期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度数量关系专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度数量关系专项训练 期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度数量关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质探究角度数量关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·山东日照·期中）完成推理填空： 如图，已知直线分别截直线、于点E、F，平分，交于点G，，，求的度数． 解：因为（________），（已知）， 所以． 所以________（________）． 所以（________）． 因为（邻补角的定义）， 所以． 因为平分（已知）， 所以________（角平分线的定义）． 所以________． 例2．（25-26七年级下·吉林·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）完成推理填空： 如图，已知，平分，，求的度数． 解：（已知）， （______________________）， （______________________）， ， 平分（已知）， ___________（______________________）， 又（已知）， （______________________）， ， ____________________． 例4．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图所示，完成下列推理过程：已知：平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（ ） ∴（ ） 又∵平分（ ） ∴（ ） 又∵（ ） ∴（ ）． ∴ 变式1．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点C作，交于点M． (1)求的度数； (2)过点O在内作射线，若，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 变式4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，．点P是射线上一动点（与点A不重合）．，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)的度数是_____________，的度数是_____________； (2)请说明； (3)当点P运动到使时，直接写出的度数． 考点二 利用平行线的性质探究角度数量关系 例1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 例2．（25-26七年级下·北京·期中）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 例3．（25-26七年级下·福建福州·月考）已知直线，点E，F分别在直线上点P是直线上的动点（不与E重合），连接，，和的平分线所在直线交于点H． (1)如图1，点P在射线上，． ①当，时，______； ②探究之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当时，请直接写出与的数量关系（用含α的式子表示）． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 变式2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 变式3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度数量关系专项训练 期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角度数量关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质探究角度数量关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·山东日照·期中）完成推理填空： 如图，已知直线分别截直线、于点E、F，平分，交于点G，，，求的度数． 解：因为（________），（已知）， 所以． 所以________（________）． 所以（________）． 因为（邻补角的定义）， 所以． 因为平分（已知）， 所以________（角平分线的定义）． 所以________． 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；． 【分析】根据对顶角相等，平行线的判定及性质，角平分线的定义补充过程即可． 【详解】解：因为（对顶角相等），（已知）， 所以． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（邻补角的定义）， 所以． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 所以． 例2．（25-26七年级下·吉林·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由角的关系可得，再根据两直线平行的性质求解； （2）分两种情况：当在内部和在外部，再根据角的关系得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， （两直线平行，内错角相等）； （2）解：解：当在内部时， ， 当在外部时， ， 或． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·月考）完成推理填空： 如图，已知，平分，，求的度数． 解：（已知）， （______________________）， （______________________）， ， 平分（已知）， ___________（______________________）， 又（已知）， （______________________）， ， ____________________． 【答案】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；垂线的定义；50；25． 【分析】先证明得到，则可求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义得到的度数，则可求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 又（已知）， （垂线的定义）， ， ∴． 例4．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图所示，完成下列推理过程：已知：平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（ ） ∴（ ） 又∵平分（ ） ∴（ ） 又∵（ ） ∴（ ）． ∴ 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】证明：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） 又∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． 变式1．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点C作，交于点M． (1)求的度数； (2)过点O在内作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合，得出，然后把数值代入计算得，最后由两直线平行，内错角相等，得； （2）先理解题意，结合过点O在内作射线，补充图形，再结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； （2）解：依题意，如图所示： ，， ． 变式2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由题意得到，得到，从而得到，即可得出答案； （2）根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，再结合题意可得，进而可得； （2）根据可得，，再结合，即可得到； （3）根据题意可得，由（2）得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ； （3）解：由题意得，， 由（2）得， ∵， ． 变式4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，，．点P是射线上一动点（与点A不重合）．，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)的度数是_____________，的度数是_____________； (2)请说明； (3)当点P运动到使时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，，可得，由角平分线的定义得出，即； （2）由，可得，，进而可得； （3）由，，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴，即. （2）证明： ∵， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴的度数为． 考点二 利用平行线的性质探究角度数量关系 例1．（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，结合图形即可证明； （2）①过P点作，根据平行线的性质证明，同理可得，再利用角平分线的定义，结合邻补角的性质求解即可；②利用①的结论直接求解即可； （3）由（2）可得：，，结合已知条件，根据邻补角的性质求解即可 ． 【详解】（1）证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过P点作，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即， 同理可得：， 分别为，的角平分线 ，， ∴ 故答案为：； ②，理由是： 由①可得， ∴； （3）解：，理由是： 由（2）可得：， ∵， ∴ ∴ ． 即 例2．（25-26七年级下·北京·期中）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)； (2)①，是定值；②或 【分析】（1）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （2）①先求出，然后同（1）的方法求解即可； ②分别画出两种情况的图形，根据角的和差关系写出答案即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 同理：， ∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ∵，即； 情况二、如图所示： ，即 例3．（25-26七年级下·福建福州·月考）已知直线，点E，F分别在直线上点P是直线上的动点（不与E重合），连接，，和的平分线所在直线交于点H． (1)如图1，点P在射线上，． ①当，时，______； ②探究之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当时，请直接写出与的数量关系（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①，②，证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义求出，过点作，利用平行线的性质推出，由即可解答；②同理①证明即可； （2）分点P在射线上，点P在射线上，且点在直线上方，点P在射线上，且点在直线下方，三种情况讨论即可． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， ∵平分，平分，， ∴， 过点作，则， ∴， ∴； ②，证明如下： 证明：∵平分，平分， ∴， 过点作，则， ∴， ∴； （2）解：当点P在射线上时，如图， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理（1）②得， ∴， ∴； 当点P在射线上，且点在直线上方时，如图，过点作，则， 则， 同理，得， ∵， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 当点P在射线上，且点在直线下方时，如图，过点作，则， 则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与的数量关系为或或． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 变式2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $