精品解析：山东济南市历城区华山第二中学2025-2026学年4月份学情调研 八年级数学试卷

2025-2026学年4月份学情调研八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，那么BC的长等于（　　） A. 23 B. 50 C. 27 D. 13 6. 根据下列表格中的部分信息，分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 无意义 0 … A. B. C. D. 7. 如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=27°，则∠BOC的度数是(　　) A. 18° B. 27° C. 45° D. 72° 8. 济南轨道交通3号线二期工程于2024年11月22日开通运营，是济南市首条接入机场实现“空轨换乘”的地铁线路．小济和小南分别从地和地出发赶往机场乘坐飞机，出行方式、路径及路程如下表所示： 出行方式 路径 路程 地铁 地→遥墙机场 全程约30千米 公交 地→遥墙机场 全程约36千米 由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的1.5倍，于是小济比小南少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为千米/时，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，甲乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于的不等式的解集为；乙说：当时，；其中正确的结论有（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 乙正确，甲错误 D. 甲乙都错误 10. 如图，在中，，相交于点O，，．以点C为圆心，的长为半径作弧交于点B，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线交于点F．记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11. 因式分解：______． 12. 若分式的值为0，则______． 13. 若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 14. 如图，将四边形沿射线的方向平移得到四边形，其中，，，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 解下列不等式组，并求它的所有整数解． 18. 先化简：，再从，0，1，2中选取一个适当的数代入求值． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出两次平移后的； （2）若和关于原点成中心对称．画出； （3）将绕某点旋转也可以得到，则其旋转中心的坐标是______． 22. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论x取何值，，所以当时，多项式有最小值为-16． 试确定：多项式有最______值（填大或小）为______． （3）已知x是实数，试比较与的大小，说明理由． 23. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材2 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材3 书店准备用不超过28200元购进两种图书共2000本，且种图书不少于600本；经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出两种图书的标价． 任务2 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润? 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． （1）请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． （2）请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． （3）点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. （1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年4月份学情调研八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵，时， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选A． 5. 如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，那么BC的长等于（　　） A. 23 B. 50 C. 27 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，利用△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC，求出BC的长． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=50， ∵AC=27， ∴BC=23， 故选：A 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 根据下列表格中的部分信息，分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 无意义 0 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式无意义的条件和分式值为0的条件是解题关键，根据表格信息可得时分式无意义，时分式值为，结合两个条件即可判断选项． 【详解】解：根据表格信息可知：当时，分式无意义，即分母的值为，当时，分式的值为，即分子为且分母不为， 选项A、时，分子，不符合题意； 选项B、时，分母，分式无意义，时，分子，分母，分式值为，符合题意； 选项C、时，分母，分式有意义，不符合题意； 选项D、时，分母，分式无意义，不符合题意． 7. 如图，将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=27°，则∠BOC的度数是(　　) A. 18° B. 27° C. 45° D. 72° 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据图形的旋转的性质得∠BOC=∠AOC-∠AOB，再求解． 【详解】∵将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°后得到△COD， ∴∠AOC=45°， ∵∠AOB=27°， ∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°-27°=18°．所以只有A正确. 故正确选项是A. 【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，解题的关键是一个旋转图形的对应点的连线所夹的角相等，都等于旋转角． 8. 济南轨道交通3号线二期工程于2024年11月22日开通运营，是济南市首条接入机场实现“空轨换乘”的地铁线路．小济和小南分别从地和地出发赶往机场乘坐飞机，出行方式、路径及路程如下表所示： 出行方式 路径 路程 地铁 地→遥墙机场 全程约30千米 公交 地→遥墙机场 全程约36千米 由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的1.5倍，于是小济比小南少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为千米/时，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据题意，地铁的平均速度是公交的1.5倍，设公交速度为千米/时，则地铁速度为千米/时，小济乘坐地铁的路程为30千米，小南乘坐公交的路程为36千米，由于小济比小南少用半小时到达，可建立时间关系方程． 【详解】解：依题意，小济乘坐地铁的时间为小时，小南乘坐公交的时间为小时， ∵小济比小南少用半小时， 即小济的时间加半小时等于小南的时间， 因此方程为： 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象交于点，甲乙两位同学给出的下列结论：甲说：关于的不等式的解集为；乙说：当时，；其中正确的结论有（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 乙正确，甲错误 D. 甲乙都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解与两条直线的交点的关系，不等式的解集与坐标轴的交点的关系，解题的关键在于数形结合．根据不等式的解集与两条直线的交点的关系，以及坐标轴的交点的关系作出判断即可． 【详解】解：函数与轴交于点， 关于的不等式的解集为， 即甲正确； 函数和的图象交于点， 当时，； 即乙错误； 故选：B． 10. 如图，在中，，相交于点O，，．以点C为圆心，的长为半径作弧交于点B，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线交于点F．记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、作图—基本作图、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，易证，得到、，由勾股定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 由题意知：， ， ， 记长为x，长为y， ，， ，， ，， ， ， ， 当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：A． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式得到最终结果． 【详解】解： ． 12. 若分式的值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，因式分解．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解即可． 【详解】解：由题可得，且， 解得， 故答案为：． 13. 若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为______． 【答案】1，3 【解析】 【分析】先根据分式方程的解法求出分式方程的解，然后根据题意求出的范围即可求出答案． 【详解】解：方程两边同乘得， , ， ， ∵分式方程的解为正数，且， ，且， ，且． 又∵为正整数， ，3． 14. 如图，将四边形沿射线的方向平移得到四边形，其中，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积及平移的性质，熟知平移的性质及三角形的面积公式是解题的关键．根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积即可解决问题． 【详解】解：由平移可知， ，，， 所以将两个四边形的面积都减去四边形的面积可得阴影部分的面积与梯形的面积相等． 连接， 则， 在中， 所以梯形的面积为 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】记交于点，连接，由作图过程可知，，平分，利用平行四边形性质和角平分线性质证明四边形是菱形，利用菱形的性质得到，，，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：记交于点，连接， 由作图过程可知，，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再采用完全平方公式即可作答； （2）利用平方差公式即可作答． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了利用公式法和提取公因式法进行因式分解的知识，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解答本题的关键． 17. 解下列不等式组，并求它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解得：， 解不等式②，得：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，0，1． 18. 先化简：，再从，0，1，2中选取一个适当的数代入求值． 【答案】；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键． 先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【小问1详解】 解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 20. 已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF． 【解析】 【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出两次平移后的； （2）若和关于原点成中心对称．画出； （3）将绕某点旋转也可以得到，则其旋转中心的坐标是______． 【答案】（1） 如图：就是所求作的三角形； （2） 如图：就是所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了 —平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及成中心对称的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称的性质作图即可； （3）连接、，交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、，交点即为所求，结合图象可得旋转中心的坐标是 ． 22. 阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论x取何值，，所以当时，多项式有最小值为-16． 试确定：多项式有最______值（填大或小）为______． （3）已知x是实数，试比较与的大小，说明理由． 【答案】（1）； （2）大，17； （3）；理由： 【解析】 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）利用完全平方公式变形，即可得出； （3）利用配方法、非负数的性质解答． 【详解】解：（1） （2） = = ∵ ∴当时，多项式有最大值为17． 故答案为：大，17 （3）略 【点睛】本题考查的是完全平方公式、公式法因式分解以及偶次方的非负性，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 23. 根据如表所示素材，探索完成任务． 如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润 素材1 某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元． 素材2 已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本． 素材3 书店准备用不超过28200元购进两种图书共2000本，且种图书不少于600本；经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的8折销售，种图书按标价销售． 问题解决 任务1 探求图书的标价 请运用适当方法，求出两种图书的标价． 任务2 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润? 【答案】任务1：种图书的标价是元，则种图书的标价是元；任务2：购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务1：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元，根据“顾客用540元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本”列出分式方程，解方程即可得出答案； 任务2：设购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组求出的取值范围，求出、两种图书的售价，设获得的利润是元，得出关于的关系式，再利用一次函数的性质即可得出答案． 【详解】任务1：解：设种图书的标价是元，则种图书的标价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴种图书的标价是元，则种图书的标价是元； 任务2：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， 由题意可得：种图书的售价是（元），种图书的售价是元， 设获得的利润是元， 则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大， （本）， ∴购进种图书本，则购进种图书本，所获得的利润最大． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． （1）请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． （2）请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． （3）点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2） 四边形是平行四边形．理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【小问1详解】 解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 25. （1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 【答案】（1）；等边；90 ；； （2），（或）， 证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）最小值为 【解析】 【分析】本题考查了旋转三角形的问题，等边三角形，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可． （2）将绕A点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接、，证明是等边三角形，得，则，当点、、、四点共线时，最小，证明，在中 ，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：（1） 等边 90 （2） 略 （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、． ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、、四点共线时，最小 ∵， ∴， 在中， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $