专题 解直角三角形的实际应用（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 解直角三角形的实际应用 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.仰角、俯角测量类 2025年北京：24题考查了地球太阳高度角（切线夹角） 2025年广州：20题考查了建筑 / 工程测高 / 坡度 2025年深圳：4题考查了人行天桥、壁挂台灯（高度计算） 2025年南京：25题考查了方位角+相似 + 共线 2026年中考仍为必考解答题，以仰俯角、坡度、方位角三大经典题型为主，紧贴真实生活情境。第一问基础直接计算，第二问偏向综合交汇，常与相似、圆、坐标系函数结合考查；图形以双直角三角形为核心，增设实际条件，强化方程思想与化斜为直的转化能力，计算更严谨，整体中档稳定、略有综合提升 2. 坡度、坡角、堤坝类 3.方位角、航行类 4.内部遮挡、阶梯、测距类 5.矩形 / 正方形 / 网格类 6.综合类 题型1 仰角、俯角测量类 1.单仰 / 单俯测量 一个直角三角形，直接用 tan 求高度。 2.双仰角同侧测量（底部共线） 共用高度 h，两段水平距离作差列方程。 3.一仰一俯（上下观测） 上下两个直角三角形，高度相加求总高。 4.楼与楼之间观测 水平距离固定，分别表示两楼高度差。 【例1】（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】延长交于点，延长交于点，在和中，可构造和，进而计算可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则根据题意可知，，，，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度为． 【变式1-1】（2026·甘肃陇南·一模）“实验是获取真知的关键途径”．如图，某校实验楼上悬挂了一块高为6米的标语牌，小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离，小明在点处测得标语牌底部点处的仰角，小亮在点处测得标语牌顶部点处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】 【分析】如图：由题意可知，，四边形，四边形均为矩形，则．由等角对等边可得；设，则，；再在中，利用正切的定义可得，解得，进而完成解答． 【详解】解：如图：由题意可知，，四边形，四边形均为矩形，则． ， ， 设，则， ． 在中，， ．即， 解得 ． 答：点到地面的距离约为． 【变式1-2】（2026·广东佛山·一模）综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线的距离为． (1)如图1，求河道的宽； (2)如图2，已知一艘龙舟的船头在点处以的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； (3)赛事安全警示：船头到河岸的安全距离不得小于．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)符合赛事安全警示，理由见解析 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）把代入抛物线，求值比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：观赛台B到标记线的距离为，， 顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式为； （3）解：符合赛事安全警示，理由如下： 当时， 可得， 所以这艘龙舟在本次漂移过程中符合赛事安全警示． 【变式1-3】（2026·广东东莞·一模）综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力． 【实践器材】 测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内． 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）． （参考数据：；．） 【答案】(1)斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米 (2)灯笼所在位置的高度为205米 【分析】（1）由题意可得，在中利用解直角三角形即可求解； （2）过点作于点，设米，在和中分别计算出，，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中，（米）， （米）， 答：斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米． （2）解：如图，过点作于点， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，米， 设米，则（米）， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴灯笼所在位置的高度为205米． 题型2 坡度、坡角、堤坝类 1.坡度 i = h : l 基础计算 tanα = i，直接求高度或水平宽度。 2.堤坝加宽 / 加高问题 双直角梯形，左右两侧分别解直角三角形。 3.斜坡改造问题 改变坡度，求新坡长、水平延伸长度。 【例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计 活动背景 为响应“建设美丽校园”的号召，学校计划在校园的小山坡两侧分别种植树木和草皮，并采用滴灌系统进行节水灌溉．数学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了方案设计与实地测量． 活动一：设计测量坡角方案 如图1，同学们在山坡上安装了一个简易测角仪．支架垂直于斜坡，铅垂线自然下垂，垂直于水平线．测得的度数即为坡角的度数． 活动二：设计滴灌管道方案 如图2，为了实施节水灌溉，他们决定从坡底沿小山坡两侧分别铺设水管至山顶，形成“人”字形管道．已知左侧从点A到山顶B共种植了13棵树，且每两棵树之间的水平距离为5.5米，测得左侧坡角； 右侧从点C到山顶B种植，测得右侧坡角． 请你完成下列任务 (1)请证明“活动一”中； (2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： ） 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）根据余角的性质和对顶角的性质证明即可； （2）过B作于D，在中，根据三角函数的定义求出的长度，在中，根据含的直角三角形的性质求出的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于G， ， ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴，即； （2）解：过B作于D， 根据题意，得， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴， ∴铺设两侧水管的总长度为（米）． 【变式2-1】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 【变式2-2】（2026·山东济南·一模）如图1所示，摩天轮正缓缓转动．图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为，随后沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处．经测量，约为8米． (1)求观景台到地面的高度； (2)求摩天轮的直径．（参考数据：，，，结果精确到1米） 【答案】(1)观景台高度为10米 (2)摩天轮直径为111米 【分析】（1）过A作于H，则，根据坡比是，得出，即可求解； （2）过A作于D，则四边形是矩形，解直角三角形求出，从而得，在中，解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：过A作于H，则， 的坡比是， ， 设， ∴， ∴， （米）， 答：观景台高度为10米； （2）解：过A作于D， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， （米）， 答：摩天轮直径为111米． 【变式2-3】（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． (1)填空：______； (2)点处到水平地面的距离为______米； (3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)13 (3)通讯塔的高度米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）根据在处测得塔顶的仰角为可得； （2）作，由题意得，据此即可求解； （3）作于点，作于点，设，则，，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵在处测得塔顶的仰角为， ∴； （2）解：作，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵米 ∴米； （3）解：作于点，作于点， ，即， 则米， 米， 设，则，， 由题意知， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ，米， 米， 米， 米， 答：通讯塔的高度米． 题型3 方位角、航行类 1.方向角（北偏东 / 南偏西） 建坐标系，拆出水平、竖直直角边。 2.轮船航行（匀速 + 时间） 路程 = 速度 × 时间，构成三角形用三角函数。 3.两船相遇 / 追击问题 双直角三角形，求距离、时间。 【例3】（2026·广西桂林·一模）涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑．某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行．欲前往位于涠洲灯塔P南偏西方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时．当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下： ①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点A处； ②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点B处； ③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求涠洲灯塔P到航线的距离； (2)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1)海里 (2)渔船在前往作业点途中不会遇到海雾，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，先得出，再在中，解直角三角形即可； （2）过点作于点，先求出的长，再求出，然后求出14时，渔船距离作业点的距离，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，（海里）， ∴， ∴， ∴， 设海里，则海里， 在中，，即， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 答：涠洲灯塔到航线的距离海里． （2）解：如图，过点作于点， 在中，海里， 由题意得：， ∴， ∴， ∴海里， ∴14时，渔船距离作业点的距离为（海里）， ∵海里海里， ∴渔船在前往作业点途中不会遇到海雾． 【变式3-1】（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） (1)求两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到D港，说明见解析 【分析】（1）作，可得再结合题意说明，然后求出，进而求出，最后根据得出答案； （2）作，由题意得，进而得出，再根据求出，然后求出，，接下来求出和，比较得出结论即可． 【详解】（1）解：作于点E，如图所示，则 由题意， 得海里， ∴， ∴． 在中，（海里），（海里）， ∴（海里）， 所以两港之间的距离是海里； （2）解：甲货轮先到，说明如下： 作于点F，如图所示，则， 由题意，得， 由（1）得（海里）， ∴ ， ∴． ∵，即， 解得， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）,（海里）． ∵，甲，乙两艘货轮的速度相同（停靠B，C两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达D港． 【变式3-2】（2026·贵州·一模）【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）见解析；（2）东山寺塔的高度为 【分析】（1）过作于点，构造直角三角形，利用正弦函数定义得到线段关系，进而证明等式； （2）根据方向角信息算出和，用正弦定理求，再在中求． 【详解】解：（1）如图，过作于点， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ． （2）如图，根据题意，，， ， 由（1）的结论得， 即， ， 在中， ， ． 答：东山寺塔的高度为． 【变式3-3】（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解； （2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，，，，． ，， ； （2）解：， ． 由（1）得， ． ． 在中，，， ， ， ． ，， ， ． 景点与景点之间的距离为． 题型4 内部遮挡、阶梯、测距类 1.影子 / 标杆测量高度 相似三角形 + 解直角三角形结合。 2.阶梯、台阶问题 每层高度、宽度累加，整体构直角三角形。 3.内部有障碍物（中间不可直达） 双直角共用高，水平距离作差求解。 【例4】（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 【变式4-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，太阳光线与水平地面所成的夹角为，学校旗杆在水平地面上的影长为4米，在倾斜角为的斜坡上的影长为2米，求旗杆的高度．(参考数据：) 【答案】米 【分析】作，垂足分别为点E，点F，在中，可得到的长，从而得到的长，在中，求出的长，即可． 【详解】解：如图，作，垂足分别为点E，点F， 在中，米，， ∴米， 米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， 答：旗杆的高度约为米． 【变式4-2】（2026·安徽合肥·一模）如图，为测量平台上一旗杆的顶端距离地面的高度，先用测角仪在地面处使点，点和测角仪所在点在一直线上，此时测得，，再将测角仪移到地面处，测得，，已知图中所有点都在同一竖直平面内，，四边形和均为矩形，，求距离地面的高度（结果精确到） 参考数据：，，；，，． 【答案】距离地面的高度 【分析】先根据矩形的性质得，，，再证明四边形是矩形，结合在中，，以及在中，，故，解得，则，即距离地面的高度． 【详解】解：∵四边形和均为矩形， ∴，， 延长，，记它们的交点为点，如图所示： ∵，， ∴ 即四边形是矩形， ∴， 设， 则 在中，， 即， ∴， 即， 在中，， 即， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 则， 即距离地面的高度． 【变式4-3】（2026·山东济南·一模）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． (1)求树的高度； (2)求食堂的高度． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）设，根据直角三角形性质可得，，进而求得，然后依据，解得，即树的高度为米； （）延长交延长线于点，则，由（）知，，则，又，可得，从而求解． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，， 即，解得， ∴树的高度为米； （2）解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴食堂的高度为米． 题型5 矩形 / 正方形 / 网格类 1.网格中求角度、边长 构造直角三角形用勾股 + 三角函数。 2.矩形内部折叠 + 三角函数 折叠得等长，在 Rt△中求边长或角度。 【例5】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【答案】(1)剪出的矩形的最大面积是，示意图见详解 (2)矩形面积的最大值是 【分析】（1）分情况进行讨论，作出不同情况下的示意图后利用正弦、余弦及正切的定义及勾股定理求得对应边长的值，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果； （2）以点B为原点建立平面直角坐标系，根据题意求得点A和点E的坐标，通过待定系数法求得直线的解析式和反比例函数的解析式，从而求得点F的坐标，设，则，通过设未知数将矩形面积表达式转化为二次函数，利用二次函数的最值求得结果，此时需注意m的取值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 【变式5-1】（2026·福建泉州·一模）随着科技的发展，新能源汽车越来越普及．某停车场为了满足新能源汽车充电的需要，计划在长、宽的矩形空地修建一个新能源汽车充电场所，某数学项目组负责设计方案． 【资料收集】该项目组通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”、“平行式”或“倾斜式”三种车位类型进行设计，相关信息如下表： 类型 垂直式车位 平行式车位 倾斜式车位 示意图            数据单位：m 矩形，， 矩形，， 平行四边形，， 行车通道宽度不低于3.5m 【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：    案例解析 方案一：拟设计成如图1所示的垂直式和平行式车位各一排． ， ∴可设计成垂直式和平行式车位各一排， ，， ∴一排垂直式的停车位有14个，一排平行式的停车位有6个， ∴方案一的停车位共有20个． 问题探究 (1)方案二：拟设计成如图2所示的两排都是倾斜式车位，这种设计方案是否可行？若可行，试求出这种方案的最多停车位数？若不可行，请说明理由； （相关参考数据：，） 优化设计 (2)请你结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由． 【答案】(1)方案二设计为两排倾斜式停车位最多有22个 (2)理由见解析 【分析】（1）过点H作，交的延长线于点P，则，利用平行四边形的性质得，结合解直角三角形求得和，结合，可得倾斜式车位可以设计2排，所以方案二的设计合理，经计算方案二可以设计为两排倾斜式停车位最多有22个； （2）根据，则可设计成垂直式和倾斜式车位各一排，这样停车位数更多，那么该方案可以设计停车位共有25个． 【详解】（1）解：方案二是可行的， 如图，过点H作，交的延长线于点P，则． 在中，， ， 在中，，， ，， ， ， ∴方案二是可行的． ， ∴一排倾斜式停车位有11个， ∴方案二设计为两排倾斜式停车位最多有22个． （2）解：可设计成如图所示垂直式和倾斜式车位各一排，这样停车位数更多， 理由如下： ， ∴可设计成垂直式和倾斜式车位各一排． 由方案一可知，一排垂直式停车位有14个， 由方案二可知，一排倾斜式停车位有11个， ∴按图设计为一排垂直式和一排倾斜式的停车位共有25个． 【变式5-2】（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴    （2）解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 【变式5-3】（2026·广东深圳·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． (1)【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．求： ①四边形_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为_____．的度数为_____． (2)【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，若，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)①是；②， (2) (3)或 【分析】（1）①点是的中点，可知，即可证明；②根据三角形的外角定理可求解； （2）由题可知，可得，根据勾股定理可得，进而可得面积； （3）分类讨论，①当,由平行线可知，根据锐角三角函数可知，，②当,设，则， 根据锐角三角函数即可求解 【详解】（1）解：①∵,点是的中点， ∴, ∵,点是的中点， ∴, ∴ ∴四边形是腰分双等四边形； ②由题可知，， ∴,, , , , ∴, （2）解：连接，过点作, 由题可知，, 设，, ∴， ∴,, ∴ ∵, ∴, , ∴, ∴ ∵, ∴, ∵， ∴, ∴ ∴, , ∴, （3）解：①当, 过点作, ∴， ∵ ∴, , ∵ ， ∴, ， ∴, 由（2）同理可得，, , ∴， ∴, , ∴, ②当, 过点作,, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵ ∴, ∴ ∴ ∴, ∴, ∵ ∴, 设，则， ∴， , ∴， 解得： ∴． 题型6 综合类 1.解直角三角形+相似：三角比表示边长，再走相似比例。 2.解直角三角形+圆：切线 / 直径出直角，直接解 Rt△。 3.解直角三角形+函数：坐标系构直角，用三角比求坐标与最值 【例6】（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，则，进而根据半径相等可得，即可得证； （2）连接，则，根据，求得，则，进而利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ，     四边形是平行四边形， ，     ， ∴是等腰直角三角形， ，即． （2）解：连接，则， 是的直径， ， ，即，     ， ∴在中，． 【变式6-1】（2026·湖北·模拟预测）如图1，已知，，．点D，E分别在，上，，连接．将绕点A顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)如图2，当的延长线经过点D，若， ，求的长； (3)如图3，当的延长线经过的中点F，与交于点G，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据勾股定理求出，，然后根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理求出，最后在中，根据勾股定理可构造出关于的方程，解方程即可； （3）设，根据线段中点定义求出，根据勾股定理求出，证明，求出，，最后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵旋转前点D，E分别在，上，， ∴， 旋转后的图形如下： ∵旋转， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵的延长线经过点D， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）； （3）解：设， ∵F是中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）可知：， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 【变式6-2】（2026·广西钦州·一模）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在中，，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“原属三角形”． (1)【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出与的位置关系：______； (2)如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中与的位置关系依然成立，请证明； (3)如图4，在钝角中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，得到四边形．求证：四边形是双等四边形； (4)【拓展应用】如图5，在锐角中，，，，在的右侧是否存在一点D，使四边形是以为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)存在，的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，再结合，得到，再根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据旋转的性质得，，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，，则，再根据双等四边形的定义即可证明； （4）过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，在中利用正弦的定义以及等腰三角形三线合一性质得到，再根据双等四边形的定义可知四边形是以为原属三角形的双等四边形，再通过证明，得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：和是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：根据题意得：和是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即（1）中的结论依然成立； （3）证明：由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是双等四边形； （4）如图，过点作于点，过点作的平行线，交的垂直平分线于点，连接，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是以为原属三角形的双等四边形， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 【变式6-3】（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明是的中位线，得，又，可得四边形是平行四边形，得；再证明，得，可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，根据求出，，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 设与交于点，则， 又，， ∴， ∴， 又三点在同一条直线上， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点，如图， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点在以为直径的半圆上，过点作半圆的切线交延长线于点，垂直于的延长线于点，交半圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，， 求半圆的半径； 若是上一点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)半圆的半径为； 的最小值是 【分析】（1）由是直径可得，由圆内接四边形的性质可得，根据等角的余角相等即可证明； （2）①连接，由切线的性质可得，进而得到，则，结合和，计算出半径的值即可； ②作点关于直线的对称点，作于点，由和可得，则点在上，因此，当、、三点共线时，取到得最小值．使用三角函数计算出，，则，最后用勾股定理计算出． 【详解】（1）证明：∵为半圆的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于半圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接， 在中，，， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即半圆的半径为； ②如图，作点关于直线的对称点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即是的平分线， ∴点在上， 由对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 在中，，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∴的最小值是． 2．（2026·四川成都·二模）天府新区秦皇湖，有天府新区小“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚洲最大单体木结构建筑．天府新区某学校开展综合实践活动，测量该建筑物顶端到地面的高度．如图，为建筑物，在地面观测点处测得该建筑物顶端的仰角为，然后沿方向走米到点处，即米，在位于点正上方的观光台点处测得建筑物顶端的仰角为，已知米，，，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到地面的高度，即的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】该建筑物顶端到地面的高度约为米 【分析】过点作，垂足为，证明四边形是矩形，得到，米，设米， 则米， 分别在和中，利用锐角三角函数的定义表示出和的长，根据， 列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， 四边形是矩形， ，米， 设米， 则米， 在中，， （米）， 在中，， 米， ， ， 解得， （米）， 即该建筑物顶端到地面的高度约为米． 3.（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，3 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形， ，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)．理由见解析 (4) 【分析】（1）根据直菱四边形的定义，逐个分析判断即可； （2）先推导出平分，得到，证明为等边三角形，进而推导出，得到，求出，即可解答； （3）先求出，将绕点A顺时针旋转得到，推导出，得到M，B，E三点共线，进而证明，得到，则，即可解答； （4）连接，作于点G，先求出，得到，推导出，证明，得到，，求出，推导出点D，M，B，C共圆，得到，，可求出，，则，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：①∵平行四边形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ②∵矩形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ③∵菱形的四边相等，但内角不一定为直角， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ④∵正方形的四边相等，四个内角都为直角， ∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中线上一点， ∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直菱四边形； （3）解：．理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图3，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图4，连接，作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴点D，M，B，C共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·天津南开·一模）如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】小山的高度约为． 【分析】连接并延长，与相交于点，证明四边形、、为矩形，推出，再设，根据、结合解直角三角形，求出、，根据，可以求出，最后根据求解即可． 【详解】解：连接并延长，与相交于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由题意得：， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴，， ∵设， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 答：小山的高度约为． 6．（2026·江苏徐州·一模）小明想要测量一条河的宽度（河两岸近似直线），已知他从岸边A点看向河对岸的岸边C点，点C在A点的北偏东，随即他沿着河边向正东方向走了30米到达点B处，测量得点C在点B的北偏西，求河的宽度（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）    【答案】河的宽度米 【分析】过点C作交于点D，利用三角函数表示出和，再由的长为30米，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：如图，过点C作交于点D， ∵点C在A点的北偏东，点C在点B的北偏西， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴河的宽度米． 7．（2026·陕西汉中·一模）鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数） 【答案】米 【分析】由题意可得：四边形是矩形，即米，，由阶梯的坡度可求得米；设米，米，在中，解直角三角形可得，即；在中可得，据此列关于x的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：四边形是矩形，即米，， ∵阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米， ∴，即，解得：米． 设米，米， 在中，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴，解得：米． 答：鹳雀楼楼身的高度 约为米． 8．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)放书后整个书架占地的宽约为 (3)会影响通行 【分析】（1）在中，由三角函数（正切）进行求解即可； （2）过点F作，交于点M，过点I作于点N，分别在和中，运用三角函数求出和，进而即可求解； （3）先算单个置物架突出桌面宽度：，两个共突出，剩余通行宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴在中， ； （2）解：如图，过点F作，交于点M，过点I作于点N． ∵，， ∴， 故 在中，，， 则． 在中，，， 则， ∴， ∴放书后整个书架占地的宽约为； （3）解：∵，，1米， ∴． ∴会影响通行． 【点睛】本题以桌边置物架为实际背景，融合解直角三角形的应用，通过构造直角三角形、分段计算求解实际尺寸，考查数学建模与运算能力，体现数形结合与转化化归的核心数学思想． 9．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 【答案】14米 【分析】延长交于点，证明，得出相关线段之间的数量关系，设，则，然后利用锐角三角函数进行列方程求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 则（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴（米）， ∴（米）． 10．（2026·山东聊城·一模）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 【答案】台阶的高度为，孔子雕像的高度为 【分析】作，根据斜坡的坡比为，求出的长，设，得到，分别解，求出的长，利用线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：作，由题意，得， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴； 答：台阶的高度为，孔子雕像的高度为． 11．（2026·湖南郴州·一模）某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案： 活动主题 测算巨型显示屏的高度与长度 测量工具 皮尺、测角仪、无人机、计算器等 活动过程 模型抽象 矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：    测绘过程 ①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P； ②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米； ③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止； ④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角． 参考数据 ，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求显示屏的高度； (2)求显示屏的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点H，利用平行线的性质，等腰直角三角形的性质得出，从而通过线段和差关系即可求得结果； （2）利用解直角三角形求得的长度，从而通过矩形的性质结合线段和差关系即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，作于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：, ，， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·辽宁铁岭·一模）学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图①）．设计了如下测量方案： 课题 测量信号塔的高 实物图 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量示意图 说明 如图②，点均在同一竖直平面内，线段的长度表示信号塔的高度，点B表示坡底角处，表示斜坡，表示坡底水平线，平行于水平线． 测量数据 如图②，同学们测得，斜坡的长为，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为，的长为． 参考数据 ，，， 任务 求信号塔的高（结果精确到）． 【答案】 【分析】延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，则：， ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∴ 在中，， ∴， 在中，， ∴． 答：信号塔的高为． 2 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 解直角三角形的实际应用 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.仰角、俯角测量类 2025年北京：24题考查了地球太阳高度角（切线夹角） 2025年广州：20题考查了建筑 / 工程测高 / 坡度 2025年深圳：4题考查了人行天桥、壁挂台灯（高度计算） 2025年南京：25题考查了方位角+相似 + 共线 2026年中考仍为必考解答题，以仰俯角、坡度、方位角三大经典题型为主，紧贴真实生活情境。第一问基础直接计算，第二问偏向综合交汇，常与相似、圆、坐标系函数结合考查；图形以双直角三角形为核心，增设实际条件，强化方程思想与化斜为直的转化能力，计算更严谨，整体中档稳定、略有综合提升 2. 坡度、坡角、堤坝类 3.方位角、航行类 4.内部遮挡、阶梯、测距类 5.矩形 / 正方形 / 网格类 6.综合类 题型1 仰角、俯角测量类 1.单仰 / 单俯测量 一个直角三角形，直接用 tan 求高度。 2.双仰角同侧测量（底部共线） 共用高度 h，两段水平距离作差列方程。 3.一仰一俯（上下观测） 上下两个直角三角形，高度相加求总高。 4.楼与楼之间观测 水平距离固定，分别表示两楼高度差。 【例1】（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 【变式1-1】（2026·甘肃陇南·一模）“实验是获取真知的关键途径”．如图，某校实验楼上悬挂了一块高为6米的标语牌，小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离，小明在点处测得标语牌底部点处的仰角，小亮在点处测得标语牌顶部点处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求点到地面的距离．（参考数据：，） 【变式1-2】（2026·广东佛山·一模）综合与实践 【背景材料】 南海叠滘龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国．为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台． 【问题提出】 如图1，观赛台的高，在观赛台顶部A处测得赛道内侧边界点D的俯角为． 如图2，以点B为坐标原点，平行于河岸的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台B到标记线的距离为． (1)如图1，求河道的宽； (2)如图2，已知一艘龙舟的船头在点处以的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线上的点Q，点Q恰好为抛物线的顶点，且，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式； (3)赛事安全警示：船头到河岸的安全距离不得小于．若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为，请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示？并说明理由． 【变式1-3】（2026·广东东莞·一模）综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力． 【实践器材】 测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内． 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）． （参考数据：；．） 题型2 坡度、坡角、堤坝类 1.坡度 i = h : l 基础计算 tanα = i，直接求高度或水平宽度。 2.堤坝加宽 / 加高问题 双直角梯形，左右两侧分别解直角三角形。 3.斜坡改造问题 改变坡度，求新坡长、水平延伸长度。 【例2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计 活动背景 为响应“建设美丽校园”的号召，学校计划在校园的小山坡两侧分别种植树木和草皮，并采用滴灌系统进行节水灌溉．数学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了方案设计与实地测量． 活动一：设计测量坡角方案 如图1，同学们在山坡上安装了一个简易测角仪．支架垂直于斜坡，铅垂线自然下垂，垂直于水平线．测得的度数即为坡角的度数． 活动二：设计滴灌管道方案 如图2，为了实施节水灌溉，他们决定从坡底沿小山坡两侧分别铺设水管至山顶，形成“人”字形管道．已知左侧从点A到山顶B共种植了13棵树，且每两棵树之间的水平距离为5.5米，测得左侧坡角； 右侧从点C到山顶B种植，测得右侧坡角． 请你完成下列任务 (1)请证明“活动一”中； (2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： ） 【变式2-1】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【变式2-2】（2026·山东济南·一模）如图1所示，摩天轮正缓缓转动．图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点A处测得摩天轮顶端M的仰角α为，随后沿着坡度的斜坡行走了26米到达地面B点，接着沿水平方向向左行走约60米，抵达摩天轮最低点N的正下方点C处．经测量，约为8米． (1)求观景台到地面的高度； (2)求摩天轮的直径．（参考数据：，，，结果精确到1米） 【变式2-3】（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． (1)填空：______； (2)点处到水平地面的距离为______米； (3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 题型3 方位角、航行类 1.方向角（北偏东 / 南偏西） 建坐标系，拆出水平、竖直直角边。 2.轮船航行（匀速 + 时间） 路程 = 速度 × 时间，构成三角形用三角函数。 3.两船相遇 / 追击问题 双直角三角形，求距离、时间。 【例3】（2026·广西桂林·一模）涠洲灯塔位于广西北海涠洲岛鳄鱼山景区之巅，总高度（海拔塔高）超过97米，是北部湾海域的重要航标，也是涠洲岛标志性建筑．某日，一艘渔船从北部湾北部的码头出发，沿正南方向航行．欲前往位于涠洲灯塔P南偏西方向的作业点C，渔船的航行速度为8海里/小时．当天该艘渔船关于这段航程的航行日志记录如下： ①13时，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点A处； ②13时30分，渔船到达涠洲灯塔P的北偏西方向上的点B处； ③气象报告：14时前，作业点C周围2.5海里内有海雾，14时后雾散． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求涠洲灯塔P到航线的距离； (2)若该渔船不改变航线与速度，在前往作业点C途中是否会遇到海雾？请说明理由（参考数据：）． 【变式3-1】（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） (1)求两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【变式3-2】（2026·贵州·一模）【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【变式3-3】（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 题型4 内部遮挡、阶梯、测距类 1.影子 / 标杆测量高度 相似三角形 + 解直角三角形结合。 2.阶梯、台阶问题 每层高度、宽度累加，整体构直角三角形。 3.内部有障碍物（中间不可直达） 双直角共用高，水平距离作差求解。 【例4】（2026·山东济南·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【变式4-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，太阳光线与水平地面所成的夹角为，学校旗杆在水平地面上的影长为4米，在倾斜角为的斜坡上的影长为2米，求旗杆的高度．(参考数据：) 【变式4-2】（2026·安徽合肥·一模）如图，为测量平台上一旗杆的顶端距离地面的高度，先用测角仪在地面处使点，点和测角仪所在点在一直线上，此时测得，，再将测角仪移到地面处，测得，，已知图中所有点都在同一竖直平面内，，四边形和均为矩形，，求距离地面的高度（结果精确到） 参考数据：，，；，，． 【变式4-3】（2026·山东济南·一模）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． (1)求树的高度； (2)求食堂的高度． 题型5 矩形 / 正方形 / 网格类 1.网格中求角度、边长 构造直角三角形用勾股 + 三角函数。 2.矩形内部折叠 + 三角函数 折叠得等长，在 Rt△中求边长或角度。 【例5】（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【变式5-1】（2026·福建泉州·一模）随着科技的发展，新能源汽车越来越普及．某停车场为了满足新能源汽车充电的需要，计划在长、宽的矩形空地修建一个新能源汽车充电场所，某数学项目组负责设计方案． 【资料收集】该项目组通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”、“平行式”或“倾斜式”三种车位类型进行设计，相关信息如下表： 类型 垂直式车位 平行式车位 倾斜式车位 示意图            数据单位：m 矩形，， 矩形，， 平行四边形，， 行车通道宽度不低于3.5m 【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：    案例解析 方案一：拟设计成如图1所示的垂直式和平行式车位各一排． ， ∴可设计成垂直式和平行式车位各一排， ，， ∴一排垂直式的停车位有14个，一排平行式的停车位有6个， ∴方案一的停车位共有20个． 问题探究 (1)方案二：拟设计成如图2所示的两排都是倾斜式车位，这种设计方案是否可行？若可行，试求出这种方案的最多停车位数？若不可行，请说明理由； （相关参考数据：，） 优化设计 (2)请你结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由． 【变式5-2】（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．    根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有20个停车位，求的长． 【变式5-3】（2026·广东深圳·一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． (1)【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．求： ①四边形_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为_____．的度数为_____． (2)【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，若，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 题型6 综合类 1.解直角三角形+相似：三角比表示边长，再走相似比例。 2.解直角三角形+圆：切线 / 直径出直角，直接解 Rt△。 3.解直角三角形+函数：坐标系构直角，用三角比求坐标与最值 【例6】（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式6-1】（2026·湖北·模拟预测）如图1，已知，，．点D，E分别在，上，，连接．将绕点A顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)如图2，当的延长线经过点D，若， ，求的长； (3)如图3，当的延长线经过的中点F，与交于点G，，求的值． 【变式6-2】（2026·广西钦州·一模）综合与实践． 【定义图形】 以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“原属三角形”．如图1，在中，，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“原属三角形”． (1)【探究图形】如图2，用两张大小不同的等腰直角三角形纸片拼接成一个双等四边形，请写出与的位置关系：______； (2)如图3，将图2中的两个等腰三角形中的直角改为相等的钝角，（1）中与的位置关系依然成立，请证明； (3)如图4，在钝角中，，将绕点A逆时针旋转至，点D恰好落在边的延长线上，得到四边形．求证：四边形是双等四边形； (4)【拓展应用】如图5，在锐角中，，，，在的右侧是否存在一点D，使四边形是以为原属三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点在以为直径的半圆上，过点作半圆的切线交延长线于点，垂直于的延长线于点，交半圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，， 求半圆的半径； 若是上一点，连接，，求的最小值． 2．（2026·四川成都·二模）天府新区秦皇湖，有天府新区小“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚洲最大单体木结构建筑．天府新区某学校开展综合实践活动，测量该建筑物顶端到地面的高度．如图，为建筑物，在地面观测点处测得该建筑物顶端的仰角为，然后沿方向走米到点处，即米，在位于点正上方的观光台点处测得建筑物顶端的仰角为，已知米，，，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到地面的高度，即的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 3.（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 4．（2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形， ，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 5．（2026·天津南开·一模）如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 6．（2026·江苏徐州·一模）小明想要测量一条河的宽度（河两岸近似直线），已知他从岸边A点看向河对岸的岸边C点，点C在A点的北偏东，随即他沿着河边向正东方向走了30米到达点B处，测量得点C在点B的北偏西，求河的宽度（精确到0.1米，参考数据：，，，，，）    7．（2026·陕西汉中·一模）鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数） 8．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 9．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 10．（2026·山东聊城·一模）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 11．（2026·湖南郴州·一模）某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案： 活动主题 测算巨型显示屏的高度与长度 测量工具 皮尺、测角仪、无人机、计算器等 活动过程 模型抽象 矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：    测绘过程 ①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P； ②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米； ③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止； ④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角． 参考数据 ，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求显示屏的高度； (2)求显示屏的长度（结果精确到）． 12．（2026·辽宁铁岭·一模）学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图①）．设计了如下测量方案： 课题 测量信号塔的高 实物图 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量示意图 说明 如图②，点均在同一竖直平面内，线段的长度表示信号塔的高度，点B表示坡底角处，表示斜坡，表示坡底水平线，平行于水平线． 测量数据 如图②，同学们测得，斜坡的长为，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为，的长为． 参考数据 ，，， 任务 求信号塔的高（结果精确到）． 16 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $