专题 圆综合大题（抢分专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题 圆综合大题 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.圆+直角三角形 2025年四川：27题考查了手拉手模型 2025年广东：23题考查了折叠模型 2025年淮安：27题考查了角平分线模型 2025年东营：24题考查了半角模型 2026年中考中基础模型全覆盖，压轴以旋转、相似、折叠、隐圆、瓜豆、将军饮马为主，多模型叠加考查；胡不归、费马点仅作为难题拓展出现 2. 圆+菱形 3.圆＋折叠 4.圆+角平分线 一；切线证明 有切点型：已知点在圆上 模板步骤 （1）连接圆心与切点（半径） （2）证明这条半径与直线垂直（90°） （3）由 “半径⊥直线” 得出：直线是圆的切线 推导垂直常用方法 1.角互余：两锐角相加 = 90° 2.全等 / 等腰：推出角相等，转化为直角 3.平行线：已知某线垂直，利用平行传递垂直 4.直径所对圆周角 = 90°，倒角得垂直 二：无切点型：点是否在圆上未知 模板步骤 （1）过圆心向直线作垂线段 （2）证明这条垂线段长度 = 半径 （3）得出直线是圆的切线 三：角度推导（圆综合必用 5 大定理） 1.同弧所对圆周角相等:同一段弧对应的角相等，直接倒角。 2.圆周角 = ½ 圆心角:求角度倍数关系最常用。 3.直径所对圆周角 = 90°:见直径必想直角，是构造直角三角形关键。 4.圆内接四边形对角互补:外角 = 内对角，高频用于相似倒角。 5.切线性质：切线⊥过切点的半径:只要有切线，直接写垂直。 四、长度计算（万能解题套路） 圆综合求线段长，90% 就这 3 种组合： 1. 勾股定理 出现直角、切线、直径，优先构造直角三角形设未知数 → 列勾股方程 → 求解 2. 相似三角形（高频：子母相似 / A 字 / 8 字） 先倒角相等 → 证相似 → 列比例式对应边对应边对应边对应边 3. 三角函数（sin、cos、tan） 直角三角形中，已知一边一角，直接用比求边长。 五、阴影面积计算（固定方法） （1）割补法（最常用）阴影面积 = 整体面积 − 空白面积 （2）扇形面积公式​ （3）弓形面积弓形 = 扇形 − 三角形 题型1 圆+直角三角形 【例1】（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知是一个直角三角形，，用尺规求作的外接圆，圆心为点，不写作法，保留作图痕迹； （2）如图②，已知的三个顶点都在上，是的直径，点在上，．连接并延长到点，使得，求证：与相切； （3）在（2）的条件下，若，探究，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题主要考查了画三角形外接圆，切线的判定，圆周角定理，等边对等角等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）直角三角形的圆心为其斜边中点，故作线段垂直平分线交于点O，再以O为圆心的长为半径画圆，则即为所求； （2）先证明．再由直径所对的圆周角是直角得到，即．由等边对等角得到，则，即，据此可证明结论； （3）可证明．则可证明．根据，，得到，则可求出．进而得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：， ． 又， ． 是的直径， ，即． ， ， ， ，即， ∵是的半径， 与相切． （3）解：，的数量关系是．理由如下： 由（2）得，． 又， ． ， ． ，， ， ，即． ， ， ． 【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    【答案】（1）或；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即 ，即可得到点，是线段的勾股分割点； （3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点， ∴分两种情况： 当为斜边时，． 当为斜边时，． ∴或； 故答案为：或； （2）证明： ， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，．    ∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴在中，，即 ， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）解：如图，当点P在上方时，连接，    ∵点在上， ∴是的内接三角形， ∴分别在的垂直平分线上， ∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵圆心角， ∴， 由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则． ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点P在下方时，如图，    ∵， ∴， 同理得点A，B是线段的勾股分割点， ∴， 同理上一种情况得， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 【变式1-2】（（2026·广东东莞·一模）如图，在中，，以边上一点O为圆心，长为半径的与边交于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，，则，证明，可得，即可证得结论； （2）设的半径为，则，根据勾股定理，即可得的半径． 【详解】（1）证明：根据题意可知，点、点在上， 连接，，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵是的切线， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型2 圆+菱形 【例2】（2025·江西·模拟预测）如图1，是菱形的边上的高，以点O为圆心，长为半径画圆． (1)求证：是的切线． (2)若点B在上，如图2． ①求的度数； ②已知菱形的边长为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）根据菱形的性质得，结合平行线的性质得，因为是菱形的边上的高，得，即，即可作答． （2）①根据四边形为菱形，得，证明为等边三角形．再结合，得，即可作答． ②结合是等边三角形，得，．根据勾股定理得，求出，因为，得．即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∴点C在上，即是半径． ∵， ∴． ∵是菱形的边上的高， ∴． ∴， 即． ∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ①∵点B在上， ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴． 又， ∴． ②∵是等边三角形， ∴，． 在中，，， ∴，， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质与判定，等边三角形的判定与性质，不规则图形的面积，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）已知：在菱形中，对角线相交于点E，是外接圆． (1)如图1，当与相切时，求的度数； (2)若的度数发生变化且点B在外，与射线交于点F，与交于点G，如图2，当，，求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可推出，，根据得出，进一步得出结果； （2）连接，作，交于W，可推出，，从而，从而得出，从而得出，，进而得出，从而得出，设，从而，在中，根据勾股定理得出，进而得出结果． 本题考查了圆的切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，得出等腰三角形． 【详解】（1）解：如图1， 连接， 与相切， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 连接，作，交于W， ， 四边形是菱形， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ∴ ， ， ， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 即 ， 【变式2-2】（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型3 .圆＋折叠 【例3】（2026·河北唐山·一模）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． (1)若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； (2)当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点O作，垂足为E，交于点F，连接，由题意易得，，，然后问题可求解； ②由题意可分当为的直径时，此时线段恰好在G的内部，当点M与点A重合时，此时线段满足在G的内部，连接，然后分类进行求解即可； （2）设的中点为R，折叠后的所在圆的圆心为，且与线段的切点为Q，连接，与交于点K，过点O作，由题意易得由折叠及切线的性质可知所在圆的半径，且，，，由（1）可知：，，然后根据勾股定理及垂径定理可进行求解． 【详解】（1）解：①过点O作，垂足为E，交于点F，连接， ∵的半径为4，弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； ②当为的直径时，此时线段恰好在G的内部，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； 当点M与点A重合时，此时线段满足在G的内部，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， 由①可知：所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当线段在G的内部（不含边界）时，的取值范围为； （2）解：设的中点为R，折叠后的所在圆的圆心为，且与线段的切点为Q，连接，与交于点K，过点O作，如图所示： ∴，， 由折叠及切线的性质可知所在圆的的半径，且，，， 由（1）可知：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【答案】(1)为的切线．理由见解析； (2)线段的长为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 【变式3-2】（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在中，，，是外一点，且．以点为圆心，长为半径作圆，则的度数为 ； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，，是边的中点，是边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，求线段长度的最小值； 问题拓展 （3）如图3，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．当点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）证明在以为圆心，长为半径的圆上，圆周角定理即可得出结果； （2）连接，证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，证明在以点为圆心，半径为2的圆上，得到当三点共线时，长度最小，进行求解即可； （3）连接，交于点，取的中点，连接，证明，得到点在以为圆心，半径为5的圆上运动，点三点共圆，进而得到点的运动路径为，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴在以为圆心，长为半径的圆上， ∴； 故答案为：； （2）连接， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵是边的中点， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴在以点为圆心，半径为2的圆上， ∴， ∴当三点共线时，长度最小为； （3）连接，交于点，取的中点，连接， ∵正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为5的圆上运动，点三点共圆， 当点运动到时，则点与点重合，此时点与点重合， ∴点的运动路径为， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴的长为：，即：点的运动路径长为． 【点睛】本题考查隐形圆，正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，求弧长等知识点，解题的关键是确定动点的运动轨迹． 题型4 圆+角平分线 【例4】（2026·甘肃兰州·一模）如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】（1）证明即，即可得到是的切线； （2）连接，利用角平分线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， 是半径，， 是的切线； （2）解：如图，连接， 四边形内接于，， ， ， 平分， ， ， 在中，． 【变式4-1】（2026·山东日照·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点恰好平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理得到，延长交于H，根据平行四边形的性质得到，求得，根据垂径定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，的半径为， ∴， ∴， 延长交于H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，点为上四个点，为直径，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证明即可； （2）连接，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，即可得证； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理得出，证明，即可得解； 【详解】（1）证明：平分， ， ； （2）证明：连接，如图1， 为直径， ， 又， ． ， ， ， ， ， 为的切线； （3）过点作的垂线，交的延长线于点，如图2， ， ， ， 又， ， ， ， 为等腰直角三角形， 在中，， ， ，，， （SAS）， ， ， 在中，， ． 1．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1)见解析 (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）解：如图，即所求． （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 2．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形中，连接，作的外接圆，已知． (1)当经过圆心O时，求的度数． (2)若与相切，的半径为6，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2) 【分析】根据是的直径，得出，结合四边形是平行四边形，，即可求解． （2）连接，，根据切线的性质得出，根据，，得出，则，即可求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：经过圆心O， 是的直径， ， ∵四边形是平行四边形，， ， 的度数是． （2）解：连接，， 与相切于点D，的半径为6， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ． 3．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质定理得出，得出，根据平行线的性质得出，再根据等边对等角以及等量代换即可得出结论； （2）过点O 作于点E，连接，则，得出四边形为矩形，最后利用垂径定理以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，过点O 作于点E，连接，则， ∵过点P作的切线，切点为M， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵的直径为10， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 4．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若与互相平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆内等腰三角形及垂直的定义得到，故可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是菱形，即可证明是等边三角形，则，再由弧长公式求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ，            ， ．         ， ， ，              即， ， 是的切线． （2）解：如图， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 5．（2026·吉林长春·一模）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 【答案】(1)①存在，理由见解析；②，理由见解析； (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据得到，推出，然后根据“爪形”的定义求解即可； ②如图，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）如图，延长至点，使得，连接，证明出，得到为等腰直角三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：①存在． 理由：∵， ， ， ∴平分圆周角， ∴圆中存在“爪形”； ②． 理由：如图， ∵四边形内接于 ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （2）解：． 理由：如图，延长至点，使得，连接． ， ， ∵圆中存在“爪形”，且， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 6．（2026·贵州·一模）【定理感知】 克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论． 【定理理解】 如图，在四边形中，有，特别地，当时，有． 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ． (2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长． (3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为3， (3)最大值为5 【分析】（1）根据圆周角定理，结合含特殊角的直角三角形，求出的长，利用托勒密定理，求出的长即可； （2）设，利用托勒密定理求出的最大值，过点B作，利用勾股定理求出的长即可； （3）勾股定理，求出的长，利用托勒密定理得到，进而求出的最大值即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是内接四边形， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由托勒密定理得：， ∴， ∴． （2）解：由题得，， ∵是等边三角形， ∴设， 在四边形中，由托勒密定理得： ， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立， 又∵， ∴， 如图（4），过点B作， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最大值为3，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆，在四边形中，由托勒密定理得： ， ∴， ∴， 又∵A，B，C，D四点共圆，且为直径， ∴， 如图（5），当且仅当为直径时，等号成立 ∴， ∴的最大值为5． 7．（2026·安徽安庆·模拟预测）是的内接三角形，，E是上的一点，延长交的延长线于点D，连接，已知． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，连接和，若四边形是菱形，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可知，根据等边对等角得到，即，根据等角对等边得到； （2）延长交于点F，连接，根据菱形的性质求出，可知是等边三角形，即，根据得到，根据垂径定理的推论可知，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：和都是所对的圆周角， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长交于点F，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 8．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2)面积为 【分析】（1）连接，证明得到，从而由切线的判定即可得证； （2）数形结合得到图中阴影部分的面积，分别求出和，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线， 理由如下： 连接，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又是圆的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ，， ∴， ∴， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 9．（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质即可求解； （2）利用平行四边形的性质可知即可判定； （3）根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如下图：作，，构造平行四边形． （2）证明：连接并延长交于点，连接，， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （3）解：，垂直平分交于点， ， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】 10．（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 【答案】（1）互补，见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得出，再根据，即可得出． （2）如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，，根据折叠的性质得在上， ，根据四点共圆得，则，证出，则．根据，，得出，则，即可证明． 【详解】解：（1）．     证明：如图（1），连接，， 则 ． ∵， ∴．     （2）证明：如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，， 则在上， ， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴．     又∵，， ∴， ∴，     ∴． 【点睛】该题考查了圆周角定理，四点共圆，轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 11．（2025·山东青岛·三模）如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． (1)求证：是的切线． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)平行四边形；理由见解析 【分析】本题考查了旋转性质、圆的性质（包括圆周角定理和切线性质）、全等三角形的判定与性质、以及特殊四边形（矩形）的判定等知识点，解题的关键在于通过旋转性质确定角度和边长关系，进而利用圆的性质证明为的切线，同时借助全等三角形和矩形的判定条件判断四边形的形状． 由旋转的性质得出，，证得，则可得出结论； 由旋转的性质得出，，，得出，由平行线的判定得出，根据全等三角形的判定和性质定理得到，则可得出结论． 【详解】（1）证明：把绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ， 又， 为的直径， 为的切线； （2）解：四边形为平行四边形． 理由如下：把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形． 12．（2025·青海西宁·三模）综合与实践 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明 即可； （2）在上截取，证明 ，从而有，，，由，即，故，再利用等腰三角形性质和三角形外角的性质可知； （3）连接、作交于点F，如图3所示，因为为的直径，，可得，，由平分，可得，，，又，可得，进而，导角证明，即得，故． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ． （2）证明：在上截取，如图2所示， 平分， ∴， 在和中， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 连接、作交于点F，如图3所示， 为的直径，， ，， ， 平分， ，，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理及圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 47 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 圆综合大题 抢分预测 抢分秘籍 抢分特训 题型 考情分析 考向预测 1.圆+直角三角形 2025年四川：27题考查了手拉手模型 2025年广东：23题考查了折叠模型 2025年淮安：27题考查了角平分线模型 2025年东营：24题考查了半角模型 2026年中考中基础模型全覆盖，压轴以旋转、相似、折叠、隐圆、瓜豆、将军饮马为主，多模型叠加考查；胡不归、费马点仅作为难题拓展出现 2. 圆+菱形 3.圆＋折叠 4.圆+角平分线 一；切线证明 有切点型：已知点在圆上 模板步骤 （1）连接圆心与切点（半径） （2）证明这条半径与直线垂直（90°） （3）由 “半径⊥直线” 得出：直线是圆的切线 推导垂直常用方法 1.角互余：两锐角相加 = 90° 2.全等 / 等腰：推出角相等，转化为直角 3.平行线：已知某线垂直，利用平行传递垂直 4.直径所对圆周角 = 90°，倒角得垂直 二：无切点型：点是否在圆上未知 模板步骤 （1）过圆心向直线作垂线段 （2）证明这条垂线段长度 = 半径 （3）得出直线是圆的切线 三：角度推导（圆综合必用 5 大定理） 1.同弧所对圆周角相等:同一段弧对应的角相等，直接倒角。 2.圆周角 = ½ 圆心角:求角度倍数关系最常用。 3.直径所对圆周角 = 90°:见直径必想直角，是构造直角三角形关键。 4.圆内接四边形对角互补:外角 = 内对角，高频用于相似倒角。 5.切线性质：切线⊥过切点的半径:只要有切线，直接写垂直。 四、长度计算（万能解题套路） 圆综合求线段长，90% 就这 3 种组合： 1. 勾股定理 出现直角、切线、直径，优先构造直角三角形设未知数 → 列勾股方程 → 求解 2. 相似三角形（高频：子母相似 / A 字 / 8 字） 先倒角相等 → 证相似 → 列比例式对应边对应边对应边对应边 3. 三角函数（sin、cos、tan） 直角三角形中，已知一边一角，直接用比求边长。 五、阴影面积计算（固定方法） （1）割补法（最常用）阴影面积 = 整体面积 − 空白面积 （2）扇形面积公式​ （3）弓形面积弓形 = 扇形 − 三角形 题型1 圆+直角三角形 【例1】（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知是一个直角三角形，，用尺规求作的外接圆，圆心为点，不写作法，保留作图痕迹； （2）如图②，已知的三个顶点都在上，是的直径，点在上，．连接并延长到点，使得，求证：与相切； （3）在（2）的条件下，若，探究，的数量关系，并说明理由． 【变式1-1】（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长．    【变式1-2】（（2026·广东东莞·一模）如图，在中，，以边上一点O为圆心，长为半径的与边交于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 题型2 圆+菱形 【例2】（2025·江西·模拟预测）如图1，是菱形的边上的高，以点O为圆心，长为半径画圆． (1)求证：是的切线． (2)若点B在上，如图2． ①求的度数； ②已知菱形的边长为6，求图中阴影部分的面积． 【变式2-1】（2025·江苏泰州·三模）已知：在菱形中，对角线相交于点E，是外接圆． (1)如图1，当与相切时，求的度数； (2)若的度数发生变化且点B在外，与射线交于点F，与交于点G，如图2，当，，求菱形的面积． 【变式2-2】（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 题型3 .圆＋折叠 【例3】（2026·河北唐山·一模）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． (1)若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； (2)当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 【变式3-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【变式3-2】（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在中，，，是外一点，且．以点为圆心，长为半径作圆，则的度数为 ； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，，是边的中点，是边上的一个动点，将沿折叠得到，连接，求线段长度的最小值； 问题拓展 （3）如图3，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．当点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 题型4 圆+角平分线 【例4】（2026·甘肃兰州·一模）如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式4-1】（2026·山东日照·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点恰好平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求的长． 【变式4-2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，点为上四个点，为直径，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)求的长． 1．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 2．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形中，连接，作的外接圆，已知． (1)当经过圆心O时，求的度数． (2)若与相切，的半径为6，求的长． 3．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接． (1)求证：平分； (2)若的直径为，求的长． 4．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若与互相平分，，求的长． 5．（2026·吉林长春·一模）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 6．（2026·贵州·一模）【定理感知】 克罗狄斯•托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论． 【定理理解】 如图，在四边形中，有，特别地，当时，有． 【定理运用】 请直接运用该定理解决下列问题： (1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ． (2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长． (3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值． 7．（2026·安徽安庆·模拟预测）是的内接三角形，，E是上的一点，延长交的延长线于点D，连接，已知． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，连接和，若四边形是菱形，求的度数． 8．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 9．（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 10．（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 11．（2025·山东青岛·三模）如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． (1)求证：是的切线． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 12．（2025·青海西宁·三模）综合与实践 【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”，，，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点D，已知，求证：． 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接，直接写出与的数量关系． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $