《） 4n-1,n>3 A.(3,4) B.3,4) c.4 D.) 8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存在如 下关系：P(AIB)=P4PBA 2025年贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看 P(B) 的.小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和 0.7.如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第 二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学() A.第二天去甲影院的概率为0.54 B.第二天去乙影院的概率为0.46 C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D.已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为号 二、多选题（每题6分，共12分） 9.已知B(n,p),且E(35+2)=9.2,D(35+2)=12.96,则下列说法正确的有() A.=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.P(21)=0.46 D.P(5=0)=0.66 10.已知等差数列{an的前n项和为Sn,S10=0,S15=25,则() A.a5=0 B.{an}的前n项和中Ss最小 C.使Sm<0时n的最大值为9 D.数列受}的前10项和为-15 高二年级数学学科试卷第2页，共4页 三、填空题（每题4分，共8分） 11.己知数列{an}满足a1=1,an+1=an+3n+1,则a7=一· 12.甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为号.甲队有 一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为 子若核心球员在每局比赛受伤的概率为则甲队获得冠军的概率为 四、解答题（每题12分，共48分） 13。（满分12分)记数列{an的前n项和为Sn,己知Sn=2n2-3n+5. (1)求数列{an}的通项公式： (2)在数列{a}中，从第二项起，每隔三项取出一项a2,a6,a1o,…组成新的数列{bm},求数列{b}的 前n项和Tn 14。(满分12分)袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白 球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球 的个数为随机变量X. (1)求第二次取出的是黑球的情况下，第三次取出的是红球的概率； (2)求X的分布列和期望 高二年级数学学科试卷第3页，共4页 15。（满分12分)2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端)”核心信号处 理系统G内置n(n∈N*,n≥4)个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为p(0< p<1),各元件工作状态相互独立， (1)当n=4时，记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X,回答以下问题： ①若D=子，求X的分布列及数学期望E(X): ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为 改善n=4时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即n=5提高系统G的可靠性？请 给出你的结论并证明. (2)该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境和地面实验室环境？下 测试其工作状态，得到如下2×2列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 45 10 55 地面实验室 30 15 45 合计 75 25 100 请根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：x2= n(ad-bc)2 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.(满分12分)设数列an满足a1-a1=0m+点，nEN. 1 (1)证明：数列{2n·an为等差数列； (2)设b=(2n+1)·an,求数列{b的最大项. 高二年级数学学科试卷第4页，共4页《2025-2026高二下学期4月月考》参考答案 题号 2 3 6 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D BD BCD 1.D【详解】因为12名志愿者中有5名党员，7名非党员，所以C表示从5名党员中选3名，7名非党员中选3 名的概率所以P(《=3)-警故迹：D 2.B【详解】数列{bn}的前19项和为b1+b2+…+b19=log2a1+l0g2a2+…+log2a19=log2(a1a2·…a19)= 1og2[(a1a1)9a10=log2[(a3a17）’a10=log216”×4=log2238-38, 3.B【详解】设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱 中，设事件C表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球， 则有：P④=P(CA)-名P(®)-，P(CIB)-京 所以P(C)=P(AP(CA)+P(O)P(CB)=x+号×品故选：B 4.B【详解】对于A,第一次摸到甲级药材，第二次摸到乙级药材，则事件A,事件B可同时发生， 故件A与事作B不百乐，收A错误，对干C,P@)=器-学-号故C不 2、2 对于B.P(B团-=警=所以P()=P④P8A)+P④P(@面-x+×号=故B正确： 35 P(A) 3 对D,因为P(4B)=音P(A)P(B)=号x×≠P(AB),所以事件A,B不相互独立，故D错误.故选：B. 5.A【详解】由题知，事件AB为“该同学的成绩X满足80<X≤90'， 因为μ-20=100-20=80,4-0=100-10=90 所以P(AB)=P(u-20<X≤u-0)=P-2a<x-2o)-(-<XL-0=095-0.68=22 2 2 200 又P()）=Pu-2如<X≤)=婴=岩所以P(aA)==品×号=货故选：A 6.B【详解】由y=e1+at两边取自然对数得lny=1+at,令u=ny,则u=1+at,即μ与t呈线性相关关系， 元=(my1+ny2+my)×号=2，无=(G1+t2+t)×号=2，回归直线必过样本点的中心，2=2a+1,解得 a=,u=1+,则y=e1+与，当t=7时，y=e45.故选：B 7c【详解】已-十写3，>3时，=4-1，是斜率为4的一次屋数。单调递端。 n≤3，am=-n2+2n,函数为开口向下的二次函数，对正整数n=1,2,3,{an}递增，即相邻的项满足：a3> a2,a2>a,代入得：-9+61>4+4以→1>a2>a1解得：1>多故要使n≤3时数列递增，需> 同时分段点处需满足a3<a4,即-9+61<4×4-1→61<24,1<4， 综上取值范围是(3,4)，故选：C 8.D【详解】设A:第一天去甲影院，B:第二天去甲影院，则A:第一天去乙影院，B:第二天去乙影院， 2025-2026高二下学期4月月考数学卷参考答案第1页，共4页 可得P(A)=0.3,P(A=0.7,P(BA)=0.6,P(BA)=0.5, A:P(B)=P(A)P(B|A)+P(AP(BA)=0.3×0.6+0.7×0.5=0.53,故A错误； B:P回)=1-P(8)=0,47,故B错误：C:P@B)-@-g-葛放C错误： P(B) D:P4同）=-Pa】-34O=号故D正确：故选：D P(B) P(B) 0.47 9.BD【详解】由E(3+2)=3E(3)+2,D(3+2)=9D(),由~B,p)时，E()=p,D(5)=p(1一p)可知 {m26所以。4放B正第，又PG=0=cg06=06,PE之)1-Pg=0=1 3mp+2=9.2 0.66,故D正确.故选：BD. 10.BCD【详解】设等差数列的首项为a1,公差为d,所以S10=,10a1+45d=0 S15=15a+105d=25:解得1三-3 a-号 所以an=-3+0m-1)x号-受-号5n=g业-n2-9,对于A:as=号-号=青≠0，放错误： 2 3 33 对于B:S=2-号n=0机-5P-空由=次函数的性质可知(S)mm=Ss=-空，故正确： 对于C:令n2-n<0,解得0<n<10,所以m的最大值为9，故正确； 对于D:因为产=-号，所以}是首项为-3，公差为的等差数列， 所以倍}的前10项和为10×(-3)+0×号-15，故正确：故选：BCD 11.70【详解】因为an+1=an+3n+1,所以an+1-an=3n+1,累加可得：an=(an-an-1)+ a-1-an-2)++,-a)+a=0m-2)+(3n-5)++4+1=t2-2-@g,则a,-20=70.故 2 2 答案为：70 12.【详解】比赛甲队获得冠军有如下三种情况：1：甲队赢前两局， (1):若两局中甲队核心球员祁没有受伤，则甲队赢的概率为×××对六 (2):若第一局核心球员受伤，则甲队赢的概率为号×× (3):若第一局核心球员未受伤第二局受伤，则甲队赢的概率为×××豆 Ⅱ：甲队赢第一局和第三局，则第二局输， (1:若三局中甲队核心球员都没有受伤，则甲队赢的概率为××对×××好示 (2)：若第一局核心球员受伤，则甲队赢的概率为×××=3 44128 (3):若第一局核心球员末受伤，第二局受伤，则甲队赢的概率为××××品： (4):若前两局核心球员未受伤，第三局受伤，则甲队赢的概率为×××××： I:甲队赢第二局和第三局，则第一局输， 2025-2026高二下学期4月月考数学卷参考答案第2页，共4页 (1):若三局中甲队核心球员都没有受伤，则甲队赢的概率为××x×× (2:若第一局核心球员受伤，则甲队赢的概率为××× (3:若第一局核心球员未受伤，第二局受伤，则甲队赢的楫率为x×××: 1 (4:若前两局核心球员未受伤，第三局受伤，则甲队赢的概率为×××××0 综上：甲队获胜的概率为品+立+立十+品。+品。+记。+a+品。十0+a=故答案为： 1B.0a:-(n0是208m2-5m【详解11D白：当=1时，01=5=4 当n≥2时，am=Sn-S-1=(2m2-3n+5)-[2(n-1)2-3(m-1)+5=4n-5: 所以a=4不清远a,=-5,所以a=(n52 (2)由(1)及题意可知数列{bn}是首项为3，公差为16的等差数列， 所以bn=16n-13,所以7n=b1十b2+.+b=3+16m-1)=8n2-5n 2 14.(Q2)分布列见解析，号【详解】(1)记事件A=“第二次取出的是黑球”，事件B-“第三次取出的是红球”， 事件A可分为第一次取出的是黑球和第一次取出的不是黑球”两种情况，故P(A)=×+×=手 事件AB=“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和第一次取出的是白球"两种情况， 题PB)×x+×x对品故所求P(@10器-亨 (2)易知随机变量X可能的取值为3,4,5， 当x=3时，前三次分别取出1个红球，1个黑球和1个白球，P(X=3)=C-号 A3 当X=5时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，PX=5)== A 当X=4时，P(K=4)=1-P(X=3)-P(X=5)= 故随机变量X的分布列为： X 3 4 5 1 5 5 5 期望为6()=3×号+4×号+5×写号 15.()①分布列见解析，E(X)=:②能，证明见解析（②）没有【详解】(1)①由题意可知X~B(4,), 所以Px-=)=C4)()0≤i≤4ie,Px=0)=c)°（目-立Px=1)=c(佾(）°-品 PX=2)=c)(°-=号Px=3)=c()°()'-器Px=④=c4()°-品 2025-2026高二下学期4月月考数学卷参考答案第3页，共4页 则X的分布列如下： X 0 2 3 4 1 6 8 32 16 81 81 27 81 81 故EW)=0×品+1×品+2×号+3×器+4×兰-号 ②能，证明如下：当n=4时记系统G中正常工作的元件数为随机变量X,则X~B(4,p), 当n=5时记系统G中正常工作的元件数为随机变量Y,则Y~B(5,p), 记n=4时系统G的可靠性为P1,记n=5时系统G的可靠性为P2, 故P1=P(X=3)+P(X=4)=Cp3(1-p)+C4p4=p3(4-3p), P2=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5) =C3p3(1-p)2+Cp4(1-p)+C3p5=p3(10-15p+6p2), 故P1-P2=p3(-6+12p-6p2)=-6p3(1-p)2<0, 故n=4时增加一个量子芯片元件即n=5,能提高系统G的可靠性： (2)由已知有x2=100x45×15-30x10=100≈3.030<6.635， 55×45×75×25 33 故没有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. 16.)证明见解析（②b,=告 【详解】(1)将an1=0n+2两边同乘以2+1， 得2+1.an+1=2,an+1,即2n+1·an+1-2n·an=1, 又21·a1=1,因此，{2m·a是以1为公差，1为首项的等差数列. (2)由(1)得2”an=1+0m-)×1=元，a=品 因此，bn=a2nt,b+1=a++3, 2n 2n+1 b+1-bn=0+102n+3)-2nm2m+2=-2m2+3n+3=3-n2m-3到 2n+1 2n+1 2n+1 当n≥3时，3-n(2n-3)<0,得bn+1-bn<0,即bn+1<bm 又因为b:=,b2=,g=告所以b1<a<bs: 即当n<3时，bn+1>bn 所以b,的最大项是=台 2025-2026高二下学期4月月考数学卷参考答案第4页，共4页